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Prozentrechnung – kurze Zusammenfassung

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Martin Wabnik
Prozentrechnung – kurze Zusammenfassung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Prozentrechnung – kurze Zusammenfassung

In der Prozentrechnung gibt es im Wesentlichen drei Grundaufgaben: 1) Es wird nach dem Prozentwert gefragt. Z.B.: Wie viel sind 20 % von 800? 2) Es wird nach dem Grundwert gefragt. Z.B.: 40 % wovon sind 160? 3) Es wird nach dem Prozentsatz gefragt: Z.B.: Wie viel Prozent sind 3 von 12?

Zu jedem dieser drei Fälle gibt es eine Formel, mit der du die gesuchte Größe ausrechnen kannst. Wenn du also weißt, wonach gesucht ist, brauchst du nur noch die gegebenen Größen in die entsprechende Formel einsetzen und kannst das Ergebnis ausrechnen. In einem Antwortsatz kannst du dann noch erklären, was das Ergebnis im Aufgabenzusammenhang bedeutet. Manchmal sind aber in Anwendungsaufgaben zur Prozentrechnung nicht alle Größen direkt gegeben. Z.B.: Wenn der Prozentwert gesucht ist und du zum Ausrechnen des Ergebnisses die entsprechende Formel nutzen möchtest, brauchst du den Prozentsatz und den Grundwert. Möglicherweise ist aber nur gegeben, aus welchen Teilen der Grundwert besteht, sodass du erst die Teile addieren musst, um den Grundwert zu erhalten. Oder es ist vielleicht nur angegeben, um wie viel Prozent sich der Prozentsatz ändert und eben nicht, welcher Prozentsatz dem gesuchten Prozentwert entspricht. Wenn du dann 100 % minus angegebener Prozentsatz rechnest, hast du aber trotzdem den Prozentsatz, mit dem du den Prozentwert ausrechnen kannst.

Transkript Prozentrechnung – kurze Zusammenfassung

Hallo! In der Prozentrechnung geht es meist um diese drei Größen hier. Es geht um den Grundwert. Um den Prozentwert. Und um den Prozentsatz. In den Aufgaben zur Prozentrechnung sind meist zwei dieser Größen gegeben und die dritte ist gesucht. Zum Beispiel in dieser Aufgabe hier: Wie viel sind 20% von 800? Ja meistens steht da nicht einfach nur eine 800 da, sondern das bedeutet dann irgendwas. Das sind dann 800 Äpfel oder 800 Kamele oder 800 Erbsen. Wer weiß, manche Leute zählen vielleicht auch Erbsen. Auf jeden Fall ist das so eine Grundaufgabe und da kann man sich als erstes überlegen, was ist gegeben und was ist gesucht. Der Grundwert ist immer das Ganze, das, was ursprünglich da ist. Und das sind bei uns diese 800 irgendwas. Der Prozentsatz, also hier p% ist auch gegeben. Steht nämlich hier, das sind die 20%. Gesucht ist das, was noch übrig bleibt, nämlich hier W, der Prozentwert. Diesen Prozentwert kann man ausrechnen mit einer kleinen Formel und zwar mit der hier. Prozentwert W = Grundwert G * p%. Dann können wir die entsprechenden Zahlen hier einfach einsetzen. Der Grundwert ist bei uns 800. Der Prozentsatz ist 20% und das kann gerne ohne Taschenrechner gehen. 1/10 sind 10%. 1/10 von 800 sind 80. 20% ist doppelt so viel. 160. Ja, so schnell kann man den Taschenrechner gar nicht rausholen.Diese Formel hier ist auch gebräuchlich: (Grundwert G * Prozentzahl p) / 100. Also kann man dann rechnen. Grundwert ist 800 * Prozentzahl. Das ist jetzt diese 20 hier, eben nicht 20%, sondern nur die 20, / 100. Und dann erhalten wir 160. Eine andere Aufgabe könnte lauten: 40% wovon sind 160. Und diese 160 bedeuten meistens was, zum Beispiel Bonbons. Und die Vorstellung dahinter ist, wir haben eine Gesamtheit von Bonbons und nehmen jetzt einen Teil davon, nämlich diese 40%. Dieser Teil besteht aus 160 Bonbons. Und die Frage ist, wie viele Bonbons haben wir insgesamt. Also was ist gegeben, was ist gesucht? Der Prozentsatz steht in der Aufgabe, nämlich hier. Der ist nicht gesucht. Der Prozentwert steht auch in der Aufgabe. Das sind die 160. Und gesucht ist der Grundwert. Und diesen Grundwert kann man mit einer kleinen Formel ausrechnen. Nämlich der Grundwertformel. Und dann müssen wir einsetzen den Prozentwert. Das sind 160 und der Prozentsatz ist 40%. Und dann haben wir also Grundwert = Prozentwert / Prozentsatz. Das geht auch relativ schnell ohne Taschenrechner. Wir wissen ja, dass 40% = 0,4 ist. Und ja 160/4 = 40 und geteilt durch 0,4 ist 400. Man kann auch diese Formel verwenden: Grundwert = (Prozentwert * 100) / Prozentzahl. Dann können wir einsetzen. Der Prozentwert ist 160. Dann * 100 und dann kommt hier die Prozentzahl hin. Also die 40. Und da kommt natürlich das Gleiche raus, nämlich 400.Eine weitere Grundaufgabe der Prozentrechnung könnte so aussehen: Wie viel% sind 3 von 12. und da bedeuten diese Zahlen meist auch etwas. Zum Beispiel könnte man sich einen kleinen Garten vorstellen mit einer Fläche von 12m². Es soll ein Beet angelegt werden mit einer Fläche von 3m² n. Auf dem Beet könnten dann Zwiebeln wachsen oder Bohnen. Oder man könnte Schokoladenbäume anpflanzen und die Frage ist jetzt, wie groß ist der Anteil dieses Beetes an der Fläche des Gartens. Und das soll in % ausgedrückt werden. Wir fragen uns wieder, was ist gegeben, was ist gesucht. Naja, nach den Prozenten ist gefragt, also suchen wir den Prozentsatz. Und gegeben ist der Grundwert und der Prozentwert. Der Grundwert ist das Ganze. Der Grundwert ist die Gesamtheit. Also hier diese 12 oder 12m², wenn man so will. Und der Prozentwert ist die 3. Ausrechnen können wir den Prozentsatz mit dieser Formel hier. Dann können wir hier die entsprechenden Zahlen einsetzen. Unser Prozentwert ist 3, der Grundwert ist 12. Naja, und das kann man kürzen. Das ist 1/4. 1/4 sind 25%. Wir können auch diese Formel verwenden. Da rechnen wir die Prozentzahl aus, nicht den Prozentsatz. Ist aber kein Problem, das kann man im Antwortsatz klären. Wir können einsetzen: 3, Prozentwert, * 100 / Grundwert 12. Und da kommt 25 raus. Und da kannst Du im Antwortsatz noch schreiben: 3 von 12 sind 25%. Zum Beispiel.Es gibt noch eine kleine Gedächtnisstütze für diese drei Formeln, die wir jetzt gesehen haben. Und das ist diese Prozentpyramide. Du kannst immer das zu halten, was du ausrechnen möchtest und siehst dann, was Du ausrechnen musst, um eben das auszurechnen. Zum Beispiel, wenn Du den Prozentwert ausrechnen möchtest, hast Du den zu und siehst Grundwert * Prozentsatz. Wenn du den Grundwert ausrechnen möchtest, siehst Du Prozentwert / Prozentsatz. Und wenn Du den Prozentsatz ausrechnen möchtest, rechnest Du Prozentwert / Grundwert. Ja das waren die drei grundlegenden Aufgaben der Prozentrechnung ganz kurz vorgestellt zur Wiederholung. Ich hoffe ich konnte deine Erinnerung ein bisschen auffrischen. Viel Spaß damit. Tschüss!

61 Kommentare

61 Kommentare
  1. sehr schlechte Bild Qualität und Beleuchtung aber das Video war sehr Hilfreich und gut erklärt finde diese Plattform echt super zum Lernen

    Von Thulche, vor 5 Monaten
  2. gut erklärt

    Von Hanneloreundpeter, vor fast 2 Jahren
  3. Ich würde mir wünschen, dass Sie die Zwischenschritte ausführlicher erklären. Es erscheint für sie natürlich logisch (Umwandlung in Dezimalzahlen), aber Zwischenschritte nicht hilfreich.
    Vielen Dank

    Von Sol Sol 1, vor fast 2 Jahren
  4. danke ich habe dafür eine 2 bekommen

    Von Alexianikita31, vor etwa 2 Jahren
  5. Sehr hilfreich, kompliment!

    Von Juwar2005, vor etwa 2 Jahren
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Prozentrechnung – kurze Zusammenfassung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung – kurze Zusammenfassung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie viele Bonbons mit zur Geburtstagsfeier genommen werden.

    Tipps

    Die Formel lautet:

    • $W=G \cdot p\%$

    Wir kennen den Grundwert $G$ und den Prozentsatz $p\%$.

    Die Größen sind wie folgt gegeben:

    • $G=200$ und $p\%=20\%$

    Lösung

    Gegeben ist der Grundwert. Dieser ist immer das Ganze, von dem man etwas wegnimmt. Hier ist $ G = 800 $ Bonbons.

    Den Prozentsatz erkennst du immer an dem Prozentzeichen $ p\% = 20\% $ .

    Du möchtest nun berechnen, wie viel $ 20\% $ von $ 800 $ sind. Du möchtest nämlich die Anzahl der Bonbons herausfinden, die Eva mit zur Geburtstagsfeier nimmt. Von insgesamt $ 800 $ Bonbons nimmt sie $ 20\% $ mit. Du musst also den Prozentwert ausrechnen.

    Prozentsatz und Prozentwert drücken etwas Ähnliches aus. Der Prozentsatz gibt dir prozentual an, wie viele Bonbons Eva mitnimmt, und der Prozentwert gibt dir an, wie viele Bonbons dem Prozentsatz entsprechen.

    Die Formel für den Prozentwert lautet wie folgt:

    • $W = G \cdot p\% $
    Durch Einsetzen der bekannten Größen erhalten wir:
    • $W= 800 \cdot 20\% = 160 $
    Eva nimmt $ 160 $ Bonbons mit zu der Feier.

  • Bestimme, wie viele Puzzleteile es insgesamt gibt.

    Tipps

    Möchtest du den Prozentwert berechnen, so verwendest du folgende Formel:

    • $W=G\cdot p\%$
    Diese Formel kannst du nach den anderen beiden Größen umstellen.

    Es ist hier der Prozentwert $W$ sowie der Prozentsatz $p\%$ bekannt. Gesucht ist der Grundwert $G$.

    Lösung

    Wenn Paula mit $ 160 $ Puzzleteilen nur einen Anteil von $ 40\% $ aller Puzzleteile hat, dann weißt du, dass es noch mehr Puzzleteile gibt.

    Die Gesamtzahl der Puzzleteile ist der gesuchte Grundwert $G$. Der Grundwert entspricht immer dem Ganzen, also $100\%$. Gegeben ist $W$ mit $160$ und $p\%$ mit $ 40\% $.

    Die Formel für den Grundwert ist $G = \dfrac{W}{p\%}$.

    Einsetzen des Prozentwertes und des Prozentsatzes ergibt $G = \dfrac{160}{40\%} = 400$.

    $ 400 $ Puzzleteile gibt es also insgesamt.

  • Bestimme, wie viel Prozent vom Geld bereits ausgegeben wurden.

    Tipps

    Das Dreieck unterstützt dich beim Aufstellen der jeweiligen Formel. Es gilt zum Beispiel:

    • $W=G\cdot p\%$
    Bevor du die passende Formel aufstellst, musst du festlegen, welche Größen gegeben und welche gesucht sind.

    Hast du die Formel aufgestellt, kannst du die gegebenen Größen einsetzen, um die gesuchte Größe zu berechnen.

    Lösung

    Bei der Berechnung gehst du wie folgt vor:

    Zuerst überlegst du dir, welche Größen gegeben sind.

    • $ 50 ~€ $ entspricht dem Grundwert. Das ist nämlich der Gesamtbetrag, der Klaus zur Verfügung steht.
    • $ 15 ~€ $ entspricht dem Prozentwert. Das ist der Betrag, den Klaus ausgegeben hat.
    Du suchst also den Prozentsatz $p\%$.

    Die Formel ist $ p\% = \frac {W}{G} $. Durch Einsetzen der bekannten Größen in diese Formel erhältst du folgende Rechnung:

    • $ p\% = \frac {15}{50} = 30~\% $
    Klaus hat also bereits $30~\% $ des Gesamtbetrags ausgegeben.

  • Erkläre, wie viel Prozent Manuel beim Kauf seiner Hose gespart hat.

    Tipps

    Der Grundwert ist immer das Ganze, er entspricht also immer $100\%$.

    Wenn du festgelegt hast, welche Größen bekannt sind, kannst du die Formel für die gesuchte Größe aufstellen. Es gilt zum Beispiel:

    $W=\dfrac{G\cdot p}{100}$

    Lösung

    Zuerst musst du ausrechnen, wie viel die Hose vor der Reduzierung gekostet hat. Dazu rechnest du wie folgt:

    • $ 30~ € + 20~ € $
    Das entspricht dem Grundwert $G$. Der Grundwert ist immer das Ganze. Er entspricht $100~\%$. So viel hätte Manuel eigentlich bezahlen müssen, wenn die Hose nicht reduziert worden wäre.

    Prozentwert $W$ und Prozentsatz $p\%$ beschreiben in dieser Aufgabe, wie viel Manuel gespart hat. Der Prozentwert $W$ beträgt $20 ~€$. Den Prozentsatz $p\%$ musst du ausrechnen. Nutze hierzu folgende Formel:

    • $ p = \frac {W \cdot 100}{G} $
    Einsetzen von $W$ und $G$ in die Formel ergibt:
    • $ p = \frac {20~€ \cdot 100}{50~€} = 40 $
    Denke immer an den Antwortsatz bei Textaufgaben: Manuel hat $40~\%$ gespart.

  • Gib die Formeln der Prozentrechnung an.

    Tipps

    Halte in deinem Dreieck immer die Größe zu, die du suchst!

    Prozent bedeutet „von Hundert“ und daher kannst du das Prozentzeichen mit $\frac1{100}$ ersetzen.

    Lösung

    Damit du dir die Formeln der Prozentrechnung gut merken kannst, nutze das Dreieck der Prozentrechnung als eine Eselsbrücke.

    Halte hier immer die Größe zu, welche du suchst!

    Deine Formeln sind dann:

    • $ p\% = \frac {W}{G} $
    • $W = G \cdot p\%$
    • $ G = \frac {W}{p\%} $
    Da Prozent „von Hundert“ bedeutet, kannst du das Prozentzeichen wie folgt durch $\frac1{100}$ ersetzen:

    • $ p = \frac {W\cdot 100}{G} $
    • $W = {G\cdot 100} \cdot p$
    • $ G = \frac {W\cdot 100}{p} $
  • Ermittle den fehlenden Prozentsatz.

    Tipps

    Es ist immer der Prozentsatz $p\%$ gesucht. Die Formel kannst du dem hier abgebildeten Dreieck entnehmen.

    Verwende folgende Formel:

    • $p\%=\dfrac WG$

    Lösung

    Bei allen Aufgaben musst du den Prozentsatz $p\%$ ausrechnen. Prüfe immer, ob du den passenden Prozentwert $W$ schon gegeben hast. Ansonsten berechne ihn noch.

    Beispiel 1

    Wenn Paul von $200$ Lakritzstangen bereits $160$ gegessen hat und wissen möchte, wie viel Prozent er noch übrig hat, muss er zunächst den passenden Prozentwert ausrechnen.

    • Den passenden Prozentwert errechnest du, indem du $200 - 160$ rechnest. Das sind $40$. Du weißt nun also, dass Paul $40$ Stück übrig hat. Nun kannst du auch den passenden Prozentsatz dazu berechnen:
    $ p \%= \frac {40}{200}=20~\%$

    • Deine Antwort lautet demnach: Paul hat noch $20~\%$ übrig.
    Beispiel 2

    Manuel kauft $30$ Stifte. $ 20$ davon verleiht er. Er möchte errechnen, wie viel Prozent er noch selbst von den Stiften übrig hat.

    • Berechne hierzu den passenden Prozentwert: $30 - 20 = 10$. Mit dem Prozentwert $10$ erhältst du:
    $ p \% = \frac{10}{30} = 33,\overline{3} ~\%$.

    • Manuel hat also noch $33,\overline{3}~\%$ der Stifte übrig.
    Beispiel 3

    Hanna soll insgesamt $3~\text{km}$ laufen. Sie hat bereits $450 ~\text{m}$ geschafft.

    • Du musst zunächst die gleichen Einheiten haben, damit du mit den Angaben rechnen kannst. Rechne $3 ~\text{km}$ wie folgt in $\text{m}$ um: $3 ~\text{km} = 3000~\text{m}$. Du rechnest dann:
    $ p \% = \frac {450}{3000} = 15 ~\%$

    • Hannah hat also schon $15~\%$ der Strecke geschafft.
    Beispiel 4

    Ina hat sich Geld geliehen: $30~€$ von ihrer Mutter, $20~€$ von ihrem Vater und $10~€$ von ihrem Bruder. $15~€$ hat sie nun gespart. Du willst wissen, wie viel Prozent sie noch sparen muss.

    • Du musst hier sowohl den Grundwert als auch den Prozentwert zunächst errechnen. Für den Grundwert rechne alle Schulden zusammen: $30~€ + 20~€ + 10~€ = 60~€$. Für den Prozentwert musst du ausrechnen, wie viel $€$ ihr noch von den Schulden fehlen. Sie hat bei $60~€$ schon $15~€$ gespart, also hat sie noch $60~€ - 15~€ = 45~€$ Schulden. Sie muss also noch $45~€$ sparen, das entspricht:
    $ p \% = \frac {45}{60} = 75 ~\%$

    • Sie muss also noch $75~\%$ sparen.
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