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Lineare Gleichungssysteme lösen – Additionsverfahren 03:35 min

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Transkript Lineare Gleichungssysteme lösen – Additionsverfahren

Am anderen Ende der Milchstraße liegt das Gleichungssystem. Dort, auf dem unerforschten Planeten Addition, ist eine tapfere und von der Mathematik herausgeforderte Raumschiff-Crew auf der Suche nach außerirdischen Proben.

Die Crew hat 25 Container dabei, um sie mit Proben der Typen A und B zu befüllen. Die Container mit den A-Proben wiegen befüllt 3 Tonnen, die Container mit den B-Proben sogar 7 Tonnen.

Für einen sicheren Rückflug zur Erde dürfen die Container zusammen nicht mehr als 115 Tonnen wiegen. Wie viele Container von jedem Typ kann die Crew mitnehmen? Helfen wir ihr doch, das herauszufinden!

Lineare Gleichungssysteme aufstellen

Eine falsche Berechnung könnte für die Raumfahrer in einer großen Katastrophe enden. Darum fassen wir noch einmal zusammen: Es gibt 25 Container. Jeder Container mit A-Proben wiegt 3 Tonnen, jeder mit B-Proben wiegt 7 Tonnen. Maximal erlaubt sind 115 Tonnen. Wir können diese Situation in Form von zwei Gleichungen beschreiben und dann ein Gleichungssystem nutzen, um die beiden Unbekannten herauszufinden: x steht für die Anzahl an Containern mit den A-Proben, y für die mit den B-Proben. Notieren wir das: * x plus y ist gleich 25 * 3x plus 7y ist gleich 115

Lineare Gleichungssysteme lösen

Formen wie die Gleichungen so um, wie wir sie brauchen. Wir können eine der Variablen durch Addition oder Subtraktion aufheben. Hm, wie machen wir das am besten? Lass uns doch die erste Gleichung, x plus y ist gleich 25, mal -3 nehmen. Wir multiplizieren also -3 mit allen Termen. Jetzt können wir die beiden Gleichungen addieren. -3x plus 3x ist 0x, also 0. -3y plus 7y ist 4y. Und -75 plus 115 ist 40

Schau, so haben wir die Variable x eliminiert. Nun teilen wir beide Seiten durch 4 und erhalten so y ist gleich 10. Setzen wir 'y ist gleich 10' in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, können wir sie nach x auflösen. Welche Gleichung wir nehmen, ist egal. Nehmen wir also die einfachere. Wir setzen für y 10 ein und erhalten x plus 10 ist gleich 25. Ziehe 10 von beiden Seiten ab. x ist gleich 15. Die Crew weiß nun, dass sie 15 Container mit A-Proben und 10 mit B-Proben mitnehmen kann. Jippie! Katastrophe abgewendet!

Aber was ist das?! Oh nein! Ein blinder Passagier! Kein Problem. Für einen solchen Notfall hat das Schiff einen speziell konstruierten Scheibenwischer. Den hat der blinde Passagier nicht kommen sehen.

14 Kommentare
  1. spaß sehr gut

    Von Gcavallo, vor 11 Tagen
  2. nicht so gut

    Von Gcavallo, vor 11 Tagen
  3. VuOll GUt dAnke SEaR

    Von Carlotta K, vor 12 Tagen
  4. eure enden sind die besten dadurch bleibt es besser i kopf danke war super

    Von Dan L., vor 3 Monaten
  5. Danke sehr.

    Von Hangu, vor 5 Monaten
  1. @Hangu:
    Du kannst zunächst I-II und 5I-3III rechnen. Dann erhält man als neue II y+6z=15 und als III 18y+13z=80.
    Nun 18II-III, dann erhält man eine Gleichung, die nur noch z enthält, und kommt so auf z=2.
    Durch rückwärts Einsetzen ergeben sich dann auch y=3 und x=1.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 5 Monaten
  2. Jetzt bin ich mit dem Gaußverfahren auf:
    x=1,6 y=2,325 und z=2,1125 gekommen.
    Für 3x+3y+2z=16 und 3x+2y-4z=1 passt das auch.
    nur für 5x-y-z=0 nicht.

    Von Hangu, vor 5 Monaten
  3. Danach habe ich es mit dem Gleichsetzungsverfahren versucht und auch nichts besseres erreicht.

    Von Hangu, vor 5 Monaten
  4. Ich habe es erst mit dem Additionsverfahren versucht und bin nur auf irgendwelche komischen Zahlen gekommen und dann irgendwann stecken geblieben.

    Von Hangu, vor 5 Monaten
  5. Danke für das Video. Allerdings verstehe ich nicht wie ihr in Aufgabe 5 bei Beispielaufgabe 2 auf:
    x=1 y=3 und z=2 kommt. Das passt ja alles, aber ich bin einfach nicht drauf gekommen.

    Von Hangu, vor 5 Monaten
  6. @Paul Und Nele:
    Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  7. Warum 3?

    Von Paul Und Nele, vor etwa einem Jahr
  8. Guten Abend!

    Die -3 haben wir hinzugefügt, damit wir danach die erste Gleichung plus die zweite rechnen können und somit das x eliminieren können. Wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung mal -3 rechnen, dürfen wir das auch machen.

    Viele Grüße aus der Redaktion!

    Von Luca Richter, vor etwa einem Jahr
  9. Woher kommt die -3 ?

    Von Alkan S, vor etwa einem Jahr
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Lineare Gleichungssysteme lösen – Additionsverfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme lösen – Additionsverfahren kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle das gesuchte lineare Gleichungssystem auf.

    Tipps

    Die Gesamtmasse der Probe-A-Container berechnet sich wie folgt:

    Anzahl Probe-A-Container $\cdot$ Masse von einem Probe-A-Container.

    Für die Berechnung der Gesamtmasse an Board gilt:

    Gesamtmasse Probe-A-Container $+$ Gesamtmasse Probe-B-Container.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Anzahl an Board vorhandener Container: $\mathbf{25}$
    • Masse der mit Probe A befüllten Container: $\mathbf{3\ \text{t}}$
    • Masse der mit Probe B befüllten Container: $\mathbf{7\ \text{t}}$
    • an Board maximal zugelassene Containermasse: $\mathbf{115\ \text{t}}$
    Wir legen folgende Bezeichnungen für die Unbekannten fest:

    • Anzahl der mit Probe A befüllten Container: $\mathbf{x}$
    • Anzahl der mit Probe B befüllten Container: $\mathbf{y}$
    Außerdem wissen wir:

    • Gesamtmasse Probe-A-Container $+$ Gesamtmasse Probe-B-Container $=$ Gesamtmasse an Board
    • Anzahl Probe-A-Container $+$ Anzahl Probe-B-Container $=$ Gesamtanzahl Container an Board
    Mit diesen Angaben können wir nun das lineare Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten $x$ und $y$ aufstellen. Wir erhalten:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 3x+7y &=& 115 \\ x+y &=& 25 \\ \end{array} \right| $

  • Gib an, welche Gleichungssysteme linear sind.

    Tipps

    Ein lineares Gleichungssystem besteht ausschließlich aus linearen Gleichungen.

    Folgende Beispiele verdeutlichen den Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten:

    • Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten ist beispielsweise $x+y=2$.
    • Eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten ist z.B. $x+y+z=4$.
    • Eine nichtlineare Gleichung mit zwei Unbekannten ist beispielsweise $x^2+y^2=2$.
    • Eine nichtlineare Gleichung mit drei Unbekannten ist z.B. $x^2+y^2+z^3=10$.

    Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten hat die allgemeine Form $Ax+By+C=0$ oder sie kann zumindest in diese Form umgestellt werden.

    Dabei sind die Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ rationale Zahlen.

    Lösung

    Ein lineares Gleichungssystem besteht ausschließlich aus linearen Gleichungen. Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten hat die allgemeine Form $Ax+By+C=0$ oder kann zumindest in diese Form umgestellt werden. Dabei sind die Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ rationale Zahlen.

    Eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten hat entsprechend die allgemeine Form $Ax+By+Cz+D=0$ oder sie kann in diese Form umgestellt werden. Die Koeffizienten $A$, $B$, $C$ und $D$ sind wieder rationale Zahlen.

    Wir erkennen, dass jede Unbekannte in einer linearen Gleichung in einfacher Potenz, d.h. mit dem Grad $1$ vorkommt. Beachte, dass man den Exponenten $1$ in der Regel nicht hinschreibt. Es gilt $x = x^1$. Dasselbe gilt für die anderen Variablen.

    Demnach handelt es sich in Beispiel 1 und 4 um lineare Gleichungssysteme, da alle Gleichungen lineare Gleichungen sind.

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+y &=& 13 \\ 2x+3y &=& 19 \\ \end{array} \right| $

    $ \left| \begin{array}{rcr} x+y+z &=& 5 \\ x+y-z &=& -1 \\ x-y-z &=& -3 \\ \end{array} \right| $

    Bei den Beispielen 2 und 3 handelt es sich um nichtlineare Gleichungssysteme, da einige Variable mit dem Exponenten $2$ vorkommen.

    $ \left| \begin{array}{rcr} x^2+y &=& 5 \\ 2x+y^2 &=& 5 \\ \end{array} \right| $

    $ \left| \begin{array}{rcr} x^2+y+z &=& 3 \\ x^2+y^2-z &=& 1 \\ x-y-z^2 &=& -1 \\ \end{array} \right| $

  • Bestimme die Unbekannten $x$ und $y$ des gegebenen linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Verwende das Additionsverfahren, um eine der Unbekannten zu eliminieren.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \left| \begin{array}{rcr} x+ y &=& 8 \\ 2x+3y &=& 19 \\ \end{array} \right| $

    Um mittels Additionsverfahren die Unbekannte $x$ zu eliminieren, muss zunächst in der ersten Gleichung der Vorfaktor angepasst werden. Dafür wird die erste Gleichung mit dem Faktor $(-2)$ multipliziert.

    Lösung

    Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 3x+7y &=& 115 \\ x+y &=& 25 \\ \end{array} \right| $

    Zunächst soll durch Addition die Variable $x$ eliminiert werden. Dafür wird die zweite Gleichung mit dem Faktor $(-3)$ multipliziert.

    $ \left| \begin{array}{rcr} 3x+7y &=& 115 \\ -3(x+y) &=& -3\cdot 25 \\ \end{array} \right| $

    Nach Anwendung des Distributivgesetzes folgt:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 3x+7y &=& 115 \\ -3x-3y &=& -75 \\ \end{array} \right| $

    Anschließend werden beide Gleichungen addiert. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{rcrl} 4y &=& 40 & \vert :4 \\ y &=& 10 & \end{array} $

    Nun können wir $y=10$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen. Wir wählen die zweite Gleichung:

    $ \begin{array}{rcrl} x + 10 &=& 25 & \vert -10 \\ x &=& 15 & \end{array} $

    Demnach darf die Raumschiffcrew $15$ Container mit Typ A und $10$ Container mit Typ B transportieren.

  • Ermittle die Variablen der gegebenen linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Eliminiere mittels Additionsverfahren dieselbe Variable in zwei verschiedenen Gleichungen. Nutze die resultierenden Gleichungen dann, um eine weitere Variable mittels Addition zu eliminieren.

    Setze deine erste berechnete Variable in eine der vorigen Gleichungen ein, in der du bereits eine Variable eliminiert hattest. Somit kannst du eine weitere Variable bestimmen.

    Lösung

    Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird am Beispiel der ersten Aufgabe verdeutlicht. Das gegebene lineare Gleichungssystem lautet:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+3y+z &=& 19 \\ 3x+2y-2z &=& 15 \\ x+y-z &=& 6 \\ \end{array} \right| $

    Wir nutzen die dritte Gleichung, um in den ersten beiden Gleichungen die Variable $x$ zu eliminieren. Beginnen wir mit der ersten Gleichung. Dafür wird die dritte Gleichung mit dem Faktor $(-2)$ multipliziert.

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+3y+z &=& 19 \\ 3x+2y-2z &=& 15 \\ -2(x+y-z) &=& -2\cdot 6 \\ \end{array} \right| $

    Wir wenden das Distributivgesetz an und erhalten:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+3y+z &=& 19 \\ 3x+2y-2z &=& 15 \\ -2x-2y+2z &=& -12 \\ \end{array} \right| $

    Nun addieren wir die erste und die dritte Gleichung und es folgt:

    $ y+3z = 7 $.

    Somit haben wir eine Gleichung erhalten, welche nur noch zwei Unbekannte enthält. Diesen Schritt machen wir nun auch mit der zweiten Gleichung. Dafür multiplizieren wir die ursprüngliche dritte Gleichung mit dem Faktor $(-3)$.

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+3y+z &=& 19 \\ 3x+2y-2z &=& 15 \\ -3(x+y-z) &=& -3\cdot 6 \\ \end{array} \right| $

    Nun wenden wir wieder das Distributivgesetz an.

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+3y+z &=& 19 \\ 3x+2y-2z &=& 15 \\ -3x-3y+3z &=& -18 \\ \end{array} \right| $

    Wir addieren die zweite und die dritte Gleichung. Es folgt:

    $ -y+z = -3 $.

    Nun haben wir zwei Gleichungen mit je zwei Unbekannten $y$ und $z$. Diese beiden Gleichungen addieren wir nun.

    $ \begin{array}{lrcr} &-y+z &=& -3 \\ +& y+3z &=& 7 \end{array} $

    Es ergibt sich:

    $ \begin{array}{rcrl} 4z &=& 4 & \vert :4 \\ z &=& 1 & \end{array} $

    Nun setzen wir $z=1$ in eine der beiden Gleichungen ein, in der wir bereits die Variable $x$ eliminiert hatten. Es folgt:

    $ \begin{array}{rcll} y+3\cdot 1 &=& 7 & \\ y+3 &=& 7 & \vert -3\\ y &=& 4 & \\ \end{array} $

    Somit haben wir bereits zwei Unbekannte bestimmt. Wir setzen $y=4$ und $z=1$ in eine der drei Ausgangsgleichungen ein. Nehmen wir die dritte Ausgangsgleichung:

    $ \begin{array}{rcll} x+4-1 &=& 6 & \\ x+3 &=& 6 & \vert -3 \\ x &=& 3 & \\ \end{array} $

    Somit haben wir die Lösung unseres linearen Gleichungssystems:

    $x=3$ ; $y=4$ ; $z=1$.

    Diese erfüllen alle drei Gleichungen unseres Gleichungssystems.

  • Stelle das lineare Gleichungssystem auf und löse es.

    Tipps

    Die Gesamtkosten eines Produktes kannst du wie folgt berechnen:

    Gesamtpreis $=$ Anzahl des Produktes $\cdot$ Einzelpreis des Produktes.

    Das lineare Gleichungssystem kannst du mittels Additionsverfahren lösen. Nutze dieses, um eine Variable zu eliminieren.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Preis von vier Tassen Kaffee und drei Stück Kuchen: $\mathbf{17\ €}$
    • Preis von zwei Tassen Kaffee und fünf Stück Kuchen: $\mathbf{19\ €}$
    Zudem gilt:

    • Gesamtpreis $=$ Gesamtpreis für Kaffee $+$ Gesamtpreis für Kuchen
    Außerdem gilt:

    • Gesamtpreis für Kaffee $=$ Anzahl Kaffee $\cdot$ Einzelpreis für Kaffee
    • Gesamtpreis für Kuchen $=$ Anzahl Kuchen $\cdot$ Einzelpreis für Kuchen
    Somit erhalten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 4x+3y &=& 17 \\ 2x+5y &=& 19 \\ \end{array} \right| $

    Dabei ist die Variable $x$ der Preis für eine Tasse Kaffee und die Variable $y$ der Preis für ein Stück Kuchen.

    Um die Unbekannten $x$ und $y$ zu berechnen, multiplizieren wir die zweite Gleichung mit dem Faktor $(-2)$. Wir erhalten:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 4x+3y &=& 17 \\ -2(2x+5y) &=& -2\cdot 19 \\ \end{array} \right| $

    Nun wenden wir das Distributivgesetz an und erhalten:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 4x+3y &=& 17 \\ -4x-10y &=& -38 \\ \end{array} \right| $

    Nun addieren wir beide Gleichungen. Es folgt:

    $ \begin{array}{rcrl} -7y &=& -21 & \vert :(-7)\\ y &=& 3 \\ \end{array} $

    Wir setzen jetzt $y=3$ in eine der beiden Gleichungen. Nehmen wir die erste Gleichung, so folgt:

    $ \begin{array}{rcrl} 4x+3\cdot 3 &=& 17 \\ 4x+9 &=& 17 & \vert -9\\ 4x &=& 8 & \vert :4\\ x &=& 2 \\ \end{array} $

    Demnach kostet eine Tasse Kaffee $2\ €$ und ein Stück Kuchen $3\ €$.

  • Bestimme die Unbekannten der gegebenen linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Nutze das Additionsverfahren, um eine der beiden Variablen zu eliminieren. Achte dabei auf die jeweiligen Vorfaktoren. Diese müssen so angepasst werden, dass sich eine der beiden Variablen bei der Addition aufhebt.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+3y &=& 10 \\ 5x-10y &=& -10 \\ \end{array} \right| $

    Damit bei der Addition die Variable $x$ eliminiert wird, muss der Vorfaktor angepasst werden. Dafür suchen wir zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $5$, also die $10$. Wir möchten in der ersten Gleichung den Vorfaktor $(-10)$ und in der zweiten Gleichung den Vorfaktor $10$ erhalten. Also wird die erste Gleichung mit $(-5)$ und die zweite Gleichung mit $2$ multipliziert.

    Lösung

    Das Vorgehen soll anhand der ersten Teilaufgabe verdeutlicht werden. Das folgende lineare Gleichungssystem ist gegeben:

    $ \left| \begin{array}{rcr} 2x+3y &=& 18 \\ 3x+2y &=& 17 \\ \end{array} \right| $

    Wir möchten zunächst die Variable $x$ eliminieren. Dafür muss zunächst der Vorfaktor angepasst werden. Gesucht ist dafür das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $3$, also die $6$. Wir möchten in der ersten Gleichung den Vorfaktor $(-6)$ und in der zweiten Gleichung den Vorfaktor $6$ erhalten. Also wird die erste Gleichung mit $(-3)$ und die zweite Gleichung mit $2$ multipliziert. Wir erhalten:

    $ \left| \begin{array}{rcr} -3(2x+3y) &=& -3\cdot 18 \\ 2(3x+2y) &=& 2\cdot 17 \\ \end{array} \right| $

    Nun wenden wir das Distributivgesetz an. Es folgt:

    $ \left| \begin{array}{rcr} -6x-9y &=& -54 \\ 6x+4y &=& 34 \\ \end{array} \right| $

    Nun addieren wir beide Gleichungen. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{rcrl} -5y &=& -20 & \vert :(-5) \\ y &=& 4 \\ \end{array} $

    Jetzt setzen wir $y=4$ in eine der beiden Gleichungen ein. Wir wählen die erste Gleichung:

    $ \begin{array}{rcrl} 2x+3\cdot 4 &=& 18 \\ 2x+12 &=& 18 & \vert -12 \\ 2x&=& 6 & \vert :2 \\ x&=& 3 & \\ \end{array} $