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Kongruenz von Dreiecken 07:52 min

Textversion des Videos

Transkript Kongruenz von Dreiecken

Hallo liebe Schülerinnen, und Schüler, herzlich willkommen zum Video Geometrie Teil 9 In diesem Video geht es um einen Begriff, der sich kompliziert anhört, aber recht einfach zu verstehen ist. Es geht um die Kongruenz. Der Titel des Videos lautet "Kongruenz von Dreiecken". Nehmen wir doch einmal an, wir haben eine ganze Reihe von Dreiecken. Dreiecke, wo seid ihr? Meldet euch! Aha, da sind sie schon. Ja, die Dreiecke sollen wir nun sortieren. Welche Möglichkeiten gibt es dafür? Wir könnten zuerst einmal die Lilafarbenden einsammeln, dann nehmen wir uns die Grünen und am Ende kommen die Karminroten an die Reihe. Wir haben nun 3 Häufchen, ein Lilafarbendes, ein grünes und ein karminrotes. Ja, aber irgendwie passen da die Dreiecke nicht so richtig zusammen. Vielleicht gibt es noch eine andere Möglichkeit des Sortierens? Mh, hättet ihr da eine Idee? Aha, so also. Es gibt gewisse Ähnlichkeiten unter den verschiedenfarbigen Dreiecken. Wir haben ein Lilafarbendes, ein grünes und ein karminrotes, die spitzwinkelig sind. Und dann haben wir ein Lilafarbendes, ein karminrotes und ein grünes die einen rechten Winkel haben. Und dann haben wir ein lilafarbendes, ein grünes und ein karminrotes, die über einen stumpfen Winkel verfügen. So ergibt die Anordnung Sinn. Man sieht sehr schön, dass jeweils diese 3 Grüppchen aus Dreiecken bestehen, die ähnlich sind. Aber mit der Ähnlichkeit geben wir uns noch nicht zufrieden. Wir nehmen uns oben, diese 3 spitzwinkeligen Dreiecke und legen sie einmal übereinander. Das Lilafarbende liegt nun oben. Die anderen kann man gar nicht mehr sehen, das Lilafarbende hat sie verdeckt. Das gleiche machen wir jetzt mit den rechtwinkeligen Dreiecken. Wir wollen mal sehen, was da passiert. Aha, und tatsächlich, das Lilafarbende liegt oben und hat die beiden anderen Dreiecke verdeckt. Und wie sieht es aus, bei den stumpfwinkeligen Dreiecken? Wieder legen wir das Lilafarbende so, dass es oben liegt. Aha, wir schauen uns das an und wunderbar sehen wir, dass auch die beiden anderen Dreiecke völlig verdeckt sind. Wir sehen nur noch die Lilafarbenden Dreiecke, wie sie oben liegen. Naja, aber vielleicht sind die Lilafarbenden Dreiecke die größten. Legen wir doch einmal die grünen Dreiecke nach oben, mal sehen, was da passiert. Beim Rechtwinkeligen verdeckt das Gründe die beiden anderen. Beim Spitzwinkeligen ebenfalls und auch beim stumpfwinkeligen Dreieck schauen unter dem grünen Dreieck, das Lilafarbende und das Karminfarbende überhaupt nicht mehr hervor. Das ist ja sehr interessant. Aber vielleicht ist das Karminfarbende zu klein. Legen wir es doch mal nach oben, ob es die beiden anderen verdecken kann. Im Fall des rechtwinkeligen Dreiecks klappt das wunderbar. Beim spitzwinkeligen Dreieck haben wir auch keine Probleme, wir sehen nur noch karminrot. Und auch beim stumpfwinkeligen Dreieck scheint es zu klappen. Na, mal sehen? Aha, tatsächlich, auch beim stumpfwinkeligen Dreieck verdeckt das karminfarbende Dreieck, die beiden anderen Dreiecke darunter. Die Dreiecke, in den jeweils 3 Grüppchen, sind also nicht nur ähnlich zueinander, sie sind kongruent. Kongruent sind die 3 rechtwinkeligen Dreiecke. Kongruent sind genauso, die 3 spitzwinkeligen Dreiecke. Und kongruent sind ebenfalls die 3 stumpfwinkeligen Dreiecke. Das Wort kongruent heißt deckungsgleich. Die Dreiecke, in den 3 Grüppchen, sind jeweils untereinander kongruent, also deckungsgleich. Ich habe ein paar Dreiecke links und ein paar Dreiecke rechts. Welches der beiden Paare ist kongruent? Beim Linken verdeckt das grüne Dreieck das Lilafarbende. Genauso, wie das lilafarbende Dreieck das Grüne verdeckt. Also sind diese beiden Dreiecke deckungsgleich, also kongruent. Beim rechten Paar kann ich es drehen und wenden, wie ich will, weder das grüne Dreieck verdeckt das Lilafarbende noch das Lilafarbende das Grüne. Es will mir einfach nicht gelingen, diese beiden Dreiecke deckungsgleich zu machen. Das heißt, diese beiden Dreiecke sind nicht kongruent. Kongruent oder nicht kongruent, das ist bei diesen beiden Dreiecken die Frage. Ich versuche sie deckungsgleich übereinander zulegen, es will mir aber nicht gelingen. Das heißt, diese beiden Dreiecke sind nicht kongruent. Jetzt verwende ich einen Trick. Ich nehme beide Dreiecke und drehe sie einfach um. So, und damit sind sie deckungsgleich. Das Karminrote verdeckt das Lilafarbende und das Lilafarbende, das Karminrote. Also, beide Dreiecke sind kongruent. Ja was denn nun? Kongruent oder nicht kongruent? Beide Dreiecke sind tatsächlich kongruent, denn man darf sie aus der Ebene nehmen und umdrehen. Genau, wie man sie auch aus der Ebene nehmen kann und irgendwie in den Raum stellen kann. Aber das werden wir gleich sehen. Na? Erkennt ihr diese Dreiecke wieder? Es sind alles alte Bekannte vom Anfang des Videos, sie stehen aber jetzt aber irgendwie schief im Raum. Ich habe sie aus der Ebene heraus genommen. Damit sie nicht umfallen, habe ich sie mit Knete fixiert. Nun werde ich sie mal wieder von der Knete und den Knetresten befreien. Die Dreiecke sahen am Anfang gar nicht kongruent aus, habe ich recht? Nun werden wir mal sehen was passiert, wenn ich die Knetereste wegmache und wir die Dreiecke übereinanderlegen. Machen wir doch einmal die Verdeckungsprobe. Also, Lila verdeckt die beiden anderen Dreiecke. Karminrot verdeckt ebenfalls die beiden anderen Dreiecke. Naja, und mit Grün geht es ebenfalls. Das heißt, alle 3 Dreiecke sind kongruent, denn sie sind deckungsgleich. Richtig, wir haben es mit kongruenten Dreiecken zu tun. So, und schon sind wir am Ende unseres kleinen Videos angelangt. Ich hoffe, ihr hattet genau so viel Spaß wie ich und ihr werdet jetzt kongruente und nicht kongruente Dreiecke unterscheiden können. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg! Tschüss

11 Kommentare
  1. Guuuut 😉

    Von Wdewizard, vor 6 Monaten
  2. Sehr gut gelungenes video hat mir sehr weiterverholfrn

    Von Roman W., vor mehr als einem Jahr
  3. Super Video😃

    Von Ronaraufi, vor etwa 2 Jahren
  4. Super Video! hat mir geholfen

    Von Alex Ageland, vor mehr als 2 Jahren
  5. Das Video hat mir sehr gut gefallen danke.

    Von Tibor A., vor etwa 3 Jahren
  1. Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden. Ich denke, wenn es nicht missverständlich ist, so kann man es einfach formulieren.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  2. Ich glaube , dass E T Valbert meint, dass man immer´´ kongruent zueinander´´ schreiben sollte und nicht einfach so´´ kongruent``. Aber mir hat das Video eigentlich gefallen ;)

    Von Lllpop46, vor mehr als 3 Jahren
  3. Ich verstehe nicht, worum es hier geht.

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  4. Dreiecke sind kongruent zueinander und nicht einfach kongruent

    Von E T Valbert, vor mehr als 3 Jahren
  5. Es verstehen nicht alle alles und sofort und schnell.

    Von André Otto, vor mehr als 5 Jahren
  6. Tut mir leid aber das Video war nach meinem Geschmack zu sehr in die Länge gezogen. :(

    Von Kerstin Single 1, vor mehr als 5 Jahren
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Kongruenz von Dreiecken Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenz von Dreiecken kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Begriff Kongruenz in Abgrenzung zum Begriff Ähnlichkeit.

    Tipps

    Kongruente Dreiecke stimmen in den Längen ihrer Seiten überein.

    Ähnliche Dreiecke sind maßstabgetreu, aber nicht zwingend deckungsgleich.

    Lösung

    Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie durch Drehung, Verschiebung oder Spiegelung ineinander übergehen.

    Ein anderes Wort für kongruent ist deckungsgleich: Wenn du ein Dreieck auf ein anderes so legen kannst, dass die beiden sich komplett gegenseitig abdecken, dann sind die Dreiecke kongruent.

    Andernfalls sind die Dreiecke nicht kongruent bzw. nicht deckungsgleich.

    Bei kongruenten Figuren sind einander entsprechende Seiten gleich lang und einander entsprechende Winkel gleich groß.

    Zwei Dreicke sind ähnlich, wenn man das eine Dreieck durch gleichmäßige Vergrößerung oder Verkleinerung in das andere Dreieck überführen kann.

    Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, sind sie dementsprechend auch ähnlich (mit dem Ähnlichkeitsfaktor $1$). Umgekehrt sind zwei ähnliche Dreiecke nicht unbedingt kongruent.

  • Fasse zusammen, was für bestimmte Dreiecke gelten muss, damit sie kongruent sein können.

    Tipps

    Merke dir, dass kongruent bedeutet, dass die Dreiecke deckungsgleich sind.

    Bei kongruenten Dreiecken sind die einander entsprechenden Winkel gleich groß.

    Wenn zum Beispiel ein Dreieck einen Winkel $\alpha=50^\circ$ hat, dann muss auch ein dazu kongruentes Dreieck einen Winkel der gleichen Größe haben.

    Lösung

    Du kannst allgemein sagen, dass die Eigenschaften eines Dreieckes auch für dazu kongruente Dreiecke gelten müssen. Da bei kongruenten Dreiecken einander entsprechende Winkel gleich groß sind, kannst du insbesondere folgern:

    • Zu stumpfwinkligen Dreiecken kongruente Dreiecke sind ebenfalls stumpfwinklig.
    • Zu rechtwinkligen Dreiecken kongruente Dreiecke sind ebenfalls rechtwinklig.
    • Zu spitzwinkligen Dreiecken kongruente Dreiecke sind ebenfalls spitzwinklig.
  • Bestimme die Dreiecke, die zu dem gegebenen kongruent sind.

    Tipps

    Kongruent bedeutet deckungsgleich. Wenn du die Dreieck übereinander legst, decken sie sich gegenseitig komplett ab.

    In kongruenten Dreiecken sind einander entsprechende Winkel gleich groß.

    Die zu dem abgebildeten Dreieck kongruenten Dreiecke müssen ebenfalls rechtwinklig sein.

    Die Längen der Katheten müssen übereinstimmen.

    Lösung

    Hier siehst du eines der beiden zu dem obigen Dreieck kongruenten Dreiecke.

    Das oben abgebildete Dreieck ist rechtwinklig. Deshalb muss dies auch für die zu diesem Dreieck kongruenten Dreiecke gelten. Damit kannst du das orange gleichschenklige Dreieck ausschließen sowie das grüne spitzwinklige Dreieck.

    Die verbleibenden Dreiecke sind alle rechtwinklig. Nun schaust du dir die Seitenlängen an. Du kannst mit Hilfe des Rasters die Längen der Katheten ablesen. Die Katheten sind übrigens die beiden Seiten, die an den rechten Winkel anliegen. Bei dem hier zu sehenden grünen Dreieck sowie bei dem orangen Dreieck in der Mitte der unteren Zeile sind die Katheten drei beziehungsweise sechs Kästchen lang.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Für die Kongruenz genügt es nicht, dass bei den Dreiecken die einander entsprechenden Winkel übereinstimmen.

    In einem gleichschenkligen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

    Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ist $u=3a$, wobei $a$ die Länge der Seite ist.

    Zwei Aussagen sind korrekt.

    Lösung

    Wir schauen uns zunächst die beiden Aussagen an, die korrekt sind.

    Gleichseitige Dreiecke mit dem gleichen Umfang sind kongruent.

    Der Umfang ist $u=3a$, also $a=\frac13 u$. Wenn der Umfang übereinstimmt, dann tut dies auch die Seitenlänge $a$, also alle drei Seiten. Die Dreiecke sind tatsächlich kongruent.

    Bei zwei Dreiecken sei das Längenverhältnis der Seiten $2:1,5:1$ sowie der Umfang gleich. Diese beiden Dreiecke sind kongruent.

    Auch hier kannst du mit dem Umfang die Seitenlängen bestimmen. Sei $a$ die kürzeste Strecke und $b$ die mittlere sowie $c$ die längste, dann gilt $b=1,5a$ und $c=2a$. Damit ist $u=a+1,5a+2a=4,5 a$. So erhältst du $a=\frac1{4,5}u=\frac29 u$. Da der Umfang der Dreiecke gleich ist und du die anderen Seiten mit Hilfe von $u$ bestimmen kannst, stimmen also alle drei Seitenlängen überein. Die Dreiecke sind somit kongruent.

    Alle übrigen Aussagen sind falsch. Hier erfährst du noch, was es bedeutet, wenn zwei Dreiecke ähnlich sind: Die Verhältnisse einander entsprechender Seiten beider Dreiecke sind immer gleich. Insbesondere sind einander entsprechende Winkel gleich groß.

    • Gleichseitige Dreiecke sind ähnlich, aber im Allgemeinen nicht kongruent.
    • Gleichschenklige Dreiecke müssen sicher nicht kongruent und noch nicht einmal ähnlich sein.
    • Auch die Tatsache, dass gleichschenklige Dreiecke zusätzlich rechtwinklig sind, reicht nicht für die Kongruenz. Das kannst du dir so klar machen: Betrachte zwei verschieden große Quadrate. Die Diagonalen teilen diese Quadrate in gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke. Die Dreiecke eines Quadrats sind kongruent, jedoch nicht zu den Dreiecken des jeweils anderen Quadrats.
    • Gleichschenklige Dreiecke mit gleichem Umfang (bspw. $u=34$) können die Seitenlängen $a=b=12$ sowie $c=10$ oder $a=b=10$ sowie $c=14$ haben. Diese Dreiecke sind nicht kongruent, da die Seitenlängen nicht übereinstimmen.
  • Ordne den Dreiecken das jeweils kongruente Dreieck zu.

    Tipps

    Beachte, dass bei kongruenten Dreiecken die Innenwinkel übereinstimmen.

    Zum Beispiel kann zu einem rechtwinkligen Dreieck nur ein rechtwinkliges Dreieck kongruent sein.

    Mit Hilfe der Kästchen kannst du die Längen von Seiten bestimmen. Bei kongruenten Dreiecken stimmen die Seitenlängen überein.

    Lösung

    Schaue dir zunächst die Winkel an. Dreieck $A$ ist rechtwinklig und ebenso die Dreiecke $II$ sowie $III$. Da die Seiten bei Dreieck $III$ nicht mit denen von Dreieck $A$ übereinstimmen, sind die beiden Dreiecke $A$ und $II$ kongruent zueinander.

    Nun schaust du dir das Dreieck $B$ an. Dieses Dreieck ist gleichschenklig. Dies gilt auch für die Dreiecke $IV$ und $VI$. Das Dreieck $VI$ kannst du auf Grund der Seitenlängen ausschließen. Dreieck $B$ ist kongruent zu Dreieck $IV$.

    Es bleiben noch die beiden spitzwinkligen Dreiecke $C$ und $D$. Auch bei diesen kannst du das zugehörige kongruente Dreieck mittels der Seitenlängen erkennen.

    Zusammenfassend siehst du hier noch einmal die Zuordnung der Dreiecke.

    • $A~\rightarrow~II$
    • $B~\rightarrow~IV$
    • $C~\rightarrow~I$
    • $D~\rightarrow~V$
  • Erkläre die verschiedenen Sätze zur Untersuchung auf Kongruenz.

    Tipps

    Beachte, dass das Übereinstimmen aller drei Winkel nicht für die Kongruenz genügt.

    Wenn zwei Dreiecke in ihren drei Winkeln übereinstimmen, heißen sie ähnlich.

    Lege doch einmal zwei deckungsgleiche Dreiecke übereinander. Du kannst dann alle angegebenen Kongruenzsätze überprüfen.

    Lösung

    Für die Untersuchung von Dreiecken auf Kongruenz prüfst du die Kongruenzsätze für Dreiecke.

    Diese besagen, welche Informationen du kennen musst, um sicher zu sein, dass zwei Dreiecke kongruent sind.

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ...

    • ... sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Seite Seite Seite“ oder kurz SSS.
    • ... sie in der Länge einer Seite sowie den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Winkel Seite Winkel“ oder kurz WSW.
    • ... sie in der Länge zweier Seiten sowie dem von diesen beiden Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Seite Winkel Seite“ oder kurz SWS.
    Es gibt noch einen weiteren Kongruenzsatz, der in der obigen Aufgabe nicht vorkommt.

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge zweier Seiten sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Seite Seite Winkel“ oder kurz SSW.

    Übrigens: Diese Kongruenzsätze dienen nicht nur der Prüfung auf Kongruenz. Du kannst damit auch ein Dreieck bei der Angabe der entsprechenden Größen eindeutig konstruieren.