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Geometrie (8) Verschiedene Dreiecke 07:19 min

Textversion des Videos

Transkript Geometrie (8) Verschiedene Dreiecke

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen, ich begrüße euch zu einem weiteren Geometrie Video. Es geht dabei um diese geometrischen Figuren, es ist bereits das achte Video zur Geometrie. Das Video heißt, ihr werdet es schon erraten haben, verschiedene Dreiecke. Nehmen wir uns ein ganz beliebiges Dreieck, wie zum Beispiel dieses rote Dreieck, dann wissen wir bereits, dass dieses Dreieck drei Eckpunkte besitzt, die mit großen Buchstaben bezeichnet werden. A, B und C. Die Seiten bezeichnet man mit kleinen Buchstaben, sie stehen immer auf der entgegengesetzten Seite des Eckpunktes, also klein a gegenüber von groß A und klein b gegenüber von groß B und klein c gegenüber von groß C. Man schreibt auch häufig AB=c und BC=a und CA=b. Der Winkel Alpha wird von den Punkten BAC gebildet. Der Winkel Beta wird von den Punkten ABC gebildet und der Winkel Gamma wird von den Punkten BCA gebildet. Wir haben im vorletzten Video gezeigt, dass die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks 180° beträgt, also gilt, auch für unser rotes Dreieck Alpha+Beta+Gamma=180°. Alle diese Bezeichnungen und der Satz über die Innenwinkelsumme gilt für alle Dreiecke! Wir wollen nun die Dreiecke nach ihrem Aussehen sortieren. Das rote Dreieck hat ein unregelmäßiges Aussehen, man bezeichnet ein solches Dreieck auch als unregelmäßig, außerdem hat es noch eine zweite Eigenschaft. Es hat nur spitze Winkel, deshalb wird dieses Dreieck auch als spitzwinklig bezeichnet. Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, wird es als rechtswinklig bezeichnet. Besitzt ein Dreieck einen Winkel, der größer als 90° ist, so wird dieses Dreieck als stumpfwinklig bezeichnet. Ein Dreieck mit 2 gleichlangen Seiten wird als gleichschenklig bezeichnet, besitzt das Dreieck 3 gleichlange Seiten, so nennt man es gleichseitig, alle 3 Seiten in diesem Dreieck sind gleich lang. Ich möchte nun mit euch das Spiel "Ja oder Nein" spielen. Ich gebe euch eine Aussage vor und ihr entscheidet. Ist sie wahr "Ja" oder ist sie falsch "Nein". "Kann ein spitzwinkliges Dreieck gleichschenklig sein?" - Ja! "Ist ein spitzwinkliges Dreieck immer gleichseitig?" - Nein! "Kann ein rechtwinkliges Dreieck gleichschenklig sein?" - Ja! Das rechtwinklige Dreieck, das ich hier gezeigt habe, ist auch gleichschenklig. "Kann ein stumpfwinkliges Dreieck gleichzeitig gleichseitig sein?" - Nein! "Ist ein gleichschenkliges Dreieck immer gleichseitig?" - Ja, denn im gleichseitigen Dreieck sind auch 2 Seiten, 2 Schenkel gleichgroß und damit ist die Aussage richtig. "Kann ein stumpfwinkliges Dreieck rechtwinklig sein?" - Nein, sonst wäre seine Winkelsumme größer als 180°. "Ein gleichschenkliges Dreieck ist auch immer gleichseitig!" - Nein, denn das gleichschenklige Dreieck, dass ihr hier seht, ist nicht gleichseitig. Es hat nur 2 gleiche Seiten und nicht 3. "Ist ein gleichseitiges Dreieck immer ein spitzwinkliges Dreieck?" - Ja, das stimmt! Das gleichseitige Dreieck hat 3 spitze Winkel. Zuletzt wollen wir noch eine Frage klären, die häufig Probleme bereitet. Ist das Dreieck gleichschenklig oder gleichseitig. Ich habe hier 3 Dreiecke, ein rotes und zwei gelbe. Was meint ihr dazu? Schaut sie euch genau an. Diese Dreiecke haben, wie hier dieses rechte Dreieck, zwei gleiche Seiten. Das Mittlere hat auch zwei gleiche Seiten und das Linke hat ebenfalls zwei gleiche Seiten. Damit sind alle 3 Dreiecke gleichschenklig. Im roten Dreieck ist die dritte Seite genau so lang, wie die beiden ersten Seiten, daher ist es auch gleichseitig. Wenn wir im roten Dreieck eine Seite gleich lassen und die beiden anderen Seiten verlängern, wobei sie gleich bleiben, erhalten wir das gelbe Dreieck. Damit ist das rote Dreieck nicht mehr gleichseitig, sondern nur noch gleichschenklig. Das gleich passiert, wenn wir diese beiden Seiten im roten Dreieck verkürzen. Wir erhalten wiederum ein gleichschenkliges Dreieck. Man kann diesen Zusammenhang auch durch Mengen darstellen. Die größere der beiden Mengen, angedeutet durch einen großen gelben Mengenkreis, beinhaltet die Menge der gleichschenkligen Dreiecke. Der kleine rote Mengenkreis beinhaltet die Menge der gleichseitigen Dreiecke. Damit ist die Menge der gleichseitigen Dreiecke eine Teilmenge der Menge der gleichschenkligen Dreiecke. Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig, aber nicht jedes gleichschenklige Dreieck ist auch gleichseitig. So, damit soll es gut sein mit den verschiedenen Dreiecken. Ich freue mich schon darauf, wenn wir uns wiedersehen und hören. Ich wünsche alles Gute und viel Erfolg, tschüss.

12 Kommentare
  1. ein sehr unterhaltendes Video ;)

    Von O Reichel77, vor 8 Monaten
  2. Cool 😎

    Von Eva Boueke, vor etwa einem Jahr
  3. "die stimme und so ... und sound net so gut auch abgehackt"
    Sowohl Stimme als auch Sound sind gut zu verstehen. Für technische Probleme bei der Wiedergabe kann ich nichts.
    Mich würde allerdings interessieren, was mit "und so" gemeint ist.

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  4. die stimme und so ... und sound net so gut auch abgehackt (xd)

    Von Meryem Moll, vor mehr als einem Jahr
  5. komm mit dem video nicht klar

    Von Martina Ipsen, vor mehr als einem Jahr
  1. super Video

    Von Annettdrose, vor mehr als 2 Jahren
  2. Super erklärt !

    Von Cara F., vor etwa 3 Jahren
  3. Suppe erklärt echt klasse

    Von Judith H., vor mehr als 3 Jahren
  4. Mengen werden gewöhnlich durch solche Ovale dargestellt. Mir viel nichts besseres ein. Aber "Mengenoval" klingt ja auch nicht besonders gut, oder?
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 5 Jahren
  5. Sieht eher aus wie ein Oval, nicht wie ein Kreis. xD
    Aber ein hilfreiches Video! Danke! :)

    :D

    Von Deleted User 254204, vor fast 5 Jahren
  6. naya ganz gut

    Von Info 97, vor mehr als 6 Jahren
  7. naya ganz gut

    Von Info 97, vor mehr als 6 Jahren
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Geometrie (8) Verschiedene Dreiecke Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geometrie (8) Verschiedene Dreiecke kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte die verschiedenen Dreiecke.

    Tipps
    • Spitze Winkel sind größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$.
    • Stumpfe Winkel sind größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.

    Sind in einem Dreieck zwei Seiten gleich lang, werden diese als Schenkel bezeichnet. Die dritte Seite wird Basis oder Grundseite genannt.

    Hier siehst du zum Beispiel ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel ist mit einem Punkt markiert und beträgt $90^\circ$.

    Lösung

    Zunächst einmal hat ein Dreieck drei Ecken. Daher kommt der Name. Es hat auch drei Seiten und drei Winkel. Mit den Eigenschaften der Seiten und Winkel teilt man die Menge aller Dreiecke in Kategorien ein. Einige davon lernst du hier kennen:

    • Sind alle Winkel eines Dreiecks kleiner als $90^\circ$ (also spitz), so spricht man von einem spitzwinkligen Dreieck.
    • Ist ein Winkel eines Dreiecks stumpfwinklig (also größer als $90^\circ$), so spricht man von einem stumpfwinkligen Dreieck. Die anderen beiden Winkel eines stumpfwinkligen Dreiecks sind immer spitze Winkel.
    Warum kann denn nicht mehr als ein Winkel ein stumpfer Winkel sein? Da die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ ergibt, kann höchstens einer der Innenwinkel ein stumpfer Winkel sein. Andernfalls wäre die Summe größer als $180^\circ$.

    Kommen wir nun zu weiteren Dreiecksarten:

    • Ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Rechte Winkel erkennst du an einem Viertelkreis mit einem Punkt darin.
    • Sind mindestens zwei Seiten gleich lang, dann liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor. Die gleich langen Seiten werden auch als Schenkel bezeichnet.
    • Es können auch alle drei Seiten gleich lang sein. Dies ist ein besonderer Fall eines gleichschenkligen Dreiecks. Auch ein solches Dreieck hat einen speziellen Namen. Dies ist ein gleichseitiges Dreieck.
    Hinweis: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig. Andersherum ist das nicht der Fall.

  • Vervollständige die Beschriftung des Dreiecks.

    Tipps

    Die Eckpunkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet.

    Die einem Eckpunkt gegenüber liegenden Seiten werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet.

    Die Winkel werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Merke dir:

    • $\alpha$ (gesprochen: „alpha“) im Punkt $A$
    • $\beta$ (gesprochen: „beta“) im Punkt $B$
    • $\gamma$ (gesprochen: „gamma“) im Punkt $C$
    Lösung

    Hier siehst du ein Dreieck mit den üblichen Beschriftungen:

    • Die Eckpunkte werden mit den Großbuchstaben $A$, $B$ und $C$ entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet.
    • Jedem Eckpunkt liegt eine Seite gegenüber. Dies wird mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben beschriftet. Zum Beispiel liegt dem Eckpunkt $A$ die Seite $a$ gegenüber.
    • Die Winkel werden gemäß ihrer Scheitel benannt: In $A$ liegt der Winkel $\alpha$, in $B$ liegt $\beta$ und in $C$ der Winkel $\gamma$.
    Die Bezeichnungen der Winkel kommen aus dem Griechischen:

    Die ersten drei Buchstaben des griechischen Alphabets sind $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

  • Bestimme die wahren Aussagen.

    Tipps

    Hier siehst du ein gleichschenkliges Dreieck. Die waagerechte Strecke wird als Basis bezeichnet. Die anderen beiden Seiten sind die Schenkel. Diese sind gleich lang.

    Außerdem sind bei diesem sind auch alle Winkel kleiner als $90^\circ$.

    Dies ist ein spitzwinkliges Dreieck, da alle Winkel kleiner als $90^\circ$ sind. Schau mal genau hin. Sind die Seiten gleich lang?

    Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks beträgt immer $180^\circ$. Wenn also einer der Winkel bereits $90^\circ$ oder größer ist, müssen die beiden anderen Winkel spitze Winkel sein.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen. Oft ist es dazu nützlich, sich geeignete Beispiele zu überlegen. Hier siehst du nun die Aussagen und eine Begründung, warum die jeweilige Aussage falsch oder richtig ist.

    1. Aussage: Es gibt spitzwinklige Dreiecke, die auch gleichschenklig sind.

    Diese Aussage ist richtig. Betrachte beispielsweise ein gleichseitiges Dreieck. Dort betragen alle Innenwinkel $60^\circ$. Also ist jedes gleichseitige Dreieck spitzwinklig. Da jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig ist, ist die Aussage wahr.

    2. Aussage: Alle spitzwinkligen Dreiecke sind gleichseitig.

    Diese Aussage ist nicht korrekt. Wenn du bei einem gleichseitigen Dreieck eine Seite etwas verlängerst, ist das Dreieck nicht mehr gleichseitig. Wenn die Verlängerung nicht zu lang ist, bleiben allerdings alle Winkel spitz.

    3. Aussage: Es gibt rechtwinklige Dreiecke, die auch gleichschenklig sind.

    Diese Aussage stimmt. Zeichne einen rechten Winkel mit zwei gleich langen Strecken und verbinde die Enden miteinander. Schon hast du ein rechtwinkliges Dreieck, was auch gleichschenklig ist.

    4. Aussage: Es gibt stumpfwinklige Dreiecke, die auch gleichseitig sind.

    Diese Aussage ist nicht korrekt. Sobald ein Dreieck einen stumpfen Winkel hat (also einen Winkel, der größer ist als $90^\circ$) können die anderen Winkel nicht ebenfalls so groß sein. Die Seitenlängen eines Dreiecks hängen jedoch mit den gegenüberliegenden Winkeln zusammen. Dem größten Winkel liegt die größte Seite gegenüber. Deshalb kann ein stumpfwinkliges Dreieck nicht gleichseitig sein.

    5. Aussage: Es gibt stumpfwinklige Dreiecke, die auch rechtwinklig sind.

    Nein. Sobald ein Winkel über $90^\circ$ beträgt, müssen die beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$ sein. Der Grund ist der Winkelsummensatz, der besagt, dass die drei Innenwinkel eines Dreiecks zusammen addiert genau $180^\circ$ betragen.

    6. Aussage: Jedes gleichschenklige Dreieck ist auch gleichseitig.

    Die Aussage ist nicht richtig. Betrachte ein beliebiges gleichseitiges Dreieck und „ziehe“ einen Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite hin oder davon weg. Wenn du nun die beiden anderen Eckpunkte mit dem neuen Eckpunkt verbindest, erhältst du ein gleichschenkliges Dreieck, das nicht gleichseitig ist.

    7. Aussage: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch spitzwinklig.

    Diese Aussage stimmt. Die Größe von Winkeln und den gegenüberliegenden Seiten in einem Dreieck haben Einfluss aufeinander. Wenn alle Seiten in einem Dreieck gleich lang sind, dann sind auch alle drei Winkel gleich groß. Deshalb gilt in jedem gleichseitigen Dreieck:

    $\alpha = \beta = \gamma = \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

  • Ermittle mit Hilfe von zwei gegebenen Winkeln jeweils die sich daraus ergebende Eigenschaft der Dreiecke.

    Tipps

    Berechne jeweils den fehlenden Winkel. Verwende hierfür den Winkelsummensatz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

    Wenn zwei Winkel gleich groß sind, sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Das bedeutet, dass das betreffende Dreieck gleichschenklig ist.

    Wenn alle Winkel spitze Winkel (also kleiner als $90^\circ$) sind, ist das Dreieck spitzwinklig.

    Lösung

    Berechne bei jeweils zwei gegebenen Winkeln den fehlenden dritten Winkel mit Hilfe des Winkelsummensatzes. Anschließend entscheidest du, welche Schlussfolgerungen du aus den drei Winkeln ziehen kannst:

    • Es gilt $\alpha=\beta=30^\circ$. Dann ist $\gamma=180^\circ-2\cdot 30^\circ=120^\circ$. Dies ist also ein gleichschenkliges Dreieck. Es ist auch stumpfwinklig.
    • Ebenso kannst du zeigen, dass die beiden Dreiecke mit den gegebenen Winkeln $\alpha=110^\circ$ und $\beta=35^\circ$ sowie $\alpha=10^\circ$ und $\gamma=160^\circ$ gleichschenklige Dreiecke sind.
    • Mit $\alpha=50^\circ$ und $\beta=40^\circ$ erhältst du $\gamma=180^\circ-(50^\circ+40^\circ)=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Das gegebene Dreieck ist rechtwinklig.
    • Auch die beiden Dreiecke mit den gegeben Winkeln $\alpha=70^\circ$ und $\gamma=20^\circ$ sowie $\alpha=30^\circ$ und $\beta=60^\circ$ sind rechtwinklig.
    • Die übrigen Dreiecke sind spitzwinklig. Du kannst dir dies an einem Beispiel anschauen. Es gilt $\beta=60$ sowie $\gamma=70^\circ$. Das führt zu:
    $\alpha=180^\circ-(60^\circ+70^\circ)=180^\circ-130^\circ=50^\circ$

  • Ermittle, welche Eigenschaften das jeweilige Dreieck aufweist.

    Tipps

    Ein rechter Winkel wird mit einem Viertelkreis und einem Punkt darin angezeigt.

    Ein rechtwinkliges Dreieck kann durchaus gleichschenklig sein, allerdings nicht gleichseitig.

    Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.

    Lösung

    Die beiden Dreiecke mit dem rechten Winkel sind rechtwinklig. Du erkennst den rechten Winkel an dem Viertelkreis mit einem Punkt darin. Da bei dem roten Dreieck auch noch zwei Seiten gleich lang sind, ist dieses Dreieck zusätzlich gleichschenklig.

    Das blaue Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, ist also gleichschenklig. Da die verbleibende Seite nicht ebenso lang ist, ist das Dreieck nicht gleichseitig.

    Das orange Dreieck hat drei gleich lange Seiten, ist somit gleichseitig. Dieses Dreieck ist auch gleichschenklig.

  • Bestimme die fehlenden Winkel.

    Tipps

    Es gilt der Winkelsummensatz:

    $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$

    Es gilt der Basiswinkelsatz. Dieser besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel gleich groß sind.

    Da jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig ist, müssen alle drei Innenwinkel gleich groß sein.

    Lösung

    Du hast sicherlich schon einiges über Dreiecke erfahren. In dieser Aufgabe geht es vor allem um den Zusammenhang zwischen Seiten und den gegenüberliegenden Winkeln.

    Wir schauen uns hier ausschließlich gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke an. Du kannst die verwendeten Bezeichnungen in dem abgebildeten Dreieck sehen.

    Es gilt der Basiswinkelsatz: Die Basiswinkel sind gleich groß. Wenn du dies weißt, kannst du bei einem bekannten Winkel die übrigen ausrechnen. Du verwendest hierfür den Winkelsummensatz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

    Hier siehst du die Aussagen und die zugehörigen Folgerungen aus der Aufgabe:

    • Es sei $a=b$ und $\gamma=100^\circ$. $a$ und $b$ sind die Schenkel und $\alpha$ sowie $\beta$ die Basiswinkel. Diese sind immer gleich groß. Damit gilt $\alpha+\alpha+100^\circ=180^\circ$. Dies kannst du vereinfachen zu $2\alpha+100^\circ=180^\circ$. Subtrahiere nun $100^\circ$ und teile anschließend durch $2$. Dies führt zu $\alpha=40^\circ$. Ebenso ist also $\beta=40^\circ$.
    • Sei nun $b=c$ und $\beta=50^\circ$. Wegen $b=c$ gilt auch $\beta=\gamma$. Deshalb gilt auch $\gamma=50^\circ$. Addiere die beiden Winkel zu $100^\circ$ und subtrahiere das Ergebnis von $180^\circ$. So kommst du zu $\alpha=80^\circ$.
    • In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck gibt es einen Winkel mit dem Wert $90^\circ$. Dies kann kein Basiswinkel sein, da ansonsten die Summe der drei Innenwinkel größer als $180^\circ$ wäre. Das bedeutet, dass die Summe der beiden Basiswinkel $180^\circ-90^\circ=90^\circ$ sein muss. Also beträgt jeder der beiden Basiswinkel $45^\circ$.
    • Zuletzt schauen wir uns noch den besonderen Fall an, dass alle drei Seiten gleich lang sind. Insbesondere sind dann alle Winkel gleich groß, es gilt also $\alpha=\beta=\gamma$. Da die Summe der drei Winkel $180^\circ$ beträgt, erhältst du nun $3\alpha=180^\circ$. Eine Division durch $3$ auf beiden Seiten der Gleichung führt zu $\alpha=60^\circ$. Insbesondere sind alle drei Winkel spitze Winkel. Somit sind alle gleichseitigen Dreiecke auch spitzwinklige Dreiecke.