Quadratische Ergänzung

Quadratische Ergänzung Übung

• Bestimme die Faktorisierung.

  Tipps

  In der unteren Zeile steht die zweite binomische Formel. Du erhältst sie, indem du das Quadrat $(a-b)^2$ ausmultiplizierst und gleiche Terme zusammenfasst.

  Ergänze in der oberen Zeile den Term so, dass er von $64$ subtrahiert $0$ ergibt.

  Den Term $x^2 + 4x$ kannst du durch $0 = 4-4$ ergänzen und dann teilweise faktorisieren:

  $x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 -4 = (x+2)^2 -4$

  Lösung

  Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um einen quadratischen und einen linearen Term mittels der ersten oder zweiten binomischen Formel in ein Quadrat und ein Absolutglied umzuformen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

  $x^2 + px + q=0$

  Du kannst den Term auf der linken Seite so erweitern, dass er zu einem Quadrat und einem Absolutglied umgeformt wird. Dazu addierst und subtrahierst du $\big(\frac{p}{2}\big)^2$:

  $x^2 + px + q= x^2 +2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 +q$

  Nun kannst du auf der rechten Seite die Terme der binomischen Formel erkennen. Diese lautet:

  $(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot ab + b^2$

  Setzt du $a = x$ und $b=\frac{p}{2}$, findest du genau die ersten drei Terme der rechten Seite der Gleichung oben. Du kannst die Terme daher mit der binomischen Formel zusammenfassen:

  $x^2 +2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 +q = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2 +q$

  In dem Bild in der Aufgabe steht eine solche quadratische Ergänzung mit $p=-16$ und $q=0$. Du erhältst also:

  $x^2 - 16x = x^2 - 2 \cdot 8x - 8^2 - 8^2 = x^2 - 2 \cdot 8x + 64-64 = (x-8)^2 - 64$

• Bestimme die quadratische Ergänzung.

  Tipps

  Wähle als quadratische Ergänzung immer das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms.

  Beispiel: Betrachten wir den Term $x^2-12x$, so ist der lineare Term $-12x$ und der Koeffizient $-12$. Die Hälfte davon, also $-6$, nutzen wir dann, um die quadratische Ergänzung auszuführen:

  $x^2-12x+(-6)^2-(-6)^2$

  Hat der lineare Term ein negatives Vorzeichen, steht auch in der quadrierten Klammer ein negatives Vorzeichen.

  Den Term $x^2-14x$ kannst du durch das Quadrat von $7=\frac{14}{2}$ erweitern:

  $x^2 -14x = x^2-14x +7^2-7^2 = (x-7)^2 -7^2$

  Lösung

  Die quadratische Ergänzung dient dazu, einen quadratischen und linearen Term so umzuformen, dass sich ein quadratischer Term und ein Absolutglied ergeben. Ist der quadratische Term in der Form

  $x^2 + px$

  gegeben, kannst du mit $\big(\frac{p}{2}\big)^2$ erweitern. Dabei kann $p$ positiv oder negativ sein. Nach dem Erweitern kannst du die binomische Formel anwenden:

  $x^2 + px = x^2 + px + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2$

  So erhältst du aus dem gegebenen Term links einen Term rechts, der ein Quadrat und ein Absolutglied enthält.

  In der Aufgabe findest du folgende richtige quadratische Ergänzungen (mit Zwischenschritten):

  • $x^2+12x = x^2 + 2 \cdot (6x) +6^2 - 6^2 = (x+6)^2-36$
  • $x^2+px = x^2 + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + \frac{p^2}{4} -\frac{p^2}{4} =\big(x+ \frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2$
  • $x^2-16x = x^2 - 2 \cdot 8x + 8^2 + 8^2 =(x-8)^2 -64$

  Die folgenden quadratischen Ergänzungen dagegen sind falsch:

  • $x^2-16x \neq (x-8)^2 +64$

  Denn das Vorzeichen der $64$ auf der rechten Seite ist falsch.

  • $x^2-px \neq (x- p)^2 -p^2$

  Denn für die quadratische Ergänzung muss man als Subtrahend in der quadrierten Klammer die Hälfte des Koeffizienten $p$ des linearen Terms wählen. Entsprechend ist der zu ergänzende Term das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten $p$ des linearen Terms.

  • $x^2+12x \neq (x+12)^2-36$

  Hier ist fast derselbe Fehler passiert: Der Summand in der quadrierten Klammer muss die Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms sein, also hier $6$ statt $12$. Der zu ergänzende Term ist dann das Quadrat dieser Hälfte, also $6^2 = 36$. Dieser Term stimmt in der vorliegenden Ergänzung, aber er passt nicht zu dem Ausdruck in der Klammer und ergibt daher nicht die linke Seite der Gleichung.

• Erschließe die Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung.

  Tipps

  Die passende Umformung erkennst du an dem linearen Term.

  Ist der Term $x^2 + px$ gegeben, so kannst du mit $\big(\frac{p}{2}\big)^2$ erweitern und erhältst:

  $x^2 + px = \big(x+\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2$

  Für den Term $x^2 - 5x$ lautet die quadratische Ergänzung und Umformung wie folgt:

  $x^2 + 5x = x^2 + 2\cdot 2,5\cdot x + (2,5)^2 - (2,5) ^2 = (x-2,5)^2 - (2,5)^2$

  Lösung

  Die quadratische Ergänzung dient dazu, Terme ganz oder teilweise zu faktorisieren. Um die passende quadratische Ergänzung zu finden, kannst du dich an dem linearen Glied orientieren: Lautet der umzuformende Term $x^2 + px$, kannst du für die quadratische Ergänzung das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms verwenden, also $\big(\frac{p}{2}\big)^2$. Dann erhältst du mit der binomischen Formel:

  $x^2 + px = x^2 + 2 \cdot \frac{p}{2}x + \big(\frac{p}{2}\big)^2 - \big(\frac{p}{2}\big)^2 = \big(x-\frac{p}{2}\big)^2 -\big(\frac{p}{2}\big)^2$

  Diese Formel für die quadratische Ergänzung passt immer. Du musst aber das Vorzeichen von $p$ beachten.

  In der Aufgabe findest du folgende Umformungen (mit Zwischenschritten):

  • $x^2 -4x = x^2 - 4x + 2^2 - 2^2 = (x-2)^2 -4$

  • $x^2+2x = x^2 +2x +1^2 -1^2 = (x+1)^2-1$

  • $x^2 + 3x = x^2 +2 \cdot \frac{3}{2}x + \big(\frac{3}{2}\big)^2 - \big(\frac{3}{2}\big)^2 = \big(x+\frac{3}{2}\big) - \frac{9}{4}$

  • $x^2 - 6x = x^2 -6x + 3^2 - 3^2 = \big(x-\frac{6}{2}\big)^2 - 9$

  • $x^2-12x = x^2 -2 \cdot 6x +6^2 -6^2= (x-6)^2 - 36$

• Bestimme die quadratische Ergänzung.

  Tipps

  Der zu ergänzende Term ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms.

  Schreibe die Terme der quadratischen Ergänzung als gekürzte Brüche.

  Lösung

  Die quadratische Ergänzung dient meistens der Umformung und Faktorisierung quadratischer und linearer Terme. Ziel der Faktorisierung ist es, eine Summe aus einem quadratischen Term, einem linearen Term und einem Absolutglied in die Summe einer quadrierten Klammer und eines Absolutgliedes umzuformen. Die passende quadratische Ergänzung kannst du immer an dem linearen Term ablesen. Die Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms steht am Ende in der zu quadrierenden Klammer. Daher musst du mit dem Quadrat dieser Hälfte erweitern. Du erhältst dann folgende quadratische Ergänzungen und Umformungen:

  $\begin{array}{lllll} x^2 -14x &=& x^2 -14x +7^2 -7^2 &=& (x-7)^2-7^2 \\ \\ x^2 - 5x &=& x^2 -5x + \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 - \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 &=& \Big(x-\frac{5}{2}\Big)^2 - \Big(\frac{5}{2}\Big)^2 \\ \\ x^2 - 5x + 2 &=& x^2 -5x + \frac{5}{2}^2 - \frac{5}{2}^2 +2 &=& \Big(x-\frac{5}{2}\Big)^2 - \frac{17}{4} \end{array}$

• Berechne das Produkt.

  Tipps

  Das Quadrat einer Zahl oder eines Terms ist die Zahl oder der Term mit sich selbst multipliziert.

  Die erste binomische Formel lautet:

  $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

  Das Absolutglied enthält kein $x$.

  Lösung

  Die binomischen Formeln erhältst du durch Ausmultiplizieren der Produkte von Klammern. Die zweite binomische Formel lautet:

  $(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a\cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - 2ab + b^2$

  In dieser Aufgabe ist $a=x$ und $b=8$. Du erhältst also:

  $(x-8)^2 = (x-8) \cdot (x-8) = x^2 - 2\cdot 8\cdot x + 8^2 = x^2 - 16x + 64$

  Hierbei ist $x^2$ das quadratische Glied, $-16x$ das lineare Glied und $64$ das Absolutglied.

• Wende die quadratische Ergänzung an.

  Tipps

  Die quadratische Ergänzung kannst du als Addieren von $0$ zu einem Term oder als Addieren des gleichen Terms auf beiden Seiten einer Gleichung verwenden.

  Lösung

  Die quadratische Ergänzung wird hier verwendet, um die quadratische Gleichung $3 x^2 + 9x - 12 =0$ zu lösen. Dazu wird die Gleichung zuerst auf die Normalform gebracht. Dies geschieht durch Division beider Seiten durch den Koeffizienten von $x^2$, also durch $3$.

  Die äquivalente Gleichung $x^2 +3x -4=0$ kann man nun mittels quadratischer Ergänzung weiter umformen. Zuerst wird das Absolutglied durch Addition von $4$ auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Der zu ergänzende Term der quadratischen Ergänzung orientiert sich an dem Koeffizienten des linearen Terms und lautet $\big(\frac{3}{2}\big)^2$. Da es sich um eine Gleichung handelt, kann anstelle der Addition und Subtraktion von $\big(\frac{3}{2}\big)^2$ auf der linken Seite auch der Term $\big(\frac{3}{2}\big)^2$ auf beiden Seiten addiert werden.

  Mit der binomischen Formel kann jetzt die linke Seite der Gleichung zu dem Quadrat einer Klammer zusammengefasst werden. Zieht man aus der linken Seite die Wurzel, so ergibt sich eine Lösung der ursprünglichen quadratischen Gleichung.

  Hier ist die Rechnung zusammengefasst:

  $\begin{array}{lllll} & 3 x^2 + 9x - 12 &=& 0 & | :3 \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x - 4 &=& 0 & | +4 \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x &=& 4 & | \ \text{quadratische Ergänzung} \\ \Leftrightarrow & x^2 + 3x + \big(\frac{3}{2}\big)^2 &=& 4 + \big(\frac{3}{2}\big)^2 & | \ \text{binomische Formel} \\ \Leftrightarrow & \big(x+\frac{3}{2}\big)^2 &=& \frac{25}{4} & | \ \text{Wurzel ziehen}\\ \Leftrightarrow & \big(x+\frac{3}{2}\big) &=& \pm\frac{5}{2} & \end{array}$