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Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (2)

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Martin Wabnik
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (2)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (2)

Im Zusammenhang mit Funktionsuntersuchungen (Kurvendiskussionen) sind die einfachsten Funktionen die ganzrationalen Funktionen. Im letzten Video haben wir bereits begonnen, die Funktion f(x)=3x³-2x²+x-1 zu untersuchen. Wir haben den Definitionsbereich, die Symmetrie und das Verhalten im Unendlichen bestimmt. Was fehlt uns dann noch? Eine Kurvendiskussion besteht im Wesentlichen aus (1) Definitionsbereich, (2) Symmetrie, (3) Verhalten im Unendlichen, (4) Achsenschnittpunkte (Schnittpunkt mit der y-Achse und Nullstellen), (5) Ableitungen, (6) Extrempunkte, (7) Wendepunkte und (8) Graph. In diesem Video werden die Achsenschnittpunkte und die ersten drei Ableitungen gezeigt.

Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (2)

Hallo! Es geht weiter mit der Kurvendiskussion dieser Funktion hier. Das ist ein erstes Beispiel zur Kurvendiskussion. Deshalb erkläre ich einiges relativ ausführlich. In den nachfolgenden Beispielen ist das dann nicht mehr so ausführlich. Wir haben schon Definitionsbereich, Symmetrie und Verhalten im Unendlichen dieser Funktion hier betrachtet. Jetzt geht es weiter mit Punkt 4, nämlich den Achsenschnittpunkten. Was ist dazu zu sagen? Wir haben zwei Achsen, eine x-Achse und eine y-Achse. Die x-Achse kann geschnitten werden, also der der Graph kann durch die x-Achse gehen. Das sind dann die Nullstellen, die zu bestimmen sind. Und der Graph schneidet auf jeden Fall die y-Achse in einem Punkt und da komme ich gleich zu. Zunächst einmal zu den Nullstellen. Wie macht man das? Normalerweise schreibt man den Funktionsterm hin. Also 3x³-2x²+x-1=0. Dann entsteht eine Gleichung. Die kann man noch x umstellen und die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmen. Da kennst du mehrere Verfahren zu, aber du kennst kein Verfahren, keine Formel, wie man allgemein eine Formel dritten Grades so umformen kann, dass man die Lösungsmenge bestimmen kann. Diese Formel gibt es nämlich nicht. Normalerweise hat man vielleicht eine Nullstelle gegeben und kann dann mit der Polynomdivision weitermachen, sodass man auf eine Gleichung 2.Grades kommt und dann kann man die quadratische Gleichung, die dann entstanden ist, lösen oder man hat den Funktionsterm auch in faktorisierter Form gegeben. Das ist hier aber alles nicht der Fall. Deshalb bleibt hier nur die Möglichkeit, dass man seinen Taschenrechner befragt oder sein Computerprogramm und einen Näherungswert erhält für den Schnittpunkt mit der x-Achse. Dieser Schnittpunkt liegt bei ungefähr 0,7838. Ich habe es auch nicht selber ausgerechnet. Das machen Programme mit Näherungsverfahren. Also kein Problem hier an der Stelle. Da ist jetzt nichts zu rechnen. Dann brauchen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse und dazu muss man einfach für x 0 einsetzen. Was passiert, wenn man für x 0 einsetzt? Dann haben wir hier stehen 3×0³-2×0²+0-1 und das ist gleich -1. Da brauche ich nichts weiter zu zu erklären.Da, wo der Graph die y-Achse schneidet, ist ja x=0 und deshalb ist der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|-1). Also der Punkt hat die Koordinaten 0 und -1. Dann geht es weiter mit den Ableitungen. Punkt Nummer 5. Vielleicht kann ich das so mal eben hier hin basteln. Wir brauchen um diese Funktion abzuleiten die Summenregel, weil wir hier einzelne Summanden haben und die Potenzregel. Die Potenzregel sieht so aus, wenn man eine Funktion hat, die die Form xn hat, dann ist die Ableitung davon n×xn-1. Wenn da ein Faktor noch davor steht, zum Beispiel so ein a, dann hat de Ableitung auch noch diesen Faktor und das kann man jetzt alles zusammenfassen in der Form. Also die Ableitung einer Funktion der Form a×xn = a×n×xn-1. Das, was ich zunächst hingeschrieben habe ist die Potenzregel. Das mit dem Faktor hier ist die Faktorregel. Hier ist beides zusammengefasst. Dazu ist schon einiges gesagt worden zu den Ableitungen, deshalb kann ich mich hier kurzfassen. Wir können den ersten Summanden ableiten. Wir brauchen jetzt also f'(x.) Wir können auf x³ die Potenzregel anwenden. Das ist dann 3x². Wenn wir das mit 3 noch multiplizieren, weil dieser Faktor hier ja noch stehen bleibt, haben wir 9x² und dann haben wir x², was abgeleitet werden muss. Das ist 2x¹. Also wenn 2x mit -2 multipliziert wird, dann entsteht hier -4x. Dann muss man noch x ableiten. Hier steht ja eigentlich oder kann man sich zumindest vorstellen x¹. Dann kann man x¹ mit dieser Potenzregel ableiten und erhält 1x°. x° ist 1. 1×1 ist auch 1 und als Vorzahl, als Koeffizient kann man sich hier noch die 1 vorstellen, dann haben wir auch noch ein a und dann steht hier 1×1×1 und das ist 1. -1 muss man auch noch ableiten. Die Ableitung davon ist 0. Da habe ich auch schon einiges zu gesagt. Ich sage das aber deshalb hier noch mal so genau, dass man -1 auch ableiten muss, weil ich das von Schülern kenne, dass sie dann oft sagen das Letzte fällt ja weg. Nein, das Letzte fällt nicht weg. Die Ableitung ist 0. Man könnte noch +0 hinschreiben, ist aber unsinnig, weil sich dann die Ableitung dadurch nicht ändert und deshalb wird es nicht hingeschrieben. Es ist ein Unterschied, ob etwas wegfällt oder ob eine Ableitung 0 ist. Darauf wollte ich hinaus. Wie auch immer. Das ist die Ableitung. Wir brauchen die 2.Ableitung und gleich noch die 3.Ableitung. Die 2. Ableitung ist die Ableitung der 1.Ableitung. Deshalb kann ich hier weitermachen mit diesen Summanden. x² abgeleitet ergibt 2x. 9×2x ist 18x. -4x abgeleitet ergibt -4 aus den gleichen Gründen, die ich hier gerade bei x schon erklärt habe, mit der Faktorregel zusammen. Ich glaube das brauche ich nicht weiter zu erklären. Die Ableitung von +1 ist 0. Und deshalb schreibe ich +0 hier nicht mehr hin. Dann kommt noch die 3. Ableitung. Dazu ist 18x abzuleiten. Da kann ich mir wieder diese x¹ vorstellen. Und dann steht da 18x¹ und das kann man mit der Potenzregel wieder ableiten und mit der Faktorregel. Heraus kommt 18. Die -4 kann man auch noch ableiten. Die Ableitung von -4 ist 0 und das schreibe ich nicht mehr hin. Gut, das sind die 3 Ableitungen, die man jetzt weiter verwenden kann, um die Extrempunkte und die Wendepunkte auszurechnen. Das mache ich im nächsten Film. Bis dahin. Viel Spaß. Tschüs!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Kue Bartels: Die Nullstelle(n) von 3x^3-2x^2+x-1=0 kannst du nicht so einfach bestimmen. Deshalb benötigst du einen programmierbaren Taschenrechner oder ein Computerprogramm, dass Gleichungen lösen kann. Wie du das eingeben kannst, hängt von dem Taschenrechnermodell bzw. dem Computerprogramm ab. Wenn du die Gleichung lösen lässt, bekommst genau eine Nullstelle. Diese ist näherungsweise 0,7838. Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat weiter, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor etwa 7 Jahren
  2. Was muss ich in den Taschenrechner eingeben, damit 0,7838 rauskommt

    Von Kue Bartels, vor etwa 7 Jahren

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Nullstellen und den $y$-Achsenabschnitt einer Funktion an.

    Tipps

    Zeichne einen Graphen, der die $y$-Achse schneidet, und lies den $x$-Wert an dieser Stelle ab.

    Zeichne einen Graphen, der die $x$-Achse schneidet, und lies den $y$-Wert des Schnittpunktes ab.

    Der $y$-Achsenabschnitt ist die $y$-Koordinate des Schnittpunktes des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse.

    Lösung

    Am Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist $x = 0$.

    Am Schnittpunkt des Graphen mit der $x$-Achse ist $y = 0$.

    Nullstellen sind jene $x$-Werte, die eingesetzt in den Funktionsterm den Funktionswert Null ergeben.

    Ein $y$-Achsenabschnitt ist der $y$-Wert, der sich für $x=0$ als Funktionswert ergibt.

    Nun folgt die Ermittlung des $y$-Achsenabschnitts der Funktion $f(x) = 81x^3 + 0,25x + 4$.

    Um den $y$-Achsenabschnitt zu erhalten, wird der Funktionswert bei $x=0$ berechnet.

    $f(0) = 81\cdot0^3 + 0,25\cdot0 + 4$

    $f(0) = 4$

    Der Graph der Funktion schneidet also bei $y=4$ die $y$-Achse.

  • Benenne Nullstellen und $y$-Achsenabschnitte.

    Tipps

    Betrachte den Graphen einer Funktion an der Stelle $x=0$. Welche der Achsen des Koordinatensystems wird an der Stelle geschnitten?

    Betrachte den Graphen einer Funktion an der Stelle $y=0$. Welche der Achsen des Koordinatensystems wird an der Stelle oder den Stellen geschnitten?

    Zeichne einen Graphen, der die $x$-Achse und die $y$-Achse schneidet.

    Lösung

    Der Graph einer ganzrationalen Funktion schneidet die $y$-Achse des Koordinatensystems immer bei $x=0$. Eine ganzrationale Funktion mit mindestens einer Nullstelle, schneidet oder berührt die $x$-Achse bei $y=0$.

    Wenn man einen $x$-Wert in eine Funktion einsetzt, erhält man den zugehörigen Funktionswert $y$.

    Ist für einen oder mehrere $x$-Werte der Funktionswert $y=0$, hat die Funktion eine oder mehrere Nullstellen und der Graph der Funktion schneidet oder berührt die $x$-Achse.

    Die $y$-Koordinate an der Stelle $x=0$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

  • Untersuche Nullstellen und $y$-Achsenabschnitte.

    Tipps

    Was bedeutet der Begriff „Nullstelle“? Welcher Wert ist dann Null? Welchen Funktionswert hat eine Funktion an einer Nullstelle?

    Stelle eine ganzrationale Funktion graphisch dar, die sowohl negative als auch positive Funktionswerte aufweist. Welche Achsen schneidet der Graph der Funktion? Welche Achsen werden geschnitten, wenn eine ganzrationale Funktion nur negative oder positive Funktionswerte aufweist?

    Welche $y$-Koordinate hat ein Schnittpunkt des Graphen mit der $x$-Achse? Wie lautet die $x$-Koordinate, wenn der Graph die $y$-Achse schneidet?

    Welchen Grad und wie viele Nullstellen hat die Funktion $f(x)=3x^3-2x^2+4x-1$?

    Lösung

    Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionswert $y$ gleich Null ist. Um Nullstellen zu erhalten, wird der Funktionsterm gleich $0$ gesetzt und nach $x$ aufgelöst. Graphisch betrachtet sind die Nullstellen die Schnittpunkte oder Berührpunkte der Funktion mit der $x$-Achse, da der $y$-Wert an diesen Stellen Null ist. Nullstellen werden also bestimmt, indem man die Funktion gleich Null setzt.

    Betrachten wir beispielsweise die Funktion $f(x) =x^2- 4$. Die Anzahl der Nullstellen entspricht höchstens dem Grad der Funktion. Die Funktion $f(x) = x^2 - 4$ kann also bis zu zwei Nullstellen haben, da sie eine Funktion 2. Grades ist. Wenn man den Funktionsterm gleich $0$ setzt und nach $x$ auflöst, erhält man folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lllll} & f(x) &=& x^2 - 4 & \\ & x^2 - 4 &=& 0 &\vert +4 \\ \Leftrightarrow & x^2 &=& 4 &\vert \sqrt{} \\ \Rightarrow & x &=& \pm 2 & \\ \end{array}$

    Die Nullstellen von $f(x)=x^2-4$ sind also $x_1=2$ und $x_2=-2$.

  • Bestimme die ersten Ableitungen der ganzrationalen Funktionen.

    Tipps

    Verwende die Potenzregel:

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

    Verwende die Summenregel:

    $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

    Verwende die Faktorregel:

    $f'(x)=(a\cdot g(x))'=a\cdot g'(x)$

    Lösung

    Benötigte Ableitungsregeln sind: die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel.

    Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

    Faktorregel: $f'(x)=(a\cdot g(x))'=a\cdot g'(x)$

    Summenregel: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

    Damit erhält man die folgenden Ableitungen:

    Beispiel 1

    $\begin{array}{lll} f(x) &=& 4x^3-2x^2+4=4x^3-2x^2+4x^0 \\ \\ f'(x) &=& 4\cdot 3\cdot x^{3-1}-2\cdot 2\cdot x^{2-1}+4\cdot 0\cdot x^{-1} \\ &=&12x^2-4x^1+0 \\ &=& 12x^2-4x \end{array}$

    Beispiel 2

    $\begin{array}{lll} f(x) &=& 5x^2+2=5x^2+2x^0 \\ \\ f'(x) &=& 5\cdot 2\cdot x^{2-1}+2\cdot 0\cdot x^{-1} \\ &=& 10x^1+0 \\ &=& 10x \end{array}$

    Beispiel 3

    $\begin{array}{lll} f(x) &=& x^2+4x=x^2+4x^1 \\ \\ f'(x) &=& 2\cdot x^{2-1}+4\cdot 1\cdot x^0 \\ &=& 2x^{1}+4\cdot 1\cdot 1\\ &=& 2x+4 \end{array}$

    Beispiel 4

    $\begin{array}{lll} f(x) &=& x^4-x^3+x^2 \\ \\ f'(x) &=& 4\cdot x^{4-1}-3\cdot x^{3-1}+2\cdot x^{2-1} \\ &=& 4x^{3}-3x^{2}+2x^{1} \\ &=& 4x^{3}-3x^{2}+2x \end{array}$

    Beispiel 5

    $\begin{array}{lll} f(x) &=& \frac{1}{2}x^3-x^2 \\ \\ f'(x)&=& \frac{1}{2}\cdot 3\cdot x^{3-1}-2\cdot x^{2-1} \\ &=& \frac{3}{2}x^2-2x^1 \\ &=& \frac{3}{2}x^2-2x \end{array}$

  • Benenne die benötigten Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen.

    Tipps

    Enthalten ganzrationale Funktionen Summen, Produkte, Quotienten oder Faktoren?

    Zwei der obigen Ableitungsregeln existieren nicht.

    Gesucht sind drei Regeln zum Ableiten von ganzrationalen Funktionen.

    Lösung

    Ein Polynom dritten Grades ist allgemein wie folgt aufgebaut:

    $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$

    Ein Beispiel für ein Polynom dritten Grades ist $f(x)=x^3-2x^2+x-1$

    Diese ganzrationale Funktion enthält Summanden (z.B.: $-2x^2$ oder $+x$), Potenzen (z.B.: $x^3$) und Faktoren (z.B.: $-2\cdot x^2$), daher wird die Summen-, Potenz- und Faktorregel angewandt.

    Es gibt keine Ableitungsregel, die „Exponentenregel“ oder „Polynomregel“ heißt.

  • Analysiere die Ableitungsregeln der ganzrationalen Funktionen.

    Tipps

    Die Summenregel ist auf Funktionsterme mit beliebig vielen Summanden anwendbar.

    Die Funktion $f(x)=x^3+3x^2+3x$ können wir schreiben als $f(x)=g(x)+h(x)+t(x)$ mit $g(x)=x^3$, $h(x)=3x^2$ und $t(x)=3x$.

    Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades $f(x)=a_2x^2+a_1x^1+a_0$ ist zum Beispiel die Funktion $f(x)=6x^2+2x-1$ mit $a_2=6$, $a_1=2$ und $a_0=-1$.

    Betrachte die Funktionsterme von ganzrationalen Funktionen summandenweise, um das Ableiten zu erleichtern.

    Lösung

    Mit der Potenzregel leiten wir ganzrationale Funktionen der Form $f(x)=x^n$ ab. $f(x)=x^n$ abgeleitet ist dann $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$.

    Beispiel: $f(x)=x^2$ kann man mit der Potenzregel wie folgt ableiten: $f'(x)=2\cdot x^{2-1}=2x$ . Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^5$ lautet $f'(x)=5x^{5-1}=5x^4$.

    Wird in einem Funktionsterm eine Potenz von $x$ zusätzlich mit einer Zahl (einem Faktor) multipliziert, so kommt eine andere Ableitungsregel zum Einsatz, die Faktorregel.

    Diese besagt, dass man Faktoren beim Ableiten einfach „mitnehmen“ kann. Die Ableitung der Funktion $f(x)=a\cdot g(x)$ ist $f'(x)=a\cdot g'(x)$.

    Sei zum Beispiel $f(x)=6x^2$ und $g(x)=x^2$, dann ist $f(x)=6\cdot g(x)$ (Faktorregel) und es genügt $g(x)$ mit der Potenzregel abzuleiten.

    Die Ableitung der Funktion $f(x)=3x^3$ ist mit $g(x)=x^3$ gleich $f'(x)=3\cdot g'(x)=3\cdot3x^{3-1}=9x^2$.

    Steht in einem Funktionsterm eine Summe, deren Summanden aus Potenzen von $x$ bestehen, dann benötigt man die Summenregel. Die Summenregel besagt, dass die Summanden eines Funktionsterms einzeln abgeleitet werden können.

    Beispiel: Der Funktionsterm $2x^3+x^2-2$ kann als eine Summe von Funktionen aufgefasst und einzeln abgeleitet werden. Dazu sei $g(x)=2x^3;~h(x)=x^2$ und $t(x)=-2$.

    Diese Funktionen lassen sich nun mit Hilfe der Faktor- und Potenzregel einzeln ableiten. Daher ist die Ableitung von $f(x)$ gleich der Summe der Ableitungen von $g(x)$, $h(x)$ und $t(x)$, also $f'(x)=g'(x)+h'(x)+t'(x)=6x^2+2x+0$.

    Die Funktion $f(x)=2x^4+x^3$ kann abgeleitet werden, indem wir neue Funktionen definieren: Sei $g(x)=2x^4$ und $h(x)=x^3$, dann besteht $f(x)$ aus der Summe von $g(x)$ und $h(x)$, also $f(x)=g(x)+h(x)$.

    Die Funktionen $g$ und $h$ lassen sich nun mit Hilfe der Potenzregel und der Faktorregel einzeln wie folgt ableiten: $g'(x)=2\cdot 4\cdot x^{4-1}=8\cdot x^3$ und $h'(x)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ Die Ableitung von $f(x)$ ist dann $f'(x)=g'(x)+h'(x)=8x^3+3x^2$.

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