Einführung Prisma

Einführung Prisma Übung

• Gib die Eigenschaften von Prismen an.

  Tipps

  Betrachte ein Dreieck, das als Grundfläche dient.

  Verschiebe das gleiche Dreieck nun senkrecht zur Grundfläche und verbinde diese zwei Dreiecke mit Kanten, so erhältst du ein Prisma.

  Erfolgt die Verschiebung nicht senkrecht, so erhältst du ein schiefes Prisma. Andernfalls ist das Prisma gerade.

  Lösung

  Wir betrachten nun ein Vieleck, das als Grundfläche dient. Das gleiche Vieleck verschieben wir senkrecht zur Grundfläche und verbinden diese zwei Vielecke mit Kanten. Durch die senkrechte Verschiebung entsteht ein gerades Prisma mit folgenden Eigenschaften:

  • Es besitzt mindestens zwei zueinander parallele, kongruente Vielecke als Grund- und Deckfläche.
  • Seine Seitenflächen sind Rechtecke.
  • Seine Seitenkanten sind parallel zueinander.

  Wenn zwischen der Grund- und Deckfläche eine nicht senkrechte Verschiebung vorliegt, so handelt es sich um ein schiefes Prisma.

  • Die Seitenflächen sind dann Parallelogramme.
  • Die Seitenkanten sind weiterhin parallel zueinander.

• Benenne die jeweiligen Prismen.

  Tipps

  Jedes Prisma besitzt jeweils mindestens eine Grund- und kongruente Deckfläche, die zueinander parallel sind.

  Hier siehst du einen Kegel und eine Pyramide.

  Lösung

  Ein gerades Prisma besitzt folgende Eigenschaften:

  • Es hat mindestens zwei zueinander parallele, kongruente Vielecke als Grund- und Deckfläche.
  • Seine Seitenflächen sind Rechtecke.
  • Seine Seitenkanten sind parallel zueinander.

  Die hier betrachteten Prismen haben folgende Bezeichnungen:

  • Fünfseitiges Prisma: Es handelt sich hierbei um ein Prisma mit einem Fünfeck als Deck- und Grundfläche. Daher besitzt dieses Prisma fünf Seitenflächen.
  • Dreiseitiges Prisma: Hierbei handelt es sich um ein Prisma mit einer dreieckigen Deck- und Grundfläche. Dieses Prisma besitzt drei Seitenflächen.
  • Quader: Dieser ist ein spezielles Prisma. Es hat eine viereckige Deck- und Grundfläche. Alle zueinander parallelen Flächen können Deck- und Grundflächen sein, da diese jeweils zueinander parallel und kongruent sind. Ein Quader besitzt vier Kanten, die parallel zueinander und gleich lang sind.
  • Würfel: Auch der Würfel ist ein spezielles Prisma. Es handelt sich hierbei um einen Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind. Somit ist es egal, auf welcher Fläche der Würfel steht. Der resultierende Körper sieht immer gleich aus.

• Entscheide, bei welchen der jeweiligen Körper es sich um ein Prisma handelt.

  Tipps

  Ein Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang.

  Deck- und Grundfläche von Prismen sind parallel zueinander und kongruent.

  Ein Kreis ist kein Vieleck.

  Lösung

  Ein Prisma beschreibt eine Gruppe von geometrischen Körpern, deren Grundfläche einem beliebigen Vieleck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang. Daraus ergibt sich, dass Grund- und Deckfläche von Prismen identisch sind.

  Mit dieser Definition können wir nun entscheiden, welche der abgebildeten geometrischen Körper ein Prisma darstellen. Wir beginnen mit den geometrischen Körpern in der ersten Reihe und gehen von links aus:

  Erste Reihe

  • Bild 1 stellt eine Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche dar. Bei einer Pyramide laufen alle Seitenkanten aufeinander zu und treffen sich an der Pyramidenspitze. Da bei einem Prisma allerdings alle Seitenkanten parallel zueinander und gleich lang sind, stellen wir fest, dass eine Pyramide kein Prisma ist.
  • Bild 2 stellt ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche dar. Einen solchen geometrischen Körper nennt man auch Quader. Ein Quader ist also ein Spezialfall eines Prismas.
  • Bild 3 stellt ein Prisma dar, dessen Grundfläche einem symmetrischen, also gleichschenkligen Trapez entspricht.

  Zweite Reihe

  • Bild 1 stellt ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche dar.
  • Bild 2 stellt einen Kegel dar. Hier haben wir weder eine vieleckige Grundfläche noch Seitenkanten, die parallel zueinander und gleich lang sind. Also ist auch ein Kegel kein Prisma.
  • Bild 3 stellt einen allgemeinen Zylinder dar. Dieser Zylinder besitzt einen Kreis als Grundfläche. Ein Kreis ist kein Vieleck und daher ist dieser Zylinder auch kein Prisma.
  • Bild 4 stellt ein Prisma mit sechseckiger Grundfläche dar.

• Ermittle die Körpernetze der jeweiligen Prismen.

  Tipps

  Achte ganz genau auf die Deck- und Grundflächen.

  Lösung

  Um die Körpernetze der jeweiligen Prismen zu bestimmen, betrachten wir deren Deck- und Grundfläche und die aus deren Form resultierende Mantelfläche. Je nachdem wie viele Ecken die Deck- und Grundfläche besitzen, setzt sich die Mantelfläche aus genauso vielen Seitenflächen zusammen. So erhalten wir folgende Körpernetze:

  Fünfseitiges Prisma

  Das Körpernetz eines fünfseitigen Prismas setzt sich aus zwei Fünfecken und einer Mantelfläche aus fünf Rechtecken zusammen.

  Dreiseitiges Prisma

  • Das dreiseitige Prisma besitzt ein Körpernetz mit zwei Dreiecken und drei Rechtecken. Wichtig ist hierbei, dass die längere Seite an den Dreiecken anliegt, da wir zwei verschiedene Körpernetze für Prismen haben.

  Sechsseitiges Prisma

  • Das Körpernetz eines sechsseitigen Prismas besteht aus zwei Fünfecken und fünf Rechtecken.

  Würfel

  • Der Würfel hat ein Körpernetz, das sich aus sechs Quadraten zusammensetzt. Zwei dieser Quadrate sind jeweils Deck- und Grundfläche. Die anderen vier ergeben die Mantelfläche.

  übrige Körpernetze

  • Das Körpernetz bestehend aus zwei Dreiecken und zwei Rechtecken, deren kurze Seite an den Dreiecken anliegt, beschreibt zwar auch ein Prisma, aber nicht das gewünschte. Dieses Prisma wäre deutlich höher und hat eine verhältnismäßig kleine Grundfläche.
  • Das Körpernetz bestehend aus zwei Trapezen und vier Rechtecken gehört zu einem Prisma. Dieses hat gleichschenklige Trapeze als Deck- und Grundfläche.

• Beschrifte das gegebene Prisma.

  Tipps

  Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus seiner Mantel-, Deck- und Grundfläche zusammen.

  Die Mantelfläche setzt sich aus allen Seitenflächen zusammen.

  Lösung

  Bei dem hier betrachteten Prisma haben wir zwei kongruente Dreiecke, die durch drei rechteckige Flächen miteinander verbunden sind. Ein solches Prisma nennen wir dreiseitiges Prisma.

  • Das untere Dreieck ist die Grundfläche des Prismas.
  • Das obere kongruente Dreieck ist die Deckfläche.
  • Die Kanten, die die Deckfläche mit der Grundfläche verbinden, heißen Seitenkanten.
  • Die Flächen zwischen Deck- und Grundfläche heißen Seitenflächen.

  Klappen wir das Prisma auf, so erhalten wir das Körpernetz des Prismas. Das setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche setzt sich wiederum aus den drei Seitenflächen zusammen. Die Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche bilden zusammen die Oberfläche des Prismas.

• Arbeite die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen der jeweiligen Prismen heraus.

  Tipps

  Grenzen zwei Flächen eines Prismas aneinander, so ist dort eine Kante. Überall dort, wo drei Kanten eines Prismas aufeinandertreffen, liegt eine Ecke vor.

  Lösung

  Grenzen zwei Flächen eines Prismas aneinander, so ist dort eine Kante. Überall dort, wo drei Kanten eines Prismas aufeinandertreffen, liegt eine Ecke vor. Demnach können wir folgende Eigenschaften festhalten:

  $\begin{array}{c|ccc} \text{Prisma} & \text{Ecken} & \text{Kanten} & \text{Fl}\ddot{\text{a}}\text{chen} \\ \hline \text{a} & 6 & 9 & 5 \\ \text{b} & 12 & 18 & 8 \\ \text{c} & 10 & 15 & 7 \\ \text{d} & 8 & 12 & 6 \\ \text{e} & 14 & 21 & 9 \end{array}$

  Generell kann man festhalten, dass es doppelt so viele Ecken gibt, wie es Seiten gibt. Beispielsweise hat ein dreiseitiges Prisma demnach sechs Ecken.

  Es gibt dreimal so viele Kanten, wie es Seiten gibt. Ein dreiseitiges Prisma hat also $3 \cdot 3 = 9$ Kanten.

  Die Anzahl der Flächen ergibt sich aus der Seitenanzahl plus der Grund- und Deckfläche. Das dreiseitige Prisma hat also $3+2=5$ Flächen.

  Mit diesen Zusammenhängen lassen sich die Eigenschaften zu allen Prismen ermitteln.