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Quadratische Ergänzung – Erklärung (1)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Quadratische Ergänzung – Erklärung (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadratische Ergänzung – Erklärung (1)

Herzlich Willkommen zur quadratischen Ergänzung. Was erwartet dich in den folgenden Minuten. Kannst du es dir bereits denken? Du hast die quadratische Ergänzung bis jetzt noch nicht verstanden und benötigst eventuell einen anderen Zugang zu diesem Thema? Wenn je, dann bist du hier genau richtig. Unser Tutor versucht in den folgenden zwei Lehrvideos dir zu erklären, wie man quadratisch ergänzt. Vielleicht helfen drastische Vergleiche, um dir bestimmte mathematische Methoden etwas zugänglicher zu machen. Urteile selbst. Viel Spaß beim Schauen des Lehrvideos!

Transkript Quadratische Ergänzung – Erklärung (1)

Hallo! Eines der Hassthemen aus der Schulmathematik ist die quadratische Ergänzung. Und dazu möchte ich jetzt mal was zeigen. Ich möchte die quadratische Ergänzung einfach so zeigen, wie sie ist, ohne weiteren Zusammenhang, denn sie kommt in vielen Zusammenhängen vor. Deshalb möchte ich sie einfach nur mal so zeigen, wie sie ist. Du kannst damit quadratische Gleichungen lösen oder sie in der Integralrechnung anwenden und so weiter. Hier also einfach nur die quadratische Ergänzung. Ich habe hier einen Term x2+6x. In diesen Term kann ich jetzt was einsetzen für x. Zahlen einsetzen, bekomme ein Ergebnis. Das ist der Sinn eines Terms. Und jetzt könnte ich Folgendes machen. Ich schreibe hier hin +9 und ich schreibe -9. So, was ist passiert? Ich habe 9 addiert und 9 abgezogen und das ist zusammen 0.  Wenn ich 0 addiere, ändert sich der Wert des Terms nicht. Das heißt, ich habe eigentlich das Gleiche wie vorher, nur komplizierter. Und das ist der Punkt, wo viele Schüler emotional ausrasten, wo quasi sich diese kognitive Dissonanz ergibt. Man sagt ja immer, in der Mathematik sei alles logisch und alles begründet und alles sinnvoll. Und jetzt wird man mit einem Ausdruck konfrontiert, der einen Term komplizierter macht, aber an sich sinnlos ist. Man hat ja den Term eigentlich nicht verändert, nur zu seinem eigenen Nachteil vielleicht komplizierter gemacht. Und, dass das aber eine gute Sache ist, möchte ich jetzt mal zeigen, und zwar mit einem zugegebener Maßen etwas überspannten Vergleich. Nämlich, ich möchte mich zum Affen machen. Mal angenommen ich sei ein Äffchen. Also, u-u-u, könnte man ja annehmen, und ich könnte also zum Beispiel als Affe jetzt diesen Hut auf die andere Seite legen. Würde ich aber nicht machen, denn das wäre ja sinnlos. Auch Affen machen nichts, was völlig sinnlos ist. Aber ich als Affe könnte jetzt hier unter dem Hut einen Bonbon vermuten und diesen Hut auf die andere Seite legen, weil dort vielleicht ein Bonbon drunter ist. Und ich möchte dann vielleicht an dieses Bonbon drankommen. Und in diesem größeren Rahmen macht diese Handlung Sinn. Die Handlung also, den Hut auf die andere Seite zu legen, die an sich überhaupt keinen Sinn macht. Ja, und wenn ich schon so viel drüber rede, dann möchte ich das auch machen. Ich lege den Hut auf die andere Seite und siehe da, ein Bonbon ist drunter. Ich habe den Hut auf die andere Seite gelegt, um an dieses Bonbon zu kommen und jetzt darf ich es auch essen. Wunderbar! Schmeckt nicht! Egal! Ich werde es aufessen und gleich mache ich weiter. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss!

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Hallo,
    vielleicht hilft dir dieses Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/quadratische-ergaenzung-2?launchpad=video
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als 2 Jahren
  2. Mein Problem ist quadratische Klammergleichung und quadratische Ergänzung

    Von Itslearning Nutzer 2535 1139597, vor mehr als 2 Jahren
  3. Verstehe es soweit immer besser und ich finde diesen Humor extrem knuffig.
    Wiederhole dieses Thema soweit nur, damit ich mit den Quadratischen Funktion besser klarkomme.
    Finde es schade, dass es zur Funktion y=a(x+b)² nur drei Videos gibt, da ich diesen Abschnitt des Themas nacharbeiten muss.
    Da ich in der Klasse Dienstags Nachhilfe geben müsste, weil wir in drei Wochen die erste Matheabeit schreiben und viele schon bei der Normalparabel y=x² scheitern, hoffe ich, dass ich das Thema dieses Wochende halbwegs mit dieser Plattform abarbeiten kann.
    Wäre froh wenn es zu dem Themenbereich mehr Videos gäbe, weil meine Lehrerin mit den Schülern nicht hinterherkommt und ich schnellstmöglich alle anderen auf den aktuellen Stand bringen müsste.
    LG Kristina

    Von Kristina M., vor fast 3 Jahren
  4. super erklärt ! "schmeckt nicht, egal" war ein knaller zum Todlachen :)

    Von behrad r., vor mehr als 4 Jahren
  5. Tut mir leid ich habe trotzdem nichts gerafft

    Von Roman W., vor mehr als 4 Jahren
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Quadratische Ergänzung – Erklärung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Ergänzung – Erklärung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu dem quadratischen Term.

    Tipps

    Ein Term ist eine sinnvolle Aneinanderreihung von Zahlen, Buchstaben und mathematischen Operationen.

    Term können verschieden sein und doch gleiche Werte haben. Man nennt solche Terme ergebnisgleich. Ein Beispiel für ergebnisgleiche Terme siehst du hier.

    Zum Beispiel sind $x$ und $x+0$ ergebnisgleiche Terme.

    Lösung

    $x^2+6x$ ist ein Term. Ein Term ist eine sinnvolle Aneinanderreihung von Zahlen, Buchstaben und mathematischen Operationen. Wenn man eine Zahl für $x$ einsetzt, erhält man ein Ergebnis.

    Man darf einen Term verändern, wenn sich dadurch der Wert des Terms nicht ändert.

    Zum Beispiel kann man immer $0$ addieren.

  • Gib einen Term an, welcher ergebnisgleich zu $x^2+6x$ ist.

    Tipps

    Zwei Terme heißen ergebnisgleich, wenn sie für alle möglichen Werte für die Variable $x$ übereinstimmen.

    Das Addieren von $0$ verändert nicht den Wert eines Termes.

    Wenn man eine Zahl zu einem Term addiert und die gleiche Zahl wieder subtrahiert, verändert man den Wert dieses Termes nicht.

    Lösung

    Manchmal ist es sinnvoll, Terme etwas komplizierter darzustellen. Dies tut man sicher nicht, um mit seinen Fähigkeiten anzugeben.

    Bei der quadratischen Ergänzung eines quadratischen Termes geht es darum, diesen geschickt so zu ergänzen, sodass man eine binomische Formel anwenden kann. Zum Beispiel die erste binomische Formel:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Hier sind drei Summanden zu erkennen. Der Term $x^2+6x$ besteht jedoch nur aus zwei Summanden. Nun ist es jedoch nicht sinnvoll, irgendeine Zahl zu addieren und wieder zu subtrahieren, sondern das Quadrat der Hälfte der Zahl, welche vor dem $x$ steht. Warum? Das wird an anderer Stelle erklärt werden, aber vielleicht möchtest du ja ein bisschen forschen.

    Die Hälfte von $6$ ist $3$ und deren Quadrat ist $9$. Also addiert man zu dem obigen Term einmal die $9$ und, um den Wert des Termes nicht zu verändern, subtrahiert diese $9$ auch wieder. Es ergibt sich

    $x^2+6x+9-9$.

  • Stelle zu jedem der Terme die quadratische Ergänzung auf.

    Tipps

    Hier siehst du ein weiteres Beispiel für eine quadratische Ergänzung.

    Beachte, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist.

    Der Term darf in seinem Wert nicht verändert werden.

    Lösung

    Wenn man einen quadratischen Term der Form $x^2+ax$ quadratisch ergänzen soll, geht man wie folgt vor:

    • Man halbiert den Faktor vor dem $x$ zu $\frac a2$ und
    • quadriert diesen halbierten Faktor zu $\frac {a^2}4$.
    Am besten überprüfen wir dieses Vorgehen anhand der Beispiele:

    • Schauen wir uns zunächst $x^2-6x$ genauer an: Hier ist $a=-6$ und somit $\frac {a^2}4=9$. Die quadratische Ergänzung ist somit gegeben durch $x^2-6x+9-9$.
    • Bei $x^2+8x$ mit $a=8$ erhält man somit $\frac {a^2}4=16$. Die quadratische Ergänzung ist dann gegeben durch $x^2+8x+16-16$.
    • Werfen wir einen Blick auf den Term $x^2-2x$. Hier ist $a=-2$ und somit $\frac {a^2}4=1$. Die quadratische Ergänzung sieht dann wie folgt aus: $x^2-2x+1-1$.
    • Letztlich untersuchen wir $x^2+4x$. Hier ist $a=4$ und somit $\frac {a^2}4=4$. Damit erhält man die quadratische Ergänzung $x^2+4x+4-4$.
  • Ergänze die Terme quadratisch.

    Tipps

    Ganz allgemein ist $x^2+ax=x^2+ax+\frac{a^2}4-\frac{a^2}4$.

    Hier siehst du ein weiteres Beispiel.

    Lösung

    Natürlich ist $x^2+3x$ auch ergebnisgleich zu $x^2+3x+24-24$.

    Jedoch ist die Zahl, welche addiert und auch wieder subtrahiert wird, nicht zufällig gewählt. Ziel ist es, die ersten drei Summanden mit Hilfe einer binomischen Formel zu vereinfachen:

    $x^2+3x+2,25-2,25=(x+1,5)^2-2,25$.

    Diese Darstellung nennt man die Scheitelpunktform. Mittels derer kann der Graph der quadratischen Funktion, eine Parabel, einfacher gezeichnet werden.

    Ebenso können die anderen quadratischen Terme ergänzt werden:

    • $x^2-10x=x^2-10x+25-25$, da $a=-10$ und somit $\frac{a^2}4=25$
    • $x^2+12x=x^2+12x+36-36$, da $a=12$ und somit $\frac{a^2}4=36$
    • $x^2+7x=x^2+7x+12,25-12,25$, da $a=7$ und somit $\frac{a^2}4=12,25$

  • Beschreibe, warum es sinnvoll ist, den Hut von der einen Seite zu der anderen Seite zu bewegen.

    Tipps

    Was befindet sich unter dem Hut? Ein Affe? Nein!

    Was steckt sich Martin am Schluss des Videos in den Mund? Den Hut? Nein!

    Lösung

    Wenn man den Sinn seines Tuns auch nicht sofort verstehen kann, heißt dies noch lange nicht, dass es nicht tatsächlich einen gibt.

    Martin bewegt den Hut aus einem bestimmten Grund: Er möchte an das Bonbon kommen, welches sich unter dem Hut befindet.

    So ist das auch mit dem Term $x^2+6x$. Dieser wird etwas komplizierter aufgeschrieben, als er zunächst da steht. Warum man das tut und wie genau man das tut...?

    Darum geht es in den Aufgaben dieser Übung.

    Das Thema heißt quadratische Ergänzung. Das bedeutet, es wird etwas ergänzt: ein quadratischer Term.

  • Ermittle die Gleichungen, welche dir auf dem Weg zum quadratischen Term in der Scheitelpunktform begegnen.

    Tipps

    Um einen quadratischen Term quadratisch zu ergänzen, wird das Quadrat der Häfte des Faktors vor dem $x$ einmal addiert und gleich wieder subtrahiert.

    Verwende die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Hier siehst du ein Beispiel für eine quadratische Ergänzung.

    Die Scheitelpunktform der Gleichung ist: $2(x+1)^2+2$.

    Die Aussage $2x^2+4x+4=2(x+1)^2+2$ ist also wahr.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wird aufgezeigt, wie man einen quadratischen Term ergänzen kann.

    Zunächst wird der Faktor vor dem $x^2$ ausgeklammert:

    $2x^2+4x+4=2(x^2+2x+2)$.

    Nun rechnen wir zunächst mit dem Term in der Klammer weiter und ergänzen quadratisch:

    $x^2+2x+2=x^2+2x+1-1+2=x^2+2x+1+1$.

    Die ersten drei Summanden können mit Hilfe der ersten binomischen Formel vereinfacht werden zu $x^2+2x+1=(x+1)^2$ und somit erhält man

    $x^2+2x+2=x^2+2x+1+1=(x+1)^2+1$.

    Zuletzt muss wieder mit dem Faktor $2$ multipliziert werden zu

    $2x^2+4x+4=2\left((x+1)^2+1\right)=2(x+1)^2+2$.

    Dies ist die sogenannte Scheitelpunktform, aus welcher der Scheitelpunkt $S(-1|2)$ abgelesen werden kann.

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