Prozentrechnung – Kaffeebohnenverkäufer 2

Prozentrechnung – Kaffeebohnenverkäufer 2 Übung

• Bestimme Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.

  Tipps

  Der Prozentwert ist ein gewisser Anteil am Grundwert.

  Wenn wir $500$ Salzstangen vor uns liegen haben und davon $125$ an unsere beste Freundin verschenken wollen, so erhält sie einen Prozentsatz von $25~\%$.

  Lösung

  In diesem Fall suchen wir den Grundwert. Wir wollen ja wissen, wie viele Bohnen der Verkäufer anfangs hatte.

  Von diesem Grundwert hat er noch $15~\%$ übrig, damit sind die $15~\%$ der Prozentsatz.

  Der Prozentwert sind die verbleibenden $99$ Bohnen. Diese entsprechen $15~\%$ des ursprünglichen Grundwertes.

• Erstelle die Gleichungen, mit welchen sich der Grundwert berechnen lässt.

  Tipps

  Prozentsätze werden auch oft als Brüche geschrieben. So sind $2~\%=\frac {2}{100}$.

  In Hinblick auf diese beiden Schreibweisen erklären sich die beiden Rechnungen.

  Lösung

  Die Gleichungen für den Grundwert lauten

  $G=W:p~\%=99:15~\%=660$ oder

  $G=W\cdot 100:p=99\cdot 100:15=660$.

  Wir können dabei $15~\%=\frac {15}{100}$ setzen, das ist der einzige Unterschied.

  Dass die beiden Berechnungen äquivalent sind, erkennen wir anhand der folgenden Umformungen:

  $\begin{align} \frac{W}{p\%} & = \frac{99}{15\%}\\ & = \frac{99}{\frac{15}{100}}\\ & = 99 \div \frac{15}{100}\\ & = 99 \cdot \frac{100}{15}\\ & = \frac{99 \cdot 100}{15} = \frac{W \cdot 100}{p} \end{align}$

• Bestimme die jeweiligen Grundwerte.

  Tipps

  Bestimme zunächst, welche Werte gegeben sind und was gesucht wird.

  Die Gleichungen zur Berechnung des Grundwertes sind

  $G=\frac{W}{p~\%}$ und

  $G=\frac{W \cdot 100}{ p}$

  Lösung

  Wir nutzen die Gleichung $G=\frac{W \cdot 100}{ p}$.

  1. Hier ist der Prozentwert die $60$ und der Prozentsatz die $20~\%$, damit ist die Prozentzahl $20$. Wir rechnen also $G=\frac{60 \cdot 100}{20}= \frac{6000}{20}=300$. Julia hatte also $300$ Tomaten zu Beginn.
  2. Simon springt $304~cm$ weit, somit ist $304$ unser Prozentwert. Das sind $76~\%$ der Strecke von Nina. Wir rechnen also $G=\frac{304 \cdot 100}{76}= \frac{30400}{76}=400$. Nina springt also $400~cm$ weit.
  3. Wir rechnen genauso $G=\frac{48 \cdot 100}{15}= \frac{4800}{15}=320$.
  4. Wir rechnen wieder $G=\frac{296 \cdot 100}{80}= \frac{29600}{80}=370$.

• Bestimme die richtigen Grundwerte.

  Tipps

  Die Gleichungen zur Berechnung des Grundwertes sind

  $G=\frac{W}{p~\%}$ und

  $G=\frac{W \cdot 100}{ p}$.

  Hier ist wichtig, dass du nicht den Überblick verlierst.

  Die zunächst ausgerechneten Grundwerte werden zu den neuen Prozentwerten.

  Lösung

  Wir benutzen wieder die Formel $G=\frac{W \cdot 100}{ p}$.

  1. Der Prozentwert ist zunächst $228~cm$ und der Prozentsatz $76~\%$. Wir berechnen wieder den Grundwert $G=\frac{W \cdot 100}{ p}=\frac{228 \cdot 100}{ 76}= 300$. Dieses Ergebnis ist nun unser neuer Prozentwert, denn wir wollen den Grundwert hiervon ausrechnen. Der neue Prozentsatz ist im Text zu finden, er ist $80~\%$. Wir rechnen also wieder $G=\frac{W \cdot 100}{ p}= \frac{300 \cdot 100}{ 80}=375$. Also springt Anne $375~cm$ weit.
  2. Wir rechnen wieder analog $G=\frac{W \cdot 100}{ p}= \frac{89,6 \cdot 100}{ 112}= 80$ und nun noch einmal $G=\frac{80 \cdot 100}{ 160}= 50$. Steffan hat also $50~l$ in seinem Eimer.

• Bestimme Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz und Prozentzahl.

  Tipps

  Vergiss nicht, dass der Prozentwert ein gewisser Teil des Grundwertes ist.

  Prozentwert und Prozentsatz hängen voneinander ab.

  So gilt:

  $500 \cdot 25~\%=125$, aber

  $500 \cdot 20~\% = 100$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe ist der gesuchte Wert der Grundwert. Also ist der Grundwert unser Ergebnis, die $660$.

  Der Prozentsatz sind die $15~\%$. Und der Prozentwert sind die $99$.

  Unsere allgemeine Formel lautet $G=W:p~\%=\frac{W \cdot 100}{p}$

• Bestimme die richtigen Prozentwerte und Prozentsätze.

  Tipps

  Verwende wieder eine der beiden äquivalenten (gleichwertigen) Formeln:

  $G=\frac{W}{p~\%}$ oder

  $G=\frac{W \cdot 100}{p}$

  Jedoch musst du sie hier umstellen, da wir nicht die Grundwerte ausrechnen wollen.

  Überlege dir, wie viel Liter Wasser in dem Eimer insgesamt sind.

  Wenn von Jürgens Flaschen $25~\%$ Orangensaft enthalten, wie viele Flaschen sind das dann?

  Außerdem musst du darauf achten, welche Werte du zum jeweiligen Zeitpunkt als Grundwerte nimmst.

  Denn du hast zwei verschiedene Rechnungen mit zwei verschiedenen Grundwerten.

  Lösung

  Wir benutzen wieder die Gleichung $G=\frac{W \cdot 100}{p}$, welche ja gleichwertig zu $G=\frac{W}{p~\%}$ ist.

  Erste Aufgabe:

  Hier stellen wir zunächst die Gleichung um, denn wir wollen den Prozentsatz bestimmen. So bekommen wir $G=\frac{W \cdot 100}{p} \Leftrightarrow p=\frac{W\cdot 100}{G}$.

  Wir berechnen zunächst die Anzahl an Liter, welche sich nun im Eimer befinden. $7~l+2~l=9~l$.

  Somit haben wir unseren Prozentwert und können rechnen $p=\frac{W\cdot 100}{G}=\frac{9\cdot 100}{12}=75$.

  Also ist der Eimer zu $75~\%$ mit Wasser gefüllt.

  Zweite Aufgabe:

  Stellen wir die Gleichung nach $W$ um, so bekommen wir $G=\frac{W \cdot 100}{p} \Leftrightarrow W=\frac{G \cdot p}{100}$.

  So berechnen wir zunächst die Anfangszahl der Flachen mit Orangensaft $W=\frac{G \cdot p}{100} = \frac{200 \cdot 25}{100}= 50$.

  Jürgen hatte also ursprünglich $50$ O-Saft-Flaschen.

  Nun berechnen wir die Anzahl der zerbrochenen Flaschen mit O-Saft. Dabei ist $80$ unser neuer Grundwert. Wir rechnen also $W=\frac{g \cdot p}{100} = \frac{80 \cdot 10}{100} = 8$.

  Es sind also $8$ O-Saft-Flaschen zerbrochen. Um zu berechnen, wie viele Flaschen mit O-Saft Jürgen noch hat, rechnen wir $50-8=42$.

  Jürgen hat also noch $42$ Flaschen mit Orangensaft.