Quotientenregel – Herleitung und Beispiel
Quotientenregel – Herleitung und Beispiel
Beschreibung Quotientenregel – Herleitung und Beispiel
Ist ein Funktionsterm ein Quotient, verwenden wir zum Ableiten der Funktion die Quotientenregel. Für die Herleitung der Quotientenregel schreiben wir den Quotienten als Produkt aus zwei Funktionstermen. Dann können wir die (vorausgesetzte) Produktregel anwenden. Mit der Anwendung der (ebenfalls vorausgesetzten) Kettenregel erhalten wir dann ohne Umschweife die Quotientenregel. Bei der Anwendung der Quotientenregel ist zu beachten, dass noch vor dem Ableiten der Definitionsbereich der Funktion zu bestimmen ist, da die Funktion (wegen der Nullstellen des Nennerpolynoms) in der Regel nicht auf allen reellen Zahlen definiert ist. Ansonsten kann diese Ableitungsregel aber wie von anderen Regeln her bekannt angewendet werden.
Quotientenregel – Herleitung und Beispiel Übung
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Gib die Herleitung der Quotientenregel zum Ableiten an.
TippsÜberführe den Quotienten $\frac {u(x)}{v(x)}$ zunächst in ein Produkt.
Du kannst Brüche erst subtrahieren, wenn sie gleichnamig sind.
Die Produktregel lautet: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
LösungWir leiten die Quotientenregel her, indem wir den Quotienten zunächst in ein Produkt überführen. Wir erhalten dann:
$\begin{array}{lllll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)' &=& \left(u(x)\cdot \dfrac {1}{v(x)}\right)' &=&\left(u(x)\cdot v^{-1}(x)\right)' \\ \\ \end{array}$
Dieses Produkt können wir nun mit der Produktregel ableiten. Für den Faktor $v^{-1}(x)$ benötigen wir noch die Kettenregel und die Potenzregel. Die Regeln sind wie folgt definiert:
- Produktregel: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
- Kettenregel: $~\big(g(h(x))\big)'=h'(x)\cdot g'(h(x))$
- Potenzregel: $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
Im vorletzten Schritt wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht und im letzten Schritt schließlich subtrahiert. Damit können wir die Quotientenregel wie folgt angeben:
$\begin{array}{lll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{array}$
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Bestimme jeweils die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.
TippsDie Quotientenregel lautet:
- $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
Eine Potenz $x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ leitest du wie folgt ab:
- $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
Sieh dir folgendes Beispiel an: $~f(x)=\dfrac {x}{(x+3)^2}$
- $u(x)=x$
- $v(x)=(x+3)^2$
- $u'(x)=1$
- $v'(x)=2(x+3)$
LösungMit der Quotientenregel können wir die Funktionen $f$ und $g$ ableiten. Die Quotientenregel ist wie folgt definiert:
- $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
Beispiel 1
$ \begin{array}{l} \\ f(x)=\dfrac x{x+1}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -1 \rbrace \\ \\ \end{array} $
Mit $u(x)=x$ und $v(x)=x+1$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=1$ und $v'(x)=1$ und somit:
$ \begin{array}{lllllll} \\ f'(x) &=& \dfrac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2} &=& \dfrac{x+1-x}{(x+1)^2} &=& \dfrac{1}{(x+1)^2} \\ \\ \end{array} $
Beispiel 2
$ \begin{array}{l} \\ g(x)=\dfrac {3-x}{3+x}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -3 \rbrace \\ \\ \end{array} $
Mit $u(x)=3-x$ und $v(x)=3+x$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=-1$ und $v'(x)=1$ und somit:
$ \begin{array}{lllllll} \\ g'(x) &=& \dfrac{-1\cdot (3+x)-(3-x)\cdot 1}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-3-x-3+x}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-6}{(3+x)^2} \\ \\ \end{array} $
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Ermittle jeweils die erste und zweite Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.
TippsFür die zweite Ableitung genügt auch die Potenzregel. Hierzu kannst du den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.
Die Quotientenregel lautet:
$\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen.
LösungDie Quotientenregel lautet:
$\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen. Das ist hier jeweils bei der 2. Ableitung der Fall, wenn wir diese mit der Quotientenregel bestimmen. Für die zweite Ableitung können wir hier nämlich auch die Potenzregel nutzen. Hierzu können wir den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.
Beispiel 1: $~f(x)=\dfrac{x-1}{x}$
Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:
- $u(x)=x-1$
- $v(x)=x$
- $u'(x)=1$
- $v'(x)=1$
- $f'(x)=\dfrac{1\cdot x-(x-1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}$
- $u(x)=1$
- $v(x)=x^2$
- $u'(x)=0$
- $v'(x)=2x$
- $f''(x)=\dfrac{0\cdot x^2-1\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{-2x}{x^4}=-\dfrac{2}{x^3}$
Beipiel 2: $~g(x)=\dfrac{1-x}{x}$
Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:
- $u(x)=1-x$
- $v(x)=x$
- $u'(x)=-1$
- $v'(x)=1$
- $f'(x)=\dfrac{-1\cdot x-(1-x)\cdot 1}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}$
- $f''(x)=\big(-x^{-2}\big)'=-(-2)x^{-3}=\dfrac {2}{x^3}$
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Bestimme jeweils die erste Ableitung der Funktionen.
TippsVereinfache den Term im Zähler so weit wie möglich, indem du alle gleichartigen Terme zusammenfasst.
Achte im Zähler auf die Minusklammer.
Nutze die Quotientenregel:
$\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
Beachte, dass du für die Ableitung von $u(x)$ in einem Beispiel die Kettenregel brauchst.
LösungWir nutzen für die Ableitungen die Quotientenregel:
- $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
- $\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
- $\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
Beispiel: $~f(x)=\dfrac{(2x+1)^2}{x}$
- $u(x)=(2x+1)^2$
- $v(x)=x$
- $u'(x)=4(2x+1)$
- $v'(x)=1$
- $f'(x)=\dfrac{4(2x+1)\cdot x-(2x+1)^2\cdot 1}{x^2}=\dfrac{8x^2+4x-(4x^2+4x+1)}{x^2}=\dfrac{4x^2-1}{x^2}$
übrige Beispiele
Gehst du in den übrigen Beispielen genauso vor, erhältst du folgende Ableitungen:
- $f(x)=\dfrac{2x+1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
- $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}\quad \rightarrow\quad f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}$
- $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}$
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Gib die jeweiligen Ableitungsregeln wieder.
TippsSieh dir die Ableitung zu $f(x)=\frac{\sin(2x)}{2x}$ an:
- $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}$
Bei einer Subtraktion darfst du den Minuenden und Subtrahenden nicht vertauschen. Achte bei der Quotientenregel auf den Minuenden und Subtrahenden im Zähler.
LösungDie Ableitungsregeln können wie folgt angegeben werden:
- Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
- Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
- Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
- Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
Beispiel: $~f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2x}$
- $u(x)=\sin(2x)$
- $v(x)=2x$
- $u'(x)=2\cdot\cos(2x)$
- $v'(x)=2$
- $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}=\dfrac{4x\cdot\cos(2x)-2\sin(2x)}{4x^2}=\dfrac{2x\cdot\cos(2x)-\sin(2x)}{2x^2}$
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Erschließe die ersten Ableitungen der gegebenen Funktionen.
TippsDie Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:
- Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
- Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
- Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
- Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
LösungDie Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:
- Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
- Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
- Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
- Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
Wir betrachten zunächst die Funktion: $~f(x)=\dfrac{x(x+1)^2}{(2x+1)^2}$
Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:
- $u(x)=x(x+1)^2$
- $v(x)=(2x+1)^2$
- $u'(x)=1\cdot (x+1)+x\cdot 2\cdot (x+1)=(x+1)^2+2x(x+1)$
- $v'(x)=2\cdot 2\cdot (2x+1)=4(2x+1)$
- $f'(x)=\dfrac{(x+1)(2x^2+x+1)}{(2x+1)^3}$
Wir betrachten die Funktion: $~g(x)=\dfrac{xe^{2x}}{(x-1)^2}$
Für $g(x)=\dfrac{a(x)}{b(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:
- $a(x)=$ $xe^{2x}$
- $b(x)=$ $(x-1)^2$
- $a'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}\cdot (1+2x)$
- $b'(x)=1\cdot 2\cdot (x-1)=2(x-1)$
- $f'(x)=\dfrac{(2x^2-3x-1)e^{2x}}{(x-1)^3}$
2 Kommentare
@Salehzahran Leider nein. Es ist in Prag. Es gibt aber auch ein Video, das in Regensburg aufgenommen wurde ;-)
sie sind in Regensburg am anfAng richtig?