Summe und Produkt – Definition

Summe und Produkt – Definition Übung

• Ergänze die Erklärungen zu Termen, Produkten und Summen.

  Tipps

  Schaue dir diese Beispiele für Terme an:

  • $x$
  • $2+4$
  • $14-3\cdot y$

  Keine Terme sind übrigens:

  • $x+-4$
  • $3\cdot -4$

  Dies wären Terme, wenn du Klammern setzen würdest:

  • $x+(-4)$
  • $3 \cdot (-4)$

  $3\cdot2+4$ ist eine Summe, während $3\cdot (2+4)$ ein Produkt ist.

  Beachte die Rechenprioritäten: „Klammer geht vor Punkt, geht vor Strich.“

  Lösung

  Ein Term ist eine Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, die man ausrechnen kann. Terme sind zum Beispiel:

  • $x$
  • $2+4$
  • $14-3\cdot y$

  Keine Terme sind

  • $x+-4$
  • $3\cdot -4$

  Eine Summe ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Strichrechnung ist.

  Ein Produkt ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Punktrechnung ist.

• Gib an, welche Terme Summen, welche Produkte und welche weder das eine noch das andere sind.

  Tipps

  Sowohl eine Summe als auch ein Produkt sind Terme.

  Ein Term ist eine Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, die man ausrechnen kann: Bei Termen dürfen nicht zwei Rechenzeichen hintereinander folgen.

  Eine Summe ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Strichrechnung ist.

  Ein Produkt ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Punktrechnung ist.

  Schaue dir zum Beispiel $3\cdot 5-2$ an:

  • Was rechnest du zuerst? Punkt geht vor Strich, also $3\cdot 5=15$.
  • Nun kannst du die Differenz bilden $15-2=3$.

  Die letzte Rechnung ist eine Strichrechnung, also ist der obige Term eine Summe.

  Lösung

  Eine Summe ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Strichrechnung ist.

  Beispiele für Summen sind:

  • $6\cdot4+2$: Zuerst wird $6\cdot 4=24$ gerechnet und erst dann, also zuletzt, $24+2=26$. Die letzte Rechnung ist also eine Strichrechnung.
  • $2-6\cdot4$. Auch hier wird zuerst die Punktrechnung durchgeführt $6\cdot 4=24$ und zuletzt die Strichrechnung $2-24=-22$.

  Ein Produkt ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Punktrechnung ist.

  • $6\cdot(4+2)$: Hier muss zunächst die Klammer ausgerechnet werden: $4+2=6$ und zuletzt die Punktrechnung $6\cdot 6=36$ durchgeführt werden.
  • $2:(4+6)$: Auch bei diesem Beispiel wird zunächst die Klammer ausgerechnet: $4+6=10$ und dann dividiert: Dies ist also eine Punktrechnung: $2:10=\frac2{10}=\frac15$.

  Die beiden übrigen Ausdrücke sind keine Terme und können deshalb weder eine Summe noch ein Produkt sein.

• Entscheide, ob eine Summe oder ein Produkt vorliegen.

  Tipps

  Beachte die Rechenprioritäten:

  „Klammer geht vor Punkt geht vor Strich.“

  Achte auf die Schreibweise.

  Die jeweils letzte Rechenoperation gibt dem Term den Namen:

  • Strichrechnung: Summe
  • Punktrechnung: Produkt

  Etwas ungewohnt aber trotzdem richtig:

  • Auch eine Differenz $4-2$ ist eine Strichrechnung, wird also als Summe bezeichnet.
  • Auch ein Quotient $12:6$ ist eine Punktrechnung, wird also als Produkt bezeichnet.

  Lösung

  Dieser Term kann entsprechend der Rechenprioritäten Schritt für Schritt berechnet werden:

  1. Zuerst werden die Summen in den inneren Klammern $3+5=8$ sowie $4+2=6$ ausgerechnet.
  2. Dann werden die Produkte $2\cdot(3+5)=2\cdot 8=16$ sowie $(4+2)\cdot 4=6\cdot 4=24$ berechnet.
  3. Jetzt kann die Summe in der äußeren Klammer berechnet werden: $2\cdot(3+5)-(4+2)\cdot 4=16-24=-8$.
  4. Dieses Ergebnis wird mit $2$ multipliziert, also handelt es sich um ein Produkt: $(2\cdot(3+5)-(4+2)\cdot 4)\cdot 2=-8\cdot 2=-16$.
  5. Zuletzt wird die Summe $(2\cdot(3+5)-(4+2)\cdot 4)\cdot 2-5=-16-5=-21$ berechnet.

  Der gesamte Term ist also eine Summe, da die letzte Rechnung eine Strichrechnung ist.

• Erkläre, wie der Term vereinfacht werden kann.

  Tipps

  Wenn in einer Summe die Summanden einen gemeinsamen Faktor haben, kannst du diesen ausklammern:

  $ac+bc=(a+b)\cdot c$.

  Dies wird als Distributivgesetz bezeichnet.

  Zum Faktorisieren von Termen kannst du die binomischen Formeln verwenden:

  • erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Beachte, dass du nur Faktoren kürzen kannst.

  Lösung

  Wir schauen uns zunächst den Zähler $3x^3-3x$ an:

  • Zunächst kann man $3x$ ausklammern: $3x(x^2-1)$.
  • Mit der 3. binomischen Formel gilt: $x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)$.
  • Damit ist $3x^3-3x=3x\cdot(x+1)\cdot(x-1)$.

  Schauen wir uns dann den Nenner $2x+2$ an:

  • Hier kann die $2$ ausgeklammert werden zu $2x+2=2(x+1)$.

  Diese Eigenschaften der Terme können wir ausnutzen, indem wir $x+1$ ausklammern:

  $\frac{3x^3-3x}{2x+2}=\frac{3x\cdot(x+1)\cdot(x-1)}{2(x+1)}$

  und dann kürzen:

  $\frac{3x^3-3x}{2x+2}=\frac{3x\cdot(x+1)\cdot(x-1)}{2(x+1)}=\frac32\cdot x\cdot(x-1)$

  Dieser Term ist ein Produkt und kann nicht weiter vereinfacht werden.

• Beschreibe, wie die Lösungen der Gleichung $(x-2)\cdot(x+5)=0$ bestimmt werden können.

  Tipps

  Jeder der beiden Terme $x-2$ als auch $x+5$ ist eine Summe.

  Diese beiden Terme werden miteinander multipliziert.

  Ein Produkt ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Punktrechnung ist.

  Beachte: Wenn du eine Zahl oder einen Term mit $0$ multiplizierst, kommt $0$ heraus.

  Lösung

  Bei diesem Term werden zwei Klammerterme miteinander multipliziert. Das bedeutet, dass die letzte Rechnung eine Strichrechnung ist. Also ist dieser Term ein Produkt.

  Wenn dieser Term $0$ sein soll, erhält man die Gleichung $(x-2)\cdot(x+5)=0$.

  Es gilt die Merkregel: „Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.“ Dies gilt auch für mehr als zwei Faktoren.

  Es genügt, dass einer der beiden Faktoren $0$ ist.

  Dies führt zu den beiden Gleichungen

  • $x-2=0$ und nach Umformen $x=2$ oder
  • $x+5=0$ und nach Umformen $x=-5$.

  Übrigens: Der Term $(x-2)\cdot(x+5)$ liegt in sogenannter faktorisierter Form vor. Aber das ist eine andere Geschichte...

• Ermittle die Lösungen der Gleichung $x+1+2(x^2-1)=0$.

  Tipps

  Verwende die dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$.

  Beachte, dass $x+1=(x+1)\cdot 1$ ist.

  Du kannst in dem Term $x+1+2(x^2-1)$ den Faktor $x+1$ ausklammern.

  Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

  Lösung

  Um die Lösungen der Gleichung $x+1+2(x^2-1)=0$ zu bestimmen, kann man den Term auf der linken Seite faktorisieren:

  Wir verwenden die dritte binomische Formel: $x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$. Dann formen wir um:

  $\begin{array}{rcl} x+1+2(x^2-1)&=&x+1+2(x+1)\cdot(x-1)\\ &=&(1+2(x-1))\cdot (x+1)\\ &=&(1+2x-2)\cdot(x+1)\\ &=&(2x-1)\cdot(x+1) \end{array}$

  Somit lässt sich die Gleichung auch so schreiben:

  $(2x-1)\cdot(x+1)=0$.

  Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Also ist

  • entweder $2x-1=0$, was zu $x=\frac12=0,5$ führt,
  • oder $x+1=0$, was zu $x=-1$ führt.