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Prozentrechnung – Sektenmitglieder

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik

Prozentrechnung – Sektenmitglieder

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Prozentrechnung – Sektenmitglieder

Die Aufgabe im folgenden Video lautet: Die Mitgliederzahl einer Sekte ging von 6480 auf 6156 zurück. Wie könnte eine Frage zu dieser Aufgabenstellung lauten? Welche Werte sind dir gegeben und welche Größe ist gesucht? Versuche dir eine sinnvolle Frage auszudenken und verwende dein dir bereits bekanntes Wissen, um die Frage zu lösen. Zur besseren Übung solltest du zuerst versuchen die Aufgabe selbständig zu lösen. In Anschluss kannst du mithilfe des Videos überprüfen, ob du deine Frage sinnvoll gewählt und korrekt gelöst hast. Viel Erfolg!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Die Aufgaben haben mir sehr geholfen :-). Eine kleine Anmerkung von mir: Bei der Aufgabe 4 (Tapete) würde ich statt "gebrauchten" eher "benötigte" Menge benutzen.

    Von Holger Dettmer, vor etwa 5 Jahren

Prozentrechnung – Sektenmitglieder Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung – Sektenmitglieder kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert.

    Tipps

    Der Grundwert ist immer der ursprüngliche Wert. Also der Ausgangswert.

    Der Prozentwert ist hier die Anzahl der Mitglieder, die die Sekte verlassen haben.

    Der Prozentsatz ist das Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert. Er wird mit folgender Formel berechnet:

    $p~\%=\frac{W}{G}$.

    Der Prozentsatz wird in $\%$ angegeben.

    Lösung

    Die ursprüngliche Anzahl der Sektenmitglieder war $6480$. Damit ist dies unser Grundwert, also der Wert vor der Veränderung.

    Der Prozentsatz ist hier der gesuchte Wert, es ist gefragt, wie viel Prozent an Mitgliedern die Sekte verlassen hat.

    Nachdem einige Mitglieder aus der Sekte ausgetreten sind, gibt es noch $6156$ Mitglieder.

    In der Aufgabe ist jedoch nicht nach den verbliebenen Mitgliedern gefragt, sondern nach den Mitgliedern die ausgetreten sind. Wir berechnen diese Anzahl über die Differenz:

    $6480-6156=324$.

    Damit ist $324$ unser Prozentwert.

  • Berechne den Prozentsatz.

    Tipps

    Der Prozentwert ist ein gewisser Prozentsatz des Grundwertes.

    Wenn man mit Prozenten rechnet, kann man sie auch wie folgt umformen

    $7~\%=\frac{7}{100}$.

    Der Prozentsatz wird im allgemeinen immer in Prozent angegeben.

    Die Prozentzahl ist immer der eigentliche Wert des Prozentsatzen. Sie wird als einfache Zahl angegeben.

    Lösung

    Wir legen zunächst die Variablen fest.

    Unser gesuchter Wert ist der Prozentsatz $p~\%$ bzw. die Prozentzahl $p$.

    Der Grundwert ist die Anzahl der Mitglieder vor dem Austritt und somit gilt:

    $G=6480$.

    Der Prozentwert entspricht der Anzahl der ausgetretenen Mitglieder. Wir berechnen ihn, indem wir die Differenz bilden zwischen der ursprünglichen Anzahl an Mitglieder und der Anzahl nach den Austritten.

    Es gilt somit für den Prozentwert $W$:

    $W=6480-6156=324$.

    Den Prozentsatz berechnen wir also mit der folgenden Formel:

    $p~\%= \frac W G\mathrel{\hat=} \frac{324}{6480}=\frac{5}{100}=5~\%$.

    Wenn wir die Prozentzahl ausrechnen, nutzen wir dann die Formel:

    $p=\frac{W\cdot 100}{G}\mathrel{\hat=}\frac{324\cdot 100}{6480}=5$.

  • Ermittle die richtigen Prozentsätze.

    Tipps

    Benutze am besten die Formel zur Berechnung der Prozentzahl:

    $p=\frac {W\cdot100}{G}$,

    beziehungsweise die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes:

    $p\%=\frac {W}{G}$ .

    So kannst du die gesuchten Werte gut bestimmen.

    Wir betrachten ein Beispiel.

    Wir haben als Grundwert $G=400$ und als Prozentwert $W=80$.

    Nun soll der Prozentsatz bzw. die Prozentzahl bestimmt werden. Dazu rechnen wir

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac{80\cdot100}{400}=20$.

    Damit sind $20~\%$ von $400$ gleich $80$.

    Versuche dir zu überlegen, was genau der Prozentwert ist. Ist danach gefragt, wie viel vom Grundwert noch da ist oder um wie viel sich der Grundwert geändert hat?

    Lösung

    Wir benutzen die Gleichung $p=\frac {W\cdot100}{G}$, um die einzelnen Prozentzahlen zu bestimmen.

    1. Wir wollen zunächst die Variablen bestimmen. Der Grundwert sind die $112$ Bücher von Jonas. Der Prozentwert sind die Anzahl an Büchern von Jacob und so gilt $W=84$.

    Wir setzen die Variablen ein und bekommen so

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac{84\cdot100}{112}=75$.

    Damit hat Jacob $75~\%$ so viele Bücher wie Jonas.

    2. Hier ist der Grundwert die Anzahl der Äpfel vor dem Verkauf. Wir können also $G=50$ setzen.

    Sophie hat $20$ dieser Äpfel verkauft und da nach dem Prozentsatz der verkauften Äpfel gefragt ist, können wir $W=20$ setzen.

    Wir haben die Variablen bestimmt und nutzen wieder die folgende Formel:

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac{20\cdot100}{50}=40$.

    Sophie hat also $40~\%$ ihrer $50$ Äpfel verkauft.

    3. Der Grundwert $G$ beträgt hier $80~cm$, also gilt:

    $G=80$.

    Der Prozentwert $W$ ist die Länge des verbleibenden Stückes Holz. Wenn von $80~cm$ $32~cm$ abgeschnitten werden, sind das also:

    $80-32=48$.

    Also ist $W=48$.

    In die Formel eingesetzt ergibt das:

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac{48\cdot100}{80}=60$.

    Also sind noch $60~\%$ Holz vorhanden. Also:

    $p~\%=60~\%$.

    Alternativ könnte man auch den Prozentsatz berechnen, der vom ursprünglichen Stück Holz abgeschnitten wurde und daraus schlussfolgern, wie viel Prozent noch vorhanden sind. Hierbei entspricht der Prozentwert $W$ dann den $32~cm$.

    Eingesetzt bedeutet das:

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac{32\cdot100}{80}=40$.

    Es sind $40~\%$ abgesägt worden. Da jedoch danach gefragt ist, wie viel Holz noch da ist, müssen wir dementsprechend $100~\%-40~\%=60~\%$ rechnen und erhalten ebenfalls, dass noch $60~\%$ vom ursprünglichen Stück Holz vorhanden sind. Also:

    $p~\%=60~\%$.

    4. Zunächst bestimmen wir den Grund- und Prozentwert aus der Aufgabe. Da danach gefragt ist, wie viel Prozent von Annes CDs Sandra hat, ist die Anzahl von Annes CDs der Grundwert also gilt:

    $G=50$.

    Also sind die 23 CDs, die Sandra besitzt der Prozentwert. Es gilt:

    $W=23$.

    In die allgemeine Formel eingesetzt ergibt das also:

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac{23\cdot100}{50}=46$.

    Sandra hat also $46~\%$ der Anzahl von Annes CDs.

  • Bestimme die Prozentsätze

    Tipps

    Benutze wieder die Formel

    $p=\frac {W\cdot100}{G}$,

    um die einzelnen Ergebnisse zu bekommen.

    Alternativ kannst du auch die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes nutzen:

    $p\%=\frac {W}{G}$.

    Achte dabei darauf, dass du das Ergebnis noch in Prozent angeben musst. Erhältst du beispielsweise als Ergebnis $\frac{10}{100} = 0,1$, so entspricht das $10~\%$.

    An einem Beispiel können wir das Ganze einmal durchrechnen.

    Uwe läuft eine $400~m$ lange Strecke und hat schon $80~m$ davon geschafft.

    Er will ausrechnen, wie viel Prozent der Strecke er schon gelaufen ist.

    Dazu rechnet er

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac {80\cdot100}{400}=20$.

    Uwe ist also schon $20~\%$ der Strecke gelaufen.

    Überlege dir, von welcher Menge ausgegangen wird. Dies ist die Grundmenge.

    Ist danach gefragt, um wie viel sich die Grundmenge geändert hat oder wie viel von der Grundmenge noch da ist? Je nachdem ergibt sich der Prozentwert.

    Lösung

    Wir benutzen wieder die Formel $p=\frac {W\cdot100}{G}$.

    1. Hier ist der Grundwert die Anzahl der Konzerte im letzten Jahr und damit $G=25$.

    Der Prozentwert ist die Anzahl der Konzerte in diesem Jahr. Wir setzten also $W=40$.

    Wir rechnen also

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac {40\cdot100}{25}=160$.

    Bastis Konzertbesuche von diesem Jahr entsprechen also $160~\%$ von denen vom Vorjahr.

    2. Der Grundwert ist hier der Verkaufspreis, wir setzen also $G=200$.

    Der Prozentwert ist in diesem Fall der Einkaufspreis und damit $W=160$.

    Wir setzen in die Gleichung ein:

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac {160\cdot100}{200}=80$.

    Emma hat den Stuhl also zu $80~\%$ des Verkaufspreises selbst eingekauft.

    3. Wir rechnen wieder

    $p=\frac {W\cdot100}{G}=\frac {60\cdot100}{125}=48$.

    Der Grundwert $G$ ist hier die Menge an Tapete, die benötigt wird, also gilt:

    $G= 125$.

    Der Prozentwert entspricht der Menge an Tapete, die Wolfgang schon besitzt. Also gilt:

    $W=60$.

    Damit hat Wolfgang schon $48~\%$ der benötigten Tapete.

  • Bestimme den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert in dem Text.

    Tipps

    Der Grundwert ist immer der ursprüngliche Wert und damit der Wert vor der Veränderung.

    Der Prozentwert ist ein gewisser Teil, ein gewisser Prozentsatz, von diesem Grundwert.

    Es ist immer wichtig zu verstehen, was genau gesucht ist.

    Hier ist gesucht, um wie viel Prozent die Mitgliederanzahl gesunken ist und nicht etwa, wie viel Prozent der ursprünglichen Anzahl noch Mitglieder in Sekten sind.

    Lösung

    Wir benutzen die Formel $p~\%=\frac W G$, um den Prozentsatz zu berechnen.

    Wir bestimmen die Variablen in dem Text.

    Der Grundwert ist die Anzahl der Mitglieder, bevor es zu den Austritten kam. Damit ist $G=6480$.

    Der Prozentwert ist die Anzahl der ausgetretenen Mitglieder. Er wird berechnet durch $W=6480-6156=324$.

    Hier ist wichtig zu verstehen, dass gesucht ist um wie viel Prozent die Anzahl der Mitglieder gesunken ist. Daher müssen wir auch die Differenz bestimmen, zwischen der alten Anzahl der Mitglieder und der aktuellen Anzahl der Mitglieder.

    Der Prozentsatz ist schließlich unser gesuchter Wert. Er wird in der Rechnung bestimmt.

    Wir setzen die einzelnen Variablen in die Gleichung ein und bekommen so

    $p~\%=\frac W G= \frac {324}{6480}=\frac 5 {100}=5~\%$.

    Die Anzahl der Mitglieder ist also um $5~\%$ zurückgegangen.

  • Ermittle die richtigen Prozentwerte.

    Tipps

    Hier ist nicht nach den Prozentsätzen gefragt. Du musst die Formel

    $p=\frac {W\cdot100}{G}$,

    beziehungsweise

    $p\%=\frac {W}{G}$

    also umstellen.

    Gesucht ist der Prozentwert $W$. Die Formel muss also umgestellt werden.

    Diese lautet dann:

    $W= \frac{p \cdot G}{100}$,

    beziehungsweise

    $W= p~\% \cdot G$.

    Beachte, dass du den korrekten Grundwert wählst. Die Wurfweite von Kai am dritten Trainingstag bezieht sich auf die geworfene Weite vom zweiten Trainingstag.

    Lösung

    Wir stellen zunächst die Gleichung um

    $\begin{align} p &= \frac {W\cdot100}{G} &|& \cdot G \\ p\cdot G &= W\cdot100 &|& :100 \\ W &= \frac{p \cdot G}{100} \end{align}$

    1. Wir berechnen nun also die Strecke vom Mittwoch. Dabei ist die Strecke vom Montag unser Grundwert, also $G=30$.

    Der Prozentsatz $p~\%$ ist ebenfalls gegeben, dieser beträgt $90~\%$. Also gilt:

    $p~\%=90~\%$.

    Daraus ergibt sich auch die Prozentzahl $p$. Diese entspricht:

    $p=90$.

    Setzen wir die gegebenen Werte in die umgestellte Formel ein, erhalten wir:

    $W=\frac{p\cdot G}{100}=\frac{90\cdot 30}{100}=27$.

    Also ist Sandra am Mittwoch $27~km$ gelaufen.

    Daraus ergibt sich eine Gesamtstrecke von:

    $30+27=57~km$.

    2. Wir berechnen zuerst die Wurfweite vom zweiten Trainingstag. Kai wirft $5~\%$ weiter als am ersten Trainingstag, also wirft er $105~\%$ der Weite vom ersten Tag.

    Also gilt für den Prozentsatz:

    $p~\%=105~\%$.

    Also ist die Prozentzahl $p=105$.

    Der Grundwert, also der Wert von dem ausgegangen wird, ist die Wurfweite vom ersten Trainingstag. Es gilt:

    $G=60$.

    Nun setzen wir diese Werte in die umgestellte Formel ein und erhalten:

    $W=\frac{p\cdot G}{100}=\frac{105\cdot 60}{100}=63$.

    Kai wirft also am zweiten Trainingstag $63~m$.

    Alternativ könnte man auch berechnen, wie viel denn $5~\%$ von den $60~m$, die Kai am ersten Trainingstag geworfen hat, sind. Dann wäre der Prozentsatz $p~\%=5~%$ beziehungsweise die Prozentzahl $p=5$. Der Grundwert ist aber natürlich trotzdem die Wurfweite vom ersten Tag, also:

    $G=60$.

    Eingesetzt ergibt das:

    $W=\frac{p\cdot G}{100}=\frac{5\cdot 60}{100}=3$.

    Also hat Kai am zweiten Tag $3~m$ weiter geworfen als am ersten Tag. Da wir wissen wollen, wie weit er insgesamt geworfen hat, müssen wir diese $3~m$ zu den $60~m$ vom ersten Trainingstag addieren und erhalten ebenfalls:

    $60~m+3~m=63~m$.

    Danach berechnen wir die Wurfweite vom dritten Trainingstag. Hier beträgt dann der Prozentsatz $p~\%=102~\%$ beziehungsweise die Prozentzahl $p=102$.

    Der neue Grundwert ist die geworfene Weite vom zweiten Trainingstag, also die eben berechneten $63~m$.

    Eingesetzt ergibt das:

    $W=\frac{p\cdot G}{100}=\frac{102\cdot 63}{100}=64,26$.

    Der weiteste Wurf von Kai war also $64,26~m$.

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