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Polynom – Definition 12:52 min

Textversion des Videos

Transkript Polynom – Definition

Hallo! Hier ist eine Definition, die etwas kompliziert aussieht. Die ist aber gar nicht so kompliziert, wie sie aussieht, vom Sinn her. Man baucht nur viele Zeichen, um sie zu definieren. Ich lese es einfach mal vor: Ein Polynom ist ein Term der Form: a[n]×xn+a[n-1]×xn-1+[und so weiter]+a[1]×x+a[0] Das reicht noch nicht; es müssen noch diese Eigenschaften hier erfüllt sein: (Man schreibt jetzt für den Ausdruck  "mit den Eigenschaften:" einfach "mit:") n Element N (Das heißt also, das kleine n ist eine natürliche Zahl, ist also ein Element der Menge der natürlichen Zahlen.) Diese Zahlen, die vor den x-en stehen, sag ich mal; also a[n], a[n-1], a[n-2], und so weiter ... a[n] bis a[0]. Diese Zahlen hier sollen also irgendwelche reellen Zahlen sein. Mit der Einschränkung noch, dass a[n], also diese erste Zahl hier vorne, ungleich 0 sein soll. Also, wenn ein Term diese Form hat und diese Eigenschaften erfüllt sind, dann ist es ein Polynom.   Es kommen noch 2 kleine Begriffe dazu, damit wir uns besser darüber unterhalten können: Wir haben den Grad des Polynoms - das ist der höchste Exponent, der hier an einem x steht. (Dieser Exponent ist ja schon wider kleiner als der. Das ist also der höchste Exponent. Das ist der Grad des Polynoms.) Und die Koeffizienten - das sind die Zahlen, die vor den Potenzen stehen. (Also xn, xn-1 und so weiter sind ja Potenzen, und die Zahlen, die davor stehen, heißen Koeffizienten. Oder man kann auch sagen, die Zahlen, die vor den x-en stehen. Das ist nicht ganz korrekt, aber ... so ungefähr.)   So, ich möchte noch 2 kleine Sachen hier einfügen, weil es unterschiedliche Schreiweisen für Polynome gibt, und damit du auch die Schreibweise wiedererkennst, die du vielleicht schon behandelt hast. Man kann hier noch an dieses x ein x1 dranschreiben. Das ist ein bisschen ... stringenter kann man vielleicht sagen, formal gesehen. Denn hier steht immer ein Index, und da steht diese Zahl noch mal - das ist dann der Exponent hier. Und das kann man hier genauso hinschreiben, dann passt das wieder mit dem Anderen zusammen. Und dir fällt ja auf, hier steht kein x. Auch da kann man ein x hinschreiben, nämlich ×x0, dann hat man das auch hier etwas einheitlicher. Manchmal wird es so geschrieben. Oftmals wird auch gerade x0 hier weggelassen, und die 1 hier auch weggelassen. Ich möchte jetzt an der Stelle auch gar nicht weiter darauf eingehen, was passiert, wenn x gleich 0 ist - ob dann 00 auch gleich 1 ist. Also, auf jeden Fall, man ist sich einig, wenn das x nicht 0 ist, dann ist x0 gleich 1. Deshalb ändert sich hier ja auch nichts, wenn man eine Zahl mit x0 multipliziert, also eine Zahl mit 1 multipliziert, dann ändert sich nichts. Die andere Sache, wenn x gleich 0 ist, da will ich im Moment gar nicht drüber reden, weil das auch ein bisschen uneinheitlich ist in den Ansichten, was damit gemeint sein kann, und ... Na ja, ich lasse es hier.   So. Wir brauchen jetzt sicher ein paar Beispiele. Ich glaube das wäre hilfreich, und ich möchte natürlich mit einfachen Beispielen anfangen. Und die Einfachheit richtet sich auch nach der Länge dieses Ausdrucks. DU siehst, es geht hier um das n. Man kann für das n natürliche Zahlen einsetzen. Und so grob kann man sagen, je größer das n, desto länger der Ausdruck. Es ist nicht hundertprozentig umrechenbar so, aber so ungefähr stimmt das. Und ich möchte mal mit einem n anfangen, das eben sehr klein ist. (Übrigens kann man hier auch noch hinschreiben N[0]. Das bedeutet, die 0 gehört ja auch zu den natürlichen Zahlen. Auch da geht man manchmal davon aus, dass die natürlichen Zahlen die 0 enthalten. Manchmal geht man davon aus, das die natürlichen Zahlen die 0 nicht enthalten, oder die Menge der natürlichen Zahlen die 0 nicht enthält. Hier soll aber die 0 eingeschlossen sein. Wenn man das betonen möchte, kann man noch die 0 and das N dranschreiben.) Also, ich möchte mit einem Polynom anfangen - mit einem Beispiel für ein Polynom, das sehr kurz ist. Ich möchte also für n 0 einsetzen. Das heißt, diese ganze Form reduziert sich dann auf diese Sache hier. Auf a[0]×x0. Und für a[0] kann man nun irgendeine reelle Zahl einsetzen. Ich nehme mal ... Weil die meisten Schüler Brüche nicht leiden können, und negative Zahlen auch nicht leiden können, nehme ich das mal, damit man sich daran gewöhnen kann. Es ist auch nicht gefährlich; -½ ist eine ganz normale Zahl. Die kann ich für a[0] einsetzen. Und dann bekomme ich hier einen Ausdruck dieser Form. Der hat diese Form. Das alles fällt weg, weil ich ja für n 0 eingesetzt habe. Ich könnte jetzt hier noch ×x0 dranschreiben. Und dann ist das hier ein Polynom vom Grad 0. (Ich nehme das einfach mal wieder weg.) Vielleicht denkst du dir jetzt, "Na ja, das ist einfach eine Zahl. Und zu behaupten, eine Zahl, einfach nur so, hätte also diese Form, sei ein Term dieser Form mit diesen Eigenschaften? Na ja, das ist ein bisschen ... sehr weit hergeholt." Okay, gebe ich zu. Stimmt. Das macht man aber auch nur der Vollständigkeit halber. Die Polynome fangen erst richtig an zu leben, wenn diese Ausdrücke hier etwas länger werden. Und deshalb schreibe ich jetzt hier auch mal weiter. Ich kann hier noch etwas anfügen. Nämlich ein x und noch eine normale Zahl, die 3 zum Beispiel. Da steht jetzt 3×x-½. 3×x-½ ist ein Polynom, und zwar weil 3×x-½ diese Form hat, und diese Eigenschaften noch dazu. Wenn man für n nämlich 1 einsetzt, dann haben wir hier stehen x1. Und wir können für a[1] 3 einsetzen. Für a[0] können wir -½ einsetzen. Das sind reelle Zahlen. Der führende Koeffizient hier, wie man so sagt, also an dem x steht, das den höchsten Exponenten hat - diese Zahl ist ungleich 0. Damit ist das hier ein Polynom.   So, das geht jetzt munter so weiter. Ich kann hier noch etwas anfügen. Und zwar -7×x². Und die Denkweise ist jetzt so: Wenn ich also für n 2 einsetze, dann ist der höchste Exponent hier eine 2. Dann ist a[n], also a[2] - ich habe ja für n 2 eingesetzt - ist dann -7; a[1] ist 3; a[0] ist -½. Und das Ganze hier ist ein Polynom, und zwar ein Polynom 2. Grades. Ich glaube da ist nicht weiter was dazu zu sagen.   Jetzt können wir das noch beliebig verlängern hier - ich kann noch zum Beispiel 1×x³ dazu schreiben. Das ist auch möglich; das ist kein Problem. Dann habe ich hier noch ein a[3]. Und wenn man das jetzt hier auffüllt, dann erhält man wieder die Form, die hier also angedeutet ist, durch diesen etwas komplizierten Ausdruck. Also das kann man auch so schreiben: a[3]×x3+a[2]×x2+a[1]×x1+a[0]. Wir können auch noch mal 0 dahinter schreiben. Und dann ist es glaube ich besser erkennbar, dass dieser Term hier, diese Form hat, und dass diese Form auch hier mit einhalten ist. Wenn man nämlich hier für das n 3 einsetzt, dann erhält man einen Ausdruck dieser Form. Und so kann das dann immer weitergehen, so kann man das Polynom immer länger machen.   Aber ich möchte noch auf eine Besonderheit hinweisen. Nämlich: Es können die Koeffizienten zwischendurch - also diese Koeffizienten hier, nicht der Erste - aber diese Koeffizienten können auch gleich = sein. Wir haben ja nur gesagt, hier, dass der führende Koeffizient - der Erste - ungleich 0 sein soll. Und das möchte ich jetzt auch mal vormachen, hier. Ich kann jetzt hier zum Beispiel statt -7 0 einsetzen. Dann ist a[2] gleich 0 - das ist okay. Aber das schreibt man normalerweise nicht so, denn 0×x² ist immer gleich 0. Das heißt, man lässt das eigentlich einfach weg. Dann haben wir also hier den Ausdruck (wenn man jetzt mal von der Lücke absieht): 1×x3+3×x1-½ Auch das ist ein Polynom; a[3] ist 1; a[2] ist 0; a[1] ist 3; und a[0] ist -½.   Und der Vollständigkeit halber möchte ich noch dazu sagen, dass man diese 1 hier ja normalerweise auch nicht hinschreibt, denn 1×x3 ist immer x³. Also, auch wenn hier keine Zahl vorne steht ... Das führt immer ein bisschen zu Verwirrung. Auch wenn vor dem x mit dem höchsten Exponenten keine Zahl steht, dann kann man sich immer eine 1 dazu denken. Und diese Lücke, die hält man normalerweise auch nicht ein, sondern man schreibt dann einfach x³ hier hin. Und "^1" lässt man in der Regel auch weg. Und das Multiplikationszeichen lässt man auch weg, und man schreibt einfach 3x. So, und dann kommen wir schon der Sache etwas näher, wie das eben normalerweise in Büchern auch zu finden ist. Also hier der Ausdruck x³+3x-½ ist ein Polynom, weil es ein Term dieser Form ist, und dieser Term außerdem diese Eigenschaften erfüllt.   Das war etwas viel dazu zu sagen. Ich finde, dass es nötig ist. Oft steht das ganz kurz in Büchern, aber es gibt hier viele kleine Details noch zu erwähnen. Aber damit sind wir jetzt fertig. Mehr Details gibt es glaube ich nicht. Viel Spaß damit!
Tschüss!    

6 Kommentare
  1. Wer es bisher nicht kapiert hat, versteht dieses Video auch nicht. Viel zu kompliziert.

    Von Davidjasper21, vor mehr als einem Jahr
  2. Super erklärt!!!

    Von Anika A. N., vor etwa 3 Jahren
  3. jagut... :(

    Von Familie 18, vor fast 4 Jahren
  4. Super Erklärung

    Von Sjaiboy, vor etwa 6 Jahren
  5. Also ich hab es verstanden, auf jeden Fall besser erklärt als im Buch!

    Von Dirkh76, vor fast 7 Jahren
  1. Zu kompliziert erklärt!!!

    Von Saydokan, vor etwa 7 Jahren
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Polynom – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Polynom – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Definition eines Polynoms.

    Tipps

    Zum Beispiel ist

    $x^2-2x+3$

    ein Polynom.

    Bei $x^2-2x+3$ ist

    • $a_2=1$,
    • $a_1=-2$ und
    • $a_0=3$ sowie
    • $n=2$.

    Eine sinnvolle Aneinanderreihung von Zahlen, Variablen und Operationszeichen wird als Term bezeichnet.

    Lösung

    Wie ist ein Polynom definiert?

    Ein Polynom ist ein Term der Form

    $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

    Dabei ist $n\in\mathbb{N}_0$ der höchste Exponent. Dieser wird auch als Grad des Polynoms bezeichnet.

    Die Faktoren $a_n,...,a_0\in\mathbb{R}$ vor den Potenzen $x^n, x^{n-1}, ... , x^1, x^0$ heißen Koeffizienten.

    Der Faktor vor der höchsten Potenz muss ungleich $0$ sein: $a_n\neq0$.

  • Gib an, welcher der Terme ein Polynom ist.

    Tipps

    Wenn eine Potenz mit $x$ nicht vorkommt, dann ist der entsprechende Koeffizient gleich $0$.

    Wenn der Faktor vor einer Potenz „fehlt“, dann ist der entsprechende Koeffizient $1$.

    Der allgemeine Term, welcher ein Polynom beschreibt, ist gegeben durch

    $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

    Der höchste Exponent eines Polynoms ist der Grad des Polynoms.

    Lösung

    Ein Polynom ist ein Term der Form

    $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

    Dabei

    • ist der höchste Exponent $n\in\mathbb{N}_0$ der Grad des Polynoms und
    • sind die Faktoren vor den Potenzen in $x$, $a_n,...,a_0$, die Koeffizienten. Es muss $a_n\neq 0$ gelten.
    Polynome sind zum Beispiel
    • $-\frac12$. Hier ist $n=0$ und $a_0=-\frac12$.
    • $3x-\frac12$. Hier ist $n=1$ und $a_1=3$ sowie $a_0=-\frac12$.
    • $x^3+3x-\frac12$. Hier ist $n=3$ und $a_3=1$, $a_2=0$, $a_1=3$ sowie $a_0=-\frac12$.
    Wenn eine Potenz mit $x$ nicht vorkommt, wie in dem letzten Beispiel bei $x^2$, dann ist der entsprechende Koeffizient gleich $0$.

    Wenn der Faktor vor einer Potenz „fehlt“, dann ist der entsprechende Koeffizient $1$.

  • Bestimme den Grad sowie die Koeffizienten des Polynoms $-7x^2 + 3x - \frac12$.

    Tipps

    Beachte, dass zum Beispiel

    $2=2x^0$

    ist. Hier ist $n=0$ und $a_0=2$.

    Der Grad eines Polynoms ist der höchste Exponent.

    Die Koeffizienten sind die Faktoren vor den Potenzen in $x$. Dabei ist der Index gerade der Exponent der Potenz.

    Beispiel: $x^2-2$. Hier ist $n=2$ und

    • $a_2=1$,
    • $a_1=0$ und
    • $a_0=-2$.

    Lösung

    Der Term $-7x^2+3x-\frac12$ ist ein Polynom.

    Der höchste Exponent ist der Grad des Polynoms. Dieser ist hier $2$.

    Die Koeffizienten sind die Faktoren vor den Potenzen in $x$. Dabei ist der Index des Koeffizienten gerade der Exponent der Potenz in $x$:

    • $a_2=-7$,
    • $a_1=3$ und
    • $a_0=-\frac12$.

  • Stelle die Polynome auf, welche das Volumen sowie die Oberfläche eines Quaders angeben.

    Tipps

    Verwende die Volumenformel für einen Quader:

    $V=a\cdot b\cdot c$,

    wobei $a$, $b$ und $c$ Länge, Höhe und Breite des Quaders sind.

    Die Oberfläche des Quaders ist die Summe aller Flächeninhalte der Seitenflächen des Quaders.

    Verwende die 1. binomische Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Das Volumen ist gegeben durch ein Polynom vom Grad $3$ und die Oberfläche durch ein Polynom vom Grad $2$.

    Lösung

    Das Volumen des Quaders ist gegeben durch das Produkt

    $(x+4)\cdot (x+4)\cdot x$.

    $(x+4)\cdot (x+4)=(x+4)^2$ kann mithilfe der 1. binomischen Formel berechnet werden:

    $(x+4)^2=x^2+8x+16$.

    Dieser Term muss nun noch mit $x$ multipliziert werden und man erhält für das Volumen $x^3+8x^2+16x$.

    Dies ist ein Polynom vom Grad $3$ mit $a_3=1$, $a_2=8$, $a_1=16$ sowie $a_0=0$.

    Für die Oberfläche müssen zwei Flächeninhalte berechnet werden:

    • Die Grundfläche hat den Inhalt $(x+4)^2=x^2+8x+16$. Diese Fläche kommt zweimal vor.
    • Eine Seitenfläche hat den Inhalt $(x+4)\cdot x=x^2+4x$. Diese Fläche kommt viermal vor.
    Insgesamt erhält man also für die Oberfläche

    $2(x^2+8x+16)+4(x^2+4x)=2x^2+16x+32+4x^2+16x=6x^2+32x+32$.

    Dies ist ein Polynom vom Grad $2$ mit $a_2=6$, $a_1=32$ sowie $a_0=32$.

  • Bestimme die Koeffizienten des Polynoms $-x^7+3x^4-2x+1$.

    Tipps

    Die allgemeine Form eines Polynoms lautet

    $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

    Ein Koeffizient ist ein Faktor vor einer Potenz mit $x$.

    Zum Beispiel ist bei $5x^2$ der Koeffizient $a_2=5$.

    Der Index des Koeffizienten ist der Exponent der entsprechenden Potenz.

    Es muss nicht jede Potenz mit $x$ vorkommen. Wenn eine Potenz fehlt, ist der zugehörige Koeffizient gleich $0$.

    Lösung

    Bei einem Polynom vom Grad $n$ muss der entsprechende Koeffizient $a_n\neq0$ sein. Alle anderen Koeffizienten können durchaus $0$ sein. Das bedeutet, dass die entsprechende Potenz in $x$ nicht in dem Polynom auftaucht.

    Bei dem oben angegebenen Polynom

    $-x^7+3x^4-2x+1$

    ist

    • $n=7$ der Grad des Polynoms und
    • $a_7=-1$, $a_4=3$, $a_1=-2$ sowie $a_0=1$.
    • Alle übrigen Koeffizienten sind gleich $0$: $a_6=a_5=a_3=a_2=0$.

  • Ermittle alle Polynome vom Grad $2$ oder $4$.

    Tipps

    Der Grad eines Polynoms ist der höchste Exponent.

    In der Definition eines Polynoms

    $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

    muss $a_n\neq 0$ sein.

    Alle Polynome sind nach der Höhe ihrer Exponenten geordnet. Das bedeutet, dass der höchste Exponent ganz links steht.

    Bei der Potenz $x^n$ ist $x$ die Basis und $n$ der Exponent.

    Lösung

    Der höchste Exponent eines Polynoms wird als der Grad des Polynoms bezeichnet.

    Dabei ist wichtig, dass der Koeffizient vor der höchsten Potenz ungleich $0$ sein muss.

    Polynome vom Grad 2

    • $x^2$
    • $3x^2-4x+1$
    • $-2x^2+1$
    Polynome vom Grad 4
    • $4x^4$
    • $-x^4-23x$
    Alle übrigen Polynome haben einen anderen Grad.

    Bei dem Polynom $0\cdot x^2-3x+2$ könnte man fehlerhafterweise vermuten, dass dies ein Polynom vom Grad $2$ ist. Hierfür müsste der entsprechende Koeffizient aber ungleich $0$ sein.