Quotientenregel – Herleitung und Beispiel

Quotientenregel – Herleitung und Beispiel Übung

• Gib die Herleitung der Quotientenregel zum Ableiten an.

  Tipps

  Überführe den Quotienten $\frac {u(x)}{v(x)}$ zunächst in ein Produkt.

  Du kannst Brüche erst subtrahieren, wenn sie gleichnamig sind.

  Die Produktregel lautet: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$

  Lösung

  Wir leiten die Quotientenregel her, indem wir den Quotienten zunächst in ein Produkt überführen. Wir erhalten dann:

  $\begin{array}{lllll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)' &=& \left(u(x)\cdot \dfrac {1}{v(x)}\right)' &=&\left(u(x)\cdot v^{-1}(x)\right)' \\ \\ \end{array}$

  Dieses Produkt können wir nun mit der Produktregel ableiten. Für den Faktor $v^{-1}(x)$ benötigen wir noch die Kettenregel und die Potenzregel. Die Regeln sind wie folgt definiert:

  • Produktregel: $~\big(g(x)\cdot h(x)\big)'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
  • Kettenregel: $~\big(g(h(x))\big)'=h'(x)\cdot g'(h(x))$
  • Potenzregel: $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$

  $\begin{array}{lll} \\ \left(u(x)\cdot v^{-1}(x)\right)' &=& \dfrac{u'(x)}{v(x)}+\dfrac{u(x)v'(x)}{-v^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{u'(x)v(x)}{v^2(x)}-\dfrac{u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\ \\ \end{array}$

  Im vorletzten Schritt wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht und im letzten Schritt schließlich subtrahiert. Damit können wir die Quotientenregel wie folgt angeben:

  $\begin{array}{lll} \\ \left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{array}$

• Bestimme jeweils die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.

  Tipps

  Die Quotientenregel lautet:

  • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  Eine Potenz $x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ leitest du wie folgt ab:

  • $~\big( x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $~f(x)=\dfrac {x}{(x+3)^2}$

  • $u(x)=x$
  • $v(x)=(x+3)^2$
  • $u'(x)=1$
  • $v'(x)=2(x+3)$

  Lösung

  Mit der Quotientenregel können wir die Funktionen $f$ und $g$ ableiten. Die Quotientenregel ist wie folgt definiert:

  • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  $~$

  Beispiel 1

  $ \begin{array}{l} \\ f(x)=\dfrac x{x+1}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -1 \rbrace \\ \\ \end{array} $

  Mit $u(x)=x$ und $v(x)=x+1$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=1$ und $v'(x)=1$ und somit:

  $ \begin{array}{lllllll} \\ f'(x) &=& \dfrac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2} &=& \dfrac{x+1-x}{(x+1)^2} &=& \dfrac{1}{(x+1)^2} \\ \\ \end{array} $

  Beispiel 2

  $ \begin{array}{l} \\ g(x)=\dfrac {3-x}{3+x}; \qquad \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash \lbrace -3 \rbrace \\ \\ \end{array} $

  Mit $u(x)=3-x$ und $v(x)=3+x$ erhalten wir die folgenden Ableitungen $u'(x)=-1$ und $v'(x)=1$ und somit:

  $ \begin{array}{lllllll} \\ g'(x) &=& \dfrac{-1\cdot (3+x)-(3-x)\cdot 1}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-3-x-3+x}{(3+x)^2} &=& \dfrac{-6}{(3+x)^2} \\ \\ \end{array} $

• Ermittle jeweils die erste und zweite Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel.

  Tipps

  Für die zweite Ableitung genügt auch die Potenzregel. Hierzu kannst du den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.

  Die Quotientenregel lautet:

  $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen.

  Lösung

  Die Quotientenregel lautet:

  $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  Manchmal kann man den resultierenden Bruchterm noch kürzen. Das ist hier jeweils bei der 2. Ableitung der Fall, wenn wir diese mit der Quotientenregel bestimmen. Für die zweite Ableitung können wir hier nämlich auch die Potenzregel nutzen. Hierzu können wir den Funktionsterm der ersten Ableitung als Potenz schreiben und ableiten.

  Beispiel 1: $~f(x)=\dfrac{x-1}{x}$

  Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:

  • $u(x)=x-1$
  • $v(x)=x$
  • $u'(x)=1$
  • $v'(x)=1$

  Damit folgt:

  • $f'(x)=\dfrac{1\cdot x-(x-1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}$

  Für die zweite Ableitung können wir entweder $x^{-2}$ mit der Potenzregel ableiten oder wir nutzen ein weiteres Mal die Quotientenregel. In diesem Beispiel wählen wir mal die Quotientenregel:

  • $u(x)=1$
  • $v(x)=x^2$
  • $u'(x)=0$
  • $v'(x)=2x$

  Damit folgt:

  • $f''(x)=\dfrac{0\cdot x^2-1\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{-2x}{x^4}=-\dfrac{2}{x^3}$

  $~$

  Beipiel 2: $~g(x)=\dfrac{1-x}{x}$

  Die 1. Ableitung erhalten wir wie folgt:

  • $u(x)=1-x$
  • $v(x)=x$
  • $u'(x)=-1$
  • $v'(x)=1$

  Damit folgt:

  • $f'(x)=\dfrac{-1\cdot x-(1-x)\cdot 1}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}$

  Für die 2. Ableitung schreiben wir diesen Funktionsterm als Potenz und leiten mit der Potenzregel ab:

  • $f''(x)=\big(-x^{-2}\big)'=-(-2)x^{-3}=\dfrac {2}{x^3}$

• Bestimme jeweils die erste Ableitung der Funktionen.

  Tipps

  Vereinfache den Term im Zähler so weit wie möglich, indem du alle gleichartigen Terme zusammenfasst.

  Achte im Zähler auf die Minusklammer.

  Nutze die Quotientenregel:

  $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  Beachte, dass du für die Ableitung von $u(x)$ in einem Beispiel die Kettenregel brauchst.

  Lösung

  Wir nutzen für die Ableitungen die Quotientenregel:

  • $\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  In einem Beispiel benötigen wir für die Ableitung von $u(x)$ die Kettenregel:

  • $\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$

  Die Potenzregel kommt in jedem Beispiel vor:

  • $\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$

  Wir erhalten die folgenden Ableitungen:

  Beispiel: $~f(x)=\dfrac{(2x+1)^2}{x}$

  • $u(x)=(2x+1)^2$
  • $v(x)=x$

  Die Ableitung der Funktion $u(x)$ erhältst du mit der Kettenregel. Für die innere Ableitung sowie für die Ableitung von $v(x)$ verwendest du die Potenzregel:

  • $u'(x)=4(2x+1)$
  • $v'(x)=1$

  Damit folgt:

  • $f'(x)=\dfrac{4(2x+1)\cdot x-(2x+1)^2\cdot 1}{x^2}=\dfrac{8x^2+4x-(4x^2+4x+1)}{x^2}=\dfrac{4x^2-1}{x^2}$

  $~$

  übrige Beispiele

  Gehst du in den übrigen Beispielen genauso vor, erhältst du folgende Ableitungen:

  • $f(x)=\dfrac{2x+1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
  • $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}\quad \rightarrow\quad f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}$
  • $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x}\quad \rightarrow\quad f'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}$

• Gib die jeweiligen Ableitungsregeln wieder.

  Tipps

  Sieh dir die Ableitung zu $f(x)=\frac{\sin(2x)}{2x}$ an:

  • $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}$

  Für diese Ableitung verwendest du die Quotienten-, Potenz- und Kettenregel.

  Bei einer Subtraktion darfst du den Minuenden und Subtrahenden nicht vertauschen. Achte bei der Quotientenregel auf den Minuenden und Subtrahenden im Zähler.

  Lösung

  Die Ableitungsregeln können wie folgt angegeben werden:

  • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
  • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
  • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
  • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  Wenn du eine Funktion ableitest, benötigst du oft mehr als nur eine Ableitungsregel. Im folgenden Beispiel benötigst du die Quotienten-, Ketten- und Potenzregel:

  Beispiel: $~f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2x}$

  • $u(x)=\sin(2x)$
  • $v(x)=2x$

  Die Ableitung der Funktion $u(x)$ erhältst du mit der Kettenregel. Für die innere Ableitung sowie für die Ableitung von $v(x)$ verwendest du die Potenzregel, denn $x=x^1$:

  • $u'(x)=2\cdot\cos(2x)$
  • $v'(x)=2$

  Damit folgt:

  • $f'(x)=\dfrac{2\cdot \cos(2x)\cdot 2x-\sin(2x)\cdot 2}{4x^2}=\dfrac{4x\cdot\cos(2x)-2\sin(2x)}{4x^2}=\dfrac{2x\cdot\cos(2x)-\sin(2x)}{2x^2}$

• Erschließe die ersten Ableitungen der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Die Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:

  • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
  • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
  • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
  • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  Lösung

  Die Ableitungsregeln sind wie folgt definiert:

  • Potenzregel: $~\big(x^n\big)'=n\cdot x^{n-1}$
  • Produktregel: $~\big( u(x)\cdot v(x) \big)'=u'(x)\cdot v(x)+ u(x)\cdot v'(x)$
  • Kettenregel: $~\big(u(v(x))\big)'=v'(x)\cdot u'(v(x))$
  • Quotientenregel: $~\left(\dfrac {u(x)}{v(x)}\right)'=\dfrac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

  Beispiel 1

  Wir betrachten zunächst die Funktion: $~f(x)=\dfrac{x(x+1)^2}{(2x+1)^2}$

  Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:

  • $u(x)=x(x+1)^2$
  • $v(x)=(2x+1)^2$

  Die Funktion $u$ ist ein Produkt zweier Funktionen, von denen eine eine verkettete Funktion ist. Also brauchen wir für die Ableitung $u'(x)$ die Produkt- und Kettenregel:

  • $u'(x)=1\cdot (x+1)+x\cdot 2\cdot (x+1)=(x+1)^2+2x(x+1)$

  Für die Ableitung $v'(x)$ nutzen wir die Kettenregel:

  • $v'(x)=2\cdot 2\cdot (2x+1)=4(2x+1)$

  Die erste Ableitung lautet dann:

  • $f'(x)=\dfrac{(x+1)(2x^2+x+1)}{(2x+1)^3}$

  Beispiel 2

  Wir betrachten die Funktion: $~g(x)=\dfrac{xe^{2x}}{(x-1)^2}$

  Für $g(x)=\dfrac{a(x)}{b(x)}$ können wir die Funktionen wie folgt angeben:

  • $a(x)=$ $xe^{2x}$
  • $b(x)=$ $(x-1)^2$

  Hier gehen wir ähnlich vor und erhalten:

  • $a'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}\cdot (1+2x)$
  • $b'(x)=1\cdot 2\cdot (x-1)=2(x-1)$

  Die erste Ableitung lautet somit:

  • $f'(x)=\dfrac{(2x^2-3x-1)e^{2x}}{(x-1)^3}$