Ergebnisgleiche Terme – Einführung

Ergebnisgleiche Terme – Einführung Übung

• Ergänze die Definition ergebnisgleicher Terme.

  Tipps

  Es reicht nicht, einzelne Zahlen einzusetzen, um zu überprüfen, ob zwei Terme ergebnisgleich sind.

  Lösung

  Den Lückentext füllst du folgendermaßen aus:

  • Zwei Terme bezeichnen wir genau dann als ergebnisgleich, wenn sie immer das gleiche Ergebnis haben.

  Das ist die Definition des Wortes „ergebnisgleich“.

  • Das bedeutet, dass es egal ist, welche Zahlen wir für die Variablen in beiden Termen einsetzen - das Ergebnis ist immer auf beiden Seiten gleich.

  Natürlich liefern die beiden Terme andere Ergebnisse, wenn andere Zahlen eingesetzt werden. Wichtig ist nur, dass das Ergebnis beider Terme für die jeweils eingesetzte Zahl gleich ist.

  • Ergebnisgleiche Terme lassen sich in jedem Fall ineinander umformen.

  Nur so können wir uns überhaupt sicher sein, dass die beiden Terme für jede einzelne Zahl ergebnisgleich sind. Ansonsten müssten wir jede einzelne der unendlich vielen uns bekannten Zahlen einsetzen - ein etwas zeitaufwändigeres Unterfangen...

• Finde die Ausdrücke, die das gleiche Ergebnis liefern.

  Tipps

  Beachte die Reihenfolge der Grundrechenarten und die Klammersetzung.

  Es kann hilfreich sein, zuerst die Ergebnisse aller Terme auszurechnen und geordnet aufzuschreiben. Dann musst du nur noch gleiche Ergebnisse verbinden und die richtigen Verbindungen zurück auf die Terme übertragen.

  Lösung

  Erster Term: $3-(2+5)$

  Wie immer berechnen wir zuerst den Ausdruck, der in der Klammer steht. Wir erhalten:

  $2+5=7$

  Folglich gilt für das Ergebnis des gesamten Terms:

  $3-(2+5)=3-7=(-4)$

  In diesem Fall können wir den zugehörigen Term recht schnell finden: Da wir wissen, dass das Produkt aus einer negativen und einer positiven Zahl immer negativ ist („Plus mal Minus gibt Minus“), sehen wir:

  $2\cdot(-2)=(-4)$

  Die Terme $3-(2+5)$ und $2\cdot(-2)$ liefern also das gleiche Ergebnis, nämlich $-4$.

  Zweiter Term: $\frac{6\cdot(2+1)}{9}$

  Auch hier berechnen wir zuerst die Klammer, diesmal erhalten wir $3$. Als Nächstes sehen wir uns den Zähler des Bruches an. Hier ergibt sich:

  $6\cdot3 = 18$

  Schließlich müssen wir dieses Teilergebnis noch durch den Nenner des Bruches teilen. Wir erhalten:

  $\dfrac{6\cdot(2+1)}{9}=\dfrac{6\cdot3}{9}=\dfrac{18}{9}=2$

  Wir suchen jetzt also nach einem weiteren Term, der uns das Ergebnis $2$ liefert. Diesen Term siehst du wahrscheinlich nicht auf den ersten Blick. Deshalb kannst du hier (falls du das nicht schon gemacht hast) erst einmal alle Ergebnisse der unteren Terme ausrechnen. Dann kannst du überprüfen, ob einer der Terme das gesuchte Ergebnis liefert.

  Hier kann dir ein wenig Wissen über die Quadratzahlen behilflich sein. Denn damit erkennst du sofort:

  $12\cdot 12 = 12^2 = 144$

  Damit findest du den zugehörigen Term:

  $\dfrac{12\cdot12}{72}=\dfrac{144}{72}=2$

  Die beiden Terme

  $\dfrac{6\cdot(2+1)}{9} = \dfrac{12\cdot12}{72}$

  liefern also das gleiche Ergebnis, nämlich $2$. Deshalb dürfen wir auch ohne Bedenken ein Gleichheitszeichen zwischen sie schreiben.

  Dritter Term: $3+2$

  Diese Addition können wir direkt ausführen, um $5$ zu erhalten. Wir suchen jetzt also nach einem Term, der ebenfalls das Ergebnis $5$ liefert.

  Da wir Punkt- vor Strichrechnung durchführen und dann von links nach rechts rechnen, ist der folgende Term der richtige:

  $2\cdot3+2-3=6+2-3=8-3=5$

  Das ist ein Spezialfall der beiden ergebnisgleichen Terme

  $a+b = 2a+b-a$

  wobei $a=3$ und $b=2$ gesetzt wurde. Du kannst hier überprüfen, dass es egal ist, welche Zahlen du für $a$ und $b$ einsetzt - das Ergebnis ist immer auf beiden Seiten gleich (allerdings nicht immer $5$).

  Vierter Term: $2-1$

  Diesen Term können wir direkt zu $1$ ausrechnen. Natürlich ist jetzt nur noch ein Term übrig, nämlich:

  $\dfrac{6-15}{3}+4$

  Wir überprüfen aber trotzdem, ob er das richtige Ergebnis liefert. Im Zähler ergibt sich:

  $6-15=(-9)$

  Der Bruch berechnet sich also zu:

  $\dfrac{-9}{3}=(-3)$

  Also erhalten wir das Ergebnis:

  $\dfrac{6-15}{3}+4=(-3)+4 = 1$

  Hier haben wir einen Spezialfall der beiden ergebnisgleichen Terme

  $x-1=\dfrac{3x-15}{3}+4$

  ausgerechnet. Überzeuge dich auch hier, dass es egal ist, welche Zahl du für $x$ einsetzt - die beiden Seiten liefern immer das gleiche Ergebnis!

• Setze die zutreffenden Terme ein.

  Tipps

  Es kann hilfreich sein, einige Zahlen in zwei vermutlich ergebnisgleiche Terme einzusetzen. Falls du verschiedene Ergebnisse findest, kannst du Terme ausschließen; falls nicht, könntest du den richtigen Term gewählt haben.

  Lösung

  • Erstes Paar: $x+6-3=x+3$

  Hier können wir die beiden Zahlen auf der linken Seite durch $6-3=3$ zusammenfassen. Anstatt $x+6-3$ können wir also genauso gut (oder sogar besser, weil kürzer) $x+3$ schreiben.

  • Zweites Paar: $4x-x=3x$

  Wenn wir $4x$ haben und davon ein $x$ wegnehmen, dann haben wir noch $3x$. Oder, etwas mathematischer: Wenn wir $x$ auf der linken Seite ausklammern, dann erhalten wir $x\cdot(4-1)=x\cdot 3 = 3x$.

  • Drittes Paar: $x\cdot 1 + 0 =x$

  Die Multiplikation mit $1$ lässt jede Zahl unverändert, es gilt also $x\cdot1=x$ für jedes beliebige $x$. Genauso verändert die Addition von $0$ eine Zahl nicht, also gilt ebenso $x+0=x$. Demnach können wir beide Operationen in jeder beliebigen Kombination und so oft wir wollen auf $x$ anwenden, es bleibt aber trotzdem immer $x$.

  • Viertes Paar: $5x+3x-5x-5x=-2x$

  Hier können wir wieder die „Menge an $x$-en“ zusammenrechnen. Um sicher zu sein, können wir auch hier $x$ ausklammern und erhalten $x\cdot(5+3-5-5)=x\cdot(-2)=-2x$.

• Überprüfe durch Ausprobieren, für welche Termpaare du verschiedene Ergebnisse erhältst.

  Tipps

  Denke daran: Hier sind diejenigen Termpaare zu markieren, die definitiv nicht ergebnisgleich sind.

  Wenn in zwei Termen verschiedene Variablen vorkommen, kannst du den einen Term ändern, ohne den anderen zu beeinflussen.

  Lösung

  Hier wollen wir jeweils nur auf ein Beispiel eingehen, mit dem wir widerlegen können, dass die jeweiligen Terme ergebnisgleich sind. Bei den übrigen Termen solltest du immer die gleichen Ergebnisse erhalten, egal, welche Zahlen du einsetzt (Ausnahme: im Nenner darf nie eine $0$ eingesetzt werden). Die nicht ergebnisgleichen Terme sind:

  • $6y-4$ und $3y+3$

  Als Beispiel setzen wir hier $y=1$ ein. Damit erhalten wir auf der linken Seite:

  $6\cdot 1-4=6-4=2$

  Auf der rechten Seite steht aber

  $3\cdot 1+3=3+3=6$

  Folglich sind die beiden Terme nicht ergebnisgleich.

  • $2x$ und $x+2y$

  Hier steht im linken Term nur die Variable $x$, im rechten Term gibt es allerdings zusätzlich die Variable $y$. Da wir $y$ frei wählen können, werden wir also auf jeden Fall einen Wert für $y$ finden, für den die Terme nicht gleich sind - egal, welchen Wert wir vorher für $x$ gewählt haben. Setzen wir beispielsweise $x=1$, so erhalten wir links:

  $2\cdot 1=2$

  und rechts:

  $1+2y$

  Nun können wir einen beliebigen Wert für $y$ einsetzen, sodass die beiden Terme verschiedene Werte haben. Für $y=10$ erhalten wir beispielsweise den Wert $21$ für den rechten Term. Am Wert $2$ des linken Terms ändert das jedoch nichts.

• Bestimme, welche Termpaare das gleiche Ergebnis liefern.

  Tipps

  Achte auf Punkt- vor Strichrechnung und Klammersetzung.

  Lösung

  Die folgenden Terme sind gleichwertig:

  • $3+4\cdot 2$ und $3\cdot(5+1)-7$

  Links ergibt sich, wenn du Punkt- vor Strichrechnung anwendest, $3+4\cdot2 = 3+8 = 11$. Auf der rechten Seite rechnest du zuerst das aus, was in der Klammer steht, und rechnest dann Punkt vor Strich: $3\cdot(5+1)-7 = 3\cdot 6 - 7 = 18-7 =11$

  • $\dfrac{169}{13}$ und $\dfrac{39}{3}$

  $169$ ist ein Vielfaches von $13$ und $39$ ist ein Vielfaches von $3$ - und zwar jeweils das Dreizehnfache. Es gilt also $\frac{169}{13}=\frac{39}{3}=13$.

  • $8$ und $\dfrac{8\cdot 8}{8}$

  Auf der rechten Seite kannst du eine $8$ aus dem Zähler mit der $8$ im Nenner kürzen und erhältst $\frac{8\cdot8}{8}=\frac{8}{1}=8$.

  Die folgenden Terme sind nicht gleichwertig:

  • $12-8$ und $13-(3+4)$

  Links ergibt sich $4$, rechts $13-(3+4)=13-7=6$.

  • $6\cdot(5+3)$ und $7^2$

  Auf der linken Seite erhältst du $6\cdot(5+3)=6\cdot 8 = 48$. Das ist nicht dasselbe wie $7^2=7\cdot7=49$.

  • $\dfrac{32}{4}$ und $\dfrac{35}{5}$

  Hier ergibt sich $\frac{32}{4}=8$ bzw. $\frac{35}{5}=7$.

• Zeige, dass die gegebenen Terme ergebnisgleich sind.

  Tipps

  Um zwei Klammern auszumultiplizieren, multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.

  Wenn im Zähler eines Bruches eine Summe steht, kannst du jeden Summanden einzeln durch den Nenner des Bruches teilen und die Ergebnisse summieren.

  Lösung

  Um die Äquivalenz der beiden Terme zu beweisen, versuchen wir, den ersten Term in den zweiten umzuformen. Zuerst multiplizieren wir dafür die Klammern im Zähler miteinander:

  $(4+y)(x-2)=4x+xy-8-2y$

  • Hier haben wir die beiden Klammer ausmultipliziert, indem wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert haben.

  Jetzt können wir den Bruch auf der linken Seite ausrechnen. Dazu teilen wir jeden Summanden im Zähler einzeln durch den Nenner. Wenn wir für den Zähler das bereits berechnete Ergebnis einsetzen, erhalten wir:

  $\dfrac{(4+y)(x-2)}{2x}=2+\dfrac{y}{2}-\dfrac{4}{x}-\dfrac{y}{x}$

  • Hier nehmen wir jeden der oben berechneten Summanden und teilen ihn durch $2x$.

  Nun können wir aus all denjenigen Summanden, in denen der Faktor $y$ vorkommt, diesen Faktor ausklammern. In den übrigen Faktoren klammern wir den Faktor $2$ aus:

  $\dfrac{(4+y)(x-2)}{2x}= 2\Bigl(1-\dfrac{2}{x}\Bigr)+y\Bigl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}\Bigr)$

  • Das Ausklammern ist gewissermaßen das Gegenteil des Ausmultiplizierens. Anstatt einen Faktor mit jedem Summanden der Klammer zu multiplizieren, suchen wir nach Faktoren, die in jedem Summanden enthalten sind, und schreiben diese vor die Klammer.

  So funktioniert der Beweis einer Ergebnisgleichheit. Nun wissen wir ganz sicher, dass die beiden Terme immer die gleichen Ergebnisse liefern werden - und zwar egal, welche Zahlen wir für $x$ und $y$ einsetzen.