Prozentrechnung – Kaffeebohnenverkäufer 1

Prozentrechnung – Kaffeebohnenverkäufer 1 Übung

• Bestimme den Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz in der folgenden Aufgabe.

  Tipps

  Der Prozentwert wird ausgerechnet, indem man vom Grundwert einen gewissen Prozentsatz nimmt.

  Zum Beispiel sind $20~\%$ von $200$ Kaffeebohnen $40$ Kaffeebohnen.

  Dabei ist $200$ der Grundwert, $20~\%$ der Prozentsatz und $40$ der Prozentwert.

  Lösung

  Bei der Aufgabe ist die $500$ der Grundwert. Der Grundwert beschreibt, wie viele Bohnen am Anfang vorhanden waren. Der Grundwert entspricht immer $100~\%$.

  Die Zahl $240$ ist der Prozentwert. Der Prozentwert gibt an, wie viele Bohnen verkauft wurden und nicht wie viele Bohnen noch vorhanden sind.

  Wenn die Aufgabe in der Frage anders gestellt wäre, könnte der Prozentwert aber auch diesen Wert angeben.

  Der Prozentsatz ist die Angabe, wie viel Prozent des Grundwertes verkauft wurden. In unserem Fall sind das $\frac{240}{500}=\frac{48}{100}=48~\%$.

• Erstelle die richtigen Gleichungen, um den Prozentsatz bzw. die Prozentzahl auszurechnen.

  Tipps

  $1~\%$ wird auch oft als Bruch $\frac {1}{100}$ angegeben.

  Beachte den Unterschied zwischen $p$ und $p\ \%$.

  Es gilt $p\ \% = \frac{p}{100}$.

  Lösung

  Um den Prozentsatz auszurechnen, benutzen wir die Formel

  $p~\%= W:G$.

  Prozentzahlen werden auch oft als Brüche angegeben.

  Wir setzen in die Gleichung ein und erhalten $p~\%= W:G=240:500=\frac {48}{100}$.

  Das entspricht $48~\%$.

  Wenn wir die Prozentzahl ausrechnen, bekommen wir immer direkt den Zahlenwert der Prozentangabe. Deshalb muss die Gleichung noch mit $100$ multipliziert werden.

  Wenn wir einsetzen, bekommen wir folgende Gleichung:

  $p=W\cdot 100 :G=240\cdot100:500=48$.

• Ermittle die gesuchten Prozentsätze.

  Tipps

  Du kannst zwei Formeln benutzen:

  1. Für die Bestimmung des Prozentsatzes $p~\%= W : G$.
  2. Für die Bestimmung der Prozentzahl $p=W \cdot 100 : G$.

  Wenn der Grundwert zum Beispiel $200$ ist und $40$ der Prozentwert ist, dann können wir den Prozentzahl bestimmen, indem wir die Zahlen in die Formel einsetzen:

  $p=40\cdot 100 : 200 = 20$.

  $40$ sind also $20~\%$ von $200$.

  Lösung

  Wir verwenden in der Prozentrechnung die Formel $p=W \cdot 100 : G$. Dazu bestimmen wir immer zunächst die einzelnen Variablen in den Aufgaben und setzen sie dann in die Gleichung ein.

  1. Hier ist der Grundwert $G=80$. Der Prozentwert ist $50$. Wir berechnen die Prozentzahl $p=W\cdot 100 :G=50\cdot 100 : 80=62,5$. Also kann Eddy mit dem Ball $62,5~\%$ der Weite erreichen, die Annabell erreichen kann.
  2. Hier ist der Grundwert $600$ und der Prozentwert $390$. Damit berechnen wir die Prozentzahl wie folgt $p=W\cdot 100 :G=390 \cdot 100 : 600=65$. Also wurden schon $65~\%$ aus dem Keller gepumpt.
  3. Wir gehen wieder gleich vor und bekommen so $p=W\cdot 100 :G=70\cdot 100 : 200=35$, also $35~\%$.
  4. Wir gehen wieder gleich vor und bekommen so $p=W\cdot 100 :G=76,5\cdot 100 : 90=85$, also $85~\%$.

• Bestimme die gesuchten Prozentsätze.

  Tipps

  Auch hier ist die Formel $p~\%= W : G$ bzw. die Formel $p=W \cdot 100 : G$ zu beachten.

  Du musst immer drauf achten, was als Grundwert, als Bezugsgröße, angegeben ist.

  Es ist auch möglich, dass der Prozentwert größer als der Grundwert ist.

  In diesem Fall wird die Prozentzahl auch größer als $100$.

  Lösung

  Wir verwenden wieder die Formel $p=W \cdot 100 : G$ um die Prozentzahl auszurechnen und bestimmen so die Prozentsätze.

  1. Der Grundwert ist hier die Weite von Hannes Sprung, die $3,50$. Der Prozentwert ist der Sprung von Katharina, die $3,71$. Wir berechnen die Prozentzahl $p=W \cdot 100 : G=3,71 \cdot 100 :3,50=106$. Somit springt Katharina $106~\%$ von Hannes Sprung.
  2. Der Grundwert ist die $5600$ Einwohner. Wir wissen außerdem, dass nach den $10$ Jahren noch $4900$ Einwohner in der Stadt sind. Es war aber gefragt, um viel Prozent die Anzahl der Einwohner zurückgegangen ist. Also ist der Prozentwert die Anzahl $5600-4900=700$. Nun können wir die Gleichung wieder aufstellen und direkt einsetzen $p=W \cdot 100 : G=700 \cdot 100 :5600=12,5$. Die Anzahl der Einwohner ist also in $10$ Jahren um $12,5~\%$ zurückgegangen.
  3. Wir rechnen auf die gleiche Art $p=W \cdot 100 : G=52 \cdot 100 :65=80$, also $80~\%$.

• Bestimme den Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz in der folgenden Aufgabe.

  Tipps

  Der Prozentwert wird ausgerechnet, indem man vom Grundwert einen gewissen Prozentsatz nimmt.

  Der Grundwert gibt die Gesamtanzahl aller Objekte an.

  Lösung

  Der Grundwert ist die Anzahl der Bohnen zu Beginn. Es sind hier die $500$ Bohnen.

  Der Prozentwert sind die schon verkauften Bohnen, also $240$.

  Der Prozentsatz ist die Prozentangabe, die angibt, wie viel Prozent des Gundwertes schon verkauft wurde. Hier sind es $48~\%$.

• Bestimme das neue Gewicht des Kanisters.

  Tipps

  Auch hier ist die Formel

  $p=W\cdot 100:G$

  wichtig.

  Das Plastik hat nicht an Gewicht in der Nacht verloren. Das $1~kg$ des Plastik ist unser Prozentwert, der sich nicht verändert.

  Der neue Prozentsatz ist $2~\%$.

  Die bekannte Formel musst du nach dem Grundwert umstellen $G= W\cdot 100:p$.

  Lösung

  Hier liegt die Schwierigkeit darin, dass sich das Gewicht und damit auch der Grundwert ändert.

  Wir wissen, dass das Gewicht des Kanisters am Anfang zu $1~\%$ von dem Plastik kam. Da das Kanister am Anfang $100~kg $ gewogen hat, wiegt das Plastik $1~kg$.

  Das Plastik hat nicht an Gewicht in der Nacht verloren. Das $1~kg$ des Plastik ist unser Prozentwert, der sich nicht verändert.

  Vor der Nacht war die Gleichung:

  $p=1~kg \cdot 100 / 100~kg=1$.

  Das entspricht $p~\% = 1~\%$.

  Nach der Nacht ist das gleiche Gewicht des Plastiks, also unser Prozentwert, immer noch $1~kg$. Doch der Prozentsatz ist $2~\%$. $p$ ist also $2$.

  Nun müssen wir die Gleichung umstellen, um das neue Gewicht des Kanisters auszurechnen. Wir suchen also $G$.

  $p=W\cdot 100:G\Rightarrow G= W\cdot 100:p=1~kg\cdot 100 : 2 =50~kg$.

  Der Kanister wiegt nun also $50~kg$.