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Symmetrie einer Funktion 01:10 min

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Transkript Symmetrie einer Funktion

Eigenschaften von Funktionen mit einer veränderlichen Variablen 1. Symmetrie. Es gibt geradsymmetrische Funktionen und ungeradsymmetrische Funktionen. Eine Funktion heißt geradsymmetrisch, wenn f(-x)=f(x) für alle x Elemente des Definitionsbereichs gilt. Und ungeradsymmetrisch, wenn f(-x)=-f(x) für alle x Elemente des Definitionsbereichs gilt. Man nennt das auch punktsymmetrisch zum Ursprung. Gucken wir uns im Folgenden ein paar Beispiele dazu an. Erstes Beispiel: Die Betragsfunktion. Bei einer geradsymmetrischen Funktion müssen die y-Werte von z. B. x=2 und x=-2, also f(x) und f(-x), identisch sein. Die Funktion wird sozusagen an der y-Achse gespiegelt. Im Gegensatz dazu haben wir im Beispiel 2 f(x)=1/x eine Funktion, die symmetrisch zum Ursprung ist, also ungeradsymmetrisch.

4 Kommentare
  1. schlechte Erklärung und viel zu schnell

    Von Ivobrinke, vor fast 3 Jahren
  2. Leider zu kurz und ohne Erklärung.

    Von Jolana1949 1, vor mehr als 3 Jahren
  3. @Stoja Vogt:
    Bitte schau dir die folgenden Videos zur Kurvendiskussion an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kurvendiskussion-funktionsuntersuchung-beispiel-1-teil-1?topic=1042&back_button=1
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kurvendiskussion-funktionsuntersuchung-beispiel-2-teil-1?topic=1042&back_button=1

    Im Allgemeinen ist die Symmetrie bei Polynomen (Funktionen der Form „x hoch ... “) an den Potenzen der einzelnen Terme zu erkennen. Es gilt:
    (1) Wenn alle Exponenten gerade sind, dann ist die Funktion achsensymmetrisch (zur y-Achse).
    (2) Wenn alle Exponenten ungerade sind, dann ist die Funktion punktsymmetrisch (zum Ursprung).
    (3) Gibt es gerade und ungerade Potenzen, dann liegt keine Symmetrie vor.
    Ich hoffe, dass dir die Video und die Erklärung weiterhelfen.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  4. sorry aber dieses video hat mir überhaupt nicht geholfen , da ich die Formeln schon kannte, aber nicht weiß wie ich sie anwenden muss.

    Von Stoja Vogt, vor mehr als 4 Jahren

Symmetrie einer Funktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Symmetrie einer Funktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere gerade und ungerade Symmetrie.

    Tipps

    Symmetrie kann zu Achsen oder zu Punkten vorliegen.

    Du kannst dir Symmetrie wie eine Spiegelung vorstellen.

    Lösung

    Es werden die beiden folgenden Symmetrien unterschieden:

    • Eine Funktion heißt geradsymmetrisch, wenn für alle $x\in\mathbb{D}$ $f(-x)=f(x)$ gilt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Achsensymmetrie zur y-Achse.
    • Eine Funktion heißt ungeradsymmetrisch, wenn für alle $x\in\mathbb{D}$ $f(-x)=-f(x)$ gilt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Punktsymmetrie zum Ursprung.

  • Gib die Symmetrie der Funktion $f(x)=\frac1x$ an.

    Tipps
    • Eine Funktion heißt geradsymmetrisch, wenn für alle $x\in\mathbb{D}$ $f(-x)=f(x)$ gilt.
    • Eine Funktion heißt ungeradsymmetrisch, wenn für alle $x\in\mathbb{D}$ $f(-x)=-f(x)$ gilt.

    Geradsymmetrie wird auch als Symmetrie zur y-Achse bezeichnet.

    Ungeradsymmetrie wird auch als Punktsymmetrie bezeichnet. Weißt du zu welchem Punkt?

    Lösung

    Diese Funktion ist ungeradsymmetrisch, das heißt, dass für alle $x\in\mathbb{D}$ gilt $f(-x)=-f(x)$.

    Eine solche Symmetrie wird auch als Punktsymmetrie zum Ursprung bezeichnet.

    Wie kann dies nachgewiesen werden? Es gilt

    $\begin{align*} f(-x)&=\frac1{-x}\\ &=-\frac1x\\ &=-f(x). \end{align*}$

    Somit ist die Ungeradsymmetrie bewiesen.

  • Bestimme die Art der Symmetrie der Betragsfunktion.

    Tipps

    Eine Funktion heißt geradsymmetrisch, wenn für alle $x\in\mathbb{D}$ gilt, dass $f(-x)=f(x)$ ist.

    Geradsymmetrische Funktionen nennt man auch achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Lösung

    Eine andere Bezeichnung für gerade Symmetrie ist auch Achsensymmetrie zur y-Achse. Dass diese bei der Betragsfunktion $f(x)=|x|$ vorliegt, erkennt man an dem Graphen: Wenn der rechte Ast an der y-Achse gespiegelt wird, so erhält man den linken, und umgekehrt.

    Zum Beispiel ist $f(-2)=|-2|=2=|2|=f(2)$.

    Zum Nachweis der Symmetrie geht man wie folgt vor:

    $\begin{align*} f(-x)&=|-x|\\ &=|-1|\cdot |x|\\ &=|x|\\ &=f(x). \end{align*}$

    Somit ist bewiesen, dass die Betragsfunktion geradsymmetrisch ist.

  • Weise nach, dass alle Polynomfunktionen, welche nur gerade Exponenten haben, geradsymmetrisch sind.

    Tipps

    Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv.

    Dies ist der Verlauf der Normalparabel $x^2$.

    Lösung

    Zum Nachweis der Symmetrie wird zunächst allgemein eine Potenz mit geradem Exponenten betrachtet: $g(x)=x^{2k}$. Es gilt

    $\begin{align*} g(-x)&=(-x)^{2k}\\ &=\left((-x)^2\right)^k\\ &=\left(x^2\right)^k\\ &=x^{2k} = g(x) \end{align*}$

    Dabei wurde

    • zum einen verwendet, dass $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ ist und
    • zum anderen, dass das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist.
    1. Damit ist bewiesen, dass jede Potenz mit geradem Exponenten geradsymmetrisch ist.

    2. Jede konstante Funktion $h(x)=c$ ist geradsymmetrisch.

    3. Das Vielfache einer geradsymmetrischen Funktion ist auch wieder geradsymmetrisch: $r\cdot f(-x)=r \cdot (-f(x))=-r \cdot f(x)$.

    4. Die Summe zweier (oder mehrerer) geradsymmetrischer Funktionen ist auch geradsymmetrisch: $f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))$.

    Aus den Eigenschaften 1.-4. folgt, dass jede Polynomfunktion, welche nur gerade Exponenten besitzt, geradsymmetrisch ist.

    Ebenso kann nachgewiesen werden, dass jede Polynomfunktion, die nur ungerade Exponenten besitzt, ungeradsymmetrisch ist.

  • Entscheide, welche der Funktionen symmetrisch ist.

    Tipps

    Verwende die Definition der Symmetrie:

    • geradsymmetrisch: $f(-x)=f(x)$ und
    • ungeradsymmetrisch: $f(-x)=-f(x)$.

    • Geradsymmetrische Funktionen heißen auch symmetrisch zur y-Achse und
    • ungeradsymmetrische punktsymmetrisch zum Ursprung.

    Es ist eine Funktion dabei, die nicht symmetrisch ist.

    Lösung

    Die Symmetrie kann auch wie folgt zusammengefasst werden:

    $f(-x)= \begin{cases} f(x)& f \text{ ist geradsymmetrisch } \\ -f(x)& f \text{ ist ungeradsymmetrisch } \\ \text{sonst} & f \text{ ist nicht symmetrisch } \end{cases}$

    1. $f(x)=x^2-2$:

    $\begin{align*} f(-x)&=(-x)^2-2\\ &=x^2-2\\ &=f(x). \end{align*}$

    Diese Funktion ist geradsymmetrisch.

    2. $g(x)=\ln(x^2+1)$:

    $\begin{align*} g(-x)&=\ln((-x)^2+1)\\ &=\ln(x^2+1)\\ &=g(x). \end{align*}$

    Diese Funktion ist geradsymmetrisch.

    3. $h(x)=4x^3-4x$:

    $\begin{align*} h(-x)&=4(-x)^3-4(-x)\\ &=-4x^3+4x\\ &=-(4x^3-4x)\\ &=-h(x). \end{align*}$

    Diese Funktion ist ungeradsymmetrisch.

    4. $k(x)=x+2$:

    $k(-x)=-x+2$. Da dies jedoch weder $f(x)$ noch $f(-x)$ ist, ist diese Funktion nicht symmetrisch.

    5. $l(x)=x^3$:

    $\begin{align*} l(-x)&=(-x)^3\\ &=-x^3\\ &=-l(x). \end{align*}$

    Diese Funktion ist ungeradsymmetrisch.

    Man kann allgemein feststellen, dass

    • Polynome mit ausschließlich geraden Exponenten, inklusive des absoluten Gliedes, geradsymmetrisch,
    • und solche mit ausschließlich ungeraden Exponenten ungeradsymmetrisch sind.

  • Prüfe die Funktion $f(x)=x^3-1$ auf Symmetrie.

    Tipps

    Die Symmetrie kann auch wie folgt zusammengefasst werden:

    $f(-x)= \begin{cases} f(x)& f \text{ ist geradsymmetrisch } \\ -f(x)& f \text{ ist ungeradsymmetrisch } \\ \text{sonst} & f \text{ ist nicht symmetrisch } \end{cases}$

    Zeichne dir den Graphen der Funktion in ein x-y-Koordinatensystem.

    Die Funktion $g(x)=x^3$ ist ungeradsymmetrisch.

    Lösung

    • Eine Funktion heißt geradsymmetrisch, wenn für alle $x\in\mathbb{D}$ $f(-x)=f(x)$ gilt.
    • Eine Funktion heißt ungeradsymmetrisch, wenn für alle $x\in\mathbb{D}$ $f(-x)=-f(x)$ gilt.
    Das bedeutet, dass bei der Untersuchung auf Symmetrie $f(-x)$ betrachtet wird:

    $\begin{align*} f(-x)&=(-x)^3-1\\ &=-x^3-1. \end{align*}$.

    Nun gilt allerdings:

    • $f(x)=x^3-1\neq -x^3-1$ und
    • $-f(x)=-(x^3-1)=-x^3+1\neq -x^3-1$,
    also ist die Funktion weder gerad- noch ungeradsymmetrisch.