Primzahlen – Einführung

Primzahlen – Definition

Primzahlen sind natürliche Zahlen mit besonderen Eigenschaften. Sie sind folgendermaßen definiert:

Primzahlen sind ganz besondere Zahlen in der Mathematik. Sie spielen in vielen Bereichen eine wichtige Rolle. Sehen wir uns ein paar Beispiele an.

Primzahlen bis 20

Zwischen den Zahlen $1$ und $20$ gibt es genau acht Primzahlen. Diese lauten:

$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ und $19$

Die neunte Primzahl ist die $23$.

Sind 0 und 1 Primzahlen?

Sowohl die $0$ als auch die $1$ sind keine Primzahlen:

• Die Zahl $0$ hat keinen echten Teiler, der kleiner wäre, als die Null selbst. Außerdem ist sie auch nicht durch sich selbst teilbar, da durch $0$ teilen nicht erlaubt ist.
• Die Zahl $1$ ist nur durch $1$ teilbar. Damit erfüllt sie zwar einerseits die Bedingung, durch $1$ und durch sich selbst teilbar zu sein. Andererseits handelt es sich ja zweimal um den gleichen Teiler – die Eins hat also nur einen Teiler – um eine Primzahl zu sein, müssten es aber genau zwei Teiler sein.

Primzahlen erkennen

Primzahlen sind also etwas ganz Besonderes. Aber wie genau kann man Primzahlen erkennen? Dazu müssen wir überprüfen, ob eine gegebene Zahl andere Teiler als die $1$ und sich selbst hat.

Bei der Überprüfung ist es nützlich, die Teilbarkeitsregeln zu kennen. Es gibt relativ einfache Teilbarkeitsregeln zu den Teilern 2, 5 & 10, den Teilern 3, 6 & 9 sowie zu den Teilern 4 & 8. Wir fassen die wichtigsten Regeln hier noch einmal zusammen:

Damit sind wir fit für ein paar Beispiele:

Die erste Primzahl in unserer Liste ist die $2$. Hier müssen wir noch nicht viel rechnen, denn die $2$ ist natürlich durch sich selbst teilbar und die $1$ ist die einzige kleinere Zahl, die als echter Teiler in Frage kommt. Die $2$ ist durch $1$ und durch sich selbst teilbar und damit die kleinste Primzahl – und die einzige Primzahl, die eine gerade Zahl ist.

Die $3$ ist eine ungerade Zahl, deswegen ist sie nicht durch $2$ teilbar. Sie ist damit ebenfalls nur durch $1$ und sich selbst teilbar, also ist sie auch eine Primzahl.

Nun betrachten wir ein etwas schwierigeres Beispiel und überprüfen die $17$.
Die $17$ ist eine ungerade Zahl, deswegen ist sie nicht durch $2$ teilbar. Wenn es andere echte Teiler geben würde, müssten diese auf jeden Fall kleiner als die Hälfte von $17$ sein. Das Doppelte von $9$ ist $18$ und damit schon größer als $17$ – also reicht es, nur die Zahlen $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ und $8$ zu überprüfen, da nur diese als mögliche Teiler in Frage kommen.

Die Quersumme von $17$, also die Summe ihrer Ziffern, ist $1 + 7 = 8$.
Weil die Quersumme $8$ nicht durch $3$ teilbar ist, ist auch die $17$ nicht durch $3$ teilbar. Da sie außerdem ungerade ist, ist die $17$ auch nicht durch $6$ teilbar. Und da die letzte Ziffer weder eine $0$ noch eine $5$ ist, scheidet auch die $5$ als Teiler aus. Bleiben noch die $4$ und die $7$. Die $17$ ist aber kein Teil der Vierer- oder Siebenerreihe und damit auch nicht durch diese Zahlen teilbar. Sie ist also eine echte Primzahl.

Primzahlen erkennen – Übung

Mit den folgenden Aufgaben kannst du die Anwendung der Teilbarkeitsregeln üben, um mögliche Teiler von verschiedenen Zahlen zu finden. Wenn es keine gibt, muss es sich um eine Primzahl handeln.

Primzahlen bis 100

In der folgenden Tabelle sind alle Primzahlen markiert, die zwischen $1$ und $100$ liegen:

Unter den Zahlen von $1$ bis $100$ sind alle Zahlen, die nicht in den Reihen des kleinen Einmaleins vorkommen, Primzahlen – und außerdem die Zahlen $2$, $5$ und $7$.
Normalerweise ist es nicht nötig, Primzahlen auswendig zu lernen. Mit den Teilbarkeitsregeln kannst du nämlich im Prinzip alle hier gezeigten und auch größere Primzahlen herleiten.

Um alle Primzahlen bis zu einer bestimmten, gegebenen Zahl zu finden, kann das Sieb des Eratosthenes genutzt werden.

Das Sieb des Eratosthenes

Eratosthenes war ein griechischer Mathematiker, der im 3. Jahrhundert vor unserer Zeit lebte. Er hat das nach ihm benannte Sieb des Eratosthenes bekannt gemacht – eine systematische Vorgehensweise zur Bestimmung von Primzahlen.

Diese Vorgehensweise wird immer bis zu einer bestimmten, gegebenen Zahl angewendet. Hier zeigen wir am Beispiel der ersten $20$ Zahlen, wie das Sieb funktioniert.

• Zuerst schreiben wir alle Zahlen von $2$ bis $20$ auf.
• Die $1$ lassen wir weg, weil diese Zahl keine Primzahl sein kann.
  Unsere Reihe bis $20$ sieht also so aus:

$\quad~~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9~~10~~11~~12~~13~~14~~15~~16~~17~~18~~19~~20$

• Die erste Zahl, die $2$, ist eine Primzahl. Wir markieren sie, zum Beispiel mit einem Kringel oder einer Farbe.
• Als nächstes können wir alle Vielfachen von $2$, also die geraden Zahlen streichen, weil sie auf jeden Fall mindestens die Teiler $1$, sich selbst und die $2$ haben. Daher sind sie keine Primzahlen.
  Damit verkürzt sich unsere Reihe folgendermaßen:

$\quad~~~ {\color{blue}{2}}~~3~~5~~7~~9~~11~~13~~15~~17~~19$

• Die nächste Zahl, die $3$, ist ebenfalls eine Primzahl. Also markieren wir auch diese farbig.
• Nun streichen wir alle Vielfachen von $3$, weil auch diese mindestens noch die $3$ als weiteren Teiler haben:

$\quad~~~ {\color{blue}{2}}~~ {\color{blue}{3}}~~5~~7~~11~~13~~17~~19$

• Die nächste Zahl, die $5$, ist ebenfalls eine Primzahl. Also könnten wir jetzt auch alle folgenden Vielfachen von $5$ streichen – allerdings gibt es in unserer Reihe bereits keine mehr:

$\quad~~~ {\color{blue}{2}}~~ {\color{blue}{3}}~~{\color{blue}{5}}~~7~~11~~13~~17~~19$

• Von der nächsten Primzahl, der $7$, gibt es auch keine weiteren Vielfachen mehr in dieser Reihe:

$\quad~~~ {\color{blue}{2}}~~ {\color{blue}{3}}~~{\color{blue}{5}}~~{\color{blue}{7}}~~11~~13~~17~~19$

• Ab der nächstfolgenden Primzahl $11$ kann es in der Reihe keine Vielfachen mehr geben, weil die Vielfachen in jedem Fall größer als die letzte Zahl $20$ wären.
• Alle Zahlen, die jetzt noch in der Reihe stehen, sind Primzahlen:

$\quad~~~ {\color{blue}{2}}~~ {\color{blue}{3}}~~ {\color{blue}{5}}~~ {\color{blue}{7}}~~ {\color{blue}{11}}~~ {\color{blue}{13}}~~ {\color{blue}{17}}~~ {\color{blue}{19}}$

Das Sieb des Eratosthenes funktioniert also so, dass wir bis zu einer gegebenen Zahl von unten nach oben gehend immer weitere Zahlen und deren Vielfache ausschließen (aussieben), bis nur noch Primzahlen in der Reihe übrigbleiben. Probier’ das doch mal selbst mit den ersten $50$ Zahlen aus!

Alle Primzahlen

Je größer eine Zahl ist, desto schwieriger ist es zu überprüfen, ob es sich um eine Primzahl handelt oder nicht. Es gibt mittlerweile aber spezielle Formeln und Programme, mit denen Computer Primzahlen bestimmen und immer neue Primzahlen finden können.
Für sehr große Primzahlen brauchen allerdings auch die schnellsten Computer sehr viel Zeit.

Alle Primzahlen können auch die besten Computer nicht finden, denn es gibt unendlich viele! Schon vor über $2\,000$ Jahren konnte der griechische Mathematiker Euklid mit einem mathematischen Beweis die Unendlichkeit der Primzahlen zeigen.

Primzahlen werden genutzt, um eine größere Zahl in ein Produkt kleinerer Faktoren zu zerlegen (die multipliziert wieder die größere Zahl ergeben). Das nennt man Primfaktorzerlegung.
Umgekehrt kannst du herausfinden, ob es sich bei einer gegebenen Zahl um eine Primzahl handelt, wenn du versuchst, diese in kleinere Faktoren zu zerlegen. Wenn die einzigen möglichen Faktoren $1$ und die Zahl selbst sind, handelt es sich um eine Primzahl.

Ausblick – das lernst du nach Primzahlen – Einführung

Du könntest dich weiter mit den Primzahlen und dem Sieb des Eratosthenes befassen. Oder vertiefe dein Wissen durch die Erkundung der Primfaktorzerlegung. Sei bereit, deine mathematischen Fähigkeiten im Umgang mit Zahlen zu erweitern!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Primzahlen