Quotientenregel – Einführung

Quotientenregel – Einführung Übung

• Beschreibe, wie die Quotientenregel angewendet wird.

  Tipps

  Beispiel:

  Der Zähler der Quotientenregel entspricht der Produktregel, nur dass subtrahiert und nicht addiert wird.

  Lösung

  Die Quotientenregel wird zum Ableiten von Funktionen verwendet, die einen Quotienten enthalten. Meistens wird dieser Quotient als Bruch dargestellt:

  $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$

  Die Ableitung lautet dann:

  $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

  Der Zähler der Quotientenregel entspricht dabei der Produktregel, nur dass subtrahiert und nicht addiert wird.

  Bei der Anwendung der Quotientenregel ist folgendes zu beachten:

  • Es sind Klammern zu setzen, wenn wir Summen beziehungsweise Differenzen als Faktoren einfügen, da die "Punkt-vor-Strich-Regel" gilt.
  • Der Zähler kann meist noch vereinfacht werden.

  $\,$

  Folgende Aussagen sind somit korrekt:

  Um die Quotientenregel anzuwenden, müssen wir die Ableitung des Zählers und die Ableitung des Nenners bilden.
  Da im Zähler $u'(x)$ und $v'(x)$ vorkommt, müssen wir diese Ableitungen bestimmen, um sie in die Formel einsetzen zu können.

  Ist der Zähler oder Nenner der abzuleitenden Funktion eine Summe oder Differenz, so sind im Zähler der Ableitung Klammern zu setzen.
  Da die "Punkt-vor-Strich-Regel" gilt, müssen bei den Produkten im Nenner die Faktoren, deren Term eine Summe oder Differenz ist, in Klammern gesetzt werden.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  Im Zähler steht bei der Quotientenregel der Term $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
  Dies ist die Produktregel. Im Zähler der Quotientenregel steht jedoch eine Differenz: $u'(x)v(x)-u(x)v'(x)$

  Am Ende kann der Bruch meist noch gekürzt werden.
  Da im Zähler eine Differenz steht, kann in der Regel nicht gekürzt werden, wir können jedoch meist noch den Zähler zusammenfassen.

• Bestimme die Ableitung der Funktion mithilfe der Quotientenregel.

  Tipps

  $v(x)=\sin x$

  $v'(x)=\cos x$

  Achte darauf im Nenner zu quadrieren.

  Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung:

  $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.

  Lösung

  Bei der gegebenen Funktion

  $f(x)=\dfrac{e^x}{\sin x}$

  handelt es sich um einen Quotienten, der hier als Bruch dargestellt ist. Zum Ableiten können wir daher die Quotientenregel verwenden.

  Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.

  In unserem Fall gilt:

  • $u(x)=e^x$
  • $v(x)=\sin x$

  Wir bestimmen zunächst die Ableitungen:

  • $u'(x)=e^x$
  • $v'(x)=\cos x$

  Nun können wir in die Formel einsetzen und im Zähler $e^x$ ausklammern:

  $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{e^x \cdot \sin x - e^x \cdot \cos x }{(\sin x)^2} = \dfrac{e^x \cdot (\sin x - \cos x)}{(\sin x)^2}$

• Ermittle die Ableitungen der Funktionen.

  Tipps

  Mit der Quotientenregel können wir Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ ableiten.

  Beispiel:

  Lösung

  Die Quotientenregel lautet:

  $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

  Wir ordnen zunächst $u(x)$ und $v(x)$ zu und bestimmen deren Ableitungen. Anschließend setzen wir in die Formel ein:

  Aufgabe 1: $\quad f(x)= \dfrac{3x^2+5}{\cos x}$

  $\begin{array}{lcl} u(x)= 3x^2+5 & \quad & u'(x)= 6x \\ v(x)= \cos x & \quad & v'(x)= - \sin x \end{array}$

  $f'(x)= \dfrac{6x( \cos x )- (3x^2+5) (-\sin x)}{(\cos x)^2}$

  
  

  Aufgabe 2: $\quad f(x)= \dfrac{\cos x}{3x^2+5}$

  $\begin{array}{lcl} u(x)= \cos x & \quad & u'(x)=- \sin x \\ v(x)= 3x^2+5 & \quad & v'(x)= 6x \end{array}$

  $f'(x)= \dfrac{(- \sin x )\cdot (3x^2+5) -( \cos x )\cdot 6x}{(3x^2+5)^2}$

• Ordne die Funktionen ihren Ableitungen zu.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Ableitung des Zählers und des Nenners.

  Achte beim Einsetzen in die Formel darauf, Klammern zu setzen.

  Lösung

  Um die Ableitungen der Funktionen zu bestimmen, wenden wir die Quotientenregel an:

  Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.

  Dazu bestimmen wir jeweils zuerst die Ableitung des Zählers und des Nenners und setzen dann in die Formel ein. Dabei müssen wir bei der Multiplikation mit einer Summe bzw. einer Differenz aufgrund der Punkt-vor-Strich-Regel Klammern setzen. Zuletzt können wir noch den Zähler zusammenfassen:

  Erste Funktion: $f(x)= \dfrac{x^2}{2x+1}$

  $\begin{array}{lcl} u(x)= x^2 & \quad & u'(x)=2x \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$

  $f'(x)=\dfrac{2x(2x+1)-x^2 \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x-2x^2}{(2x+1)^2}= \dfrac{2x^2+2x}{(2x+1)^2}$

  
  

  Zweite Funktion: $f(x)= \dfrac{x^2+4x}{2x+1}$

  $\begin{array}{lcl} u(x)= x^2+4x & \quad & u'(x)=2x+4 \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$

  $f'(x)= \dfrac{(2x+4)(2x+1)-(x^2+4x) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x+8x+4-2x^2-8x}{(2x+1)^2} = \dfrac{2x^2+2x+4}{(2x+1)^2}$

  Dritte Funktion: $f(x)= \dfrac{4x}{2x+1}$

  $\begin{array}{lcl} u(x)= 4x & \quad & u'(x)=4 \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$

  $f'(x)= \dfrac{4(2x+1)-4x \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{8x+4-8x}{(2x+1)^2} = \dfrac{4}{(2x+1)^2}$

  Vierte Funktion: $f(x)= \dfrac{x^2+2}{2x+1}$

  $\begin{array}{lcl} u(x)= x^2+2 & \quad & u'(x)=2x \\ v(x)=2x+1 & \quad & v'(x)=2 \end{array}$

  $f'(x)= \dfrac{2x(2x+1)-(x^2+2) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+2x-2x^2-4}{(2x+1)^2}= \dfrac{2x^2+2x-4}{(2x+1)^2}$

• Gib an, welche Funktionen mit der Quotientenregel abgeleitet werden.

  Tipps

  $f(x)=\dfrac{\cos(x)+1}{5} = \dfrac{1}{5} \cdot (\cos(x) + 1)$

  Hier wird die Quotientenregel nicht angewendet.

  Die Quotientenregel wird zum Ableiten von Funktionen verwendet, bei denen die Variable $x$ im Zähler und im Nenner des Funktionsterms vorkommt.

  Fasse den Funktionsterm, wenn möglich, erst noch zusammen.

  Lösung

  Die Quotientenregel wird zum Ableiten von Funktionen verwendet, die einen Quotienten enthalten. Meistens wird dieser Quotient als Bruch dargestellt:

  $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$

  Wichtig ist dabei, dass sowohl im Zähler, als auch im Nenner ein Funktionsterm steht, der ein $x$ enthält.

  Bei folgenden Funktionen wird somit die Quotientenregel angewendet:

  $f(x)=\dfrac{\sin(x)+1}{2x}$

  $f(x)=\dfrac{2x-1}{3-x^2}$

  $f(x)=\dfrac{e^x}{\sin(x)}$

  Bei folgenden Funktionen wird die Quotientenregel nicht angewendet:

  $f(x)=x^2 \quad \rightarrow$ Der Funktionsterm ist kein Bruch.

  $f(x)=\dfrac{4x-1}{2} \quad \rightarrow$ Im Nenner kommt kein $x$ vor.

  $f(x)=\dfrac{3x^2-x}{5x-3+1-x-4x}=\dfrac{3x^2-x}{-2} \quad \rightarrow$ Wir können den Nenner so zusammenfassen, dass kein $x$ mehr vorkommt.

• Bestimme die zweiten Ableitungen $f''(x)$ und $g''(x)$.

  Tipps

  Bestimme zuerst die erste Ableitung mithilfe der Quotientenregel und leite diese dann erneut ab, um die zweite Ableitung zu erhalten.

  $\dfrac{1}{(e^x)^2} = \dfrac{1}{e^{2x}}$

  $\dfrac{e^x-xe^x}{e^{2x}} = e^{-x} - \dfrac{x}{e^x}$

  Lösung

  Um die zweite Ableitung einer Funktion zu bestimmen, bilden wir zuerst die erste Ableitung und leiten diese dann noch einmal ab.

  Dabei verwenden wir die Quotientenregel:

  Für $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lautet die Ableitung $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.

  Wir betrachten die gegebenen Funktionen:

  Erste Funktion: $f(x)= \dfrac{x}{e^x}$
  $u(x)=x \quad u'(x)=1$
  $v(x)= e^x \quad v'(x)=e^x$

  $\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \dfrac{e^x-xe^x}{(e^x)^2} = \dfrac{e^x}{(e^x)^2} - \dfrac{xe^x}{(e^x)^2} \\ &= \dfrac{1}{e^x} - \dfrac{x}{e^x} = e^{-x} - \dfrac{x}{e^x} \end{array}$

  Wir bilden die erste Ableitung entsprechend der Quotientenregel. Indem wir den Bruch als Differenz zweier Brüche schreiben, können wir in diesem Fall die entstandenen Terme mithilfe der Potenzregeln kürzen.

  $f''(x)= -e^{-x} - f'(x) = -e^{-x} - (e^{-x} - \dfrac{x}{e^x}) = -2e^{-x} + \dfrac{x}{e^x}$
  Wir können die Summanden entsprechend der Summenregel einzeln ableiten. Der zweite Summand $\dfrac{x}{e^x}$ entspricht dem Funktionsterm von $f(x)$, daher können wir die Ableitung $f'(x)$ einsetzen.

  Zweite Funktion: $g(x)= \dfrac{x+1}{e^x}$
  $u(x)=x+1 \quad u'(x)=1$
  $v(x)= e^x \quad v'(x)=e^x$

  $\begin{array}{ll} g'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{1 \cdot e^x - (x+1) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \dfrac{e^x-xe^x-e^x}{(e^x)^2} \\ &= \dfrac{-xe^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{x}{e^x} \end{array}$

  Wir bilden die erste Ableitung entsprechend der Quotientenregel. Wir fassen den Zähler zusammen und kürzen mit $e^x$.

  $u(x)=x \quad u'(x)=1$
  $v(x)= e^x \quad v'(x)=e^x$

  $\begin{array}{ll} g''(x) &=-\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = -\dfrac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{e^x-xe^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{e^x}{(e^x)^2} + \dfrac{xe^x}{(e^x)^2} \\ &= -\dfrac{1}{e^x} + \dfrac{x}{e^x} = -e^{-x} + \dfrac{x}{e^x} \end{array}$

  Die erste Ableitung ist gleich $- f(x)$. Wir bilden also die zweite Ableitung entsprechend der ersten Ableitung von $f(x)$ und erhalten $-f'(x)$.