Summe und Produkt – Definition

Grundlagen zum Thema Summe und Produkt – Definition
Weil Terme, die Summen sind, anders umgeformt werden als Terme, die Produkte sind, ist es gut, von jedem Term beurteilen zu können, ob dieser eine Summe oder ein Produkt ist. Die Definition einer Summe lautet: Ein Term ist eine Summe, wenn die letzte Rechnung eine Strichrechnung ist. Die Definition eines Produktes lautet: Ein Term ist ein Produkt, wenn die letzte Rechnung eine Punktrechnung ist. In diesem Video kannst du Beispiele von Summen und Produkten sehen und du kannst auch Aufgaben sehen, bei denen du das brauchst.
Summe und Produkt – Definition Übung
-
Ergänze die Erklärungen zu Termen, Produkten und Summen.
TippsSchaue dir diese Beispiele für Terme an:
- $x$
- $2+4$
- $14-3\cdot y$
- $x+-4$
- $3\cdot -4$
- $x+(-4)$
- $3 \cdot (-4)$
$3\cdot2+4$ ist eine Summe, während $3\cdot (2+4)$ ein Produkt ist.
Beachte die Rechenprioritäten: „Klammer geht vor Punkt, geht vor Strich.“
LösungEin Term ist eine Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, die man ausrechnen kann. Terme sind zum Beispiel:
- $x$
- $2+4$
- $14-3\cdot y$
- $x+-4$
- $3\cdot -4$
Ein Produkt ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Punktrechnung ist.
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Gib an, welche Terme Summen, welche Produkte und welche weder das eine noch das andere sind.
TippsSowohl eine Summe als auch ein Produkt sind Terme.
Ein Term ist eine Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, die man ausrechnen kann: Bei Termen dürfen nicht zwei Rechenzeichen hintereinander folgen.
Eine Summe ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Strichrechnung ist.
Ein Produkt ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Punktrechnung ist.
Schaue dir zum Beispiel $3\cdot 5-2$ an:
- Was rechnest du zuerst? Punkt geht vor Strich, also $3\cdot 5=15$.
- Nun kannst du die Differenz bilden $15-2=3$.
LösungEine Summe ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Strichrechnung ist.
Beispiele für Summen sind:
- $6\cdot4+2$: Zuerst wird $6\cdot 4=24$ gerechnet und erst dann, also zuletzt, $24+2=26$. Die letzte Rechnung ist also eine Strichrechnung.
- $2-6\cdot4$. Auch hier wird zuerst die Punktrechnung durchgeführt $6\cdot 4=24$ und zuletzt die Strichrechnung $2-24=-22$.
- $6\cdot(4+2)$: Hier muss zunächst die Klammer ausgerechnet werden: $4+2=6$ und zuletzt die Punktrechnung $6\cdot 6=36$ durchgeführt werden.
- $2:(4+6)$: Auch bei diesem Beispiel wird zunächst die Klammer ausgerechnet: $4+6=10$ und dann dividiert: Dies ist also eine Punktrechnung: $2:10=\frac2{10}=\frac15$.
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Entscheide, ob eine Summe oder ein Produkt vorliegen.
TippsBeachte die Rechenprioritäten:
„Klammer geht vor Punkt geht vor Strich.“
Achte auf die Schreibweise.
Die jeweils letzte Rechenoperation gibt dem Term den Namen:
- Strichrechnung: Summe
- Punktrechnung: Produkt
Etwas ungewohnt aber trotzdem richtig:
- Auch eine Differenz $4-2$ ist eine Strichrechnung, wird also als Summe bezeichnet.
- Auch ein Quotient $12:6$ ist eine Punktrechnung, wird also als Produkt bezeichnet.
LösungDieser Term kann entsprechend der Rechenprioritäten Schritt für Schritt berechnet werden:
- Zuerst werden die Summen in den inneren Klammern $3+5=8$ sowie $4+2=6$ ausgerechnet.
- Dann werden die Produkte $2\cdot(3+5)=2\cdot 8=16$ sowie $(4+2)\cdot 4=6\cdot 4=24$ berechnet.
- Jetzt kann die Summe in der äußeren Klammer berechnet werden: $2\cdot(3+5)-(4+2)\cdot 4=16-24=-8$.
- Dieses Ergebnis wird mit $2$ multipliziert, also handelt es sich um ein Produkt: $(2\cdot(3+5)-(4+2)\cdot 4)\cdot 2=-8\cdot 2=-16$.
- Zuletzt wird die Summe $(2\cdot(3+5)-(4+2)\cdot 4)\cdot 2-5=-16-5=-21$ berechnet.
-
Erkläre, wie der Term vereinfacht werden kann.
TippsWenn in einer Summe die Summanden einen gemeinsamen Faktor haben, kannst du diesen ausklammern:
$ac+bc=(a+b)\cdot c$.
Dies wird als Distributivgesetz bezeichnet.
Zum Faktorisieren von Termen kannst du die binomischen Formeln verwenden:
- erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Beachte, dass du nur Faktoren kürzen kannst.
LösungWir schauen uns zunächst den Zähler $3x^3-3x$ an:
- Zunächst kann man $3x$ ausklammern: $3x(x^2-1)$.
- Mit der 3. binomischen Formel gilt: $x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)$.
- Damit ist $3x^3-3x=3x\cdot(x+1)\cdot(x-1)$.
- Hier kann die $2$ ausgeklammert werden zu $2x+2=2(x+1)$.
$\frac{3x^3-3x}{2x+2}=\frac{3x\cdot(x+1)\cdot(x-1)}{2(x+1)}$
und dann kürzen:
$\frac{3x^3-3x}{2x+2}=\frac{3x\cdot(x+1)\cdot(x-1)}{2(x+1)}=\frac32\cdot x\cdot(x-1)$
Dieser Term ist ein Produkt und kann nicht weiter vereinfacht werden.
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Beschreibe, wie die Lösungen der Gleichung $(x-2)\cdot(x+5)=0$ bestimmt werden können.
TippsJeder der beiden Terme $x-2$ als auch $x+5$ ist eine Summe.
Diese beiden Terme werden miteinander multipliziert.
Ein Produkt ist ein Term, dessen letzte Rechnung eine Punktrechnung ist.
Beachte: Wenn du eine Zahl oder einen Term mit $0$ multiplizierst, kommt $0$ heraus.
LösungBei diesem Term werden zwei Klammerterme miteinander multipliziert. Das bedeutet, dass die letzte Rechnung eine Strichrechnung ist. Also ist dieser Term ein Produkt.
Wenn dieser Term $0$ sein soll, erhält man die Gleichung $(x-2)\cdot(x+5)=0$.
Es gilt die Merkregel: „Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.“ Dies gilt auch für mehr als zwei Faktoren.
Es genügt, dass einer der beiden Faktoren $0$ ist.
Dies führt zu den beiden Gleichungen
- $x-2=0$ und nach Umformen $x=2$ oder
- $x+5=0$ und nach Umformen $x=-5$.
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Ermittle die Lösungen der Gleichung $x+1+2(x^2-1)=0$.
TippsVerwende die dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$.
Beachte, dass $x+1=(x+1)\cdot 1$ ist.
Du kannst in dem Term $x+1+2(x^2-1)$ den Faktor $x+1$ ausklammern.
Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
LösungUm die Lösungen der Gleichung $x+1+2(x^2-1)=0$ zu bestimmen, kann man den Term auf der linken Seite faktorisieren:
Wir verwenden die dritte binomische Formel: $x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$. Dann formen wir um:
$\begin{array}{rcl} x+1+2(x^2-1)&=&x+1+2(x+1)\cdot(x-1)\\ &=&(1+2(x-1))\cdot (x+1)\\ &=&(1+2x-2)\cdot(x+1)\\ &=&(2x-1)\cdot(x+1) \end{array}$
Somit lässt sich die Gleichung auch so schreiben:
$(2x-1)\cdot(x+1)=0$.
Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Also ist
- entweder $2x-1=0$, was zu $x=\frac12=0,5$ führt,
- oder $x+1=0$, was zu $x=-1$ führt.

Terme aufstellen und berechnen

Terme aufstellen und berechnen (Übungsvideo)

Aus gegebenen Daten Terme aufstellen und berechnen

Terme aufstellen – Anwendung

Schlüsselwörter für Addition und Subtraktion

Summe und Produkt – Definition

Terme aufstellen – Anwendungsaufgabe

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11 Kommentare
wunder bar das Video hat mich weiter gebracht
Er hat alles sehr gut gemacht
Superduper Video. mein Aplaus
Hallo Batiahe17,
wenn wir ausklammern, erhalten wir den Inhalt der Klammer, indem wir die ursprünglichen Summanden durch den Faktor teilen, den wir ausklammern:
Wir klammern -3 aus und teilen -42ab durch -3, was 14ab ergibt, weil: "minus geteilt durch minus ergibt plus". Nun teilen wir die 3 noch durch -3, was -1 ergibt, weil: "plus geteilt durch minus ergibt minus".
Wenn du die Klammer wieder ausmultiplizierst, wirst du sehen, dass genau das herauskommt, was vor dem Ausklammern da stand.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Wie kommt er auf die -1 bei Minute 6