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Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele

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Team Digital
Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele
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Grundlagen zum Thema Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, ganzrationale Funktionen zu identifizieren.

Zunächst definieren wir den Begriff “ganzrationale Funktion” indem wir uns die allgemeine Form und einige Beispiele anschauen. Anschließend werden wir bei diesen Beispielen den Grad der Funktion bestimmen. Abschließend werden wir außerdem noch Beispiele besprechen, die keine ganzrationalen Funktionen sind.

Beispiele für ganzrationale Funktionen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Polynom, Funktionsterm, Koeffizienten und Grad der Funktion.

ganzrationale Funktionen

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wesentliche Funktionstypen wie quadratische oder trigonometrische Funktionen kennen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zwischen ganzrationalen und nicht ganzrationalen Funktionen unterscheiden und den Grad der ganzrationalen Funktion bestimmen zu können.

Transkript Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele

Du hast dich bestimmt auch schon mal gefragt: Haben Einhörner wirklich existiert? Leben wir in einer Simulation? Und was sind eigentlich ganzrationale Funktionen? Fangen wir am besten mit dem Einfachsten an: „Ganzrationale Funktionen“. Bestimmt kennst du bereits Funktionen, die so aussehen wie diese hier. Ja genau, das sind bereits ganzrationale Funktionen. In allen ist das x als Variable vorhanden: in manchen einmal, in anderen mehrfach, manchmal hat das x einen Exponenten, manchmal steht es ohne Koeffizienten, manchmal sogar mit irrationalem Koeffizienten. Das ist alles möglich. Ganz allgemein sieht eine ganzrationale Funktion nämlich so aus: Sorry, für manche ist das in der Tat ein Abbild des Grauens, aber wir schauen uns das jetzt mal ganz in Ruhe an. Eine ganzrationale Funktion besteht aus einzelnen Summanden. Jeder Summand setzt sich aus einer Potenz von x und einem dazugehörigen Koeffizienten a zusammen. So eine Kombination aus Potenzen von x und Koeffizienten nennt man auch „Polynom“. Die Koeffizienten „a null“ bis „a n“ sind beliebige reelle Zahlen. Sie sind von null bis n durchnummeriert, weil sie ja alle voneinander unterschiedlich sein können. Es können ganze Zahlen, Brüche oder auch irrationale Zahlen sein. Die Variable x kann mit unterschiedlichen Potenzen auftreten, ebenfalls von null bis n. Aber Moment mal, „x hoch null“ ist doch eins?! Deshalb können wir den Faktor „x hoch null“ auch einfach weglassen. Der Exponent von „x hoch eins“ kann auch weggelassen werden, denn eine Zahl hoch eins ist einfach sie selbst. Wir haben hier also eine Funktion, deren Funktionsterm ein Polynom ist. Das n ist immer eine natürliche Zahl. Außerdem gibt n den höchsten Exponenten der Funktion an und wird deshalb auch „Grad der ganzrationalen Funktion“ genannt. Da dieser nicht wegfallen darf, darf auch „a n“ nicht null sein. Schauen wir uns das alles einmal am ersten Beispiel „f von x“ an. Die Funktion besteht aus drei Summanden. Die höchste Potenz ist hier „x Quadrat“, also ist der größte Exponent „n gleich zwei“. Hier haben wir also eine Funktion zweiten Grades: eine quadratische Funktion. Schauen wir uns noch die Koeffizienten an. „a zwei“ ist „null Komma fünf“ und „a eins“ ist vier. Die „minus zwei“ ganz rechts ist „a null“. Die nächste Funktion „g von x“ besteht auch aus drei Summanden. Hier fehlt zwar eine Potenz von x, nämlich „x hoch zwei“, die können wir aber ergänzen, wenn wir für „a zwei“ null einsetzen. Schon sieht die Funktion so aus, wie in der allgemeinen Form. In der Funktionsgleichung müssen also nicht unbedingt alle Potenzen von x sichtbar sein. n ist in diesem Beispiel drei, da drei die höchste Potenz von x ist. G ist also eine Funktion dritten Grades, eine sogenannte kubische Funktion. Nun schauen wir uns „h von x“ an. Das ist keine Wurzelfunktion, auch wenn da eine Wurzel zu sehen ist. Das x steht nämlich nicht unter der Wurzel. „Wurzel zwei“ ist der Koeffizient „a eins“ und der darf ja irrational sein. „a null“ ist diesmal null und wurde deshalb nicht mitgeschrieben. Der höchste Exponent dieser Funktion ist „n gleich eins“. H ist also eine Funktion ersten Grades. Es handelt sich somit um eine lineare Funktion. Wurzelfunktionen sind nämlich gar keine ganzrationalen Funktionen, lineare Funktionen dagegen schon. Diese drei Funktionen sind also offensichtlich ganzrationale Funktionen. Schauen wir uns noch ein paar andere Beispiele an. Bei dieser Funktion bestehen die Summanden aus jeweils einem Koeffizienten und einer Potenz von x. Das ist also definitiv eine ganzrationale Funktion vom Grad sieben. Das ist eine Wurzelfunktion, da das x diesmal unter der Wurzel steht. Es ist also keine ganzrationale Funktion. Diese Funktion sieht auf den ersten Blick wirklich nicht so aus, als würde sie in die allgemeine Formel für ganzrationale Funktionen passen. Aber da nur eine zwei im Nenner steht, können wir den Bruch einfach auflösen. Dann ist das wieder eine normale ganzrationale Funktion dritten Grades. Hier sieht es schon anders aus. Denn es steht ein x im Nenner, deshalb handelt es sich hier um eine gebrochen-rationale Funktion, also definitiv keine ganzrationale Funktion. Eine Sinusfunktion ist auch keine ganzrationale Funktion, genauso wie alle Zusammensetzungen aus trigonometrischen Funktionen. Oh, dieses Beispiel ist knifflig. Das könnte doch eine ganzrationale Funktion dritten Grades sein. Durch Ausmultiplizieren kann dieser Vorschlag überprüft werden und man erkennt, dass es sich um eine Funktion vierten Grades handelt. DIESE hübsche Funktion hier ist eine Exponentialfunktion, da die Variable x im Exponenten steht. Dementsprechend ist das keine ganzrationale Funktion. Ganz im Gegensatz zu dieser Funktion. Hier ist zwar überhaupt kein x drin, aber „a Null“ ist drei. Es handelt sich deshalb um eine Funktion vom Grad Null. Diese werden auch konstante Funktionen genannt und gehören zu den ganzrationalen Funktionen. Unser letztes Beispiel sieht ein wenig anders aus. Aber nur weil die Variable nun t statt x ist, heißt das nicht, dass es keine ganzrationale Funktion sein kann. Wie wir die Variable benennen, ist doch egal. „f von t“ ist also auch eine ganzrationale Funktion vom Grad drei. Zeit für eine kurze Zusammenfassung. Ganzrationale Funktionen sehen in der allgemeinen Form so aus. Ihr Funktionsterm ist also ein Polynom. n ist dabei die höchste Potenz von x und gibt den Grad der Funktion an. Die Koeffizienten „a null“ bis „a n“ sind reelle Zahlen, wobei a n, also der Koeffizient vor der höchsten Potenz von x, nicht null sein darf. Beispiele für ganzrationale Funktionen sind konstante, lineare, quadratische oder kubische Funktionen. Funktionen, die keine ganzrationalen Funktionen sind, sind zum Beispiel Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen oder gebrochen-rationale Funktionen. So, jetzt wisst ihr, was ganzrationale Funktionen sind. Und was die anderen zwei Fragen betrifft, kann ich euch Folgendes sagen:

Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ganzrationale Funktionen - Definition und Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne ganzrationale Funktionen.

    Tipps

    Geraden und Parabeln sind Graphen ganzrationaler Funktionen.

    Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion sieht so aus:

    $f(x) = a_n x^n + a_{n+1}x^{n-1} + \ldots +a_1x + a_0$

    $\sin (x)$ gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es darum zu erkennen, welche der Funktionen ganzrationale Funktionen sind und welche nicht. Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ist ein Polynom. Er besteht aus einer Summe von Potenzen der Variablen, multipliziert mit konstanten Vorfaktoren, den Koeffizienten. Funktionen, bei denen die Variable im Exponenten steht, sind keine ganzrationalen Funktionen. Auch ein Funktionsterm mit einem Bruch, bei dem die Variable im Nenner steht, gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.

    Hier ist die korrekte Zuordnung:

    Ganzrationale Funktionen:

    • $f(x) = x^7- 2x^5+\dfrac{1}{3}x$
    • $f(x) = x^4 - x^3 + x - 1$
    • $f(x) = \sqrt{2} x$
    Der Koeffizient ist irrational, doch die Variable ist nicht unter der Wurzel.
    • $f(x) = 3$
    Alle konstanten Funktionen sind ganzrational, denn wir können sie umschreiben zu: $f(x) = 3 = 3x^0$
    • $f(t) = 0{,}1t^3-t+2$
    Die Bezeichnung der Variablen mit $t$ anstelle von $x$ ändert nichts am Funktionstyp.

    Nicht ganzrationale Funktionen:

    • $f(x) = \sqrt{x-1}+5$
    Die Variable steht unter einer Wurzel.
    • $f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+5}{2x}$
    Die Variable $x$ steht im Nenner des Bruchs. Es handelt sich um eine gebrochenrationale Funktion.
    • $f(x) = \sin(x)$
    Die trigonometrischen Funktionen sind keine ganzrationalen Funktionen.
    • $f(x) = 0{,}5^x$
    Die Variable steht im Exponenten. Es handelt sich um eine Exponentialfunktion.

  • Beschreibe ganzrationale Funktionen.

    Tipps

    Bei einer quadratischen Funktion ist die höchste Potenz der Variablen $x^2$.

    Die allgemeine Form eines Polynoms sieht so aus:

    $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

    Lösung

    Ganzrationale Funktionen sind solche, bei denen Potenzen einer Variable vorkommen. Eine ganzrationale Funktion besteht im Allgemeinen aus einer Summe verschiedener Terme. Jeder einzelne Term besteht aus einer Potenz der Variablen und einem Vorfaktor. Diesen Vorfaktor nennt man den Koeffizienten der Potenz. Als Vorfaktoren können wir ganze Zahlen, Brüche oder auch irrationale Zahlen verwenden.

    Die Summe dieser Potenzen mit Koeffizienten ergibt dann den Funktionsterm der ganzrationalen Funktion. Da er nur aus Potenzen der Variablen und Koeffizienten besteht, ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ein Polynom. Die höchste vorkommende Potenz der Variablen, die in dem Funktionsterm vorkommt, nennt man den Grad der ganzrationalen Funktion.

    Beispiele:

    Der Grad der ganzrationalen Funktion $f(x) = 0{,}5x^2+4x-2$ ist $2$, denn die höchste Potenz der Variablen ist $x^2$. Man nennt solche ganzrationalen Funktionen auch quadratische Funktionen.

    Ist der Grad $3$, so heißen sie kubische Funktionen. Ein Beispiel dafür ist die Funktion $f(x) = x^3-2x+\dfrac{4}{7}$.

    Ganzrationale Funktionen vom Grad $1$ sind lineare Funktionen. Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist $f(x) = a_1x+a_0$.

    In ganzrationalen Funktionen kommen nur Potenzen der Variablen, multipliziert mit Koeffizienten vor. Funktionen mit der Variable unter einer Wurzel oder der Variable im Exponenten sind keine ganzrationalen Funktionen. Auch Funktionsterme mit Brüchen mit Variable im Nenner, die sich nicht kürzen lassen, ergeben keine ganzrationalen Funktionen.

    Beispiel:

    Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+5}{2x}$ ist keine ganzrationale Funktion, weil sich der Bruch mit der Variablen im Nenner nicht kürzen lässt.

    Die Funktion $f(x) = 0{,}5^x$ ist ebenfalls keine ganzrationale Funktion, denn hier steht die Variable im Exponenten.

    Dagegen sind die Funktionen $f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+5}{2}$ und $f(x) = 3$ auch Beispiele für ganzrationale Funktionen.

  • Entscheide, ob es sich um ganzrationale Funktionen handelt.

    Tipps

    Prüfe, ob sich der Funktionsterm in der Form eines Polynoms darstellen lässt.

    Es gilt:

    $~\sqrt{a^2} = a^{2:2} = a$

    Du kannst eine Summe im Zähler eines Bruchs auf Brüche mit gleichem Nenner aufteilen:

    $\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2}$

    Lösung

    Wir wollen die Terme ganzrationaler Funktionen von anderen Funktionstypen unterscheiden. Dazu überprüfen wir, ob der Funktionsterm in Form eines Polynoms geschrieben werden kann.
    $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

    Wir betrachten die Funktionen.

    Ganzrationale Funktionen:

    $f(x) = x^2 - \sqrt{7}x + 2$
    $\quad$Der Term hat bereits die Form eines Polynoms. Irrationale Koeffizienten wie hier $-\sqrt{7}$ sind dabei erlaubt.

    $f(x) = \dfrac{x^5 + 6x^3 - 1}{3} = \dfrac{x^5}{3} + \dfrac{6x^3}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}x^5 + 2x^3 - \dfrac{1}{3}$
    $\quad$Der Funktionsterm ist zwar ein Bruch, da die Variable $x$ aber nicht im Nenner vorkommt, können wir den Term so umformen, dass er der allgemeinen Form eines Polynoms entspricht.

    $f(x) = \sqrt{(x - 5)^2} = (x - 5)^{2:2} = x - 5$
    $\quad$Hier steht ein Quadrat unter der Wurzel. Wir können den Term zu einer linearen Funktion umformen.

    $f(x) = \pi^2 \approx 9,\!87$
    $\quad$Es handelt sich um eine konstante Funktion, also ein Polynom der Form $a_0$. Damit ist es eine ganzrationale Funktion.

    Nicht ganzrationale Funktionen:

    $f(x) = \cos(x^2 - 7x + 2)$
    $\quad$Im Argument des Cosinus steht zwar das Polynom $x^2 - 7x + 2$, es handelt sich dennoch um eine trigonometrische Funktion.

    $f(x) = 3^x + 2^x - 9$
    $\quad$Hier steht die Variable $x$ im Exponenten. Es handelt sich um eine Exponentialfunktion.

    $f(x) = \sqrt{x^2 + 25}$
    $\quad$Unter der Wurzel steht das Polynom $x^2 + 25$. Da wir die Wurzel aus einer Summe nicht ziehen können, gibt es hier keine zulässige Vereinfachung. Es handelt sich um eine Wurzelfunktion.

  • Erschließe die verschiedenen Größen der Funktionen.

    Tipps

    Nur ganzrationale Funktionen haben einen Grad.

    Multipliziere die Klammern aus und vereinfache die Brüche, um Koeffizienten und Grad zu bestimmen.

    Eine Funktion hat den Grad $2$, wenn die höchste vorkommende Potenz $x^2$ ist.

    Lösung

    Bei ganzrationalen Funktionen lässt sich der Grad bestimmen. Das ist die höchste vorkommende Potenz der Variablen. Nicht ganzrationale Funktionen haben dagegen keinen Grad.

    Um die Eigenschaften zu bestimmen, müssen Funktionsterme, die als Produkte oder als Brüche aufgeschrieben sind, aufgelöst werden. Denn nur dann lassen sich der Grad und die Koeffizienten bestimmen. Schauen wir uns die Funktionen im Einzelnen an:

    $f(x) = 3x^4-4x^3+12$:

    • $\text{Grad}(f)=4$, denn $4$ ist die höchste Potenz, in der die Variable $x$ vorkommt
    • Koeffizient $-4$, denn der Koeffizient der zweiten Potenz ist $-4$
    • Weitere Koeffizienten dieser Funktion sind: $3$ und $12$

    $f(x) =\dfrac{x^3-x^2}{x^1}$:

    • $\text{Grad}(f)=2$, denn die höchste Potenz der Variablen $x$ ist $x^2$. Das erkennen wir nach Kürzen des Bruches:
    $f(x) = \dfrac{x^3-x^2}{x^1} = \dfrac{x^3}{x^1} - \dfrac{x^2}{x^1} = x^2-x^1 = x^2-x$

    • quadratische Funktion, denn die höchste vorkommende Potenz ist $x^2$
    • Koeffizient $-1$, denn der Koeffizient der Potenz $x$ ist $-1$
    • Ein weiterer Koeffizient ist $1$ zu der Potenz $x^2$

    $f(y) = 2y \cdot \left(3y+\dfrac{1}{2}\right)^2$:

    • kubische Funktion; dies erkennen wir durch Ausmultiplizieren:
    $f(y) = 2y \left(3y+\dfrac{1}{2}\right)^2 = 2y \cdot \left(9y^2+2\cdot 3y \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 18y^3 + 6y^2 + \dfrac{1}{2}y$

    • $\text{Grad}(f)=3$, denn die höchste vorkommende Potenz ist $y^3$
    • Koeffizient $\frac{1}{2}$, denn der Koeffizient der Potenz $y$ ist $\frac{1}{2}$
    • Weitere Koeffizienten sind $18$ der Potenz $y^3$ und $6$ der Potenz $y^2$

    $f(x) = \dfrac{x^3+x}{2\sqrt{x}+1}$:

    • keine ganzrationale Funktion, denn der Bruch lässt sich nicht auflösen und die Funktion enthält eine Wurzelfunktion
    • kein Grad, denn der Grad ist nur für ganzrationale Funktionen bestimmbar

  • Gib die Exponenten und Koeffizienten der Funktionen an.

    Tipps

    Als Koeffizient bezeichnen wir die Zahl, mit der eine Potenz multipliziert wird.

    Bei einer Potenz steht der Exponent oben, die Basis unten.

    In dem Term $2 \cdot x^3$ ist $2$ der Koeffizient, $x$ die Basis und $3$ der Exponent.

    Lösung

    Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ist eine Summe. Jeder Summand besteht aus einer Potenz der Variablen und einem Vorfaktor. Den Vorfaktor, also die Zahl, mit der die Potenz multipliziert wird, nennt man Koeffizient. In jeder einzelnen Potenz steht die Basis unten, der Exponent oben.

    Funktion 1:

    $\quad f(x) = x\color{lightskyblue}{^7}\color{violet}{-2}\color{black}x\color{lightskyblue}{^5}\color{black}+\color{violet}{\dfrac{1}{3}}\color{black}x$

    Die Exponenten sind die hochgestellten Zahlen $7$ im ersten und $5$ im zweiten Summanden. Der Koeffizient des zweiten Summanden ist $-2$, der des dritten Summanden ist $\frac{1}{3}$.

    Funktion 2:

    $\quad f(x) = \color{violet}{\dfrac{1}{2}}\color{black}x\color{lightskyblue}{^3} \color{violet}{-1}\color{black}x\color{lightskyblue}{^2}\color{black}+\color{violet}{\dfrac{5}{2}}$

    Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den Potenzen, zusammen mit den Vorzeichen, also $\frac{1}{2}, {-}1$ und $\frac{5}{2}$. Die letzte Zahl ist nämlich der Koeffizient der Potenz $x^0=1$. Die Exponenten sind die hochgestellten Zahlen $3$ im ersten Summanden und $2$ im zweiten Summanden.

  • Beurteile den Funktionstyp der gegebenen Funktionen.

    Tipps

    Eine konstante Funktion ist eine ganzrationale Funktion.

    Steht die Variable unter einer Wurzel, so ist die Funktion nicht ganzrational.

    Lösung

    Wir charakterisieren die Funktionen, indem wir überprüfen, ob die Funktionen Polynome sind. Also in die Form

    $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \quad$ mit $\quad a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}$

    gebracht werden können.

    Hier sind die korrekten Sätze:

    • Die Funktion $f(x) = x^4+\sqrt{4x}$ ist wegen des zweiten Summanden keine ganzrationale Funktion.
    Denn der zweite Summand enthält die Variable unter einer Wurzel.

    • Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^3+x^2}{x^2-x^1}$ ist wegen des Nenners keine rationale Funktion.
    Denn der Bruch lässt sich nicht auflösen.

    • Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^3+x^2}{x^2+x}$ lässt sich auflösen zu einer ganzrationalen Funktion.
    Denn der Bruch lässt sich kürzen zu $f(x) = \dfrac{(x^2+x)\cdot x}{x^2+x} = x$.

    • Die Funktion $f(x) = (x^2-x) \cdot x$ ist eine kubische Funktion.
    Durch Ausmultiplizieren erhalten wir: $f(x) = (x^2-x) \cdot x = x^3-x^2$

    • Die Funktion $f(x) = \dfrac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ ist wegen des Exponenten keine ganzrationale Funktion.
    Denn in einer ganzrationalen Funktionen kommen nur natürliche Zahlen als Exponenten der Variablen vor.

    • Die Funktion $f(x) = 3^{\sqrt{2}}$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad $0$.
    Denn die höchste Potenz der Variablen ist $x^0$.

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