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Quotientenregel – Herleitung und Beispiel

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Quotientenregel – Herleitung und Beispiel
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Quotientenregel – Herleitung und Beispiel

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Brüche mit der Quotientenregel abzuleiten.

Zunächst lernst du, wann du die Quotientenregel anwenden musst. Anschließend lernst du die Formel kennen und einen Trick wie du sie dir merken kannst. Abschließend erfährst du, worauf du beim Anwenden der Quotientenregel achten musst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Quotient, Ableitung, Quotientenregel und Produktregel, verkettete Funktion und Kettenregel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Produktregel kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Ableitungen haben.

Transkript Quotientenregel – Herleitung und Beispiel

Hi, mit der Quotientenregel leiden wir Quotienten ab. Oder wie Martin sagen würde. Wir leiten Funktionen ab, deren Funktionsterme Quotienten sind oder solche enthalten. Wir schauen uns zunächst die Regel an, leiten sie dann kurz her und sehen dann, wie sie angewendet wird. Die Quotientenregel lautet: Die Ableitung von u(x)/v(x) = u‘(x)v(x) – u(x)v‘(x)/v²(x). Wir können diese Ableitungsregel herleiten, indem wir diesen Quotienten etwas anders hinschreiben und dann die Ableitungsregeln verwenden, die wir ohnehin schon kennen. Wir wollen u(x)/v(x) anders hinschreiben. Wir können schreiben u(x)1/v(x). Und das ist gleich u(x)(v(x))-1. So und was haben wir jetzt davon? Wir können diese Funktion nach der Produktregel ableiten. Denn dieser Term hier besteht aus zwei Faktoren. Der zweite Faktor ist eine verkettete Funktion. Deshalb können wir die Kettenregel anwenden. Wir haben v(x) als innere Funktion und hoch -1 als äußere Funktion. Diese äußere Funktion können wir nach der Potenzregel ableiten. Denn für n können wir auch -1 einsetzen. So, dann geht es los. Wir wollen u(x)v-1(x) ableiten. Das kann man auch so schreiben. Da spart man ein bisschen Klammern. Also, das soll eine Ableitung werden. Und wir verwenden zunächst die Produktregel. Wir schreiben die Ableitung des ersten Faktors hin. Das ist u‘(x). Und wir schreiben den zweiten Faktor hin. Das ist 1/v(x). Also kommt v(x) in den Nenner. Dann geht es weiter mit dem ersten Faktor. Bei uns also u(x). Und den multiplizieren wir mit der Ableitung des zweiten Faktors. Also mit der Ableitung von (v(x))-1. Dazu brauchen wir die Kettenregel. Da haben wir jetzt die Ableitung der inneren Funktion, bei uns also v‘(x) mal die Ableitung der äußeren Funktion. Also bei uns hoch -1. Und das machen wir mit der Potenzregel. Und da brauchen wir jetzt mal eine Nebenrechnung. Wenn wir x-1 ableiten wollen, dann machen wir das mit dieser Regel. Wir setzen für n einfach mal stumpf -1 ein und erhalten dann -1x^-1-1. Das ist gleich -x-2. Und das ist gleich nach dem Potenzgesetz 1/-x². In unserem Fall ist jetzt x = v(x). Also können wir einfach -v²(x) in den Nenner schreiben. Mathematisch gesehen sind wir fertig. Denn wir haben hier die Ableitung dieses Quotienten stehen. Wir können das Ganze aber noch etwas gefälliger aufschreiben. Und das geht so: Wir können den ersten Summanden hier mit v(x) erweitern. Dann erhalten wir u‘(x)v(x)/v²(x). Dieses Minuszeichen können wir direkt vor den Bruchstrich schreiben und erhalten dann – (u(x)v‘(x)/v²(x)). Wir können das jetzt noch auf einen Bruchstrich schreiben. Und dann haben wir u‘(x)v(x) - u(x)v‘(x)/v²(x). Und das ist gleich der Ableitung von u(x)/v(x). Und damit ist unsere Quotientenregel komplett. Wir können unsere schöne Quotientenregel jetzt zum Beispiel auf diese Funktion anwenden. Wir haben f(x) = x/x+1. Bevor wir ableiten, überlegen wir uns aber erst, welchen Definitionsbereich wir haben. Diese Funktion ist dort nicht definiert, wo der Nenner gleich 0 ist. Und das ist bei -1 der Fall. Also ist unser Definitionsbereich gleich ℝ ohne die Menge, die die Zahl -1 enthält. Jetzt können wir ableiten. Und da haben wir zunächst mal einen Bruchstrich. Ableitung von u ist 1. Wir schreiben v(x) ab. Das ist also x+1. Kann man nicht vergessen, weil wir ja hier als Ganzes multiplizieren. Minus obere Funktion x mal Ableitung der unteren Funktion. Und die Ableitung von x+1 ist 1. Im Nenner haben wir die Nennerfunktion zum Quadrat. Und das kann man noch einfacher hinschreiben. Einmal x ist x. Einmal 1 ist 1. Minus x ist dann im Ganzen 1. Und der Nenner bleibt, wie er ist: (x+1)². So, nächstes Beispiel. Wir haben f(x) = 3-x/3+x. Wir kümmern uns zunächst um den Definitionsbereich. Diese Funktion ist dort nicht definiert, wo der Nenner gleich 0 wird. Und deshalb haben wir einen Definitionsbereich D, der aus allen reellen Zahlen besteht mit Ausnahme der Zahl -3. Wir können jetzt die Quotientenregel anwenden. Also haben wir f‘(x) gleich: Ableitung von 3-x ist -1. Nennerfunktion abschreiben. Minus Zählerfunktion. Auch einfach abschreiben. 3-x mal Ableitung der Nennerfunktion. Diese Ableitung ist gleich 1. Und unten haben wir die Nennerfunktion zum Quadrat. So und dann können wir noch was ausrechnen. -1*3 ist -3. -3 dazu ist -6. -x-(-x) ist 0. Insgesamt also haben wir -6 im Zähler stehen. Und der Nenner bleibt, wie er ist. Nämlich (3+x)². Die Quotientenregel ist die Ableitungsregel, welche meistens als letztes behandelt wird und am kompliziertesten wirkt. Beachtet man aber, dass eine gebrochen rationale Funktion an den Nullstellen des Nenners nicht definiert ist, geht auch bei dieser Ableitungsregel alles seinen behördlichen Gang und es kann nichts passieren. Ciao.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Salehzahran Leider nein. Es ist in Prag. Es gibt aber auch ein Video, das in Regensburg aufgenommen wurde ;-)

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 2 Jahren
  2. sie sind in Regensburg am anfAng richtig?

    Von Salehzahran, vor mehr als 2 Jahren

Quotientenregel – Herleitung und Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quotientenregel – Herleitung und Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Herleitung der Quotientenregel zum Ableiten an.

    Tipps

    Überführe den Quotienten $\frac {u(x)}{v(x)}$ zunächst in ein Produkt.

    Du kannst Brüche erst subtrahieren, wenn sie gleichnamig sind.

    Die Produktregel lautet: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$

    Lösung

    Wir leiten die Quotientenregel her, indem wir den Quotienten zunächst in ein Produkt überführen. Wir erhalten dann:

    $\begin{array}{lllll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)' &=& \left(u(x)\cdot \dfrac {1}{v(x)}\right)' &=&\left(u(x)\cdot v^{-1}(x)\right)' \\ \\ \end{array}$

    Dieses Produkt können wir nun mit der Produktregel ableiten. Für den Faktor $v^{-1}(x)$ benötigen wir noch die Kettenregel und die Potenzregel. Die Regeln sind wie folgt definiert:

    • Produktregel: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(g(h(x))\big)'=h'(x)\cdot g'(h(x))$
    • Potenzregel: $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    $\begin{array}{lll} \\ \left(u(x)\cdot v^{-1}(x)\right)' &=& \dfrac{u'(x)}{v(x)}+\dfrac{u(x)v'(x)}{-v^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{u'(x)v(x)}{v^2(x)}-\dfrac{u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\ \\ \end{array}$

    Im vorletzten Schritt wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht und im letzten Schritt schließlich subtrahiert. Damit können wir die Quotientenregel wie folgt angeben:

    $\begin{array}{lll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{array}$

  • Bestimme jeweils die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.

    Tipps

    Die Quotientenregel lautet:

    • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Eine Potenz $x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ leitest du wie folgt ab:

    • $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$

    Sieh dir folgendes Beispiel an: $~f(x)=\dfrac {x}{(x+3)^2}$

    • $u(x)=x$
    • $v(x)=(x+3)^2$
    • $u'(x)=1$
    • $v'(x)=2(x+3)$
    Lösung

    Mit der Quotientenregel können wir die Funktionen $f$ und $g$ ableiten. Die Quotientenregel ist wie folgt definiert:

    • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    $~$

    Beispiel 1

    $ \begin{array}{l} \\ f(x)=\dfrac x{x+1}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -1 \rbrace \\ \\ \end{array} $

    Mit $u(x)=x$ und $v(x)=x+1$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=1$ und $v'(x)=1$ und somit:

    $ \begin{array}{lllllll} \\ f'(x) &=& \dfrac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2} &=& \dfrac{x+1-x}{(x+1)^2} &=& \dfrac{1}{(x+1)^2} \\ \\ \end{array} $

    Beispiel 2

    $ \begin{array}{l} \\ g(x)=\dfrac {3-x}{3+x}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -3 \rbrace \\ \\ \end{array} $

    Mit $u(x)=3-x$ und $v(x)=3+x$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=-1$ und $v'(x)=1$ und somit:

    $ \begin{array}{lllllll} \\ g'(x) &=& \dfrac{-1\cdot (3+x)-(3-x)\cdot 1}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-3-x-3+x}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-6}{(3+x)^2} \\ \\ \end{array} $

  • Ermittle jeweils die erste und zweite Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.

    Tipps

    Für die zweite Ableitung genügt auch die Potenzregel. Hierzu kannst du den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.

    Die Quotientenregel lautet:

    $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen.

    Lösung

    Die Quotientenregel lautet:

    $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen. Das ist hier jeweils bei der 2. Ableitung der Fall, wenn wir diese mit der Quotientenregel bestimmen. Für die zweite Ableitung können wir hier nämlich auch die Potenzregel nutzen. Hierzu können wir den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.

    Beispiel 1: $~f(x)=\dfrac{x-1}{x}$

    Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:

    • $u(x)=x-1$
    • $v(x)=x$
    • $u'(x)=1$
    • $v'(x)=1$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{1\cdot x-(x-1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}$
    Für die zweite Ableitung können wir entweder $x^{-2}$ mit der Potenzregel ableiten oder wir nutzen ein weiteres Mal die Quotientenregel. In diesem Beispiel wählen wir mal die Quotientenregel:

    • $u(x)=1$
    • $v(x)=x^2$
    • $u'(x)=0$
    • $v'(x)=2x$
    Damit folgt:

    • $f''(x)=\dfrac{0\cdot x^2-1\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{-2x}{x^4}=-\dfrac{2}{x^3}$
    $~$

    Beipiel 2: $~g(x)=\dfrac{1-x}{x}$

    Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:

    • $u(x)=1-x$
    • $v(x)=x$
    • $u'(x)=-1$
    • $v'(x)=1$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{-1\cdot x-(1-x)\cdot 1}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}$
    Für die 2. Ableitung schreiben wir diesen Funktionsterm als Potenz und leiten mit der Potenzregel ab:

    • $f''(x)=\big(-x^{-2}\big)'=-(-2)x^{-3}=\dfrac {2}{x^3}$
  • Bestimme jeweils die erste Ableitung der Funktionen.

    Tipps

    Vereinfache den Term im Zähler so weit wie möglich, indem du alle gleichartigen Terme zusammenfasst.

    Achte im Zähler auf die Minusklammer.

    Nutze die Quotientenregel:

    $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

    Beachte, dass du für die Ableitung von $u(x)$ in einem Beispiel die Kettenregel brauchst.

    Lösung

    Wir nutzen für die Ableitungen die Quotientenregel:

    • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    In einem Beispiel benötigen wir für die Ableitung von $u(x)$ die Kettenregel:

    • $\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    Die Potenzregel kommt in jedem Beispiel vor:

    • $\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    Wir erhalten die folgenden Ableitungen:

    Beispiel: $~f(x)=\dfrac{(2x+1)^2}{x}$

    • $u(x)=(2x+1)^2$
    • $v(x)=x$
    Die Ableitung der Funktion $u(x)$ erhältst du mit der Kettenregel. Für die innere Ableitung sowie für die Ableitung von $v(x)$ verwendest du die Potenzregel:

    • $u'(x)=4(2x+1)$
    • $v'(x)=1$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{4(2x+1)\cdot x-(2x+1)^2\cdot 1}{x^2}=\dfrac{8x^2+4x-(4x^2+4x+1)}{x^2}=\dfrac{4x^2-1}{x^2}$
    $~$

    übrige Beispiele

    Gehst du in den übrigen Beispielen genauso vor, erhältst du folgende Ableitungen:

    • $f(x)=\dfrac{2x+1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
    • $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}\quad \rightarrow\quad f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}$
    • $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}$
  • Gib die jeweiligen Ableitungsregeln wieder.

    Tipps

    Sieh dir die Ableitung zu $f(x)=\frac{\sin(2x)}{2x}$ an:

    • $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}$
    Für diese Ableitung verwendest du die Quotienten-, Potenz- und Kettenregel.

    Bei einer Subtraktion darfst du den Minuenden und Subtrahenden nicht vertauschen. Achte bei der Quotientenregel auf den Minuenden und Subtrahenden im Zähler.

    Lösung

    Die Ableitungsregeln können wie folgt angegeben werden:

    • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    Wenn du eine Funktion ableitest, benötigst du oft mehr als nur eine Ableitungsregel. Im folgenden Beispiel benötigst du die Quotienten-, Ketten- und Potenzregel:

    Beispiel: $~f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2x}$

    • $u(x)=\sin(2x)$
    • $v(x)=2x$
    Die Ableitung der Funktion $u(x)$ erhältst du mit der Kettenregel. Für die innere Ableitung sowie für die Ableitung von $v(x)$ verwendest du die Potenzregel, denn $x=x^1$:

    • $u'(x)=2\cdot\cos(2x)$
    • $v'(x)=2$
    Damit folgt:

    • $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}=\dfrac{4x\cdot\cos(2x)-2\sin(2x)}{4x^2}=\dfrac{2x\cdot\cos(2x)-\sin(2x)}{2x^2}$
  • Erschließe die ersten Ableitungen der gegebenen Funktionen.

    Tipps

    Die Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:

    • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    Lösung

    Die Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:

    • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
    • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
    • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    Beispiel 1

    Wir betrachten zunächst die Funktion: $~f(x)=\dfrac{x(x+1)^2}{(2x+1)^2}$

    Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:

    • $u(x)=x(x+1)^2$
    • $v(x)=(2x+1)^2$
    Die Funktion $u$ ist ein Produkt zweier Funktionen, von denen eine eine verkettete Funktion ist. Also brauchen wir für die Ableitung $u'(x)$ die Produkt- und Kettenregel:

    • $u'(x)=1\cdot (x+1)+x\cdot 2\cdot (x+1)=(x+1)^2+2x(x+1)$
    Für die Ableitung $v'(x)$ nutzen wir die Kettenregel:

    • $v'(x)=2\cdot 2\cdot (2x+1)=4(2x+1)$
    Die erste Ableitung lautet dann:

    • $f'(x)=\dfrac{(x+1)(2x^2+x+1)}{(2x+1)^3}$
    Beispiel 2

    Wir betrachten die Funktion: $~g(x)=\dfrac{xe^{2x}}{(x-1)^2}$

    Für $g(x)=\dfrac{a(x)}{b(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:

    • $a(x)=$ $xe^{2x}$
    • $b(x)=$ $(x-1)^2$
    Hier gehen wir ähnlich vor und erhalten:

    • $a'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}\cdot (1+2x)$
    • $b'(x)=1\cdot 2\cdot (x-1)=2(x-1)$
    Die erste Ableitung lautet somit:

    • $f'(x)=\dfrac{(2x^2-3x-1)e^{2x}}{(x-1)^3}$
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