Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Wendepunkten

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Wendepunkten Übung

• Beschreibe die notwendige und hinreichende Bedingung zur Überprüfung der Wendestellen.

  Tipps

  Ähnlich wie den Extremstellen ist es auch bei den Wendestellen wichtig, sich zu merken, dass für deren Überprüfung eine notwendige sowie eine hinreichende Bedingung untersucht werden muss.

  Die zweite Ableitung einer Funktion steht für die Krümmung.

  • $f''(x)>0$ bedeutet Linkskrümmung und
  • $f''(x)<0$ Rechtskrümmung.

  An einer Wendestelle liegt ein Krümmungswechsel vor: Entweder von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt.

  Ziehe den Vergleich zu der Bestimmung von Extrema:

  • Die notwendige Bedingung für Extrema ist $f'(x)=0$.
  • Hinreichend müssen die Lösung dieser Gleichung in die folgende zweite Ableitung eingesetzt werden. Diese muss ungleich $0$ sein.

  Lösung

  Wenn man Wendestellen oder Wendepunkte einer Funktion bestimmen soll, benötigt man die zweite und dritte Ableitung.

  Die notwendige Bedingung für Wendestellen lautet:

  Nur dort, wo $f''(x)=0$ ist, kann sich eine Wendestelle befinden.

  Die hinreichende Bedingung lautet:

  Gilt für eine bestimmte Stelle $x$

  1. $f''(x)=0$ und
  2. $f'''(x)\neq0$,

  so ist diese Stelle eine Wendestelle.

• Bestimme den Wendepunkt der Funktion.

  Tipps

  Du kannst nicht überprüfen, ob eine Stelle wirklich eine Wendestelle ist, wenn du nicht vorher überprüft hast, ob es eine sein könnte. Das ist das Prinzip der notwendigen und hinreichenden Bedingung.

  Die notwendige Bedingung ist das Lösen einer Gleichung. Erst wenn du dies getan hast, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen. Hierfür musst du die Lösung aus der notwendigen Bedingung in die dritte Ableitung einsetzen.

  Kürze die Ergebnisse so weit wie möglich.

  Lösung

  Für die Überprüfung auf Wendestellen benötigt man die zweite und dritte Ableitung. Diese sind hier zu sehen. Schauen wir uns das Prozedere genauer an:

  Notwendige Bedingung: Zunächst wird die Gleichung $f''(x)=0$ gelöst. Addition von $200$ und Division durch $24$ führt zu $x=\frac{200}{24}=\frac{25}3$.

  Hinreichende Bedingung: Die Lösung $\frac{25}3$ wird in die dritte Ableitung eingesetzt.

  $f'''\left(\frac{25}3\right)=24\neq 0$, da die dritte Ableitung konstant ist. Die hinreichende Bedingung ist somit erfüllt.

  Nun muss noch der Wendepunkt angegeben werden: $WP\left(\frac{25}3|370,370\right)$.

• Leite die Funktion dreimal ab.

  Tipps

  Verwende die folgenden Ableitungsregeln:

  • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
  • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
  • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.

  Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung und die dritte die Ableitung der zweiten.

  Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer konstant.

  Lösung

  Die notwendige Bedingung für Wendestellen besagt, dass die zweite Ableitung an diesen Stellen $0$ sein muss. Die hinreichende Bedingung besagt, dass zusätzlich die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein soll. Das bedeutet, dass man die zweite und dritte Ableitung der Funktion benötigt.

  Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung. Deshalb benötigt man auch diese.

  Um die Ableitungen zu bestimmen, verwendet man die folgenden Regeln:

  • Summenregel $(g(x)+h(x))'=g'(x)+h'(x)$,
  • Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
  • Faktorregel $(k\cdot g(x))'=k\cdot g'(x)$.

  $\begin{array}{rclll} f'(x)&=&~(x^3)'-(3x^2)'+(4)'&|&\text{Summenregel}\\ &=&~3x^2-6x&|&\text{Faktorregel und Potenzregel} \end{array}$

  Nun kann die zweite Ableitung als Ableitung der ersten Ableitung ebenso bestimmt werden:

  $f''(x)=6x-6$.

  Wenn die zweite Ableitung nochmal abgeleitet wird, erhält man die dritte Ableitung

  $f'''(x)=6$.

  Übrigens: Die dritte Ableitung einer kubischen Funktion ist immer eine Konstante.

• Ermittle die Extrempunkte der Funktionen.

  Tipps

  Die Gleichungen $f''(x)=0$ sind jeweils linear.

  Diese können so wie hier zu sehen gelöst werden.

  Die gefundene Lösung der Gleichung $f''(x)=0$ ist die x-Koordinate des Wendepunktes.

  Um die zugehörige y-Koordinate zu bestimmen, wird die x-Koordinate in die Funktionsgleichung eingesetzt.

  Lösung

  Zur Untersuchung einer Funktion auf Wendepunkte muss die Gleichung $f''(x)=0$ gelöst werden. Wenn eine Funktion kubisch ist, so ist die dritte Ableitung immer ungleich $0$. Das bedeutet, dass bei kubischen Funktionen die Untersuchung der notwendigen Bedingung genügt.

  Um zu der gefundenen Lösung, der x-Koordinate des Wendepunkts, die zugehörige y-Koordinate zu bestimmen, wird die x-Koordinate in die Funktionsgleichung eingesetzt.

  Wir untersuchen $f(x)=x^3-4x$:

  Hier ist

  • $f'(x)=3x^2-4$ und
  • $f''(x)=6x$

  $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $6x=0$, also $x=0$. Einsetzen in die Funktionsgleichung führt zu $WP(0|0)$.

  Untersuchen wir nun $f(x)=2x^3+6x^2$

  Die ersten beiden Ableitungen sind

  • $f'(x)=6x^2+12x$ und
  • $f''(x)=12x+12$

  $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $12x+12=0$. Subtraktion von $12$ und Division durch $12$ führt zu $x=-1$. Einsetzen in der Funktionsgleichung führt zu $WP(-1|4)$.

  Wie sieht es aus mit $f(x)=-0,5x^3+3x^2+1$?

  Die Ableitungen sind

  • $f'(x)=-1,5x^2+6x$ und
  • $f''(x)=-3x+6$

  $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $-3x+6=0$. Subtraktion von $6$ und Division durch $-3$ führt zu $x=2$. Einsetzen in der Funktionsgleichung führt zu $WP(2|9)$.

  Auch bei $f(x)=2x^3-6x^2+2x-1$ gehen wir ähnlich vor:

  Zunächst werden wieder die Ableitungen bestimmt:

  • $f'(x)=6x^2-12x+2$ und
  • $f''(x)=12x-12$

  $f''(x)=0$ ist äquivalent zu $12x-12=0$. Zunächst wird $12$ addiert und dann durch $12$ dividiert. Dies führt zu $x=1$. Einsetzen in der Funktionsgleichung führt zu $WP(1|-3)$.

• Gib an, was zur Prüfung der notwendigen Bedingung bei Wendestellen zu tun ist.

  Tipps

  Bei Wendestellen muss zunächst die notwendige Bedingung untersucht werden, bevor die hinreichende untersucht werden kann.

  Die Werte, die in die dritte Ableitung eingesetzt werden, sind nicht irgendwelche Werte: Dies sind die Werte, welche die jeweilige notwendige Bedingung erfüllen.

  Es sind also Werte gesucht, welche für $x$ eingesetzt die Gleichung $f''(x)=0$ lösen.

  Lösung

  Ebenso wie bei den Extremstellen muss bei den Wendestellen eine notwendige Bedingung untersucht werden.

  Diese lautet bei Extremstellen $f'(x)=0$ und bei Wendestellen $f''(x)=0$. Man muss also herausfinden, ob es Zahlen für $x$ gibt, die diese Gleichung erfüllen. Es muss schließlich eine Gleichung gelöst werden.

  Die Lösungen dieser Gleichungen müssen sowohl bei Extremstellen als auch bei Wendestellen in die nächstfolgende Ableitung eingesetzt werden.

• Bestimme die Extrempunkte sowie Wendepunkte der Funktion.

  Tipps

  Für Extremstellen gilt die notwendige Bedingung, dass die erste Ableitung $0$ sein muss. Dies ist eine Gleichung.

  Die Lösungen werden in die zweite Ableitung eingesetzt. Diese muss ungleich $0$ sein (als hinreichende Bedingung).

  Mit Hilfe des Vorzeichens der zweiten Ableitung kann die Art des Extremums ermittelt werden: Ist die zweite Ableitung an der Stelle, welche durch die notwendige Bedingung gefunden wird, positiv (negativ), so liegt ein Tiefpunkt (Hochpunkt) vor.

  Für Wendestellen gilt die notwendige Bedingung, dass die zweite Ableitung $0$ sein muss. Dies ist eine Gleichung.

  Die Lösungen werden in die dritte Ableitung eingesetzt. Diese muss ungleich $0$ sein (als hinreichende Bedingung).

  Bei bekannter x-Koordinate findet man die y-Koordinate eines Punktes des Funktionsgraphen durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung.

  Lösung

  Die Bestimmung der Nullstellen ist nicht Teil der Aufgabe. Diese sind deshalb hier angegeben: $x_1=2$ sowie $x_2=-1$.

  Zu Beginn einer Kurvendiskussion werden immer die ersten drei Ableitungen bestimmt:

  • $f(x)=x^3-3x^2+4$
  • $f'(x)=3x^2-6x$
  • $f''(x)=6x-6$
  • $f'''(x)=6$

  Betrachten wir die Extrempunkte:

  1. Notwendige Bedingung: $f'(x)=0$, also $3x^2-6x=0$. Ausklammern von $3x$ führt zu $3x(x-2) =0$. Die gesuchten Lösungen sind somit $x_1=0$ sowie $x_2=2$.
  2. Hinreichende Bedingungen: Diese Lösungen werden in die zweite Ableitung eingesetzt:

  • $f''(0)=-6< 0$. Das bedeutet, dass ein Hochpunkt vorliegt. Es ist $f(0)=4$, also $HP(0|4)$.
  • $f''(2)=12-6=6> 0$. Dies ist ein Tiefpunkt. Die y-Koordinate ist $f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4=0$. Der Tiefpunkt lautet $TP(2|0)$.

  Untersuchen wir nun die Wendepunkte:

  1. Notwendige Bedingung: $f''(x)=0$, also $6x-6=0$. Addition von $6$ und Division durch $6$ führt zu $x=1$.
  2. Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung ist konstant ungleich $0$. Es liegt also ein Wendepunkt vor. Mit $f(1)=1^3-3\cdot 1^2+4=2$ erhält man den Wendepunkt $WP(1|2)$.

  Der zugehörige Funktionsgraph ist hier zu sehen.