Ergebnisgleiche Terme – Einführung

Grundlagen zum Thema Ergebnisgleiche Terme – Einführung
Vereinfacht gesagt, sind zwei Terme dann ergebnisgleich, wenn sie immer das gleiche Ergebnis haben. Wir müssen aber noch genauer sagen, was "immer" bedeuten soll. Und das geht so: Zwei Terme sind ergebnisgleich, wenn sie immer dann, wenn man für die Variablen Zahlen einsetzt, das gleiche Ergebniss haben. Man sagt manchmal auch einfach, Terme seien "gleich" und meint dabei "ergebnisgleich". Im Video schauen wir uns dann noch ein paar Beispiele dazu an.
Ergebnisgleiche Terme – Einführung Übung
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Ergänze die Definition ergebnisgleicher Terme.
TippsEs reicht nicht, einzelne Zahlen einzusetzen, um zu überprüfen, ob zwei Terme ergebnisgleich sind.
LösungDen Lückentext füllst du folgendermaßen aus:
- Zwei Terme bezeichnen wir genau dann als ergebnisgleich, wenn sie immer das gleiche Ergebnis haben.
- Das bedeutet, dass es egal ist, welche Zahlen wir für die Variablen in beiden Termen einsetzen - das Ergebnis ist immer auf beiden Seiten gleich.
- Ergebnisgleiche Terme lassen sich in jedem Fall ineinander umformen.
-
Finde die Ausdrücke, die das gleiche Ergebnis liefern.
TippsBeachte die Reihenfolge der Grundrechenarten und die Klammersetzung.
Es kann hilfreich sein, zuerst die Ergebnisse aller Terme auszurechnen und geordnet aufzuschreiben. Dann musst du nur noch gleiche Ergebnisse verbinden und die richtigen Verbindungen zurück auf die Terme übertragen.
LösungErster Term: $3-(2+5)$
Wie immer berechnen wir zuerst den Ausdruck, der in der Klammer steht. Wir erhalten:
$2+5=7$
Folglich gilt für das Ergebnis des gesamten Terms:
$3-(2+5)=3-7=(-4)$
In diesem Fall können wir den zugehörigen Term recht schnell finden: Da wir wissen, dass das Produkt aus einer negativen und einer positiven Zahl immer negativ ist („Plus mal Minus gibt Minus“), sehen wir:
$2\cdot(-2)=(-4)$
Die Terme $3-(2+5)$ und $2\cdot(-2)$ liefern also das gleiche Ergebnis, nämlich $-4$.
Zweiter Term: $\frac{6\cdot(2+1)}{9}$
Auch hier berechnen wir zuerst die Klammer, diesmal erhalten wir $3$. Als Nächstes sehen wir uns den Zähler des Bruches an. Hier ergibt sich:
$6\cdot3 = 18$
Schließlich müssen wir dieses Teilergebnis noch durch den Nenner des Bruches teilen. Wir erhalten:
$\dfrac{6\cdot(2+1)}{9}=\dfrac{6\cdot3}{9}=\dfrac{18}{9}=2$
Wir suchen jetzt also nach einem weiteren Term, der uns das Ergebnis $2$ liefert. Diesen Term siehst du wahrscheinlich nicht auf den ersten Blick. Deshalb kannst du hier (falls du das nicht schon gemacht hast) erst einmal alle Ergebnisse der unteren Terme ausrechnen. Dann kannst du überprüfen, ob einer der Terme das gesuchte Ergebnis liefert.
Hier kann dir ein wenig Wissen über die Quadratzahlen behilflich sein. Denn damit erkennst du sofort:
$12\cdot 12 = 12^2 = 144$
Damit findest du den zugehörigen Term:
$\dfrac{12\cdot12}{72}=\dfrac{144}{72}=2$
Die beiden Terme
$\dfrac{6\cdot(2+1)}{9} = \dfrac{12\cdot12}{72}$
liefern also das gleiche Ergebnis, nämlich $2$. Deshalb dürfen wir auch ohne Bedenken ein Gleichheitszeichen zwischen sie schreiben.
Dritter Term: $3+2$
Diese Addition können wir direkt ausführen, um $5$ zu erhalten. Wir suchen jetzt also nach einem Term, der ebenfalls das Ergebnis $5$ liefert.
Da wir Punkt- vor Strichrechnung durchführen und dann von links nach rechts rechnen, ist der folgende Term der richtige:
$2\cdot3+2-3=6+2-3=8-3=5$
Das ist ein Spezialfall der beiden ergebnisgleichen Terme
$a+b = 2a+b-a$
wobei $a=3$ und $b=2$ gesetzt wurde. Du kannst hier überprüfen, dass es egal ist, welche Zahlen du für $a$ und $b$ einsetzt - das Ergebnis ist immer auf beiden Seiten gleich (allerdings nicht immer $5$).
Vierter Term: $2-1$
Diesen Term können wir direkt zu $1$ ausrechnen. Natürlich ist jetzt nur noch ein Term übrig, nämlich:
$\dfrac{6-15}{3}+4$
Wir überprüfen aber trotzdem, ob er das richtige Ergebnis liefert. Im Zähler ergibt sich:
$6-15=(-9)$
Der Bruch berechnet sich also zu:
$\dfrac{-9}{3}=(-3)$
Also erhalten wir das Ergebnis:
$\dfrac{6-15}{3}+4=(-3)+4 = 1$
Hier haben wir einen Spezialfall der beiden ergebnisgleichen Terme
$x-1=\dfrac{3x-15}{3}+4$
ausgerechnet. Überzeuge dich auch hier, dass es egal ist, welche Zahl du für $x$ einsetzt - die beiden Seiten liefern immer das gleiche Ergebnis!
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Setze die zutreffenden Terme ein.
TippsEs kann hilfreich sein, einige Zahlen in zwei vermutlich ergebnisgleiche Terme einzusetzen. Falls du verschiedene Ergebnisse findest, kannst du Terme ausschließen; falls nicht, könntest du den richtigen Term gewählt haben.
Lösung- Erstes Paar: $x+6-3=x+3$
- Zweites Paar: $4x-x=3x$
- Drittes Paar: $x\cdot 1 + 0 =x$
- Viertes Paar: $5x+3x-5x-5x=-2x$
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Überprüfe durch Ausprobieren, für welche Termpaare du verschiedene Ergebnisse erhältst.
TippsDenke daran: Hier sind diejenigen Termpaare zu markieren, die definitiv nicht ergebnisgleich sind.
Wenn in zwei Termen verschiedene Variablen vorkommen, kannst du den einen Term ändern, ohne den anderen zu beeinflussen.
LösungHier wollen wir jeweils nur auf ein Beispiel eingehen, mit dem wir widerlegen können, dass die jeweiligen Terme ergebnisgleich sind. Bei den übrigen Termen solltest du immer die gleichen Ergebnisse erhalten, egal, welche Zahlen du einsetzt (Ausnahme: im Nenner darf nie eine $0$ eingesetzt werden). Die nicht ergebnisgleichen Terme sind:
- $6y-4$ und $3y+3$
$6\cdot 1-4=6-4=2$
Auf der rechten Seite steht aber
$3\cdot 1+3=3+3=6$
Folglich sind die beiden Terme nicht ergebnisgleich.
- $2x$ und $x+2y$
$2\cdot 1=2$
und rechts:
$1+2y$
Nun können wir einen beliebigen Wert für $y$ einsetzen, sodass die beiden Terme verschiedene Werte haben. Für $y=10$ erhalten wir beispielsweise den Wert $21$ für den rechten Term. Am Wert $2$ des linken Terms ändert das jedoch nichts.
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Bestimme, welche Termpaare das gleiche Ergebnis liefern.
TippsAchte auf Punkt- vor Strichrechnung und Klammersetzung.
LösungDie folgenden Terme sind gleichwertig:
- $3+4\cdot 2$ und $3\cdot(5+1)-7$
- $\dfrac{169}{13}$ und $\dfrac{39}{3}$
- $8$ und $\dfrac{8\cdot 8}{8}$
Die folgenden Terme sind nicht gleichwertig:
- $12-8$ und $13-(3+4)$
- $6\cdot(5+3)$ und $7^2$
- $\dfrac{32}{4}$ und $\dfrac{35}{5}$
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Zeige, dass die gegebenen Terme ergebnisgleich sind.
TippsUm zwei Klammern auszumultiplizieren, multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.
Wenn im Zähler eines Bruches eine Summe steht, kannst du jeden Summanden einzeln durch den Nenner des Bruches teilen und die Ergebnisse summieren.
LösungUm die Äquivalenz der beiden Terme zu beweisen, versuchen wir, den ersten Term in den zweiten umzuformen. Zuerst multiplizieren wir dafür die Klammern im Zähler miteinander:
$(4+y)(x-2)=4x+xy-8-2y$
- Hier haben wir die beiden Klammer ausmultipliziert, indem wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert haben.
$\dfrac{(4+y)(x-2)}{2x}=2+\dfrac{y}{2}-\dfrac{4}{x}-\dfrac{y}{x}$
- Hier nehmen wir jeden der oben berechneten Summanden und teilen ihn durch $2x$.
$\dfrac{(4+y)(x-2)}{2x}= 2\Bigl(1-\dfrac{2}{x}\Bigr)+y\Bigl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}\Bigr)$
- Das Ausklammern ist gewissermaßen das Gegenteil des Ausmultiplizierens. Anstatt einen Faktor mit jedem Summanden der Klammer zu multiplizieren, suchen wir nach Faktoren, die in jedem Summanden enthalten sind, und schreiben diese vor die Klammer.
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27 Kommentare
Super Erklävidio
ganz gut der sprecher danke
Hat mir sehr geholfen
Der Sprecher des Videos ist richtig cool ich habe alles verstanden (nice)
super chillig!!!!