Dividieren mit Überschlag
Mira und Rocky möchten Maiskolben lagern und nutzen dazu die Überschlagsrechnung bei der Division. Sie teilen den Mais in Scheiben mit ungefähr gleich vielen Körnern. Das ist eine einfache Methode, um schnell Annäherungswerte zu bekommen. Spannend? Das und vieles mehr erfährst du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Dividieren mit Überschlag
Was ist eine Überschlagsrechnung in der Mathematik?
Mira und Rocky haben sehr viele Maiskolben gesammelt. Viel mehr, als sie auf einmal essen können. Deswegen wollen sie die Maiskolben in ihrer Vorratskammer lagern. Dazu ist es nützlich, sie in Scheiben mit ungefähr gleich vielen Körnern zu teilen. So ganz genau muss die Zahl allerdings nicht stimmen – deswegen reicht ihnen die Überschlagsrechnung der Division. Aber was ist das eigentlich?
Überschlagsrechnung der Division – Erklärung
Schauen wir uns den ersten Maiskolben an, den Mira und Rocky teilen wollen. Der Kolben hat genau $656$ Maiskörner und soll in Scheiben mit je $8$ Körnern geschnitten werden. Als Divisionsaufgabe aufgeschrieben sieht das so aus:
$656 : 8 = ?$
Allerdings reicht Mira und Rocky ein ungefähres Ergebnis. Deswegen können sie diese Aufgabe durch eine leichtere Aufgabe ersetzen. Dazu überlegen sie, welche Zahl man leichter durch $8$ teilen kann, die aber nicht viel kleiner ist als $656$. Die Zahl $640$ ist durch $8$ teilbar:
$640:8 = 80$
Es kommen also ungefähr $80$ Scheiben heraus. Wenn du das genaue Ergebnis für die Aufgabe $656 : 8$ herausfinden willst, kannst du dazu die schriftliche Division großer Zahlen anwenden. Das Ergebnis ist:
$656:8 = 82$
Das überschlagene Ergebnis ist zwar ein bisschen kleiner, aber sehr nah am eigentlichen Ergebnis! Es ist ein wenig kleiner, weil wir den Dividenden durch eine kleinere Zahl ersetzt haben.
Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an. Der nächste Maiskolben, den Rocky und Mira teilen wollen, hat insgesamt $1\, 080$ Körner. Er soll in Scheiben mit je ungefähr $9$ Körnern geschnitten werden. Als Divisionsaufgabe sieht das so aus:
$1\, 080:9 = ?$
Diesmal ersetzen wir nicht den Dividenden, sondern den Divisor, um eine leichtere Aufgabe zu erhalten. Wenn wir durch $10$ anstatt durch $9$ teilen, ist die Aufgabe leichter. Denn dann müssen wir nur die Null des Dividenden weglassen:
$1\, 080:10 = 108$
Wir vergleichen das Ergebnis wieder mit dem Ergebnis der ursprünglichen Aufgabe:
$1\, 080:9 = 120$
Auch diesmal ist das überschlagene Ergebnis kleiner. Wenn wir den Divisor durch eine größere Zahl ersetzen, wird das Überschlagsergebnis kleiner.
Und was wäre, wenn Mira und Rocky diesen Maiskolben in Scheiben mit je $11$ Körnern teilen wollten? Als Divisionsaufgabe sieht das so aus:
$1\, 080:11 = ?$
Hier können wir denselben Überschlag verwenden und $1\, 080$ durch $10$ teilen. Das Ergebnis kennen wir schon, es ist $108$. Aber was ist das Ergebnis der ursprünglichen Aufgabe?
$1\, 080:11 = 98 ~ ~ ~ \text{Rest: } 2$
Das ist kleiner als das Ergebnis des Überschlags. Wenn wir den Divisor durch eine kleinere Zahl ersetzen, ist der Überschlag also größer als das eigentliche Ergebnis.
Transkript Dividieren mit Überschlag
Mira und Rocky haben ganz viele Maiskolben gesammelt. Sie wollen diese nun aufteilen, damit sie sie besser lagern können. Dafür haben sie eine bestimmte Maschine, die die Maiskolben in Scheiben schneidet. Da sie keine genauen Zahlen benötigen, verwenden sie das Dividieren mit Überschlag. Der erste Maiskolben, den Mira überprüft hat, hat 656 Maiskörner. Rocky möchte ihn in Scheiben aufteilen, die jeweils 8 Maiskörner enthalten. Wie viele Scheiben erhält er dann? Dazu teilen wir 656 durch 8. Ein Überschlag hilft dir dabei, ein ungefähres Ergebnis zu wissen. Du kannst dazu die Zahl verändern, die geteilt wird. Schau dir doch die Zahl aus den ersten beiden Ziffern an: Wie kannst du 65 verändern, dass es einfach durch 8 teilbar ist? Nimm dir dazu doch die Achterreihe zur Hilfe.
64 kann man einfach durch 8 teilen, also kannst du auch 640 einfach durch 8 teilen. Was ist 64 geteilt durch 8?
640 geteilt durch 8 ist also 80. Rocky weiß nun, dass ungefähr 80 Scheiben herauskommen werden.
Nun weißt du, wie viel du UNGEFÄHR bei der Rechnung 656 geteilt durch 8 herausbekommst. Das genaue Ergebnis kannst du durch die schriftliche Division herausfinden.
656 geteilt durch 8 ist gleich 82. Siehst du, dass dein vorher überschlagendes Ergebnis nah an diesem Ergebnis ist? Das Ergebnis des Überschlags ist jedoch kleiner. Wir haben 656 für den Überschlag verkleinert, daher ist auch das Ergebnis des Überschlags kleiner.
Rocky möchte also, dass seine Maschine den Mais in 80 Scheiben schneidet.
Der nächste Maiskolben besitzt 1080 Maiskörner und Rocky will ihn in Scheiben mit neun Maiskörnern aufteilen. Wie viele Scheiben sind das ungefähr? Dazu muss er also 1080 geteilt durch 9 rechnen. Lass uns doch erst wieder überschlagen. Manchmal hilft es, den Divisor, in diesem Fall also die 9, zu verändern. Fällt dir eine Zahl ein, durch die du einfacher teilen kannst?
Du kannst durch 10 einfacher teilen. Was ist 1080 geteilt durch 10?
- Im Ergebnis kannst du diese Null einfach weglassen. Das genaue Ergebnis der Aufgabe 1080 geteilt durch 9 kannst du nun wieder mit der schriftlichen Division berechnen. 1080 geteilt durch 9 ist gleich 120.
Da du beim Überschlag durch eine größere Zahl gerechnet hast, ist das Ergebnis des Überschlags kleiner. Wie könnten wir die Rechnung überschlagen, wenn wir 1080 durch 11 teilen wollen. Wie würdest du hier einen Überschlag machen?
Auch hier kannst du durch 10 teilen, denn das ist ja viel einfacher. 1080 geteilt durch 10 sind 108. Und was ist das genaue Ergebnis? Das kannst du nun wieder mit der schriftlichen Division berechnen. 1080 geteilt durch 11.
Das Ergebnis ist 98 Rest 2. Da du beim Überschlag durch eine kleinere Zahl gerechnet hast, ist das Ergebnis des Überschlags größer. Während Rocky und Mira weiterarbeiten, schauen wir uns an, was wir gelernt haben. Hast du eine Divisionsaufgabe gegeben, so kannst du zunächst einen Überschlag machen.
Das bringt Dich schon einmal in die Nähe des richtigen Ergebnisses. Du vereinfachst die Aufgabe also und kannst dadurch sehen, wie viel ungefähr herauskommt. Beim Überschlagen kannst du den Dividenden oder den Divisor vereinfachen Sind Rocky und Mira fertig?
Aber stop Mira! Das ist kein Maiskolben!
Dividieren mit Überschlag Übung
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Welcher Überschlag hilft dir bei dieser Aufgabe?
TippsBei dieser Aufgabe solltest du den Dividenden (die Zahl, die geteilt wird) verändern.
Schau dir die ersten zwei Ziffern der Zahl 656 an.
Welche Zahl nahe der 65 ist durch 8 teilbar?
Schau dir zur Hilfe die 8er-Reihe rechts an.
64 ist die nächste Zahl an der 65, die durch 8 teilbar ist.
LösungBei dieser Aufgabe solltest du den Dividenden (die Zahl, die geteilt wird) verändern.
Schaue dir dafür die ersten beiden Ziffern der Zahl 656 an.
Welche Zahl nahe der 65 ist durch 8 teilbar? Die nächste Zahl ist 64.
Wenn 64 durch 8 teilbar ist, ist auch 640 durch 8 teilbar.
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Welche Überschläge kannst du hier berechnen?
TippsVerändere den Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird), um eine einfache Überschlagsrechnung zu erhalten.
Der Divisor 9 ist nahe an der 10. Deshalb kannst du als Überschlagsrechnung 1$\,$080 : 10 rechnen.
Weil du durch 10 teilst, kannst du die letzte Null der Zahl 1$\,$080 einfach weglassen, dann hast du das Ergebnis der Aufgabe: 108.
Bei dieser Aufgabe kannst du ebenfalls den Divisor verändern.
LösungDie Divisoren (Zahlen, durch die geteilt wird) der Aufgaben sind beide nah an der 10, deshalb kannst du beide Aufgaben mit der Rechnung 1$\,$080 : 10 überschlagen.
Weil du durch 10 teilst, kannst du die letzte Null der Zahl 1$\,$080 einfach weglassen, dann hast du das Ergebnis der Überschlagsrechnung: 108.
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Welcher Überschlag passt zu welcher Aufgabe?
TippsBei dieser Aufgabe veränderst du die Zahl 387. Schau dir dazu die ersten zwei Ziffern an:
Welche Zahl ist nahe der 38 und durch 6 teilbar?
Die 6er-Reihe kann dir helfen: 36 ist die nächste Zahl an der 38, die durch 6 teilbar ist.
Wenn 36 durch 6 teilbar ist, dann ist auch 360 durch 6 teilbar. Die Überschlagsrechnung ist also 360 : 6.
Bei dieser Aufgabe gehst du gleich vor:
Welche Zahl ist nahe der 43 und durch 6 teilbar?
LösungBei allen Aufgaben solltest du den Dividenden (Zahl, die geteilt wird) verändern.
Bei der Aufgabe 387 : 6 veränderst du also die Zahl 387. Schau dir dazu die ersten zwei Ziffern an:
Welche Zahl ist nahe der 38 und durch 6 teilbar? 36
Wenn 36 durch 6 teilbar ist, dann ist auch 360 durch 6 teilbar. Die Überschlagsrechnung ist also 360 : 6.
So kannst du auch bei den anderen Aufgaben vorgehen.
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Wie kannst du schlau überschlagen?
TippsVerändere hier den Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird).
Der Divisor 9 ist nahe an der 10. Deshalb passt die Überschlagsrechnung 1$\,$260 : 10.
Weil du durch 10 teilst, kannst du die letzte Null der Zahl 1 260 einfach weglassen, dann hast du das Ergebnis der Aufgabe: 126.
Bei dieser Aufgabe solltest du den Dividenden (Zahl, die geteilt wird) verändern. Schau dir dazu die ersten zwei Ziffern der Zahl 576 an:
Welche Zahl ist nahe der 57 und durch 8 teilbar?
56* ist die nächste Zahl an der 57, die durch 8 teilbar ist.
Wenn 56 durch 8 teilbar ist, dann ist auch 560 durch 8 teilbar.
LösungBei der Aufgabe 1$\,$260 : 9 veränderst du den Divisor.
Der Divisor 9 ist nahe an der 10. Deshalb kannst du als Überschlagsrechnung 1$\,$260 : 10 rechnen.
Weil du durch 10 teilst, kannst du die letzte Null der Zahl 1$\,$260 einfach weglassen, dann hast du das Ergebnis der Aufgabe: 126.
Bei der Aufgabe 576 : 8 veränderst du den Dividenden. Schau dir dazu die ersten zwei Ziffern der Zahl 576 an:
Welche Zahl ist nahe der 57 und durch 8 teilbar? 56
Wenn 56 : 8 = 7, dann ist 560 : 8 = 70.
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Welche Zahlen solltest du ändern, um zu überschlagen?
TippsBei dieser Aufgabe solltest du den Dividenden 656 verändern. Dazu musst du dir nur die ersten zwei Ziffern, also die 65, anschauen.
Bei dieser Aufgabe solltest du dir den Divisor 9 anschauen und verändern, da dieser nahe der 10 ist.
LösungHier siehst du, welche Zahlen du dir bei den Aufgaben anschauen und verändern solltest.
Bei der Aufgabe 656 : 8 solltest du den Dividenden 656 verändern. Dazu musst du dir aber nur die ersten zwei Ziffern, also die 65, anschauen und die nächste Zahl an der 65 finden, die durch 8 teilbar ist.
Bei den Aufgaben 1$\,$080 : 9 und 1$\,$080 : 11 solltest du jeweils die Divisoren 9 und 11 anschauen und verändern, da beide nahe an der 10 sind.
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Welche Überschlagsrechnungen sind falsch?
TippsEs wurden bei drei Aufgaben Fehler gemacht.
Bei dieser Aufgabe wurde ein Fehler gemacht. Kannst du ihn entdecken?
Hier wurde eine unpassende Überschlagsrechnung gewählt.
Die nächste Zahl an der 57, die durch 7 teilbar ist, ist die 56.
Deshalb lautet die passende Überschlagsrechnung 560 : 7 = 80.
Bei dieser Aufgabe wurde ein Fehler in der Überschlagsrechnung gemacht. Kannst du ihn entdecken?
Das Ergebnis des Überschlags ist falsch.
63 : 7 = 9, also ist 630 : 7 = 90.
LösungHier siehst du die drei Aufgaben, bei denen Fehler gemacht wurden.
Bei der Aufgabe 579 : 7 wurde eine unpassende Überschlagsrechnung gewählt. Die nächste Zahl an der 57, die durch 7 teilbar ist, ist die 56. Deshalb lautet die passende Überschlagsrechnung 560 : 7 = 80.
Bei der Aufgabe 651 : 7 ist die Überschlagsrechnung 630 : 7 passend, allerdings ist das Ergebnis falsch. 63 : 7 = 9, also ist 630 : 7 = 90.
Bei der Aufgabe 1$\,$040 : 11 ist die Überschlagsrechnung 1$\,$040 : 10 passend, allerdings ist auch hier das Ergebnis falsch. Da du durch 10 teilst kannst du von der 1$\,$040 einfach die letzte Null wegstreichen. Also ist das Ergebnis der Aufgabe 104.
Halbschriftliches Dividieren – Überblick
Schriftliche Division durch Einerzahlen – Überblick
Schriftliche Division durch Zehnerzahlen
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Dividieren mit Überschlag
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