Quadratische Ergänzung – Aufgabe (2)

Quadratische Ergänzung – Aufgabe (2) Übung

• Bestimme, welcher Term eine korrekte Umformung von $x^{2}-12x+6^{2}$ darstellt.

  Tipps

  Für das Faktorisieren eines Terms mit Hilfe der binomischen Formel gilt in diesem Fall folgender allgemeiner Zusammenhang:

  $a^{2}-2ab+b^{2}=\big(a-b\big)^{2}$.

  Du kannst dir auch zur Vereinfachung den gegebenen Term zunächst folgendermaßen zerlegen:

  $x^{2}-2 \cdot x \cdot 6 +6^{2}$.

  Lösung

  In der Abbildung kannst du erkennen, wie du mit Hilfe der zweiten binomischen Formel die richtige Umformung ausführen kannst.

  Dabei gilt folgender Zusammenhang:

  $a^{2}-2ab+b^{2}=\big(a-b\big)^{2}$.

  Du musst also einfach aus dem ersten und dritten Summanden des Terms die Wurzel ziehen, um die Summanden in der Klammer zu ermitteln.

  Als Ergebnis hast du aus der Summe eine Potenz gemacht. Später erleichtert dir diese Vorgehensweise das äquivalente Umformen, denn aus einer Summe könntest du keine Wurzel ziehen.

• Schildere, wie man die gegebene quadratische Gleichung $x^{2}-12x+11=0$ mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lösen kann.

  Tipps

  Du musst mit der quadratischen Ergänzung beginnen, um die Gleichung mit Hilfe der zweiten binomischen Formel in die Klammerform überführen zu können.

  Die quadratische Ergänzung bestimmst du aus der Hälfte der Zahl, die vor dem $x$ steht: Du musst das Quadrat dieser Hälfte einmal addieren und einmal subtrahieren.

  Du kannst aus einer Summe keine Wurzel ziehen – also musst du den Summanden hinter der Klammer auf die andere Seite bringen.

  Denke auch daran, dass die quadratische Gleichung $x^2=a^2$ immer zwei Lösungen hat, nämlich $x=a$ und $x=-a$.

  Lösung

  Hier sind alle Lösungsschritte, die weiter unten nochmals genauer erklärt werden:

  $ \begin{align} x^{2}-12x+11&=0 &|&~\text{quadr. Erg.}\\ x^{2}-12x+6^{2}-6^{2}+11&=0 &|&~\text{Faktorisieren mit bin. Formel}\\ \big(x-6\big)^{2}-6^{2}+11&=0 &|&~\text{Zusammenfassen}\\ \big(x-6\big)^{2}-25&=0 &|&~+25\\ \big(x-6\big)^{2}&=25 &|&~ \sqrt{} \\ x-6&= \pm 5 &|&~+6\\ x_{1}&=11\\ x_{2}&=1\\ \end{align} $

  Für die die quadratische Ergänzung bildest du die Hälfte der Zahl $12$ – also die Zahl $6$.

  Du musst die $6$ nur noch zum Quadrat nehmen und dann einmal addieren sowie subtrahieren: $+6^{2}-6^{2}$.

  Jetzt kannst du den Teilterm $x^{2}-12x+6^{2}$ mit Hilfe der zweiten binomischen Formel in eine Potenz überführen:

  $x^{2}-12x+6^{2}=\big(x-6\big)^{2}$.

  Den Rest kannst du einfach zusammenfassen: $-6^{2}+11=-25$.

  Nun hast du auf der linken Seite der Gleichung immer noch eine Summe stehen – allerdings kannst du die $-25$ auf die andere Seite bringen, sodass du nun die Wurzel ziehen kannst.

  Die Wurzel aus der Potenz lässt diese „verschwinden”, während die Wurzel aus $25$ ein positives und ein negatives Ergebnis erbringt.

  Du rechnest zum Schluss mit zwei Gleichungen weiter:

  $x-6=+5$ und $x-6=-5$.

  Am Ende ergeben sich als Lösung die Zahlen $1$ und $11$.

• Ermittle die Lösungen der Gleichung $x^{2}-4x+3=0$ mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

  Tipps

  Du musst mit der quadratischen Ergänzung beginnen, um die Gleichung mit Hilfe der zweiten binomischen Formel in die „Klammerform” überführen zu können.

  Du kannst aus einer Summe keine Wurzel ziehen.

  Denke auch daran, dass die quadratische Gleichung $x^2=a^2$ immer zwei Lösungen hat, nämlich $x=a$ und $x=-a$.

  Lösung

  Die Lösungsschritte, die weiter unten noch genauer erklärt werden, sehen folgendermaßen aus:

  $ \begin{align} x^{2}-4x+3&=0 &|&~\text{quadr. Erg.}\\ x^{2}-4x+2^{2}-2^{2}+3&=0 &|&~\text{Faktorisieren mit bin. Formel}\\ \big(x-2\big)^{2}-2^{2}+3&=0 &|&~\text{Zusammenfassen}\\ \big(x-2\big)^{2}-1&=0 &|&~+1\\ \big(x-2\big)^{2}&=1 &|&~ \sqrt{~} \\ x-2&= \pm 1 &|&~+2\\ x_{1}&=1\\ x_{2}&=3\\ \end{align} $

  Den Anfang bildet wieder die quadratische Ergänzung, also hier das Quadrat der Hälfte von $4$, das du einmal addieren und einmal subtrahieren musst.

  Aus den ersten drei Summanden kannst du mit Hilfe der zweiten binomischen Formel eine Potenz bilden.

  Der Restterm ergibt zusammengefasst die Zahl $-1$, die du dann auf die andere Seite bringen musst.

  Nach dem Wurzelziehen erhältst du zwei Gleichungen: $x-2=1$ und $x-2=-1$, die nach der äquivalenten Umformung zwei Lösungen ergeben.

• Ermittle die Lösung der Gleichung $x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=0$ mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

  Tipps

  Wenn du die Hälfte eines echten Bruchs suchst, kannst du entweder den Zähler halbieren oder den Nenner verdoppeln.

  Wenn man Brüche quadriert oder radiziert, musst du dies mit Zähler und Nenner separat tun.

  Du addierst oder subtrahierst Brüche, indem du diese vorher auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler ggf. erweiterst.

  Eine quadratische Gleichung kann eine, zwei oder auch keine Lösung haben.

  Eigentlich kannst du bei dieser Gleichung sogar auf die quadratische Ergänzung verzichten, da der Teilterm, der die linke Seite der Gleichung bildet, ein vollständiges Binom darstellt.

  Lösung

  Hier kannst du alle notwendigen Schritte erkennen, die weiter unten noch genauer erklärt werden:

  $ \begin{align} x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}&=0 &|&~\text{quadr. Erg.}\\ x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{16}&=0 &|&~\text{Faktorisieren mit bin. Formel}\\ \left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{16}&=0 &|&~\text{Zusammenfassen}\\ \left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}&=0 &|&~ \sqrt{~}\\ x-\frac{1}{4}&=0 &|&~+\frac{1}{4}\\ x&=\frac{1}{4}\\ \end{align} $

  Den Anfang bildet wieder die quadratische Ergänzung, also hier das Quadrat der Hälfte von $\frac{1}{2}$, das du einmal addieren und einmal subtrahieren kannst.

  Aus den ersten drei Summanden kannst du mit Hilfe der zweiten binomischen Formel eine Potenz bilden. Der Restterm ergibt zusammengefasst $0$. Es ist also auf der linken Seite nur noch die Potenz vorhanden – es handelt sich um ein vollständiges Binom.

  Nach dem Wurzelziehen erhältst du hier nur eine Gleichung, die nach der äquivalenten Umformung die Lösung $\frac{1}{4}=0,25$ ergibt.

• Gib an, welche Probe richtig ausgeführt wurde.

  Tipps

  Für die Probe musst du deine Lösung für $x$ in die Ausgangsgleichung einsetzen.

  $11^{2}$ bedeutet, dass du $11$ mit sich selbst multiplizieren musst.

  Lösung

  Für die Probe musst du alle Lösungen in die Ausgangsgleichung $x^{2}-12x+11=0$ einsetzen, um zu überprüfen, ob deine Berechnungen korrekt sind.

  Wir haben uns hier darauf beschränkt, die erste Lösung $x_{1}=11$ zu überprüfen.

  Der Abbildung kannst du entnehmen, wie das Ganze dann korrekt aussehen muss:

  Für $11^{2}$ kannst du alternativ auch $11 \cdot 11$ schreiben – rechnerisch macht das keinen Unterschied.

  Wenn die Probe – so wie in unserem Fall – mit einer wahren Aussage endet, dann hast du alles richtig gemacht.

  Sollte eine falsche Aussage entstehen, hast du entweder bei der Berechnung der Lösung einen Fehler gemacht oder die Probe falsch ausgeführt.

• Bestimme die Zahl durch Aufstellen einer quadratischen Gleichung, die du mit der quadratischen Ergänzung lösen kannst.

  Tipps

  Die Gleichung, die Tim wörtlich umschreibt, lautet $x^{2}+100=20x$.

  Um die Gleichung zu lösen, ist es von Vorteil, so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch eine „0” steht.

  Lösung

  Zuerst musst du hier eine quadratische Gleichung aufstellen. Das „Zwanzigfache” bedeutet, dass du mit $20$ multiplizieren musst und „vermehren” ist gleichbedeutend mit addieren.

  In der ersten Zeile kannst du die Gleichung als Ansatz und alle dann noch notwendigen Schritte erkennen:

  $ \begin{align} x^{2}+100&=20x &|& -20x\\ x^{2}-20x+100&=0 &|&~\text{quadr. Erg.}\\ x^{2}-20x+10^{2}-10^{2}+100&=0 &|&~\text{Faktorisieren mit bin. Formel}\\ \big(x-10\big)^{2}-10^{2}+100&=0 &|&~\text{Zusammenfassen}\\ \big(x-10\big)^{2}&=0 &|&~ \sqrt{~}\\ x-10&=0 &|&~+10\\ x&=10\\ \end{align} $

  Den Anfang bildet wieder die quadratische Ergänzung, also hier das Quadrat der Hälfte von $20$, das du einmal addieren und einmal subtrahieren kannst.

  Aus den ersten drei Summanden kannst du mit Hilfe der zweiten binomischen Formel eine Potenz bilden. Der Restterm hinter der Klammer ergibt zusammengefasst $0$.

  Es ist also auf der linken Seite nur noch die Potenz vorhanden – es handelt sich um ein vollständiges Binom.

  Nach dem Wurzelziehen erhältst du hier nur eine Gleichung, die nach der äquivalenten Umformung nur die Lösung $10$ hat.

  Die Zehn ist also die Zahl, an die Tim gedacht hat.