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Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Wendepunkten 04:04 min

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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Wendepunkten

Hallo. Wir sind bei Punkt fünf unserer Funktionsuntersuchung, nämlich bei den Wendestellen. Laut unserer Liste sind nur die Wendestellen, also die x-Koordinaten der Wendepunkte gefordert. Wir werden aber trotzdem beide Koordinaten, also die Wendepunkte, bestimmen. Schauen wir uns mal an, nach welchem Schema das funktioniert. Wir bestimmen die zweite Ableitung und bestimmen dann die dritte Ableitung und setzen die zweite Ableitung gleich 0, denn die notwendige Bedingung besagt, dass nur dort, wo die zweite Ableitung gleich 0 ist, sich eine Wendestelle befinden kann. Das ist eine Gleichung, die hat eine oder mehrere Lösungen und diese setzen wir dann in dritte Ableitung ein. Denn die hinreichende Bedingung besagt, dass, wenn an einer Stelle die zweite Ableitung gleich 0 ist und an dieser Stelle die dritte Ableitung ungleich null ist, dass dann diese Stelle eine Wendestelle ist. Sollte die dritte Ableitung nicht ungleich null sein, ja dann können wir mit diesen Mitteln hier erst mal nicht mehr weiter rechnen. Aber wenn dieser Fall in einer Aufgabe vorkommen sollte, steht in dieser Aufgabe auch wie man jetzt weiterrechnen soll. Also so schade ist das Ganze eigentlich nicht. Sollte die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich null sein, also “ja”, dann bestimmen wir den Funktionswert an der Stelle x und haben dann einen Wendepunkt mit den Koordinaten x und f(x). Also dann, es geht los mit dem gleich 0 setzen der zweiten Ableitung. Die zweite Ableitung ist 24x-200. Die setzen wir gleich null. Und na ja, das ist eine lineare Gleichung, da muss ich nicht viel zu erklären. Die Lösung ist 25/3. Diese Stelle setzen wir jetzt in die dritte Ableitung ein. Die dritte Ableitung ist 24. Ah, Moment, also wie soll man denn in 24 etwas für x einsetzen. Na dazu muss man wissen, dass 24 die Abkürzung von 24x0 ist. Für dieses x können wir 25/3 einsetzen, irgendeine Zahl hoch null ist immer gleich eins. Deshalb steht hier eigentlich 24 mal eins, naja und das gleich 24. Die dritte Ableitung ist also an dieser Stelle wie auch sonst überall gleich 24 und damit ungleich null. Laut hinreichender Bedingung ist 25/3 nun eine Wendestelle. Und jetzt brauchen wir noch den Funktionswert an dieser Stelle, nämlich bei 25/3, und der ist 370,370. Und das runde ich jetzt hier auf die dritte Stelle weil das so lustig aussieht. Also haben wir einen Wendepunkt mit den Koordinaten 8, Periode 3, das sind 25/3, das ist die x-Koordinate. Und die y-Koordinate ist 370,370. So, damit sind wir hier durch. Wir haben also gesehen, dass wir die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung einsetzen können. Und wenn die ungleich 0 ist, haben wir eine Wendestelle. So schnell kann es gehen. Viel Spaß damit, Tschüss.

2 Kommentare
  1. Mm4

    @Timon Haucke : Hallo Timon,

    am Rechts-Links-Wendepunkt gilt f''(x) = 0 und f'''(x) > 0 und am Links-Rechts-Wendepunkt gilt f''(x)=0 und f'''(x) < 0.

    Liebe Grüße und viel Erfolg beim Lernen!

    Von Marianthi M., vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Woher weiß ich nun ob ein rechts-links oder ein links-rechts Wendepunkt zustande kommt?

    Von Timon Haucke, vor mehr als einem Jahr

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Wendepunkten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Wendepunkten kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die notwendige und hinreichende Bedingung zur Überprüfung der Wendestellen.

    Tipps

    Ähnlich wie den Extremstellen ist es auch bei den Wendestellen wichtig, sich zu merken, dass für deren Überprüfung eine notwendige sowie eine hinreichende Bedingung untersucht werden muss.

    Die zweite Ableitung einer Funktion steht für die Krümmung.

    • $f''(x)>0$ bedeutet Linkskrümmung und
    • $f''(x)<0$ Rechskrümmung.

    An einer Wendestelle liegt ein Krümmungswechsel vor: Entweder von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt.

    Ziehe den Vergleich zu der Bestimmung von Extrema:

    • Die notwendige Bedingung für Extrema ist $f'(x)=0$.
    • Hinreichend müssen die Lösung dieser Gleichung in die folgende zweite Ableitung eingesetzt werden. Diese muss ungleich $0$ sein.

    Lösung

    Wenn man Wendestellen oder Wendepunkte einer Funktion bestimmen soll, benötigt man die zweite und dritte Ableitung:

    Die notwendige Bedingung für Wendestellen lautet:

    Nur dort, wo $f''(x)=0$ ist, kann sich eine Wendestelle befinden.

    Die hinreichende Bedingung lautet:

    Gilt für eine bestimmte Stelle $x$

    1. $f''(x)=0$ und
    2. $f'''(x)\neq0$,
    so ist diese Stelle eine Wendestelle.

  • Gib an, was zur Prüfung der notwendigen Bedingung bei Wendestellen zu tun ist.

    Tipps

    Bei Wendestellen muss zunächst die notwendige Bedingung untersucht werden, bevor die hinreichende untersucht werden kann.

    Die Werte, die in die dritte Ableitung eingesetzt werden, sind nicht irgendwelche Werte: Dies sind die Werte, welche die jeweilige notwendige Bedingung erfüllen.

    Es sind also Werte gesucht, welche für $x$ eingesetzt die Gleichung $f''(x)=0$ lösen.

    Lösung

    Ebenso wie bei den Extremstellen muss bei den Wendestellen eine notwendige Bedingung untersucht werden.

    Diese lautet bei Extremstellen $f'(x)=0$ und bei Wendestellen $f''(x)=0$. Man muss also herausfinden, ob es Zahlen für $x$ gibt, die diese Gleichung erfüllen. Es muss schließlich eine Gleichung gelöst werden.

    Die Lösungen dieser Gleichungen müssen sowohl bei Extremstellen als auch bei Wendestellen in die nächstfolgende Ableitung eingesetzt werden.

  • Bestimme den Wendepunkt der Funktion.

    Tipps

    Du kannst nicht überprüfen, ob eine Stelle wirklich eine Wendestelle ist, wenn du nicht vorher überprüft hast, ob es eine sein könnte. Das ist das Prinzip der notwendigen und hinreichenden Bedingung.

    Die notwendige Bedingung ist das Lösen einer Gleichung. Erst wenn du dies getan hast, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen. Hierfür musst du die Lösung aus der notwendigen Bedingung in die dritte Ableitung einsetzen.

    Kürze die Ergebnisse so weit wie möglich.

    Lösung

    Für die Überprüfung auf Wendestellen benötigt man die zweite und dritte Ableitung. Diese sind hier zu sehen. Schauen wir uns das Prozedere genauer an:

    Notwendige Bedingung: Zunächst wird die Gleichung $f''(x)=0$ gelöst. Addition von $200$ und Division durch $24$ führt zu $x=\frac{200}{24}=\frac{25}3$.

    Hinreichende Bedingung: Die Lösung $\frac{25}3$ wird in die dritten Ableitung eingesetzt.

    $f'''\left(\frac{25}3\right)=24\neq 0$, da die dritte Ableitung konstant ist. Die hinreichende Bedingung ist somit erfüllt.

    Nun muss noch der Wendepunkt angegeben werden: $WP\left(\frac{25}3|370,370\right)$.

  • Bestimme die Extrempunkte sowie Wendepunkte der Funktion.

    Tipps

    Für Extremstellen gilt die notwendige Bedingung, dass die erste Ableitung $0$ sein muss. Dies ist eine Gleichung.

    Die Lösungen werden in die zweite Ableitung eingesetzt. Diese muss ungleich $0$ sein (als hinreichende Bedingung).

    Mit Hilfe des Vorzeichens der zweiten Ableitung kann die Art des Extremums ermittelt werden: Ist die zweite Ableitung an der Stelle, welche durch die notwendige Bedingung gefunden wird, positiv (negativ), so liegt ein Tiefpunkt (Hochpunkt) vor.

    Für Wendestellen gilt die notwendige Bedingung, dass die zweite Ableitung $0$ sein muss. Dies ist eine Gleichung.

    Die Lösungen werden in die dritte Ableitung eingesetzt. Diese muss ungleich $0$ sein (als hinreichende Bedingung).

    Bei bekannter x-Koordinate findet man die y-Koordinate eines Punktes des Funktionsgraphen durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung.

    Lösung

    Die Bestimmung der Nullstellen ist nicht Teil der Aufgabe. Diese sind deshalb hier angegeben: $x_1=2$ sowie $x_2=-1$.

    Zu Beginn einer Kurvendiskussion werden immer die ersten drei Ableitungen bestimmt:

    • $f(x)=x^3-3x^2+4$
    • $f'(x)=3x^2-6x$
    • $f''(x)=6x-6$
    • $f'''(x)=6$
    Betrachten wir die Extrempunkte:
    1. Notwendige Bedingung: $f'(x)=0$, also $3x^2-6x=0$. Ausklammern von $3x$ führt zu $3x(x-2) =0$. Die gesuchten Lösungen sind somit $x_1=0$ sowie $x_2=2$.
    2. Hinreichende Bedingungen: Diese Lösungen werden in die zweite Ableitung eingesetzt:
    • $f''(0)=-6< 0$. Das bedeutet, dass ein Hochpunkt vorliegt. Es ist $f(0)=4$, also $HP(0|4)$.
    • $f''(2)=12-6=6> 0$. Dies ist ein Tiefpunkt. Die y-Koordinate ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$. Der Tiefpunkt lautet $TP(2|0)$.
    Untersuchen wir nun die Wendepunkte:
    1. Notwendige Bedingung: $f''(x)=0$, also $6x-6=0$. Addition von $6$ und Division durch $6$ führt zu $x=1$.
    2. Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung ist konstant ungleich $0$. Es liegt also ein Wendepunkt vor. Mit $f(1)=1^3-3\cdot 1^2+4=2$ erhält man den Wendepunkt $WP(1|2)$.
    Der zugehörige Funktionsgraph ist hier zu sehen.

  • Leite die Funktion dreimal ab.

    Tipps

    Verwende die folgenden Ableitungsregeln:

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.

    Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung und die dritte die Ableitung der zweiten.

    Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer konstant.

    Lösung

    Die notwendige Bedingung für Wendestellen besagt, dass die zweite Ableitung an diesen Stellen $0$ sein muss. Die hinreichende Bedingung besagt, dass zusätzlich die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein soll. Das bedeutet, dass man die zweite und dritte Ableitung der Funktion benötigt.

    Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung. Deshalb benötigt man auch diese.

    Um die Ableitungen zu bestimmen, verwendet man die folgenden Regeln:

    • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
    • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
    • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.
    $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(x^3)'-(3x^2)'+(4)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~3x^2-6x&|&\text{Faktorregel und Potenzregel} \end{array}$

    Nun kann die zweite Ableitung als Ableitung der ersten Ableitung ebenso bestimmt werden:

    $f''(x)=6x-6$.

    Wenn die zweite Ableitung nochmal abgeleitet wird, erhält man die dritte Ableitung

    $f'''(x)=6$.

    Übrigens: Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine Konstante.

  • Ermittle die Extrempunkte der Funktionen.

    Tipps

    Die Gleichungen $f''(x)=0$ sind jeweils linear.

    Diese können so wie hier zu sehen gelöst werden.

    Die gefundene Lösung der Gleichung $f''(x)=0$ ist die x-Koordinate des Wendepunktes.

    Um die zugehörige y-Koordinate zu bestimmen, wird die x-Koordinate in die Funktionsgleichung eingesetzt.

    Lösung

    Zur Untersuchung einer Funktion auf Wendepunkte muss die Gleichung $f''(x)=0$ gelöst werden. Wenn eine Funktion kubisch ist, so ist die dritte Ableitung immer ungleich $0$. Das bedeutet, dass bei kubischen Funktionen die Untersuchung der notwendigen Bedingung genügt.

    Um zu der gefunden Lösung, der x-Koordinate des Wendepunktes, die zugehörige y-Koordinate zu bestimmen, wird die x-Koordinate in die Funktionsgleichung eingesetzt.

    Wir untersuchen $f(x)=x^3-4x$:

    Hier ist

    • $f'(x)=3x^2-4$ und
    • $f''(x)=6x$
    $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $6x=0$, also $x=0$. Einsetzen in die Funktionsgleichung führt zu $WP(0|0)$.

    Untersuchen wir nun $f(x)=2x^3+6x^2$

    Die ersten beiden Ableitungen sind

    • $f'(x)=6x^2+12x$ und
    • $f''(x)=12x+12$
    $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $12x+12=0$. Subtraktion von $12$ und Division durch $12$ führt zu $x=-1$. Einsetzen in der Funktionsgleichung führt zu $WP(-1|4)$.

    Wie sieht es aus mit $f(x)=-0,5x^3+3x^2+1$?

    Die Ableitungen sind

    • $f'(x)=-1,5x^2+6x$ und
    • $f''(x)=-3x+6$
    $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $-3x+6=0$. Subtraktion von $6$ und Division durch $-3$ führt zu $x=2$. Einsetzen in der Funktionsgleichung führt zu $WP(2|9)$.

    Auch bei $f(x)=2x^3-6x^2+2x-1$ gehen wir ähnlich vor:

    Zunächst werden wieder die Ableitungen bestimmt:

    • $f'(x)=6x^2-12x+2$ und
    • $f''(x)=12x-12$
    $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $12x-12=0$. Zunächst wird $12$ addiert und dann durch $12$ dividiert. Dies führt zu $x=1$. Einsetzen in der Funktionsgleichung führt zu $WP(1|-3)$.