Prozentrechnung – Waschlotion

Prozentrechnung – Waschlotion Übung

• Bestimme die richtigen Zahlen für den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert.

  Tipps

  Den Prozentwert bestimmen wir, indem wir einen gewissen Prozentsatz des Grundwertes nehmen.

  So ist zum Beispiel $10~\%$ von $200$ gleich $20$.

  Dabei ist $10~\%$ der Prozentsatz, $200$ der zugrundeliegende Grundwert und $20$ der Prozentwert.

  Der Prozentwert ist dabei in der Größe nicht auf den Grundwert beschränkt.

  Was würde zum Beispiel passieren, sollten $300~\%$ von $200$ bestimmt werden?

  Lösung

  In dieser Aufgabe wollen wir bestimmen, wie viel in der Flasche mit Waschmittel war, bevor es zu der Steigerung des Inhalts gekommen ist.

  Wir wollen also den Grundwert ausrechnen.

  Die aktuelle Füllmenge von $150~ml$ ist dabei unser Prozentwert. Der Prozentwert gibt ja an, wie viel in der Flasche ist, nachdem eine Änderung passiert ist.

  Die Besonderheit ist dabei der Prozentsatz. Er ist nämlich nicht, wie man vielleicht vermutet $20~\%$, sondern $120~\%$. Der ursprüngliche Inhalt wurde ja um $20~\%$ erhöht. Es kommt also zu der $100~\%$ noch $20~\%$ mehr Inhalt hinzu. Deshalb sind es $120~\%$.

• Berechne den Grundwert.

  Tipps

  Der Prozentwert ist immer ein Prozentsatz des Grundwertes.

  Jedoch kann der Prozentwert auch größer werden als der Grundwert. In diesem Fall muss man einen Prozentsatz wählen, der größer als $100$ ist.

  So ist zum Beispiel $10~\%$ von $20$ gleich $2$.

  Wenn wir jetzt aber einen großen Prozentsatz wählen, kann der Prozentwert auch größer sein als der Grundwert.

  So ist $1000~\%$ von $20$ gleich $200$.

  Vergiss nicht, dass man für $3~\%$ auch $\frac {3}{100}$ schreiben kann.

  Lösung

  Zunächst bestimmen wir die Variablen.

  Den Grundwert wollen wir bestimmen. $G$ ist also gesucht.

  Der Prozentwert ist die aktuelle Füllmenge. Also gilt $W=150$.

  Der Prozentsatz ist $120~\%$, da es eine Erhöhung um $20~\%$ gegeben hat. Also die $100~\%$ der ursprünglichen Menge plus eben diese Erhöhung.

  Nun können wir rechnen

  $G=W:p~\%=W\cdot100:p$

  $=150\cdot 100 :120=125$.

  Vor der Veränderung waren also $125~ml$ in der Flasche.

• Ermittle die richtigen Grundwerte.

  Tipps

  Die Gleichungen zur Berechnung der Grundwertes lauten

  $G=\frac {W}{p~\%}$ oder

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}$

  Wenn wir zum Beispiel wissen, dass $10~\%$ des Grundwertes gleich $2$ ist, dann können wir rechnen

  $G=\frac {W}{p~\%}=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {2 \cdot 100}{10}=20$.

  Der Grundwert sind also $G=20$.

  Lösung

  Wir benutzen zum Rechnen die Gleichung $G=\frac {W\cdot 100}{p}$.

  1. Der Grundwert ist gesucht. Hier ist die verkaufte Anzahl der CDs, nämlich $15$, der Prozentwert. Der Prozentsatz sind die $20~\%$.

  Wir rechnen also

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {15\cdot 100}{20}=75$.

  Anne hat vor dem Verkauf also $75$ CDs besessen.

  2. Hier entspricht der Prozentsatz den gelaufenen Prozent der Gesamtstrecke, also $16~\%$. Und die Anzahl der tatsächlich gelaufenen Kilometer, also $19~km$, ist der Prozentwert.

  Wir rechnen also

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {19\cdot 100}{16}=118,75$.

  Die Laufstrecke ist also $118,75~km$ lang.

  3. Wir rechnen wieder

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {12\cdot 100}{25}=48$.

  Die Sandburg von Jenny ist also $48~cm$ hoch.

  4. Wir rechnen wieder

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {99,22\cdot 100}{82}=121$.

  Beachte, dass hier $82~\%$ gerade den $99,22~ml$ entsprechen. In den Eimer gingen also $121~ml$ Wasser.

• Bestimme die Grundwerte.

  Tipps

  Benutze, um den Grundwert auszurechnen, wieder die Gleichung

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}$.

  Überprüfe immer, nach was eigentlich gefragt ist.

  Wenn die Flasche Waschmittel mit $150~ml$ einen $20~\%$ größeren Inhalt hat, dann war der Grundwert der Flasche $125~ml$. Wie kommt man darauf?

  Hier muss man mit $p~\%=120~\%$ rechnen, da ja die $100~\%$ des Grundwertes um $20~\%$ erhöht worden sind.

  So ergibt sich

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {150\cdot 100}{120}=125$.

  Lösung

  Wir benutzen wieder die Gleichung $G=\frac {W\cdot 100}{p}$, um die Grundwerte auszurechnen.

  1. Die $90~m$ von Renates Wurf ist der Prozentwert.

  Der Prozentsatz in diesem Fall sind $112,5~\%$, da zu den $100~\%$ von Johns Wurfweite, also dem Grundwert, noch die $12,5~\%$ dazukommen, welche Renate ja mehr hat.

  So rechnen wir

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {90\cdot 100}{112,5}=80$.

  John hat also $80~m$ weit geworfen.

  2. Auch hier müssen wir die $100~\%$ von Wolfgangs Haus mit den $10~\%$, die Barbaras Haus größer ist, addieren.

  So ergibt sich folgende Rechnung

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {22\cdot 100}{110}=20$.

  Wolfgangs Haus ist also $20~m $ hoch.

  3. Wir rechnen

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac {15\cdot 100}{60}=25$.

  Karla hat also $25$ Pflanzen in ihrem Garten.

• Bestimme den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert.

  Tipps

  Der Prozentwert ist immer ein gewisser Prozentsatz des Grundwertes.

  Der Prozentwert kann jedoch auch größer als der Grundwert sein, nämlich sobald der Prozentsatz über $100~\%$ liegt.

  So ist $10~\% $ von $20$ gleich $2$.

  Und $1000~\%$ von $20$ ist $200$.

  In beiden Fällen ist $20$ der Grundwert.

  Lösung

  Die Gleichung zur Berechnung des Grundwertes lautet

  $G=W:p~\%$.

  Somit haben wir

  • den Grundwert $G=125$,
  • den Prozentwert $W=150$ und
  • den Prozentsatz $p~\%=120~\%$.

• Ermittle die passenden Prozentwerte und Grundwerte.

  Tipps

  Bei diesen Aufgaben ist nicht immer nach dem Grundwert gefragt.

  Du musst dann die Gleichung $G=\frac {W\cdot 100}{p}$ gegebenenfalls nach dem Prozentwert umstellen.

  Auch hier musst du genau darauf achten, was gesucht ist.

  Denke an eine Flasche mit Waschmittel: Ihr Inhalt betrage jetzt $150~ml$, nachdem ihr Inhalt um $20~\%$ erhöht wurde. Gesucht ist das alte Volumen.

  Hier rechnet man nicht mit $20~\%$, sondern mit $120~\%$, da zu den $100~\%$ des Grundwertes, ja noch $20~\%$ dazugekommen sind.

  Lösung

  Bei diesen Aufgaben ist teilweise nach den Prozentwerten gefragt.

  Wir stellen in diesen Fällen unsere Gleichung also um

  $G=\frac {W\cdot 100}{p} \Leftrightarrow W= \frac {G\cdot p}{100}$

  1. Hier ist der Grundwert die Bildschirmdiagonale des alten Fernsehers, also die $56~cm$. Der Prozentsatz ist $120~\%$, da der neue Fernseher ja um $20~\%$ größer ist.

  Zu den $100~\%$ des alten Fernsehers kommen also noch $20~\%$ hinzu.

  Wir rechnen also

  $W= \frac {G\cdot p}{100}=\frac{56\cdot 120}{100}= 67,2$.

  Der neue Fernseher hat also eine Bildschirmdiagonale von $67,2~cm$.

  2. Auch hier rechnen wir mit dem Prozentsatz von $110,5~\%$, da zu den $100~\%$ von Jörgs Pflanzen $10,5~\%$ mehr dazukommen.

  Jedoch ist hier nach dem Grundwert gefragt, da wir ja wissen, wie viele Pflanzen Jonathan hat.

  So rechnen wir mit unserer alten Gleichung

  $G=\frac {W\cdot 100}{p}=\frac{221\cdot 100}{110,5}=200$.

  Jörg hat also $200$ Pflanzen in seinem Garten.

  3. Wir rechnen zunächst die Länge des abgesägten Stückes aus:

  $W= \frac {G\cdot p}{100}=\frac{800\cdot 61}{100}= 488$.

  Jedoch war nach dem verbleibenden Holz gefragt. Wir rechnen also noch $800~mm-488~mm=312~mm$.

  Es bleiben also noch $312~mm$ Holz übrig.