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Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Graphen 02:46 min

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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Graphen

Hallo. Wir sind bei Punkt sechs unserer Funktionsuntersuchung und zwar beim Graphen der Funktion. Ja, und vielleicht denkst du dir jetzt: Wieso soll ich den Graphen zeichnen? Ich tippe das in meinen Taschenrechner ein und dann sehe ich doch den Graphen. Ich habe schon so viele Schüler gesehen, die genau das probiert haben und bei denen es nicht funktioniert hat. Die sitzen dann davor uns sagen: „Warum funktioniert das nicht? Ich sehe ja gar nichts. Oder ich habe nur ein Strich.“ Oder sowas. Und damit dir das nicht passiert, ist es gut, wenn du die Funktion verstehst. Wenn du den Graphen verstehst. Wenn du weißt, welche Eigenschaften er hat. Und die Eigenschaften haben wir ja schon rausgefunden. Das heißt, wir müssen uns jetzt nur bedienen. Wir haben die Nullstellen, nämlich x1=0; x2=10; x3=15. Dann haben wir noch drei weitere Punkte. Die Koordinaten habe ich hier alle auf die erste Stelle nach dem Komma gerundet, denn genauer kann man in diesem Fall sowieso nicht zeichnen. Den Hochpunkt bei (3,9|1056,3), den Tiefpunkt mit den Koordinaten (12,7|-315,6) und den Wendepunkt mit (8,3|370,4). So, wir können jetzt eine Skizze zeichnen, die alle wichtigen Eigenschaften des Graphen enthält. Und danach können wir uns ansehen, wie ein Funktionsplotter die Sache sieht. Also, wir haben eine Nullstelle bei 0, eine bei 10 und eine bei 15. Der Hochpunkt ist bei (3,9|1056,3). Also ungefähr hier. Der Tiefpunkt ist bei (12,7|-315,6). Also ungefähr hier. Und der Wendepunkt ist bei (8,3|370,4). Also ungefähr hier. Und dann können wir den Graphen skizzieren. Und das hier hat der Automat ausgespuckt. Und da würde ich sagen, lagen wir mit unserer Skizze doch gar nicht so schlecht, oder? So, dann hat ja alles geklappt. Wir haben also gesehen, wie wir die Eigenschaften der Funktion in einen Graphen übersetzen konnten. Und so verstehen konnte, wie diese Funktion eigentlich tickt. Und es gibt noch einen Grund, warum wir den Graphen zeichnen. Denn wenn wir uns bei den Nullstellen, Extrempunkten, Wendepunkten irgendwo vertan haben, stehen die Chancen ziemlich gut, dass uns das beim Zeichnen des Graphen auffällt. Und wir so zum Beispiel in einer Klausur die Möglichkeit haben, das zu korrigieren. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Graphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Graphen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie man einen Funktionsgraphen zeichnet.

    Tipps

    Man kann einen Funktionsgraphen auch mithilfe einer Wertetabelle erstellen.

    Der Gebrauch eines Grafik-fähigen Taschenrechners ist nicht immer erlaubt.

    Während einer Abiturprüfung hast du sicherlich keinen Computer oder Internet-Zugang zur Verfügung.

    Die einzelnen Punkte einer Kurvendiskussion sind

    1. Ableitungen
    2. Symmetrie
    3. Nullstellen
    4. Extremstellen
    5. Wendestellen
    6. Graph

    Lösung

    Wenn man den Graphen einer Funktion zeichnen soll, berechnet man zunächst die Funktion auf charakteristische Punkte.

    Am Beispiel $f(x)=4x^3-100x^2+600x$ sind dies

    • die Nullstellen bei $x_1=0$, $x_2=10$ sowie $x_3=15$.
    • die Extrempunkte, bestehend aus einem Hochpunkt $HP(3,9|1056,3)$ und einemTiefpunkt $TP(12,7|-315,6)$, sowie
    • der Wendepunkt $WP(8,3|370,4)$
    All diese Punkte werden in einem Koordinatensystem eingezeichnet und dann miteinander verbunden.

    Man kann gegebenenfalls noch weitere Punkte mithilfe einer Wertetabelle bestimmen.

    Oft darf im Abitur aber kein Grafik-fähiger Taschenrechner verwendet werden. Deshalb ist es sinnvoll, sich ein Verständnis über den Verlauf des Funktionsgraphen zu verschaffen. Dies ist der Inhalt einer Kurvendiskussion, an deren krönendem Ende der Funktionsgraph steht.

  • Bestimme den Graphen zu der Funktion.

    Tipps

    Die oben angegebene Funktion ist kubisch. Der Verlauf einer solchen Funktion erfüllt ganz bestimmte Eigenschaften.

    Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion.

    Schau dir die x- sowie y-Werte an.

    Der gesuchte Graph lääst sich bereits anhand der Nullstellen bestimmen.

    Lösung

    Hier ist der gesuchte Graph zu sehen. Die entsprechenden Punkte sind mit Kreuzen markiert.

    • Die Nullstellen bei $x_1=0$, $x_2=10$ sowie $x_3=15$ sind die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse.
    • Die Extrempunkte, bestehend auf einem Hochpunkt $HP(3,9|1056,3)$ sowie einem Tiefpunkt $TP(12,7|-315,6)$ befinden sich an der relativ höchsten bzw. niedrigsten Stelle des abgebildeten Funktionsgraphen.
    • Der Wendepunkt liegt bei $WP(8,3|370,4)$.
    Um was für Graphen handelt es sich bei den anderen Funktionen?

    • Die beiden grünen Funktionsgraphen sind ebenfalls Graphen einer kubischen Funktion.
    • Zu sehen ist auch eine Parabel (rot), diese ist der Graph einer quadratischen Funktion.
    • Der andere rote Funktionsgraph gehört zu einer quintischen (hoch 5) Funktion.
    • Der verbleibende (andere) blaue Graph gehört zu einer trigonometrischen Funktion.
  • Benenne die verschiedenen Punkte des Funktionsgraphen.

    Tipps

    Beachte: Es gibt

    • $3$ Nullstellen,
    • $2$ Extrempunkte sowie
    • $1$ Wendepunkt
    zu markieren.

    Wenn du alle Punkte markiert hast und diese miteinander verbindest, erhältst du diesen Funktionsgraphen.

    Zwischen zwei Nullstellen muss (bei einer stetigen Funktion) eine Extremstelle liegen.

    Zwischen zwei Extremstelle muss (bei einer stetigen Funktion) eine Wendestelle liegen.

    Lösung

    Die blauen Kreuze in dem Graphen kennzeichnen die charakteristischen Punkte und Stellen des Funktionsgraphen.

    Tipp: Zum Zeichnen eines Funktionsgraphen bietet sich das Erstellen einer Wertetabelle an. So erhält man weitere Punkte, welche auf dem Funktionsgraphen liegen. Diese sind hier als graue Kreuze eingezeichnet.

    Die charakteristischen Punkte sind von links nach rechts:

    • die Nullstelle bei $x_1=0$
    • der Hochpunkt $HP(3,9|1056,3)$
    • der Wendepunkt $WP(8,3|370,4)$
    • die Nullstelle bei $x_2=10$
    • der Tiefpunkt $TP(12,7|-315,6)$
    • die Nullstelle bei $x_3=15$

  • Leite aus den gegebenen Informationen die Funktionsgleichung her und bestimme die genaue Lage der Extrempunkte.

    Tipps

    Eine ganzrationale Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade sind und punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind.

    Wenn du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du den y-Achsenabschnitt. Dies ist die Stelle, an der der Graph die y-Achse schneidet.

    Zur Kontrolle: Die erste Ableitung der Funktion ist gegeben durch

    $f'(x)=2x^3-10x$.

    Zur Bestimmung von $a$ und $c$ musst du ein Gleichungssystem lösen. Es muss gelten

    • $f(1)=0$ sowie
    • $f(3)=0$.

    Lösung

    Hier ist ein Funktionsgraph zu sehen. Zu erkennen sind vier Nullstellen. Das bedeutet, dass die Funktion mindestens den Grad $4$ haben muss. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Daraus kann gefolgert werden, dass alle Exponenten gerade sein müssen.

    Also ist $f(x)=ax^4+cx^2+e$.

    $e$ ist der y-Achsenabschnitt, dieser ist hier $4,5$. Dieses $e$ kann in die Funktionsgleichung eingesetzt werden:

    $f(x)=ax^4+cx^2+4,5$.

    Zur Bestimmung der Werte für $a$ und $c$ können die bekannten Nullstellen $x_1=1$ sowie $x_2=3$ verwendet werden. Dies führt zu dem folgenden Gleichungssystem:

    $\begin{array}{lrcl} \text{(I)}&a\cdot 1^4+c\cdot1^2+4,5&=&0\\\\ \text{(II)}&a\cdot 3^4+c\cdot3^2+4,5&=&0 \end{array}$

    Die Potenzen können noch berechnet werden, so erhält man:

    $\begin{array}{lrcl} \text{(I)}&a+c+4,5&=&0\\\\ \text{(II)}&81a+9c+4,5&=&0 \end{array}$

    Wenn von der zweiten Gleichung das Neunfache der ersten subtrahiert wird, erhält man $72a-36=0$. Addition von $36$ und Division durch $72$ führt zu $a=0,5$.

    Dieses $a$ kann in die erste Gleichung eingesetzt werden $0,5+c+4,5=0$. Subtraktion von $5$ liefert $c=-5$.

    Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit

    $f(x)=0,5x^4-5x^2+4,5$.

    Es sollen noch die Extrempunkte bestimmt werden. Diese sind zwar in der Skizze zu sehen, jedoch ist es schwierig, diese abzulesen. Dabei kann es zu Ungenauigkeiten kommen.

    Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, genügt es, den Extrempunkt mit der positiven x-Koordinate zu untersuchen; dieser kann dann an der y-Achse gespiegelt werden.

    Die ersten beiden Ableitungen dieser Funktion lauten

    • $f'(x)=2x^3-10x$
    • $f''(x)=6x^2-10$
    Notwendigerweise muss für Extremstellen die erste Ableitung $0$ sein. Dies führt zu
    • $x_1=0$ oder
    • $2x^2-10=0$, was äquivalent ist zu $x_{2,3}=\pm\sqrt5$.
    Diese Lösungen müssen in die zweite Ableitung eingesetzt werden. Die hinreichende Bedingung lautet, dass diese ungleich $0$ sein soll:
    • $f''(0)=-10<0$: Hier liegt also ein Hochpunkt vor: $HP(0|4,5)$.
    • $f''(\sqrt5)=20>0$: Hier liegt somit ein Tiefpunkt vor, mit $y=f(\sqrt5)=0,5\cdot \sqrt5 ^4-5\cdot \sqrt5 ^2+4,5=12,5-25+4,5=-8$, also $TP(\sqrt5|-8)$.
    Der andere Tiefpunkt ist gegeben durch $TP(-\sqrt5|-8)$ aufgrund der Achsensymmetrie.

  • Erkläre, wie die Nullstellen, Extrempunkte sowie Wendepunkte verwendet werden, um einen Funktionsgraphen zu zeichnen.

    Tipps

    Es kommen Schritt für Schritt neue Punkte hinzu.

    Unterscheide Stellen (hier geht es um die x-Koordinate) von Punkten. Ein Punkt in einem Koordinatensystem hat eine x- (die erste) und eine y- (die zweite) Koordinate.

    Beachte: Der Tiefpunkt hat die y-Koordinate $0$.

    Die Reihenfolge, in welcher die entsprechenden Punkte eingezeichnet werden, ist nicht von Bedeutung. Allerdings empfiehlt sich, die Reihenfolge der Kurvendiskussion zu befolgen:

    1. Nullstellen
    2. Extrempunkte
    3. Wendepunkte
    Lösung

    Die Nullstellen der Funktion $f(x)x^3-3x^2+4$ sind $x_1=-1$ sowie $x_2=2$.

    Im Rahmen einer Kurvendiskussion werden diese sowie die Extrem- und Wendepunkte bestimmt:

    • $HP(0|4)$
    • $TP(2|0)$
    • $WP(1|2)$
    Tipp: Im Laufe der Kurvendiskussion können die jeweiligen Ergebnisse fortlaufend in ein Koordinatensystem eingetragen werden. So entsteht ein „Daumenkino“ wie das in dieser Aufgabe. Am Ende dieses „Daumenkinos“ steht der Funktionsgraph.
    1. Zunächst muss ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Die horizontale Achse ist die x-Achse und die vertikale die y-Achse. Die Achsen müssen beschriftet werden. Dabei ist die Skalierung so zu wählen, dass sie zu den gefundenen Ergebnissen passt.
    2. (Die jetzt folgende Reihenfolge ist variabel:) Die Nullstellen sind die Stellen, an welchen der Graph die x-Achse schneidet.
    3. Die Extrempunkte werden eingezeichnet.
    4. Der Wendepunkt wird, ebenso wie die Extrempunkte, eingezeichnet.
    5. Zuletzt werden die Punkte miteinander verbunden.
    Gegebenenfalls erleichtern weitere Punkte das Zeichnen des Graphen. Hierfür kann eine Wertetabelle angefertigt werden.

  • Bestimme zu jeder der Funktionen den Funktionsgraphen.

    Tipps

    Schau dir zunächst die Anzahl der Nullstellen an:

    Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ kann maximal $n$ Nullstellen haben.

    Zu den Extrempunkten:

    Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ kann maximal $n-1$ Extrempunkte haben.

    Der Verlauf einer quadratischen Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ ist eine Parabel.

    Lösung

    Üblicherweise dient eine Kurvendiskussion dazu, von einer Funktionsgleichung zu einem Funktionsgraphen zu gelangen.

    Hier soll anhand von Funktionsgraphen erkannt werden, welche Funktion vorliegt.

    Dies kann man sich an gewissen Eigenschaften klarmachen:

    • Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat maximal $n$ Nullstellen. Das bedeutet, dass eine kubische Funktion zum Beispiel nicht $4$ Nullstellen haben kann.
    • Eine Funktion mit geradem Grad (quadratisch, quartisch, ...) muss keine Nullstellen haben.
    • Eine Funktion mit ungeradem Grad (linear, kubisch, quintisch ...) muss mindestens eine Nullstelle haben.
    Wenn man eine Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man eine Funktion vom Grad $n-1$. Die erste Ableitung benötigt man für die notwendige Bedingung bei Extrempunkten. Somit gilt
    • Eine quadratische Funktion hat genau einen Extrempunkt.
    • Eine kubische Funktion hat entweder keinen, einen oder zwei Extrempunkte.
    • Eine Funktion vom Grad $n$ kann maximal $n-1$ Extrempunkte haben.
    Wenn man die erste Ableitung nochmal ableitet, erhält man die zweite, welche für die notwendige Bedingung der Wendepunkt verwendet wird. Man kann also folgern:
    • Eine quadratische Funktion hat keinen Wendepunkt.
    • Eine kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt.
    • Eine Funktion vom Grad $n$ kann maximal $n-2$ Wendepunkte besitzen.
    Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, ist es jedoch auch sinnvoll, solche Eigenschaften zu kennen. Umgekehrt gibt es auch sogenannte Rekonstruktions- oder Modellierungsaufgaben. Dabei wird ein Funktionsgraph vorgegeben oder es sind charakteristische Punkte bekannt und es soll die Funktionsgleichung wieder hergestellt werden.

    Die Funktionsgraphen von links nach rechts:

    • Eine kubische Funktion: $f(x)=x^3-x-0,375$
    • Eine quadratische Funktion: Der Verlauf ist eine um zwei Einheiten nach links verschobene Normalparabel: $f(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4$.
    • Eine quartische Funktion: Diese Funktion ist achsensymmetrisch, muss also einen geraden Grad haben. Die Funktion hat vier Nullstellen. Diese passen nur zu $f(x)=x^4-3x^2$.
    • Eine quintische Funktion: Dies ist die einzige Funktion mit einem Sattelpunkt, ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Diese Funktion ist punktsymmetrisch. Es könnte auch eine kubische Funktion sein. Jedoch hat die Funktion noch zwei Extrempunkte, sie muss also einen höheren Grad als $3$ haben: $f(x)=x^5-4x^3$.