Prozentrechnung – Einwohner

Prozentrechnung – Einwohner Übung

• Bestimme den Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz in der folgenden Aufgabe.

  Tipps

  Der Prozentwert ist ein prozentualer Anteil des Grundwertes.

  Zum Beispiel sind $10~\%$ von $200$ die Zahl $20$. Dabei ist $200$ der Grundwert, $10~\%$ der Prozentsatz und $20$ der Prozentwert.

  Wie viel Prozent machen die verbleibenden Einwohner aus?

  Lösung

  Bei den $9800$ Einwohnern handelt es sich um den Grundwert. Es ist der Wert von dem wir den prozentualen Anteil bestimmen.

  Wir wissen, dass $3~\%$ der Einwohner weggegangen sind. Da jedoch nach den verbliebenen Einwohnern gesucht wird, ist der Prozentsatz der Anteil der verbliebenen Einwohner, nämlich $97~\%$.

  Der Prozentwert ist schließlich unsere gesuchte Einwohnerzahl nach 5 Jahren.

• Bestimme die richtigen Gleichungen für den Prozentwert.

  Tipps

  $p~\%$ ist der Prozentsatz. Prozente werden oft als Brüche dargestellt: $20~\%=\frac {20}{100}$.

  Die Prozentzahl zum Prozentsatz von $20~\%$ ist $20$.

  Lösung

  Die zwei Gleichungen für den Prozentwert sind

  $W=G\cdot p~\%=9800\cdot 97~\%=9506$ und

  $W=G\cdot p:100=9800\cdot 97:100=9506$.

  Der Unterschied ist, dass der Prozentsatz von $97~\%$ als Bruch $\frac {97}{100}$ geschrieben wird.

  Der Faktor $1000$ muss in den Gleichungen natürlich berücksichtigt werden.

• Bestimme die Prozentwerte.

  Tipps

  Benutze wieder eine der beiden Gleichungen:

  $W=G\cdot p~\%$ oder

  $W=G\cdot p:100$.

  Wenn du zum Beispiel den Grundwert $200$ hast und den Prozentsatz $20~\%$, dann berechnest du den Prozentwert so

  $W=G\cdot p~\%=200\cdot20~\%=200\cdot \frac {20}{100}=40$ oder so

  $W=G\cdot p : 100 = 200 \cdot 20 : 100=40$.

  Lösung

  Wir benutzen die Gleichung $W=G\cdot p:100$ und rechnen so alles aus.

  1. Hier ist der Grundwert $20~l$ und der Prozentsatz $82~\%$. Wir rechnen die Literanzahl also folgendermaßen aus $W=G\cdot p:100=20\cdot82:100=16,43$. In dem Eimer befinden sich also $16,43~l$ Wasser.
  2. Die von Sofia geworfenen $33$ Meter sind der Grundwert. Da Dennis also $4~\%$ kürzer wirft, wirft er nur $96~\%$ der Strecke von Sofia. Die $96~\%$ sind so der Prozentsatz. Wir rechnen wieder $W=G\cdot p:100=33\cdot 96 : 100=31,68$. Dennis wirft seinen Ball also $31,68$ Meter.
  3. Wir rechnen wieder gleich $W=G\cdot p:100=87\cdot 94 : 100=81,78$.
  4. Wir rechnen $W=G\cdot p:100=50\cdot 65 :100=32,50$.

• Ermittle die richtigen Prozentwerte.

  Tipps

  Auch hier solltest du eine der Gleichungen benutzen:

  $W=G\cdot p~\%$ oder

  $W=G\cdot p:100$.

  Achte immer genau auf die Formulierung. Manchmal ist der Prozentwert auch größer also der Grundwert.

  Lösung

  Wir nutzen wieder die Gleichung $W=G\cdot p:100$.

  1. Der Grundwert sind die $10~cm$, das Wachstum der Pflanzen von Annabell, und der Prozentsatz sind die $60~\%$. Denn Hannes wachsen $40~\%$ langsamer und damit immer noch $60~\%$ der Strecke von Annabells Pflanzen. Wir rechnen also $W=G\cdot p:100=10\cdot 60 : 100=6$. Die Pflanzen von Hannes wachsen also $6~cm$ pro Woche.
  2. Wir rechnen wieder mit der gleichen Formel $W=G\cdot p:100=350\cdot 96 : 100 = 336$.
  3. Wir rechnen wieder mit der gleichen Formel $W=G\cdot p:100=210\cdot 110 : 100 = 231$. Beachte hier, dass Miriam $110~\%$ an Bohnen hat im Vergleich zu Ben.

• Bestimme den Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz in der folgenden Aufgabe.

  Tipps

  Der Prozentwert ist ein Prozentsatz des Grundwertes.

  Der Grundwert gibt Anzahl aller Ausgangsobjekte an.

  Lösung

  Der Grundwert ist immer der Ausgangswert, also welche Einwohnerzahl am Anfang vorlag. Hier ist es die $9800$ Einwohner.

  Der Prozentsatz ist die Angabe, wie viel Prozent nun noch in der Stadt vorhanden sind. Hier sind es $97~\%$.

  Der Prozentwert ist die Anzahl der verbliebenen Einwohner. Hier berechnen wir ihre Zahl: $9506$.

• Ermittle die Prozentsätze in den folgenden Aufgaben.

  Tipps

  Hier brauchst du nicht nur die Gleichungen

  $W=G\cdot p~\%$ oder

  $W=G\cdot p:100$,

  sondern auch eine Formel, um die Prozentsätze ausrechnen zu können.

  Am besten stellst du eine der beiden Gleichungen um. Es gilt z.B. $p = W \cdot 100 : G$.

  Rechne zweimal Grundwerte aus.

  Rechne zunächst du einen Prozentwert aus und nutze diesen als neuen Grundwert. So kommst du weiter.

  Alternativ kannst du die Prozentsätze als Brüche schreiben und diese miteinander multiplizieren.

  Lösung

  Wir stellen zunächst die Gleichung $W=G\cdot p:100$ um, sodass wir auch $p$ ausrechnen können.

  $W=G\cdot p:100$ liefert $p = W \cdot 100 : G$. Wir rechnen zweimal Grundwerte aus. Zunächst berechnen wir einen Prozentwert aus und nutzen diesen als neuen Grundwert.

  1. Der erste Grundwert ist $G_1=12$. Die erste Prozentzahl ist $p_1=86$. So rechnen wir den ersten Prozentwert aus $W_1=G_1\cdot p_1:100= 12 \cdot 86 :100=10,32$. Also wirft Hugo den Stein $10,32 ~m$ weit. Diese Strecke ist unser neuer Grundwert, wenn wir die Wurfstrecke von Karl ausrechnen wollen. Also gilt $G_2=10,32$ und $p_2=75$. Wir berechnen die Wurfweite von Karl $W_2=G_2 \cdot p_2 : 100=10,32\cdot 75 : 100 = 7,74$. Karl wirft den Stein also $7,74~m$ weit. Nun wollen wir noch ausrechnen, wie viel Prozent das von der Wurfstrecke von Nadias Wurf ist. Wir nutzen die umgestellte Gleichung und setzen direkt ein: $p_3 = W_2 \cdot 100 : G_1=7,74\cdot 100 : 12=64,5$. Karl wirft den Stein also $64,5~\%$ so weit wie Nadia.
  2. Hier gehen wir genauso vor: Wir berechnen den ersten Grundwert $W_1=G_1\cdot p_1:100=86\cdot 93 : 100=79,98$. Als nächsten Schritt berechnen wir $W_2=G_2 \cdot p_2 : 100=79,98 \cdot 50 :100 = 39,99$. Nun rechnen wir noch aus, wie viel Prozent von der Größe von Svenjas Sandburg Maras Sandburg ausmacht: $p_3 = W_2 \cdot 100 : G_1=39,99 \cdot 100 : 86= 46,5$. Maras Sandburg ist also $46,5~\%$ so groß wie Svenjas.