Quotientenregel – Einführung
Die Quotientenregel ist eine Ableitungsregel in der Mathematik, die es ermöglicht, die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, die als Quotient zweier Funktionen dargestellt ist. Die Regel besagt, dass die Ableitung des Quotienten gleich dem Zähler mal Ableitung des Nenners minus Nenner mal Ableitung des Zählers, geteilt durch das Quadrat des Nenners, ist. Lerne, wie du diese Regel anwenden kannst!
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Grundlagen zum Thema Quotientenregel – Einführung
Quotientenregel einfach erklärt
In der Mathematik und in den Naturwissenschaften spielt das Ableiten von Funktionen eine wichtige Rolle, denn anhand der Ableitung einer Funktion kann man ihre Steigung und spezielle Punkte ermitteln. Du kennst sicher schon Methoden, mit denen man einfache Funktionen ableiten kann, indem man zum Beispiel die Potenzregel anwendet:
$\bigl( x^{n} \bigr)^\prime = n \cdot x^{n-1}$
Aber wie kann man die Ableitung der folgenden Funktion bestimmen?
$\left( \dfrac{x}{x+1} \right)^\prime = ~?$
Um diese Funktion abzuleiten, kannst du die Quotientenregel benutzen.
Die Quotientenregel ist eine Regel, nach der Funktionen abgeleitet werden, deren Funktionsterme ein Quotient von Funktionen ist. Sie lautet:
$\quad \left( \dfrac{u(x)}{v(x)} \right)^\prime = \dfrac{u^\prime(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v^\prime(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}$
Hinweis: Die Quotientenregel ist eine Regel, die sich aus der Definition der momentanen Änderungsrate ergibt.
Dabei müssen die Terme $u(x)$ und $v(x)$ differenzierbar sein. Dann ist auch $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ differenzierbar. Außerdem muss natürlich für alle $x$ gelten: $v(x) \neq 0$. Wir dürfen ja nicht durch $0$ dividieren.
Der Zähler $u(x)$ und der Nenner $v(x)$ werden jeweils als Funktion aufgefasst und einzeln abgeleitet. Anschließend müssen die Funktionen und ihre Ableitungen nur eingesetzt werden, um die Ableitung des Quotienten zu erhalten.
Wir können die Quotientenregel auch vereinfacht schreiben:
$\quad f = \dfrac{u}{v} \quad \implies \quad f^\prime = \dfrac{u^\prime \cdot v - u \cdot v^\prime}{v^2}$
Im Gegensatz zur Produktregel kommt es bei der Quotientenregel im Zähler auf die Reihenfolge der Terme an. Die Subtraktion ist nämlich nicht kommutativ.
Fehleralarm
Ein wiederkehrender Fehler ist, bei der Anwendung der Quotientenregel den Nenner und Zähler zu vertauschen. Die richtige Reihenfolge ist wichtig, um korrekte Ergebnisse zu erzielen.
Zum Glück gibt es eine Merkregel, mit der du dir die korrekte Reihenfolge ganz einfach merken kannst.
Quotientenregel – Merkregel
Bei der Quotientenregel rechnest du:
NAZ minus ZAN durch Nenner im Quadrat.
Im Zähler der Ableitung steht also Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Anschließend teilst du noch durch das Quadrat des Nenners.
Hier siehst du die entsprechenden Bestandteile der Formel auch noch einmal farbig markiert.
Quotientenregel – Herleitung
Mithilfe des Differenzialquotienten kannst du die Quotientenregel herleiten. Sie ergibt sich aber auch aus der Produktregel. Um dies nachzuvollziehen, verwenden wir im Folgenden die vereinfachte Schreibweise $u(x)=u$ und $v(x)=v$. Dann schreiben wir den Quotienten als Produkt:
$f(x)= \dfrac{u}{v}= u \cdot v^{-1}$
Wir haben lediglich ausgenutzt, dass wir anstelle von $\frac1{v}$ auch $v^{-1}$ schreiben können. Das hat den Vorteil, dass wir nun die Produktregel anwenden können. Dabei verwenden wir bei der Ableitung von $v^{-1}$ die Kettenregel:
$f'(x) = u' \cdot v^{-1} + u \cdot (-1 \cdot v^{-2} \cdot v')$
Den Term können wir durch Ausmultiplizieren vereinfachen:
$f'(x) = u' \cdot v^{-1} - u \cdot v^{-2} \cdot v'$
Nun formen wir die negativen Exponenten wieder in die Bruchschreibweise um:
$f'(x) = \dfrac{u'}{v} - \dfrac{u \cdot v'}{v^2}$
Zuletzt erweitern wir den linken Bruch mit $v$ und fassen die beiden Brüche unter demselben Nenner zusammen:
$f'(x) = \dfrac{u' \cdot v}{v^2} - \dfrac{u \cdot v'}{v^2} = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
Nun haben wir die Quotientenregel hergeleitet.
Quotientenregel – Anwendung und Beispiele
Die Anwendung der Quotientenregel wollen wir im Folgenden an einigen Beispielen verdeutlichen.
Beispiel 1: Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion
Wir wollen mithilfe der Quotientenregel die Ableitung der Beispielfunktion von oben berechnen:
$\left( \dfrac{x}{x+1} \right)^\prime = ~?$
Um die Regel anwenden zu können, müssen wir zunächst $u(x)$ und $v(x)$ identifizieren und ableiten. Wir beginnen mit dem Zähler:
$u(x) = x \quad \rightarrow \quad u^\prime(x) = 1$
Anschließend berechnen wir die Ableitung des Nenners:
$v(x) = x+1 \quad \rightarrow \quad v^\prime(x) = 1$
Jetzt setzen wir die Funktionen und ihre Ableitungen gemäß der Quotientenregel ein:
$\left( \dfrac{x}{x+1} \right)^\prime = \dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^{2}} = \dfrac{1}{(x+1)^{2}}$
Im letzten Schritt haben wir den Term noch zusammengefasst.
Beispiel 2: Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion
Als zweites Beispiel betrachten wir die folgende Funktion:
$\left( \dfrac{3-x}{3+x} \right)^\prime = ~?$
Wir beginnen wieder, indem wir Zähler und Nenner separat ableiten:
$u(x) = 3-x \quad \rightarrow \quad u^\prime(x) = -1$
$v(x) = 3+x \quad \rightarrow \quad v^\prime(x) = 1$
Anschließend setzen wir die Funktionen und ihre Ableitungen gemäß der Quotientenregel ein:
$\left( \dfrac{3-x}{3+x} \right)^\prime = \dfrac{-1 \cdot (3+x) - (3-x) \cdot 1}{(3+x)^{2}} = \dfrac{-6}{(3+x)^{2}} $
Beispiel 3: Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion
Wir wollen eine weitere gebrochenrationale Funktion $f(x)=\frac{2}{x^2}$ ableiten. Dazu bestimmen wir zunächst die beiden Funktion $u(x)=2$ und $v(x) = x^2$. Führen wir die Quotientenregel einmal ausführlich durch:
$ f'(x) = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \dfrac{(2)' \cdot x^2 - 2 \cdot (x^2)'}{\bigl(x^2\bigr)^2}$
Der erste Term im Zähler fällt weg, weil die Ableitung einer Konstanten $0$ ist:
$f'(x) = \dfrac{0-2 \cdot 2 \cdot x}{x^4} = -\dfrac{4}{x^3}$
Beispiel 4: Ableitung einer Tangensfunktion
Auch die Tangensfunktion kann durch die Quotientenregel abgeleitet werden, da sie durch einen Quotienten definiert ist:
$f(x) = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$
Wir verwenden also $u(x)= \sin(x)$ und $v(x)= \cos(x)$. Dann ergibt sich:
$ f'(x) = \dfrac{ \cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
Schlaue Idee
An dieser Stelle macht es Sinn, den trigonometrischen Satz des Pythagoras ${\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1}$ anzuwenden. Der vereinfacht hier unseren Ausdruck. Manchmal braucht man einfach ein Ass im Ärmel!
Damit erhalten wir:
$ f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}$
Hinweis: Alternativ kann die Ableitung durch Zerlegen in zwei Brüche auch in $\bigl(\tan(x)\bigr)^\prime = 1 + \tan^2(x)$ umgeformt werden.
Weitere Ableitungsregeln
Neben der Quotientenregel gibt es noch einige weitere Ableitungsregeln. Bei komplexen Funktionen müssen zum Teil auch mehrere Regeln kombiniert werden, um die Ableitung zu bilden.
Hier findest du eine Übersicht zu den wichtigsten Ableitungsregeln:
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Faktorregel | $k \cdot f(x)$ | $k \cdot f^\prime(x)$ |
| Summenregel | $f(x) + g(x)$ | $f^\prime(x) + g^\prime(x)$ |
| Potenzregel | $x^n$ | $n \cdot x^{n~-~1}$ |
| Produktregel | $f(x) \cdot g(x)$ | $f^\prime(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^\prime(x)$ |
| Quotientenregel | $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ | $\dfrac{f^\prime(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^\prime(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}$ |
| Kettenregel | $f\bigl(g(x)\bigr)$ | $f^\prime \bigl(g(x) \bigr) \cdot g^\prime(x)$ |
Hinweis: Anstelle der Quotientenregel kann die Ableitung auch mit der Produktregel bestimmt werden, wenn der Funktionsterm zuvor mithilfe der Potenzgesetze als Produkt geschrieben wird.
Quotientenregel – weitere Aufgaben
Ausblick – das lernst du nach Quotientenregel – Einführung
Bereit für mehr herausfordernde Themen? Dann entdecke die eulersche Zahl $e$ und die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung, die weitere wichtige Aspekte der Differentialrechnung behandeln.
Quotientenregel – Zusammenfassung
- Funktionen, deren Term ein Quotient aus Funktionen ist, werden mit der Quotientenregel abgeleitet.
- Eine solche Funktion schreiben wir als $f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$. Dabei muss gelten: $v(x) \neq 0$.
- Die Ableitung lautet dann nach der Quotientenregel:
$f^\prime(x) = \dfrac{u^\prime(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v^\prime(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Quotientenregel
Transkript Quotientenregel – Einführung
Endlich schulfrei, du zockst ne Runde und du hast einen Lauf!
Level für Level – gar kein Problem!
Aber dann kommt dieser eine Endgegner, den du einfach nicht geknackt kriegst.
Das kann ganz schön frustrierend sein.
Bei der „Quotientenregel“ beißt sich auch so manch einer die Zähne aus. Um das Aggressionspotenzial nicht zu groß werden zu lassen, solltest du dir kurz dieses Video gönnen.
Die Quotientenregel kann man durchaus als Endgegner der Ableitungsregeln bezeichnen.
Aber mit dem richtigen Ansatz kriegen wir auch diesen Brocken aus dem Weg geräumt - versprochen!
Zunächst sollten wir uns klar machen, bei welcher Art von Funktionen die Regel zum Einsatz kommt.
Wie der Name schon vermuten lässt – bei Quotienten!
Und das wiederum heißt: Es geht um Brüche, die wir ableiten wollen!
Und zwar um Brüche bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner jeweils ein Funktionsterm steht, der ein x enthält.
Wenn wir dann den Zähler „u von x“, und den Nenner „v von x“ nennen, lautet die Ableitung nach der Quotientenregel:
„f-Strich“ gleich „u-Strich mal v
minus u mal v-Strich“
und das Ganze teilen wir noch durch „v von x zum Quadrat“.
Wie diese Formel zustande kommt, kann man sich mit der Produkt- und Kettenregel herleiten.
Das müssen wir an dieser Stelle nicht weiter vertiefen.
Die Produktregel kann uns aber trotzdem dabei helfen, die Quotientenregel einzuprägen.
Denn wenn wir uns den Zähler in der Quotientenregel mal genau anschauen, sehen wir, dass da eigentlich die Produktregel steht.
Wir müssen nur das Plus durch ein Minus ersetzen.
So betrachtet ist die Quotientenregel praktisch die große Schwester der Produktregel.
Natürlich sollten wir das ganze mal an einem Beispiel durchrechnen.
Also gut:
Wir schnappen uns zuerst den Zähler und leiten ihn ab.
Außerdem brauchen wir die Ableitung des Nenners.
Jetzt müssen wir die Ableitungsfunktion nur noch zusammensetzen.
„U-Strich mal v“ minus „u mal v-Strich“.
Und das Ganze dann geteilt durch „v von x“ zum Quadrat.
Dabei immer darauf achten, Klammern zu setzen, wenn wir Summen beziehungsweise Differenzen einfügen.
Sonst würde die „Punkt-vor-Strich-Rechnung“ gelten. Wir wollen aber jeweils den ganzen Term multiplizieren.
Schon haben wir die Ableitungsfunktion!
So, um unseren Pflichten als gewissenhafte Mathematiker*innen gerecht zu werden, möchten wir diesen Bruch natürlich noch vereinfachen.
Das macht uns dann auch die Arbeit leichter, wenn wir mit dem Term weiterrechnen. Zum Beispiel wenn wir ihn nochmal ableiten möchten.
Vorsicht! Da im Zähler eine Differenz steht, können wir „drei minus x Quadrat“ nicht einfach kürzen.
Wir können stattdessen den Zähler vereinfachen, indem wir ausmultiplizieren, und zusammenfassen.
So sieht das doch schon viel schöner aus!
Ein Beispiel schauen wir uns noch an. Übung macht den Meister!
„e hoch x“ durch „Sinus von x“? Das wirkt eher kompliziert!
Ist es aber gar nicht. Wir müssen uns nur daran erinnern, dass „e hoch x“ abgeleitet „e hoch x“ bleibt und die Ableitung des Sinus der Cosinus ist.
Dann bauen wir die Ableitung einfach wieder nach der Quotientenregel zusammen.
Wir haben also „e hoch x mal Sinus von x“ minus „e hoch x mal Cosinus von x“ durch „Sinus von x zum Quadrat“.
Wir können im Zähler noch das „e hoch x“ ausklammern und schon sind wir fertig!
Friss das, Funktion!
Bevor wir übermütig werden, fassen wir die wichtigsten Infos zum Ableiten von Quotienten nochmal ganz ruhig zusammen.
Wenn wir vor einer Funktion sitzen, die sich aus einem Bruch zusammensetzt und sowohl im Zähler als auch im Nenner mindestens ein x enthält,
können wir diese mit der Quotientenregel ableiten.
Diese erinnert uns stark an die Produktregel!
Nur, dass wir im Zähler ein Minus anstelle eines Plus haben und noch durch „v von x hoch zwei“ teilen müssen.
Bei der Anwendung der Quotientenregel immer darauf achten, längere Terme, die wir einsetzen, in Klammern zu setzen.
Und beim Kürzen aufpassen! Das ist im Normalfall nicht ohne weiteres möglich.
Meistens können wir aber den Zähler noch vereinfachen.
Und dann können uns auch Quotienten, wie dieser finstere Geselle hier, nicht mehr die Laune verderben.
Problem abgeleitet.
Quotientenregel – Einführung Übung
-
Beschreibe, wie die Quotientenregel angewendet wird.
TippsBeispiel:
Der Zähler der Quotientenregel entspricht der Produktregel, nur dass subtrahiert und nicht addiert wird.
LösungDie Quotientenregel wird zum Ableiten von Funktionen verwendet, die einen Quotienten enthalten. Meistens wird dieser Quotient als Bruch dargestellt:
$f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
Die Ableitung lautet dann:
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
Der Zähler der Quotientenregel entspricht dabei der Produktregel, nur dass subtrahiert und nicht addiert wird.
Bei der Anwendung der Quotientenregel ist folgendes zu beachten:
- Es sind Klammern zu setzen, wenn wir Summen beziehungsweise Differenzen als Faktoren einfügen, da die "Punkt-vor-Strich-Regel" gilt.
- Der Zähler kann meist noch vereinfacht werden.
Folgende Aussagen sind somit korrekt:
Um die Quotientenregel anzuwenden, müssen wir die Ableitung des Zählers und die Ableitung des Nenners bilden.
Da im Zähler $u'(x)$ und $v'(x)$ vorkommt, müssen wir diese Ableitungen bestimmen, um sie in die Formel einsetzen zu können.Ist der Zähler oder Nenner der abzuleitenden Funktion eine Summe oder Differenz, so sind im Zähler der Ableitung Klammern zu setzen.
Da die "Punkt-vor-Strich-Regel" gilt, müssen bei den Produkten im Nenner die Faktoren, deren Term eine Summe oder Differenz ist, in Klammern gesetzt werden.Folgende Aussagen sind falsch:
Im Zähler steht bei der Quotientenregel der Term $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
Dies ist die Produktregel. Im Zähler der Quotientenregel steht jedoch eine Differenz: $u'(x)v(x)-u(x)v'(x)$Am Ende kann der Bruch meist noch gekürzt werden.
Da im Zähler eine Differenz steht, kann in der Regel nicht gekürzt werden, wir können jedoch meist noch den Zähler zusammenfassen. -
Bestimme die Ableitung der Funktion mithilfe der Quotientenregel.
Tipps$v(x)=\sin x$
$v'(x)=\cos x$
Achte darauf im Nenner zu quadrieren.
Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung:
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
LösungBei der gegebenen Funktion
$f(x)=\dfrac{e^x}{\sin x}$
handelt es sich um einen Quotienten, der hier als Bruch dargestellt ist. Zum Ableiten können wir daher die Quotientenregel verwenden.
Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
In unserem Fall gilt:
- $u(x)=e^x$
- $v(x)=\sin x$
- $u'(x)=e^x$
- $v'(x)=\cos x$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{e^x \cdot \sin x - e^x \cdot \cos x }{(\sin x)^2} = \dfrac{e^x \cdot (\sin x - \cos x)}{(\sin x)^2}$
-
Ermittle die Ableitungen der Funktionen.
TippsMit der Quotientenregel können wir Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ ableiten.
Beispiel:
LösungDie Quotientenregel lautet:
$f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
Wir ordnen zunächst $u(x)$ und $v(x)$ zu und bestimmen deren Ableitungen. Anschließend setzen wir in die Formel ein:
Aufgabe 1: $\quad f(x)= \dfrac{3x^2+5}{\cos x}$
$\begin{array}{lcl} u(x)= 3x^2+5 & \quad & u'(x)= 6x \\ v(x)= \cos x & \quad & v'(x)= - \sin x \end{array}$
$f'(x)= \dfrac{6x( \cos x )- (3x^2+5) (-\sin x)}{(\cos x)^2}$
Aufgabe 2: $\quad f(x)= \dfrac{\cos x}{3x^2+5}$
$\begin{array}{lcl} u(x)= \cos x & \quad & u'(x)=- \sin x \\ v(x)= 3x^2+5 & \quad & v'(x)= 6x \end{array}$
$f'(x)= \dfrac{(- \sin x )\cdot (3x^2+5) -( \cos x )\cdot 6x}{(3x^2+5)^2}$
-
Ordne die Funktionen ihren Ableitungen zu.
TippsBestimme zunächst die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Achte beim Einsetzen in die Formel darauf, Klammern zu setzen.
LösungUm die Ableitungen der Funktionen zu bestimmen, wenden wir die Quotientenregel an:
Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
Dazu bestimmen wir jeweils zuerst die Ableitung des Zählers und des Nenners und setzen dann in die Formel ein. Dabei müssen wir bei der Multiplikation mit einer Summe bzw. einer Differenz aufgrund der Punkt-vor-Strich-Regel Klammern setzen. Zuletzt können wir noch den Zähler zusammenfassen:
Erste Funktion: $f(x)= \dfrac{x^2}{2x+1}$
$\begin{array}{lcl} u(x)= x^2 & \quad & u'(x)=2x \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$
$f'(x)=\dfrac{2x(2x+1)-x^2 \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x-2x^2}{(2x+1)^2}= \dfrac{2x^2+2x}{(2x+1)^2}$
Zweite Funktion: $f(x)= \dfrac{x^2+4x}{2x+1}$
$\begin{array}{lcl} u(x)= x^2+4x & \quad & u'(x)=2x+4 \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$
$f'(x)= \dfrac{(2x+4)(2x+1)-(x^2+4x) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x+8x+4-2x^2-8x}{(2x+1)^2} = \dfrac{2x^2+2x+4}{(2x+1)^2}$
Dritte Funktion: $f(x)= \dfrac{4x}{2x+1}$
$\begin{array}{lcl} u(x)= 4x & \quad & u'(x)=4 \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$
$f'(x)= \dfrac{4(2x+1)-4x \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{8x+4-8x}{(2x+1)^2} = \dfrac{4}{(2x+1)^2}$
Vierte Funktion: $f(x)= \dfrac{x^2+2}{2x+1}$
$\begin{array}{lcl} u(x)= x^2+2 & \quad & u'(x)=2x \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$
$f'(x)= \dfrac{2x(2x+1)-(x^2+2) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x-2x^2-4}{(2x+1)^2}= \dfrac{2x^2+2x-4}{(2x+1)^2}$
-
Gib an, welche Funktionen mit der Quotientenregel abgeleitet werden.
Tipps$f(x)=\dfrac{\cos(x)+1}{5} = \dfrac{1}{5} \cdot (\cos(x) + 1)$
Hier wird die Quotientenregel nicht angewendet.
Die Quotientenregel wird zum Ableiten von Funktionen verwendet, bei denen die Variable $x$ im Zähler und im Nenner des Funktionsterms vorkommt.
Fasse den Funktionsterm, wenn möglich, erst noch zusammen.
LösungDie Quotientenregel wird zum Ableiten von Funktionen verwendet, die einen Quotienten enthalten. Meistens wird dieser Quotient als Bruch dargestellt:
$f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
Wichtig ist dabei, dass sowohl im Zähler, als auch im Nenner ein Funktionsterm steht, der ein $x$ enthält.
Bei folgenden Funktionen wird somit die Quotientenregel angewendet:
$f(x)=\dfrac{\sin(x)+1}{2x}$
$f(x)=\dfrac{2x-1}{3-x^2}$
$f(x)=\dfrac{e^x}{\sin(x)}$
Bei folgenden Funktionen wird die Quotientenregel nicht angewendet:
$f(x)=x^2 \quad \rightarrow$ Der Funktionsterm ist kein Bruch.
$f(x)=\dfrac{4x-1}{2} \quad \rightarrow$ Im Nenner kommt kein $x$ vor.
$f(x)=\dfrac{3x^2-x}{5x-3+1-x-4x}=\dfrac{3x^2-x}{-2} \quad \rightarrow$ Wir können den Nenner so zusammenfassen, dass kein $x$ mehr vorkommt.
-
Bestimme die zweiten Ableitungen $f''(x)$ und $g''(x)$.
TippsBestimme zuerst die erste Ableitung mithilfe der Quotientenregel und leite diese dann erneut ab, um die zweite Ableitung zu erhalten.
$\dfrac{1}{(e^x)^2} = \dfrac{1}{e^{2x}}$
$\dfrac{e^x-xe^x}{e^{2x}} = e^{-x} - \dfrac{x}{e^x}$
LösungUm die zweite Ableitung einer Funktion zu bestimmen, bilden wir zuerst die erste Ableitung und leiten diese dann noch einmal ab.
Dabei verwenden wir die Quotientenregel:
Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
Wir betrachten die gegebenen Funktionen:
Erste Funktion: $f(x)= \dfrac{x}{e^x}$
$u(x)=x \quad u'(x)=1$
$v(x)= e^x \quad v'(x)=e^x$$\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \dfrac{e^x-xe^x}{(e^x)^2} = \dfrac{e^x}{(e^x)^2} - \dfrac{xe^x}{(e^x)^2} \\ &= \dfrac{1}{e^x} - \dfrac{x}{e^x} = e^{-x} - \dfrac{x}{e^x} \end{array}$
Wir bilden die erste Ableitung entsprechend der Quotientenregel. Indem wir den Bruch als Differenz zweier Brüche schreiben, können wir in diesem Fall die entstandenen Terme mithilfe der Potenzregeln kürzen.
$f''(x)= -e^{-x} - f'(x) = -e^{-x} - (e^{-x} - \dfrac{x}{e^x}) = -2e^{-x} + \dfrac{x}{e^x}$
Wir können die Summanden entsprechend der Summenregel einzeln ableiten. Der zweite Summand $\dfrac{x}{e^x}$ entspricht dem Funktionsterm von $f(x)$, daher können wir die Ableitung $f'(x)$ einsetzen.Zweite Funktion: $g(x)= \dfrac{x+1}{e^x}$
$u(x)=x+1 \quad u'(x)=1$
$v(x)= e^x \quad v'(x)=e^x$$\begin{array}{ll} g'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{1 \cdot e^x - (x+1) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \dfrac{e^x-xe^x-e^x}{(e^x)^2} \\ &= \dfrac{-xe^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{x}{e^x} \end{array}$
Wir bilden die erste Ableitung entsprechend der Quotientenregel. Wir fassen den Zähler zusammen und kürzen mit $e^x$.
$u(x)=x \quad u'(x)=1$
$v(x)= e^x \quad v'(x)=e^x$$\begin{array}{ll} g''(x) &=-\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = -\dfrac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{e^x-xe^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{e^x}{(e^x)^2} + \dfrac{xe^x}{(e^x)^2} \\ &= -\dfrac{1}{e^x} + \dfrac{x}{e^x} = -e^{-x} + \dfrac{x}{e^x} \end{array}$
Die erste Ableitung ist gleich $- f(x)$. Wir bilden also die zweite Ableitung entsprechend der ersten Ableitung von $f(x)$ und erhalten $-f'(x)$.
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