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Quadratische Ergänzung – Aufgabe (1)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Quadratische Ergänzung – Aufgabe (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadratische Ergänzung – Aufgabe (1)

Herzlich Willkommen zum Video „ Quadratische Gleichung - quadratische Ergänzung - Aufgabe 1 “. In dem folgenden Film wird dir vorgestellt, wie du mithilfe der quadratischen Ergänzung eine quadratische Gleichung lösen kannst. Du solltest bereits wissen, was eine quadratische Gleichung ist und das Verfahren der quadratischen Ergänzung kennen. Versuche zunächst die Aufgabe selbständig zu lösen. Nutze die Möglichkeit und halte das Video an, damit du dir die quadratische Gleichung in dein Heft notieren kannst. Verwende im Anschluss die quadratische Ergänzung zur Bestimmung der Lösungsmenge der vorliegenden quadratischen Gleichung. Viel Erfolg!

Transkript Quadratische Ergänzung – Aufgabe (1)

Hallo! Hier ist eine quadratische Gleichung und die möchte ich jetzt lösen, und zwar mithilfe der quadratischen Ergänzung. Die Gleichung lautet x2+8x-20=0. Was die quadratische Ergänzung ist, habe ich in einem anderen Film schon erklärt, deshalb möchte ich sie einfach hier nur ausführen. Quadratisch ergänzen bedeutet ja, das Quadrat der Hälfte der vorzahl von x addieren und subtrahieren. Das war jetzt ein bisschen schnell, das kann ich auch langsam sagen. Hier von dieser vorzahl vor dem x, davon bildet man die Hälfte, also man teilt durch 2, das Ergebnis wird quadriert und hier hinzu addiert und auch gleichzeitig wieder abgezogen. Das mache ich jetzt einfach mal vor. Bevor ich es noch mal erkläre. Hier steht also x2+8x. Die Hälfte von 8 die muss ich jetzt bilden, das ist 4. Die Hälfte wird quadriert, also 42. Dieses Quadrat wird addiert und auch wieder subtrahiert, hier -42 und der Rest wird einfach abgeschrieben, also -20=0. So sieht das jetzt aus. Warum haben wir das gemacht? Weil wir nämlich jetzt eine binomische Formel anwenden können, und zwar die erste binomische Formel. Das möchte ich kurz vormachen. Hier das ist ja die erste binomische Formel. Nicht wahr, hier ist das = Zeichen dazwischen. Ich kann jetzt hier eintragen x2+2×x×4+42. Wenn ich das also so hier hinschreibe, dann kannst du leicht erkennen, dass diese 3 Summanden das Gleiche sind wie das hier. Nur das hier eben, hier steht 8x und hier steht 2×x×4. Aber 2×x×4=8x und deshalb kann ich dann also hier auf diese 3 Summanden diese erste binomische Formel anwenden, indem ich nämlich hier schreibe, (x+4)2. Das ist ja das Gleiche wie das hier. Und dann möchte ich das auch mal machen. Es kommt hier jetzt also hin (x+4)2. Diese 3 habe ich zusammengefasst, den Rest muss ich noch hinschreiben. Nun -42, also man rechnet ja erst die 42 und dann kommt das - Zeichen davor, das ist also -16, -20=-36 und soll =0 sein und ich möchte die 36 auf die andere Seite bringen, damit hier das Quadrat alleine steht und ich hinterher die Wurzel ziehen kann. Denn aus Summen kann man ja keine Wurzeln ziehen, das weißt du ja. Deshalb kommt also mithilfe dieser Äquivalenzumformung die 36 auf die andere Seite. So, das haben wir bisher. Jetzt möchte ich aus dieser Gleichung hier die Wurzel ziehen und dann bekomme ich 2 Gleichungen. Nämlich die eine lautet dann \sqrt(x+4)2 ist nun x+4 und da wir jetzt alle -ach nein, das sage ich gleich- \sqrt36=6. Jetzt suchen wir aber alle Lösungen, alle Zahlen, die man für x einsetzen kann, sodas also diese Gleichung hier richtig ist und da könnte es also noch folgendes geben -das ist das Oder Zeichen- x+4=-6. Denn, wenn ich eine Zahl finde, für die gilt das x+4=-6 ist, dann ist ja diese Gleichung auch richtig. Wenn ich jetzt hier -6 quadriere, kommt ja +36 raus und das mache ich dann hier auf der anderen Seite auch und dann kommt da also (x+4)2 raus. Ja, wir suchen alle Lösungen entstehen jetzt hier 2 Gleichungen. Die sind aber auch schnell gelöst. Ich kann jetzt hier 4 auf die andere Seite bringen, indem ich nämlich -4 auf beiden Seiten rechne und dann steht hier also x=2, das ist die eine Möglichkeit. Die andere Möglichkeit ist, hier kann ich auch -4 auf beiden Seiten rechnen, dann steht auf der rechten Seite -10, damit ist also x=-10, die andere Möglichkeit. Die beiden Zahlen 2 und -10 kann man hier in diese Gleichung einsetzen und dann wird die richtig. Für alle anderen Zahlen wird diese erste Gleichung hier falsch. Damit ist das hier gelöst mit der quadratischen Ergänzung. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüs!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. ich kann das video nicht abspielen hab schon neu eingeloggt,seiten geschlossen etc :( vll schaff ich die übungen auch so.

    Von Claudia Gerloff, vor fast 6 Jahren
  2. @Lupo0211: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Martin B., vor fast 6 Jahren
  3. Hallo das Video lässt sich nicht abspielen

    Von Lupo0211, vor fast 6 Jahren
  4. danke! Erinnere mich jetzt auch, dass ich das im letzten Jahr gelernt habe

    Von Iukirschef, vor mehr als 7 Jahren
  5. @lukirschef:
    Bei der quadratischen Ergänzung steht nicht (-4)², sondern -4².
    Die Klammersetzung ist hier sehr wichtig.
    [-4]²=[-4]*[-4]=+16
    -4²=-16
    Wenn eine Klammer um die Minus 4 wäre, lautet das Ergebnis, wie du es richtig gesagt hast, + 16 (nicht 36). Hier subtrahieren wir aber 4², da wir vorher 4² addiert haben. Die + 4² brauchen wir zur Vervollständigung der binomischen Formel. Da wir aber nicht einfach 4² addieren dürfen, müssen wir gleichzeitig 4² wieder abziehen. Also - 4².
    Hier noch einmal die Umformung im Detail:
    x²+8x+0-20=0 |+4²-4² (also wurde die Gleichung nicht verändert)
    x²+8x+4²-4²-20=0
    (x+4)²-16-20=0 (Hier entsteht nun die -36)
    (x+4)²-36=0
    (x+4)²=36
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 7 Jahren
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Quadratische Ergänzung – Aufgabe (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Ergänzung – Aufgabe (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme, welcher Term die korrekte Umformung von $x^{2}+8x+4^{2}$ darstellt.

    Tipps

    Für das Faktorisieren eines Terms mithilfe der binomischen Formel gilt folgender allgemeiner Zusammenhang:

    $a^{2}+2ab+b^{2}=\big(a+b\big)^{2}$

    Du kannst dir auch zur Vereinfachung den gegebenen Term zunächst folgendermaßen zerlegen:

    $x^{2}+2 \cdot x \cdot 4 +4^{2}$

    Lösung

    In der Abbildung kannst du erkennen, wie du mithilfe der ersten binomischen Formel die richtige Umformung ausführen kannst.

    Dabei gilt folgender Zusammenhang:

    $a^{2}+2ab+b^{2}=\big(a+b\big)^{2}$

    Du musst also einfach aus dem ersten und dritten Summanden des Terms die Wurzel ziehen, um die Summanden in der Klammer zu ermitteln.

    Beachte aber: Wenn vor dem $x$ eine negative Zahl steht, kommt die zweite binomische Formel zum Einsatz, sodass in der Klammer ein Minus stehen würde.

    Am Ende hast du dann aus einer Summe eine Potenz gebildet. Später erleichtert dir dies das Wurzelziehen, denn aus einer Summe kannst du keine Wurzel ziehen.

  • Schildere, wie man eine quadratische Gleichung $x^{2}+8x-20=0$ mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen kann.

    Tipps

    Du musst mit der quadratischen Ergänzung beginnen, um die Gleichung mithilfe der ersten binomischen Formel in die Klammerform überführen zu können.

    Die quadratische Ergänzung bestimmst du aus der Hälfte der Zahl, die vor dem $x$ steht: Du musst das Quadrat dieser Hälfte einmal addieren und einmal subtrahieren.

    Du kannst aus einer Summe keine Wurzel ziehen – also musst du den Summanden hinter der Klammer auf die andere Seite bringen.

    Denke auch daran, dass die quadratische Gleichung $x^2=a^2$ immer zwei Lösungen hat, nämlich $x=a$ und $x=-a$.

    Lösung

    Wir wollen die quadratische Gleichung $x^{2}+8x-20=0$ lösen.

    Die quadratische Ergänzung ist die Hälfte der Zahl $8$ – also die Zahl $4$. Du musst die $4$ nur noch zum Quadrat nehmen und dann einmal addieren sowie subtrahieren:

    $x^{2}+8x+4^{2}-4^{2}-20=0$

    Jetzt kannst du den Teilterm $x^{2}+8x+4^{2}$ mithilfe der ersten binomischen Formel in eine Potenz überführen: $x^{2}+8x+4^{2}=\left( x+4\right)^{2}$. Wir erhalten:

    $\left( x+4\right)^{2}-4^{2}-20=0$

    Den Rest kannst du einfach zusammenfassen:

    $\left( x+4\right)^{2}-36=0$

    Nun hast du auf der linken Seite der Gleichung immer noch eine Summe stehen – allerdings kannst du die $-36$ auf die andere Seite bringen, sodass du im Anschluss die Wurzel ziehen kannst:

    $\left( x+4\right)^{2}=36$

    Die Wurzel aus der Potenz lässt diese „verschwinden”, während die Wurzel aus $36$ ein positives und ein negatives Ergebnis erbringt. Du rechnest zum Schluss mit zwei Gleichungen weiter:

    $x+4=+6$ und $x+4=-6$

    Am Ende ergeben sich als Lösung die Zahlen $2$ und $10$.

  • Bestimme die Glieder der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Die quadratische Ergänzung ergibt immer „0”.

    „Linear” bedeutet, dass der Exponent der Variablen $x$ „1” ist. Dieser Exponent muss nicht geschrieben werden.

    Das absolute Glied steht immer ohne eine Variable; ist also „nur” eine Zahl.

    Lösung

    Das $x^{2}$ lässt sich eindeutig als quadratisches Glied identifizieren – leicht erkennbar am Exponenten „2”.

    Das lineare Glied $8x$ ist durch den Exponenten „1” zur Basis $x$ gekennzeichnet, der natürlich nicht geschrieben werden muss.

    Das absolute Glied besteht lediglich aus einer Zahl ohne Variable. Natürlich könnte man sich hier auch ein $x^{0}$ denken.

    Die quadratische Ergänzung ist eine nachträgliche Einfügung, die sich immer zu „0” aufheben muss, um die gegebene Gleichung nicht aus dem Gleichgewicht zu bringen. Dies trifft hier auf den Ausdruck $+4^{2}-4^{2}=0$ zu.

    Die quadratische Ergänzung dient übrigens dazu, die Gleichung teilweise wieder mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren zu können.

  • Ermittle die Lösungen $x_1$ und $x_2$ der Gleichung $x^{2}-2x-8=0$ mithilfe der quadratischen Ergänzung.

    Tipps

    Du musst mit der quadratischen Ergänzung beginnen, um die Gleichung mithilfe der ersten binomischen Formel in die Klammerform überführen zu können.

    Du kannst aus einer Summe keine Wurzel ziehen. Denke auch daran, dass die quadratische Gleichung $x^2=a^2$ immer zwei Lösungen hat, nämlich $x=a$ und $x=-a$.

    Lösung

    Wir überlegen uns, wie wir die quadratische Gleichung $x^{2}-2x-8=0$ mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen können.

    Den Anfang bildet wieder die quadratische Ergänzung, also hier das Quadrat der Hälfte von $2$, das du einmal addieren und einmal subtrahieren musst:

    $x^{2}-2x+1^{2}-1^{2}-8=0$

    Aus den ersten drei Summanden kannst du mithilfe der zweiten binomischen Formel eine Potenz bilden. Der Restterm ergibt zusammengefasst die Zahl $-9$, die du dann auf die andere Seite bringen musst:

    $\begin{align} \left( x-1\right)^{2}-1^{2}-8&=0 \\ \left( x-1\right)^{2}-9&=0 \\ \left( x-1\right)^{2}&=9 \end{align}$

    Nach dem Wurzelziehen erhältst du zwei Gleichungen, $x-1=3$ und $x-1=-3$, die nach der äquivalenten Umformung zwei Lösungen ergeben. Diese lauten $x_1=-2$ und $x_2=4$.

  • Gib an, welcher Umformungsschritt richtig ist, um die Gleichung $(x+4)^2=36$ zu lösen.

    Tipps

    Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt davon ab, aus welcher Zahl die Quadratwurzel gezogen werden muss.

    Aus einer negativen Zahl kann man zum Beispiel keine Quadratwurzel ziehen, sodass in diesem Fall keine Lösung existiert.

    Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ergibt ein positives und ein negatives Ergebnis.

    Lösung

    Beim Lösen quadratischer Gleichungen gibt es insgesamt drei Möglichkeiten: eine Lösung, zwei Lösungen und keine Lösung.

    Das hat mit der Quadratwurzel zu tun, die du im Laufe der äquivalenten Umformung ziehen musst:

    Wenn die Zahl, aus der du die Wurzel ziehen willst, negativ ist, gibt es keine Lösung. Das ist nicht definiert, denn eine Quadratzahl kann im Umkehrschluss ja auch nie negativ sein.

    Wenn du aus 0 die Wurzel ziehst, erhältst du nur ein Ergebnis, sodass auch nur eine Lösung resultiert.

    Aus positiven Zahlen erhältst du immer zwei Ergebnisse, sodass du beim Weiterrechnen auch zwei Fälle unterscheiden musst, also zwei Lösungen erhältst.

    Hier der korrekte Lösungsweg mit allen weiteren Schritten zur Lösung:

    $\begin{align*} \big(x+4\big)^{2}&=36 &|&~ \sqrt{~} \\ x+4&= \pm 6 &|&~-4\\ x_{1}&=2\\ x_{2}&=10\\ \end{align*}$

  • Ermittle die Lösungen $x_1$ und $x_2$ der Gleichung $x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}=0$ mithilfe der quadratischen Ergänzung.

    Tipps

    Wenn du die Hälfte eines echten Bruchs suchst, kannst du entweder den Zähler halbieren oder den Nenner verdoppeln.

    Wenn man Brüche quadriert oder radiziert, musst du dies mit Zähler und Nenner separat tun.

    Du addierst oder subtrahierst Brüche, indem du diese vorher auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler ggf. erweiterst.

    Lösung

    Hier kannst du alle Lösungsschritte erkennen, die weiter unten nochmals genauer ausgeführt sind:

    $ \begin{align} x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}&=0 &|&~\text{quadr. Erg.}\\ x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\frac{4}{3}&=0 &|&~\text{Faktorisieren mit bin. Formel}\\ \left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}-\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\frac{4}{3}&=0 &|&~\text{Zusammenfassen}\\ \left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}-\frac{4}{9}&=0 &|&~+\frac{4}{9}\\ \left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}&=\frac{4}{9} &|&~ \sqrt{} \\ x-\frac{4}{3}&= \pm \frac{2}{3} &|&~+\frac{4}{3}\\ x_{1}&=\frac{2}{3}\\ x_{2}&=2\\ \end{align} $

    Den Anfang bildet wieder die quadratische Ergänzung, also hier das Quadrat der Hälfte von $\frac{8}{3}$, das du einmal addieren und einmal subtrahieren musst.

    Aus den ersten drei Summanden kannst du mithilfe der zweiten binomischen Formel eine Potenz bilden. Der Restterm ergibt zusammengefasst den Bruch $-\frac{4}{9}$, den du dann auf die andere Seite bringen musst.

    Nach dem Wurzelziehen erhältst du zwei Gleichungen, die nach der äquivalenten Umformung zwei Lösungen ergeben.

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