Prozentrechnung – Kaffeebohnenverkäufer 3

Prozentrechnung – Kaffeebohnenverkäufer 3 Übung

• Bestimme Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.

  Tipps

  Der Prozentwert ist ein Teil des Grundwertes.

  Du berechnest ihn, indem du einen gewissen Prozentsatz des Grundwertes nimmst.

  $25~\%$ von $200$ sind demzufolge $50$.

  $200 $ ist dabei der Grundwert, $25~\%$ der Prozentsatz und $50$ der Prozentwert.

  Lösung

  Der Grundwert ist immer die anfängliche Anzahl, in diesem Fall also die $500$ Bohnen.

  Der Verkäufer muss $90~\%$ seiner Bohnen verkaufen, und wir wollen wissen, wie viele Bohnen das sind. Damit ist unser Prozentsatz die $90~\%$.

  Es müssen letztlich $450$ Bohnen verkauft werden, somit ist $450$ unser Prozentwert.

• Gib die Gleichung an, mit welcher der Kaffeebohnenverkäufer die Anzahl der zu verkaufenden Bohnen berechnen kann.

  Tipps

  Prozentzahlen werden oft als Hundertstel angegeben.

  So kann $\large{3~\%}$ auch mittels $\large{\frac {3}{100}}$ oder $\large{0,03}$ geschrieben werden.

  Du kannst dir die Gleichung auch herleiten.

  Der Prozentwert ist immer ein Prozentsatz vom Grundwert.

  Überlege, was der Grundwert und was der Prozentsatz sein könnte.

  Lösung

  Der Prozentwert ist der Prozentsatz des Grundwertes, also ein Teil vom Ganzen.

  Wir stellen also die Gleichung

  $W=G\cdot p~\%$

  auf.

  Da man mit Prozentsätzen rechnet, indem man sie als Hundertstel schreibt, schreiben wir die Gleichung um zu

  $W=G\cdot p~\%=G\cdot \frac {p}{100}= G\cdot p : 100$

  Jetzt setzen wir noch die konkreten Zahlen ein und rechnen den Prozentwert aus:

  $W=500 \cdot 90 : 100= 450$

• Ermittle die gesuchten Prozentwerte.

  Tipps

  Verwende die Gleichung $W\mathrel{\hat=}G\cdot p~\%=G\cdot p : 100$, um die Prozentwerte zu finden.

  Wenn du von $300$ zum Beispiel $25~\%$ berechnen willst, dann rechnest du

  $W\mathrel{\hat=}G\cdot p~\%=G\cdot p : 100=300\cdot 25 :100 = 75$.

  Lösung

  Wir benutzen die Gleichung $W\mathrel{\hat=}G\cdot p~\%=G\cdot p : 100$.

  1. Der Grundwert sind hier die $30$ CDs, die Jonas am Anfang hatte. Er verschenkt $20~\%$, diese $20~\%$ sind der Prozentsatz.

  Wir rechnen also $W=G\cdot p : 100=30\cdot 20 : 100=6$. Jonas hat also $6$ CDs verschenkt. Was für eine Freude!

  2. Maras Flasche enthielt $2000~ml$, was somit unser Grundwert ist.

  Sie trinkt $12~\%$ davon, also ist $12~\%$ unser Prozentsatz.

  Wir setzen die Variablen wieder in die Gleichung ein: $W=G\cdot p : 100=2000\cdot12 : 100=240$.

  Mara trinkt also $240~ml$ aus ihrer Flasche.

  3. Wir rechnen wieder analog $W=G\cdot p : 100= 25\cdot32 : 100=8$.

  Daniel sägt also ein $8~cm$ langes Stück Holz ab.

  4. Wir rechnen wieder

  $W=G\cdot p : 100=400\cdot65 : 100=260$.

  Klara läuft also $260~m$, was $65~\%$ der $400~m$ langen Strecke entspricht.

• Bestimme die gesuchten Prozentwerte.

  Tipps

  Benutze wieder die Gleichung $W=G\cdot p : 100$.

  So kannst du die Prozentwerte bestimmen.

  Du kannst so zum Beispiel $12,5~\%$ von $200$ ausrechnen.

  Wir setzen ein

  $W=G\cdot p:100=200\cdot 12,5 : 100=25$.

  Lösung

  Wir nutzen wieder die Gleichung $W=G\cdot p : 100$.

  1. Der Grundwert sind die $70~m$ von Peters Wurf. Der Prozentsatz sind die $89~\%$, die Helmut anteilig von Peters Strecke wirft.

  Wir setzen in die Gleichung ein und rechnen den Prozentwert direkt aus:

  $W=G\cdot p \div 100=70\cdot 89 : 100= 62,3$.

  Helmut hat seinen Ball also $62,3~m$ weit geworfen.

  2. Wir benutzen wieder die Formel und berechnen so den Prozentwert:

  $W=G\cdot p : 100= 124\cdot 50 : 100=62$.

  Philipp erhält also $62$ Möhren von Sophie.

  3. Wir rechnen wieder analog und erhalten:

  $W=G\cdot p:100=220\cdot30:100=66$.

  Der Gemüseladen von Raphaela hat also $66$ unverkaufte, noch zu verkaufende Äpfel.

• Bestimme die inhaltliche Bedeutung der Zahlenwerte.

  Tipps

  Der Prozentwert ist immer ein Anteil am Ganzen. Er lässt sich mit Hilfe von Prozentsatz und Grundwert berechnen.

  So haben wir zum Beispiel den Grundwert $200$ und wollen $25~\%$ davon bestimmen. Der Prozentwert ist dann $50$.

  Lösung

  Wir bestimmen zunächst die Variablen, welchen wir nun häufiger begegnen.

  Der Grundwert $G$ ist die anfängliche Anzahl der Bohnen, in diesem Fall also die $500$ Bohnen. Der Prozentsatz $p~\%$ gibt die Menge der Bohnen an, welche verkauft werden müssen. Hier sind es $90~\%$. Der Prozentwert $W$ ist die Anzahl der Bohnen, die verkauft werden müssen, in diesem Fall der auszurechnende Wert.

  Wir können die Gleichung aufstellen und setzen die Zahlen dann ein:

  $\begin{align} W &= G\cdot p~\%\\ &= 500\cdot90~\%\\ &=450 \end{align}$

  Das ist übrigens äquivalent (gleichbedeutend} mit

  $\begin{align} W &= \frac{G \cdot p}{100}\\ &= \frac{500 \cdot 90}{100}\\ &= 450\\ \end{align}$.

  Das liegt daran, dass ein Prozentsatz $p~\%$ immer auch als Bruch oder Dezimalzahl geschrieben werden kann. Es gilt dabei $p~\%=\frac{p}{100}$.

• Bestimme die gesuchten Prozentsätze.

  Tipps

  Hier musst du zunächst die Prozentwerte bestimmen und anschließend die Prozentsätze.

  Um die Prozentsätze auszurechnen, musst zu die Gleichung $W=G\cdot p : 100$ umstellen.

  Beachte, dass sich hier auch die Grundwerte ändern.

  Lies die Aufgaben ganz genau und stelle so fest, wann was gesucht ist.

  Lösung

  Um die einzelnen Prozentwerte auszurechnen, benutzen wir wieder die Gleichung $W=G\cdot p : 100$

  Wenn wir jedoch zum Schluss die Prozentsätze ausrechnen wollen, müssen wir die Gleichung umstellen. So bekommen wir

  $W=G\cdot p : 100\rightarrow p=W\cdot 100 : G$

  1. Wir rechnen zunächst die Weite von Romans Wurf aus $W=G\cdot p : 100= 14,2\cdot 90 : 100=12,78$.

  Roman wirft also $12,78~m$, dies ist unser neuer Grundwert, um die Weite von Karols Wurf auszurechnen. Wir rechnen also

  $W=G\cdot p : 100=12,78\cdot 50 : 100=6,39$

  Karol wirft also $6,39~m$, dies benutzen wir um den Prozentsatz auszurechnen.

  $ p=W\cdot 100 : G=6,39\cdot 100 : 14,2=45$

  Karol erreicht also $45~\%$ von Nadias Wurf.

  2. Wir berechnen wieder als erstes die Anzahl der Bücher, die Ela im Jahr liest.

  $W=G\cdot p : 100=25\cdot60 : 100=15$

  Dies benutzen wir, um Marcels Anzahl an gelesenen Büchern auszurechnen.

  $W=G\cdot p : 100=15\cdot40 : 100=6$

  Nun benutzen wir die umgestellte Gleichung und rechnen so aus, wie viel Prozent der Menge an Büchern, die Henning liest, von Marcel jährlich gelesen werden.

  $ p=W\cdot 100 : G=6\cdot 100 : 25=24$

  Marcel liest also $24~\%$ der Bücheranzahl, die Henning liest.