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Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (1)

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Martin Wabnik
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (1)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (1)

Funktionsuntersuchungen ( auch: Kurvendiskussionen ) werden in der Oberstufe immer häufiger und aufwendiger. Deshalb möchte ich mit dir gemeinsam einmal eine komplette Funktionsuntersuchung zur Übung durchführen. Drei Beispiele habe ich vorbereitet, die ich in jeweils drei Videos untersuche. Mein erstes Beispiel ist eine ganzrationalen Funktion und lautet: f(x)=3x³-2x²+x-1. Eine Kurvendiskussion besteht hier aus acht Untersuchungsgegenständen: (1) Definitionsbereich, (2) Symmetrie, (3) Verhalten im Unendlichen, (4) Achsenschnittpunkte (Schnittpunkt mit der y-Achse und Nullstellen), (5) Ableitungen, (6) Extrempunkte, (7) Wendepunkte und (8) Graph. Die ersten drei Punkte werden nun in diesem Video gezeigt. Die anderen bearbeite ich in den zwei folgenden Videos.

Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (1)

Hallo. Es geht um Kurvendiskussionen oder Funktionsuntersuchungen, wie man auch sagt, und das ist hier ein erstes Beispiel. Das erkläre ich natürlich etwas genauer als dann die nachfolgenden Beispiele. Kurz zum Einsatz des Taschenrechners in diesem Zusammenhang: Es gibt ja Schüler, die meinen, warum soll ich das lernen? Ich kann es doch in den Taschenrechner eintippen. Es geht in der Schule, es geht beim Lernen darum, dass du etwas verstehst und es hilft dir da nichts, etwas in den Taschenrechner einzutippen. Dadurch verstehst du es nicht. Deshalb zeige ich hier auch alles ohne Taschenrechner, weil es ja ansonsten nichts bringen würde. Das ist so ähnlich, wie wenn ich im Fitnessstudio die Maschinen mit den Gewichten mit Elektromotoren ausstatten würde, dann ist das nicht so schwer, dann ist das nicht so anstrengend. Ja, das ist richtig, aber man trainiert dann eben auch nicht. Also, es geht hier um eine ganzrationale Funktion. Das sind in diesem Zusammenhang die einfachsten Funktionen. Klar, ist ja auch ein erstes Beispiel zur Kurvendiskussion, daher beginnt man natürlich mit einfachen Funktionen. Ganzrationale Funktionen sehen zum Beispiel so aus wie f(x)=3x3-2x2+x-1. Das sind die Punkte, die wir hier abarbeiten müssen und ich fange beim ersten Punkt an, beim Definitionsbereich. Der Definitionsbereich besteht aus allen Zahlen, das ist die Menge aller Zahlen, die man für x einsetzen kann. Er wird bezeichnet mit so einem D mit dem Doppelstrich, manchmal auch ein anderes D oder sonst was. Da gibt es mehrere Bezeichnungen für. Also das schreibe ich jetzt hier für den Definitionsbereich. Da man hier alle reellen Zahlen für x einsetzen kann, schreibt man D=R, R ist die Menge der reellen Zahlen. Manchmal wird das hier auch weggelassen bei ganzrationalen Funktionen, weil alle ganzrationale Funktionen für alle reellen Zahlen definiert sind. Manchmal wird es aber auch nicht weggelassen und deshalb habe ich es hier gezeigt. Ja, dann sind wir schon beim Punkt Nummer 2, die Symmetrie. Wir betrachten hier im Schulbereich die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems, das heißt also, zum Nullpunkt des Koordinatensystems, oder man kann auch sagen: Da wo sich die beiden Koordinatenachsen schneiden, da ist der Ursprung des Koordinatensystems. Es gibt 2 Möglichkeiten, wie man hier vorgehen kann. Es gibt zum einen die allgemeine Möglichkeit. Die möchte ich hier kurz anreißen. Es liegt eine Achsensymmetrie zur y-Achse für eine Funktion vor, wenn gilt: f(x)=f(-x). Es liegt eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor, wenn gilt: f(x)=-f(-x). Warum das hier im Einzelnen so ist, möchte ich hier nicht erklären. Das ist Thema eines anderen Films. Was müsste man machen, um nach dieser Definition hier festzustellen, ob diese Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist? Man müsste diesen Funktionsterm einmal aufschreiben, dann ein Gleichheitszeichen und dann diesen Funktionsterm noch mal, aber mit dem Unterschied, dass man für x jeweils -x hinschreibt. Dann müsste man hier natürlich jeweils Klammern setzen beim Einsetzen von -x. Hier ist es ähnlich: Man schreibt den Funktionsterm ab, schreibt ein Minuszeichen, dann geht eine Klammer auf, denn danach kommt ja eine Summe. Wenn nach einem Minuszeichen eine Summe folgt, dann muss man die ja immer einklammern. Dann setzt man hier auch noch für x -x ein und durch Gleichungsumformungen sieht man dann, ob diese Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist. Das war jetzt hier der erste Fall, das allgemeine Vorgehen. Es geht aber in diesem speziellen Fall noch einfacher, denn - und das ist die zweite Methode, die hier interessant ist und das habe ich schon mal ein bisschen vorbereitet - es gibt nämlich einen Satz für ganzrationale Funktionen, der lautet: Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie nur ungerade Exponenten hat. Das hier ist eine ganzrationale Funktion und die Exponenten sind hier ungerade, gerade, ungerade, hier steht ja x1, das zählt als ungerader Exponent, und diese 1 zählt als gerade, weil hier ja noch x0 dahinterstehen könnte und diese 0 zählt als gerader Exponent. Weil hier also gerade und ungerade Exponenten vorkommen, ist diese Funktion laut diesem Satz nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Damit ist der Fall also erledigt, das heißt also, dieser untere Fall ist hier erledigt. Dann gibt es noch einen Satz. Manchmal werden diese beiden Sätze auch zusammengefasst. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn sie nur gerade Exponenten enthält. Wie wir gerade festgestellt haben, sind hier nicht nur gerade Exponenten, sondern der ist ungerade und der ist auch ungerade. Deshalb ist diese Funktion nicht achsensymmetrisch zur y-Achse und damit ist diese Symmetrie hier erledigt. Also, man kann dann einfach schreiben: Diese Funktion ist nicht symmetrisch. Punkt Nummer 3: das Verhalten im Unendlichen. Was möchte man da wissen? Man möchte wissen: Was passiert mit den Funktionswerten, wenn x immer größer wird oder wenn x immer kleiner wird. Wenn x gegen +unendlich geht - so schreibt man das auf, x gegen +unendlich, hier das ist diese liegende 8, das ist ein Pfeil - was passiert dann mit den Funktionswerten? Bei ganzrationalen Funktionen muss man sich nur den ersten Summanden angucken. Also, das ist der erste Summand, der zweite, der dritte, der vierte Summand. Man muss sich nur den ersten Summanden ansehen, also der Summand mit dem höchsten Exponenten. Erster Summand deshalb, weil normalerweise ganzrationale Funktionen so aufgeschrieben werden, dass der Summand mit dem höchsten Exponenten vorne steht. Es könnte natürlich sein, dass es auch mal durcheinandergerät, aber es geht eben immer um den Summanden mit dem höchsten Exponenten. Also, den muss man sich angucken und dann muss man sich fragen: Wenn also x gegen +unendlich geht, was passiert dann mit x3? x3 wird dann auch immer größer. Wenn ich für x immer größere Zahlen einsetze, wird x3 auch immer größer. Was passiert dann mit 3×x3? Wenn x3 immer größer wird, dann wird 3×x3 erst recht immer größer. Also geht dieser erste Summand gegen +unendlich, wenn x immer größer wird und damit geht die gesamte Funktion f(x) gegen +unendlich und das ist das, was wir wissen wollten. Diese Sache schreibt man meistens nicht hin, vielleicht doch. Wie du das genau machen sollst, kannst du dann bitte deinen Mathelehrer fragen oder deine Mathelehrerin. Es ist nicht ganz selbstverständlich, dass dann f(x) auch gegen +unendlich geht, wenn x gegen +unendlich geht. Es könnte ja sein, dass hier nicht 3 steht, sondern -3. Dann hätten wir einen anderen Fall. Dann würde nämlich f(x) gegen -unendlich gehen, falls x gegen +unendlich geht. Kommen wir zum nächsten Fall. Was passiert wenn x gegen -unendlich geht? Hier, eine liegende 8. Dazu muss man sich auch wieder diesen ersten Summanden angucken, also den Summanden mit dem höchsten Exponenten und wir wissen, wenn x gegen -unendlich geht, dann geht x3 auch gegen -unendlich. Wenn man sich vorstellt, man setzt negative Zahlen für x ein, zum Beispiel -100, dann muss man ja bei x3 rechnen: -100×-100×-100. 100×100=10000, 10000×100=1000000. Weil man rechnet -×-, das ist zwar erst mal +, aber dann rechnet man nochmal ×-100, also ist das ganze dann -1000000. Daraus kann man so ein bisschen sehen, dass x3 gegen -unendlich geht, falls x gegen -unendlich geht. Wo geht dann 3×x3 hin? Durch die Multiplikation mit 3 ändert sich das Vorzeichen nicht, und deshalb geht 3x3 dann ebenfalls gegen -unendlich, und wenn dieser erste Summand, also der mit dem höchsten Exponenten gegen -unendlich geht, dann geht die ganze Funktion gegen -unendlich und das ist das, was hier steht. Das ist die Folgerung aus der Sache, dass x gegen -unendlich geht. Das kann wieder weg. Das ist dann die Sache, die man dann hier aufschreiben kann dazu. Die nächsten Punkte kommen dann im nächsten Teil des Filmes. Bis dahin. Viel Spaß. Tschüss.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt (:

    Von Platin35, vor mehr als 4 Jahren
  2. tolles Video :)

    Von Belli, vor etwa 6 Jahren
  3. super erklärt! vielen dank :)

    Von Paula Schoen, vor mehr als 6 Jahren
  4. Kannst du nicht auch mal eine funktion mit punkt oder achsensymmetrie machen, wir in sachsen muessen beide wege ausführlich schreiben, auch wenn es keine symmetrien gibt.

    Von Saskia Hubert, vor mehr als 7 Jahren
  5. zu leise :(

    Von Svenjabach, vor fast 8 Jahren
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