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Kommutativgesetz und Distributivgesetz bei der Umformung von Termen mit Variablen

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Mathe-Team
Kommutativgesetz und Distributivgesetz bei der Umformung von Termen mit Variablen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Kommutativgesetz und Distributivgesetz bei der Umformung von Termen mit Variablen

Hallo. Wir zeigen dir in diesem Video, wie man mit Termen umgeht. Was war noch einmal ein Term? Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammenstellung aus Variablen, Zahlen und Rechenzeichen. Was ist eine Variable? Schaue dir das Video an und lerne noch einmal die Begriffe Term und Variable. Wie fasst man nun Terme zusammen und vereinfacht sie damit? Im Video beantworten wir dir diese Frage und zeigen dir schrittweise, wie man Terme zusammenfassen kann und was man beachten muss. Nutze die Chance und erlerne den richtigen Umgang mit Termen. Du wirst es später benötigen!

47 Kommentare

47 Kommentare
  1. Klasse Video! Danke

    Von Levi, vor 3 Monaten
  2. Hallo @Damir Susic,

    zu diesem Thema gibt es mehrere Videos. Du kannst ihm Suchfeld zum Beispiel den Begriff „Kommutativgesetz“ eingeben und alle Videos, die diesen Begriff im Titel enthalten, sehen. Hier sind einige Beispiele:

    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kommutativgesetz-assoziativgesetz-distributivgesetz-3?launchpad=video

    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kommutativgesetz-und-assoziativgesetz-geschickt-rechnen?launchpad=video

    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kommutativ-und-assoziativgesetz-der-addition?launchpad=video

    Hoffentlich konnten wir die helfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Cansu Ayguezel, vor 3 Monaten
  3. Es würde mich sehr freuen wenn es auch ein Video zum Kommunikativgesetz und dem Asoativgesetz geben würde

    Von Damir Susic, vor 4 Monaten
  4. zu einfach

    Von Roman L., vor 8 Monaten
  5. Sehr hilfreiches Video

    Von Mgerulat, vor 9 Monaten
Mehr Kommentare

Kommutativgesetz und Distributivgesetz bei der Umformung von Termen mit Variablen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz und Distributivgesetz bei der Umformung von Termen mit Variablen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition eines Terms an.

    Tipps

    Überlege dir genau, was in einem Term wirklich vorkommen darf und was nicht, weil es z. B. das besondere Merkmal einer Gleichung ist.

    Wie nennt man Buchstaben wie a, b, oder x in mathematischen Ausdrücken?

    Lösung

    Terme sind Ausdrücke, die Zahlen, Variablen (also Buchstaben wie x, y oder a) und Rechenzeichen (+, - ,$\cdot$ und :) enthalten. Es dürfen aber keine Gleichheits- oder Ungleichheitszeichen enthalten sein.

  • Ordne die verschiedenen Terme richtig zu.

    Tipps

    Die Zahlen und Rechenzeichen in den einzelnen Teilen spielen in diesem Fall keine so große Rolle. Allein die vorkommende Variable ist wichtig und verrät dir die Zuordnung.

    Lösung

    Schau dir den Term genau an. Man teilt den Term nach dem Kommutativgesetz auf, d.h., man trennt die Termteile immer vor den einzelnen Rechenzeichen. Du erhältst dadurch die 7 verschiedenen Teile, die dir schon vorgegeben wurden. Jetzt musst du nur noch die Teile der jeweiligen Variablen zuordnen:

    • $3x$, $-17x$ und $+x$ gehören zu $x$.
    • $+2y$ und $-29,3y$ gehören zu $y$.
    • $-14z$ und $+2,7z$ gehören zu $z$.

  • Vereinfache den Term soweit wie möglich.

    Tipps

    Falls du Probleme mit der Übersicht hast, kann es dir helfen, die Teilterme alphabetisch zu sortieren, um zueinander gehörende zu finden.

    Als ersten Schritt solltest du die Klammer auflösen, indem du $3a$ mit $a+b$ multiplizierst.

    Falls die Variablen in deinen Termen mit denen einer der Lösungen übereinstimmen, aber die Zahlen nicht, solltest du überprüfen, ob du ein Rechenzeichen nicht beachtet oder dich verrechnet hast.

    Die Variablenkombinationen $ax^2$ und $xy$ kommen jeweils nur einmal vor. Diese darfst du nicht mit einem der anderen Teile verrechnen.

    Lösung

    $3x \cdot (a+b)+2bx+4ax^2+13bx+2ax-4xy+3bx$

    Wir berechnen zuerst das Produkt $3x \cdot (a+b)$ und erhalten $3ax+3bx$.

    Wir sortieren dann die verschiedenen Teile alphabetisch und erhalten: $4ax^2+3ax+2ax+3bx+2bx+13bx+3bx-4xy$.

    Hier können wir nun wieder die Koeffizienten zusammenfassen und erhalten: $4ax^2+(3+2)ax+(3+2+13+3)bx-4xy$.

    Wenn wir die Klammern ausrechen, erhalten wir die Lösung:

    $4ax^2+5ax+21bx-4xy$.

  • Bilde korrekte Terme zu den Textaufgaben.

    Tipps

    Schau dir die Texte genau an und überlege, welche Textteile Zahlen enthalten.

    Das Dreifache entspricht $ \cdot 3$.

    um fünf mehr kann mit $+5$ ausgedrückt werden.

    Welche Variable genau vergeben wird, ist eigentlich egal. Der Sachverhalt „Ein Film ist um 5 Minuten länger.“ kann genauso gut als $a+5$, $m+5$ oder $x+5$ geschrieben werden. Man darf nur die gleiche Variable nicht für zwei verschiedene Werte benutzen.

    Lösung

    Um aus den verschiedenen Texten Terme zu entwickeln, muss man sich fragen, welche Größen unbekannt sind. Hierfür sucht man sich eine Variable und setzt die entsprechenden Rechenzeichen ein.

    Die Variablen sind willkürlich gewählt. Anstatt eines $a$ könnte ebenso ein $x$ stehen.

    • „Ich verdopple eine unbekannte Zahl. Danach addiere ich das 5-fache einer zweiten Zahl.“
    Die erste unbekannte Zahl muss mit 2 multipliziert werden, die zweite mit 5. Wählt man $a$ und $b$ als Variablen, so bekommt man $2a+5b$.

    • „Eva benötigt 12 Sekunden länger für eine Stadionrunde als Chantal.“
    Hier ist die Variable die Zeit, die Chantal für ihre Runde braucht. Die Zeit, die Eva braucht, erhält man, indem man zu der Zeit von Chantal 12 addiert, also $x+12$.

    • „Vom Achtfachen einer Zahl wird das Dreifache einer anderen Zahl subtrahiert.“
    Die beiden unbekannten Zahlen werden als Variablen dargestellt. Das Achtfache entspricht $\cdot 8$ und das Dreifache $\cdot3$. Wählt man $x$ und $y$ für die beiden unbekannten Zahlen, erhält man $8x+3y$.

    • „Aus einem Papierquadrat schneidest du 2 kleine Quadrate aus.“
    Hier kann man auf verschiedene Arten einen Term erstellen. Man kann die Fläche an sich als Variable wählen. Da die Fläche eines Quadrates aber die Seitenlänge des Quadrats hoch 2 ist, kann man auch mit der Seitenlänge arbeiten. Diese Art wurde hier gewählt. Wählt man die Seitenlänge des ersten (größeren) Quadrates als $a$ und die des Quadrats, das zweimal ausgeschnitten wird, als $b$, so sind die Flächen $a^2$, bzw. $b^2$. Da man die kleinere Fläche zweimal aus der größeren ausschneidet, subtrahiert man sie zweimal. Man erhält also $a^2-b^2-b^2$.

    Fasst man diesen Ausdruck zusammen, so erhält man $a^2-2b^2$.

  • Ordne die einzelnen Teile des Terms nach ihren Variablen.

    Tipps

    Die einzelnen Teile beginnen mit einem $+$ oder mit einem $-$. Daher kannst du recht einfach erkennen, wo jeder einzelne Teil beginnt.

    Wenn du weißt, in welche Teile der Term geteilt werden kann, musst du nur noch schauen, welche Variable in welchem Teil vorkommt.

    Lösung

    Schau dir die Summanden genau an. Der erste Summand enthält ein $x$ und muss grün markiert werden. Ebenso der vierte und sechste.

    Der zweite und siebte Summand enthält ein $y$ und muss violett markiert werden.

    Alle anderen Summanden enthalten ein $z$ und müssen gelb markiert werden.

    Um Terme zusammenzufassen, müssen die Terme sortiert werden. Das macht es übersichtlicher und nur Terme mit gleichen Variablen können zusammengefasst werden.

  • Entscheide, welche Ausdrücke Terme sind.

    Tipps

    Laut Definition kann ein Term Variablen, Zahlen und Rechenzeichen enthalten. Ein Term muss jedoch nicht alle diese Dinge enthalten.

    Ein Term muss zudem sinnvoll sein. Eine sinnlose Zusammensetzung von Zeichen ist kein Term.

    Gleichungen und Ungleichungen sind keine Terme, da ein Gleichheitszeichen (oder Ungleichheitszeichen) kein Rechenzeichen ist. Gleichungen und Ungleichungen bestehen jedoch aus Termen.

    Lösung

    Ein Term muss eine Zusammenstellung aus Rechenzeichen, Zahlen und Variablen sein. Zudem muss er sinnvoll sein. Gleichungen und Ungleichungen erfüllen dieses Kriterium nicht, da sie ein Relationszeichen ( $=,<,>$) enthalten.

    $x$,$(4a-7)(2+4x)$ und $1348~kg$ erfüllen diese Kriterien.

    $19<5$ ist eine Ungleichung und daher kein Term. Dass diese Ungleichung zudem eine falsche Aussage ist, spielt hierfür aber keine Rolle.

    $8+9=17$ ist eine Gleichung und somit auch kein Term.

    $19+-3-((7$ ist durch die zwei direkt aufeinander folgenden Rechenzeichen und die beiden geöffneten Klammern, die nicht geschlossen werden, kein sinnvoller Ausdruck und erfüllt das Kriterium für Terme dadurch nicht.

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