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Symmetrie von Funktionsgraphen 09:58 min

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Transkript Symmetrie von Funktionsgraphen

Hallo. Es geht um die Symmetrie von Funktionsgraphen und da können wir uns erstmal ansehen, wie so ein symmetrischer Funktionsgraph eigentlich aussieht. Dann werden wir zwei Formeln kennenlernen, mit denen man die Symmetrie von Funktionsgraphen nachweisen kann. Und hinterher überlegen wir uns noch, warum diese Formeln gelten. Hier ist erstmal ein Koordinatensystem. Und hier ist ein Funktionsgraph. Dieser Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Und das bedeutet anschaulich, wenn wir den Graphen an der y-Achse spiegeln, und das mache ich hier mal durch drehen der Folie, entlang der y-Achse, dann sieht alles genauso aus wie vorher. Genauer gesagt, der gespiegelte Graph ist mit dem Funktionsgraphen deckungsgleich. Jetzt habe ich ja so aufdringlich betont, dass es um die Achsensymmetrie zur y-Achse geht. Woraus sich die Fragen ergeben: Gibt es noch eine andere Symmetrie als die Achsensymmetrie? Und gibt es eine Achsensymmetrie zu einer anderen als der y-Achse? Und die Antworten sind ja, ja. Der Funktionsterm der Funktion mit diesem Graphen ist f1(x)=0,05x4-0,7x2+1. Wir können nun einen weiteren Funktionsterm aufschreiben, zum Beispiel f2(x)=0,05(x+3)4-0,7(x+3)2+1+1. Der Graph dieser Funktion ist um drei Einheiten nach links und um eine Einheit nach oben verschoben. Symmetrisch ist der Graph immer noch. Nur eben nicht zur y-Achse, sondern zu der Parallelen zur y-Achse x=-3. Wir haben jetzt einen Graphen gesehen, deren Funktion symmetrisch ist, aber nicht zur y-Achse. Und jetzt fehlt uns noch eine Funktion, deren Graph symmetrisch ist, aber nicht achsensymmetrisch. Hier ist der Graph einer Funktion. Dieser ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Was anschaulich bedeutet, wenn man diesen Graphen um 180 Grad um den Koordinatenursprung herumdreht, sieht alles aus wie vorher. Genauer gesagt, der gedrehte Graph ist mit dem Funktionsgraphen deckungsgleich. Und auch hier ergibt sich wieder eine Frage, nämlich gibt es Graphen die punktsymmetrisch sind, aber nicht zum Koordinatenursprung? Na ja, wir haben vorhin einen Graphen verschoben, das können wir jetzt mit sehr ähnlichen Mitteln wieder machen, dann bleibt die Symmetrie erhalten, verschiebt sich aber mit. Antwort ist also: Ja! Der Funktionsterm der Funktion mit diesem Graphen ist f1(x)=0,3x2-2x. Wir können nun einen weiteren Funktionsterm, zum Beispiel: f2(x)=0,3(x-2)3-2(x-2)-1. Der Graph dieser Funktion ist um zwei Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach unten verschoben. Auch dieser Graph ist punktsymmetrisch und zwar Punkt (2|-1). Und hier kann man das sehen, wenn man diesen Graph um diesen Punkt dreht, ist dieser Graph deckungsgleich mit dem Funktionsgraphen. In der Schulmathematik spielen im Wesentlichen zwei Symmetrien eine Rolle, nämlich die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung. Und die können wir nachweisen mit den zwei angekündigten kleinen Formeln. Es gelten nämlich die folgenden Sätze. Der Graph einer Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung genau dann, wenn für alle x gilt f(x)=-f-(-x). Der Graph einer Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse genau dann, wenn für alle x gilt f(x)=f(-x). Das was du gerade gesehen hast, habe ich dir als Sätze verkauft. Das heißt wir müssen uns überlegen, wie man diese Sätze beweisen kann. Man kann aber das gesehene auch als Definition der Symmetrie auffassen. Dann müssen wir uns überlegen, ob diese Definitionen das sinnvoll wiederspiegeln, was wir unter Symmetrie verstehen. Wie so oft in der Mathematik, kann man nicht klären, was es genau ist. Je nach Aufbau ist es das eine oder das andere. So, was machen wir da? Naja, es geht letztlich um diese beiden Formeln. Wir können uns als erstes überlegen, ob diese Formeln gelten, wenn ein Graph symmetrisch ist. Hier haben wir einen zur y-Achse symmetrischen Graphen. Und hier ist zum Beispiel ein x, der zugehörige Punkt ist hier. Und wir können an der y-Achse den Funktionswert ablesen, der ist hier. Auf der gegenüberliegenden Stelle, also bei –x. –x ist jetzt positiv, weil x negativ ist. Dann haben wir den zugehörigen Punkt des Graphen. Und dann können wir hier sehen, dass der Funktionswert an dieser Stelle genau so groß ist. Es gilt also f(x)=f(-x). Das ist hier. Wir haben hier einen Graphen, der punksymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und hier ist zum Beispiel ein x, warum nicht? Hier ist der zugehörige Punkt des Graphen und hier kann man den Funktionswert ablesen. Auf der gegenüberliegenden Stelle, also hier bei –x ist das sehr ähnlich, der zugehörige Punkt des Graphen ist hier. Und hier können wir den Funktionswert ablesen. Wir sehen jetzt, dass der Funktionswert hier bei f(x) die Gegenzahl des Funktionswertes bei –x ist. Es gilt also, f(x)=-f(-x). Ja, und jetzt fehlt uns noch andere Richtung. Das heißt wir müssen zeigen, wenn diese Formel gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Und wenn diese Formel gilt, ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Angenommen es gilt f(x)=f(-x), dann haben wir zum Beispiel ein x und der zugehörige Punkt des Graphen könnte zum Beispiel hier sein, bei –x, also zum Beispiel bei -2 ist der Funktionswert gleich und der Punkt des Graphen könnte hier sein. Wir könnten auch sagen, x=-1, dann können wir uns einen Punkt des Graphen zum Beispiel hier vorstellen. Bei –x, das ist dann also 1, ist der Punkt des Graphen in der gleichen Höhe, hat also den gleichen y-Wert. Naja, und so könnte das jetzt weitergehen. Und wir sehen nun, dass wir so einen achsensymmetrischen Graphen erhalten. Und hier ist der Beweis. Angenommen es gilt f(x)=-f(-x), dann können wir uns folgendes vorstellen, x könnte zum Beispiel mal -2 sein und der Einfachheit halber sag ich jetzt mal der Funktionswert an dieser Stelle soll -2 sein. –x ist dann 2, der Funktionswert an dieser Stelle muss dann laut Formel gleich 2 sein, wenn wir ein Minuszeichen davor schreiben, erhalten wir -2. Das ist hier. Und das ist dann gleich f(x). Und so kann das jetzt weitergehen und wie wir sehen erhalten wir so einen Funktionsgraphen, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Und hier ist der Beweis. So, dann sind wir hier fertig. Wir haben gesehen, was Punktsymmetrie ist und was Achsensymmetrie ist. Und wir haben auch gesehen, dass diese beiden Schätzchen hier genau das wiedergeben, was wir unter Symmetrie verstehen. Viel Spaß damit. Tschüss.

Symmetrie von Funktionsgraphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Symmetrie von Funktionsgraphen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die verschiedenen Symmetrien.

    Tipps

    Ein Funktionsgraph kann mit Ausnahme von $y=0$ entweder achsensymmetrisch sein oder punktsymmetrisch.

    Durch eine Funktion wird jedem $x$ genau ein $y$ zugeordnet.

    Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$. Es ist eine Parabel. Parabeln sind achsensymmetrisch.

    Lösung

    Der Graph einer Funktion ist mit Ausnahme von $y=0$ entweder

    • achsensymmetrisch oder
    • punktsymmetrisch.
    Ein Funktionsgraph heißt achsensymmetrisch, wenn er zur y-Achse oder einer Parallelen zur y-Achse symmetrisch ist. Anschaulich bedeutet dies: Wenn der Graph an der Symmetrieachse gespiegelt wird, erhält man eine zum Ausgangsgraphen deckungsgleiche Figur.

    Ein Funktionsgraph kann nur in einem Fall achsensymmetrisch zur x-Achse oder einer zur x-Achse parallelen Spiegelachse sein: nämlich dann, wenn der Graph und die Spiegelachse identisch sind (Wenn an der x-Achse gespiegelt wird, so ist der einzige achsensymmetrische Funktionsgraph $f(x)=0$, der wieder auf sich selbst abgebildet wird). Warum ist dies so? Gemäß der Definition einer Funktion darf es zu jedem $x$ maximal ein $y=f(x)$ geben. Im Regelfall ist dies durch die Spiegelung an der x-Achse nicht gegeben.

    Ein Funktionsgraph heißt punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung oder einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem, wenn eine Drehung in diesem Punkt um $180^\circ$ wieder zu dem Ausgangsgraphen führt.

    In der Abbildung siehst du einen punktsymmetrischen Graphen.

  • Gib an, wie man eine Funktion auf Symmetrie untersuchen kann.

    Tipps

    Durch eine Funktion wird jedem $x$ genau ein $y$ zugeordnet.

    Beachte: Es werden die Symmetrien

    • zur y-Achse und nicht zu einer Parallelen dazu sowie
    • zum Koordinatenursprung und nicht zu einem beliebigen Punkt
    betrachtet.

    Schaue dir das Beispiel der punktsymmetrischen Funktion $f(x)=x^3$ an. Es gilt:

    $-f(-x)=-(-x)^3=-(-x^3)=x^3=f(x)$

    Lösung

    Üblicherweise zeichnest du nicht den Graphen einer Funktion, schaust dir diesen genau an und überlegst dann, ob Symmetrie vorliegt und - wenn ja - welche.

    Du kannst die Symmetrie eines Funktionsgraphen auch direkt mithilfe des Funktionsterms überprüfen. Du kannst die Symmetrie wie folgt zusammenfassen:

    • Wenn $f(x)=f(-x)$ gilt, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
    • Wenn $f(x)=-f(-x)$ gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    Ansonsten liegt keine der beiden hier genannten Symmetrien vor.

  • Bestimme die Symmetrie der gegebenen Funktionen.

    Tipps

    Wenn $f(x)=f(-x)$ gilt, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Ein Beispiel:

    $f(x)=x^2=(-x)^2=f(-x)$

    Wenn $f(x)=-f(-x)$ gilt, ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Ein Beispiel:

    $f(x)=x^3=-(-x)^3=-f(-x)$

    Hier siehst du den Graphen dieser Funktion:

    $f(x)=0,3x^3-2x$

    Lösung

    Präge dir diese beiden Eigenschaften von Funktionen besonders gut ein:

    • Gilt $f(x)=f(-x)$, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
    • Gilt $f(x)=-f(-x)$, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    Für jede ganzrationale Funktion gilt:

    • Sind alle im Funktionsterm vorkommenden Exponenten gerade (auch der Exponent $0$ ist gerade), dann ist die Funktion achsensymmetrisch.
    • Sind alle im Funktionsterm vorkommenden Exponenten ungerade, dann ist die Funktion punktsymmetrisch.
    Damit ist die Funktion

    • $f(x)=0,05x^4-0,7x^2+1$ achsensymmetrisch zur y-Achse und
    • $f(x)=0,3x^3-2x$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    Der Graph der Funktion $f(x)=0,05x^4-0,7x^2+1$ ist in der Abbildung zu sehen. Die Exponenten des Funktionsterms sind hier $4$, $2$ und $0$, da $1=1\cdot x^0$ ist.

  • Ermittle jeweils die Symmetrieachse oder den Symmetriepunkt.

    Tipps

    Die y-Achse entspricht der Geraden $x=0$.

    Jede zur y-Achse parallele Gerade hat die Gleichung $x=c$.

    Jede ganzrationale Funktion $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ mit $a_n\neq 0$ ist

    • achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, und
    • punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind.
    Wenn wir sowohl gerade als auch ungerade Exponenten haben, liegt keine der obigen Symmetrien vor.

    Im Fall von Achsensymmetrie zur y-Achse ist die Gerade $x=0$ Symmetrieachse.

    Im Fall von Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung ist der Koordinatenursprung $O(0|0)$ der Symmetriepunkt.

    • Die Funktion $f(x)=x^3$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $O(0|0)$.
    • Die Funktion $f(x)=(x-1)^3$ ist punktsymmetrisch zu $(1|0)$.
    • Die Funktion $f(x)=(x-1)^3+4$ ist punktsymmetrisch zu $(1|4)$
    Lösung

    Achsensymmetrie

    • Da bei der Funktion $h_1(x)=x^4-2x^2+4$ alle Exponenten gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, also zu der Geraden $x=0$.
    • Im Funktionsterm der Funktion $f_1(x)=(x-1)^4-2(x-1)^2+6$ wird vom Argument $x$ jeweils $1$ subtrahiert. Der Funktionsgraph wird um eine Einheit nach rechts verschoben und um $6$ Einheiten nach oben. Die Verschiebung beeinflusst die Existenz von Achsensymmetrie nicht. Die Symmetrieachse ist die Gerade $x=1$.
    • Die Funktion $f_2(x)=x^2+6x+1$ wird umgeformt mithilfe der 1. binomischen Formel: $f_2(x)=(x+3)^2-8$. Wir sehen nun leichter, dass die Gerade $x=-3$ die Symmetrieachse ist.
    Punktsymmetrie

    • Die Funktion $h_3(x)=0,5x^3-x$ hat nur ungerade Exponenten. Das bedeutet, sie ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $O(0|0)$.
    • Im Funktionsterm der Funktion $f_3(x)=0,5(x-1)^3-(x-1)$ wird vom Argument $x$ jeweils $1$ subtrahiert. Also ist der Symmetriepunkt $(1|0)$.
  • Entscheide, welche Funktionsgraphen achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.

    Tipps

    Der Funktionsgraph einer symmetrischen Funktion muss sich rechts und links der y-Achse befinden.

    Symmetrie zur y-Achse bedeutet, dass ein Spiegeln an der Achse zu einem deckungsgleichen Funktionsgraphen führt.

    Zwei der sechs Funktionsgraphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Lösung

    Der rote Funktionsgraph, der durchgehend ansteigt, gehört zu $f(x)=e^x$. Diese Funktion ist nicht symmetrisch.

    Der grüne Funktionsgraph gehört zu einer kubischen Funktion. Der höchste Exponent einer kubischen Funktion ist $3$ und somit ungerade. Diese Funktion kann nicht achsensymmetrisch sein. Sie könnte punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sein. Dies ist sie erkennbar jedoch nicht.

    Der blaue Funktionsgraph zu $f(x)=\cos^2(x)$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Danach folgt ein weiterer blauer Funktionsgraph zu $f(x)=\sin(2x)+1$. Dieser Graph ist nicht achsensymmetrisch.

    Die orange Normalparabel zu $f(x)=x^2$ ist achsensymmetrisch.

    Der folgende Funktionsgraph gehört zu $f(x)=x^2\cdot \ln(x)$. Der natürliche Logarithmus ist nicht für negative $x$ definiert. Deswegen ist der Funktionsgraph auch nicht links von der y-Achse gezeichnet. Dieser Funktionsgraph kann nicht symmetrisch sein.

    Die verbleibenden beiden Graphen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

    • $f(x)=x^5-4x^3$, da dieser Funktionsterm nur ungerade Exponenten hat, und
    • $f(x)=x^3$
  • Ermittle die Symmetrieart der Funktionen.

    Tipps

    Du kannst eine Funktion wie folgt auf Symmetrie untersuchen:

    • Wenn $f(x)= f(-x)$ gilt, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
    • Wenn $f(x)=-f(-x)$ gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    Ansonsten liegt keine dieser beiden Symmetrien vor.

    Eine ganzrationale Funktion wird allgemein beschrieben durch:

    $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

    Dabei ist

    • $n$ der höchste Exponent und somit sogenannter Grad der Funktion und
    • $a_n\neq 0$ der Koeffizient der Potenz in $x$ mit dem höchsten Exponenten.

    Bei einer ganzrationalen Funktion gibt es die folgenden Fälle:

    • Alle Exponenten sind gerade: die Funktion ist achsensymmetrisch.
    • Alle Exponenten sind ungerade: die Funktion ist punktsymmetrisch.
    • Ansonsten liegt keine der obigen Symmetrien vor.

    Der Graph der konstanten Funktion $f(x)=c$ mit einer Konstanten $c$ verläuft parallel zur x-Achse und ist somit symmetrisch zur y-Achse.

    Lösung

    Jeder Graph einer ganzrationalen Funktion, deren Funktionsterm ausschließlich gerade Exponenten hat, ist achsensymmetrisch. Jede ganzrationale Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten zur Basis $x$ ist punktsymmetrisch. Ansonsten liegt keine dieser beiden Symmetrien vor.

    Achsensymmetrisch sind somit die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen:

    • $f(x)=x^2+2$
    • $f(x)=(x+2)^2-4x=x^2+4x+4-4x=x^2+4$
    Punktsymmetrisch sind die Funktionsgraphen dieser Funktionen:

    • $f(x)=x^3+x$
    • $f(x)=3x$
    Bei allen übrigen Funktionen liegt keine der genannten Symmetrien vor.

    Es gibt allerdings auch noch Symmetrien zu Geraden, die zur y-Achse parallel sind, oder zu beliebigen Punkten im Koordinatensystem. Wie kannst du dir den ersten Fall vorstellen?

    Schauen wir uns das Beispiel der Funktion $f(x)=x^2$ an. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Durch Verschiebung erhält man einen anderen Graphen, beispielsweise $h(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4$.

    Dieser ist zwar nicht symmetrisch zur y-Achse, allerdings zur Geraden $x=2$, welche parallel zur y-Achse verläuft.