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Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

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Team Digital
Dezimalbrüche in Brüche umwandeln
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Dezimalbrüche (Dezimalzahlen, Kommazahlen) in Brüche umzuwandeln.

Zunächst lernst du, wie du Dezimalbrüche, die kleiner als 1 sind, in Brüche umwandeln kannst. Anschließend lernst du, wie du auch Dezimalbrüche, die größer als 1 sind, in gemischte Zahlen oder unechte Brüche umwandeln kannst.

Dezimalbrüche Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Dezimalbruch, Dezimalzahl, Bruch, Stellenwerttafel und Kürzen.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Brüche kürzt.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man periodische Dezimalbrüche in Brüche umwandelt.

Transkript Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

Die Zwerge des Dezimalgebirges sind die ewige Streiterei leid. Jahrzehnte dauert die Fehde mit den Elfen aus Bruchtal jetzt schon an. Dezimli wurde von den Zwergen auserwählt, um nach Bruchtal zu reisen und den Elfen ein Geschenk anzubieten, das sie umstimmen soll. Aber die scheinen gar nicht so recht zu verstehen, was er ihnen da anbietet. 2,5 Kilogramm Bergkristalle und 0,78 Kilogramm Drachenschuppen? Wie viel soll das denn sein? Da gibt es eindeutig noch Verständigungsprobleme! Am Besten schauen wir nochmal gemeinsam, wie man „Dezimalbrüche in Brüche“ umwandelt. Wenn wir einen Dezimalbruch, in anderen Worten eine Kommazahl, gegeben haben, können wir diesen auch als Bruch schreiben. Zum Beispiel die Zahl 0,7. Dafür lohnt sich ein Blick auf die Stellenwerttafel, in der wir Hunderter, Zehner und Einer, sowie auch Zehntel, Hundertstel und Tausendstel eintragen können. In unserem Fall haben wir keine Einer und sieben Zehntel. Da es sich um Zehntel handelt, schreiben wir eine Zehn in den Nenner unseres Bruches. Die Sieben kommt jetzt einfach in den Zähler. Und schon haben wir den Dezimalbruch in einen Bruch umgewandelt – eben sieben Zehntel. Ein weiteres Beispiel: Die Kommazahl 0,25 soll in einen Bruch umgewandelt werden. Wir tragen sie in unsere Stellenwerttafel ein. Zwei Zehntel und fünf Hundertstel. Da wir diesmal auch hundertstel haben, tragen wir eine Einhundert im Nenner ein. Wir müssen also immer so viele Nullen an die eins hängen, wie wir Nachkommastellen haben. In den Zähler tragen wir dann einfach genau diese Nachkommastellen ein. Fertig? Nicht ganz, diesen Bruch können wir kürzen! Der entsprechende Bruch ist also ein Viertel. Und wie sieht es mit gemischten Zahlen aus? Dafür brauchen wir eine Kommazahl, die größer als eins ist. Nehmen wir zum Beispiel 22,137. Zehner und Einer können wir direkt übernehmen. Dann müssen wir nur noch schauen, welchen Nenner wir brauchen, um die Nachkommastellen darzustellen. In diesem Fall sind es Tausendstel, da wir drei Nachkommastellen haben. Jetzt müssen wir die Nachkommastellen nur noch in den Zähler schreiben. Die Umwandlung von Kommazahlen in Brüche funktioniert also auch ohne Stellenwerttafel. Ein letztes Beispiel: Wenn wir den Dezimalbruch 40,54 in einen unechten Bruch umwandeln möchten, schreiben wir die Zahl einfach ohne Komma in den Zähler des Bruches. In den Nenner müssen wir dann nur noch eine Eins schreiben und anschließend wieder so viele Nullen anhängen, wie wir Stellen hinter dem Komma des Dezimalbruches haben. In diesem Fall also zwei Nullen. Schon haben wir einen unechten Bruch. Den können wir noch kürzen und haben dann zweitausendsiebenundzwanzig Fünfzigstel. Kleiner Tipp: Da nach der Umwandlung immer eine Zehnerpotenz im Nenner steht, müssen wir beim Kürzen nur auf die Teiler zwei und fünf und die Vielfachen dieser beiden Zahlen achten. Alles klar, Dezimal-Zwerge und Bruch-Elfen verstehen sich schon deutlich besser. Damit sie nicht ständig rechnen müssen, haben sie sich ein paar der wichtigsten Dezimalbrüche, und die entsprechenden Brüche notiert. Sich diese zu merken ist sehr praktisch und kann auch dabei helfen andere Dezimalbrüche in Brüche umzuwandeln. Während Dezimli sein Angebot für die Elfen nochmal als Bruch angibt, fassen wir kurz zusammen. Wenn wir einen Dezimalbruch als Bruch angeben möchten, müssen wir bestimmen, wie viele Nachkommastellen diese Zahl hat. Entsprechend viele Nullen hängen wir an die eins im Nenner des Bruches. Dann können wir die Nachkommastellen einfach als Zahl ohne Komma in den Zähler schreiben. Anschließend müssen wir nur noch kürzen. Bei Zahlen größer als eins ist es am einfachsten die Vorkommastellen als ganze Zahlen einfach zu übernehmen. Und die Nachkommastellen dann wie immer in einen Bruch umzuwandeln. Kommazahlen in Brüche umzuwandeln, ist also kein Problem mehr. Die Elfen nehmen Dezimlis Friedensangebot freudig an. Ist ja doch gar nicht so übel, dieses Zwergenvolk. Aber hey, das sind ja gar keine echte Kristalle Typisch, diese gierigen Zwerge!

30 Kommentare
30 Kommentare
  1. Ist das der neue Heer der Ringe ??? 😂

    Von Paul, vor etwa einem Monat
  2. War echt gut.

    Von Pascal, vor etwa 2 Monaten
  3. OMG danke

    Von Lukas, vor 2 Monaten
  4. Es war sehr hilfreich ich habe alles richtig gehabt obwohl ich ja nicht gerade gut bin in mathe

    Von Dilara, vor 3 Monaten
  5. story war nicht so meins hatt aber geholfen .................:

    Von Agent Georgios !!!, vor 3 Monaten
Mehr Kommentare

Dezimalbrüche in Brüche umwandeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dezimalbrüche in Brüche umwandeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man Dezimalbrüche in Brüche umwandelt.

    Tipps

    Zum Beispiel wird $0{,}7$ in $\frac{7}{10}$ umgewandelt. $0{,}7$ hat eine Nachkommastelle, also wird eine $10$ in den Nenner und die $7$ in den Zähler geschrieben.

    Beispiel: $0{,}75$

    Wir tragen die Zahl in die Stellenwerttafel ein:

    $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Z} & \text{E} & \text{z} & \text{h} \\ \hline & 0 & 7 & 5 \\ \end{array}$

    Die kleinste Stelle in der Stellenwerttafel sind Hundertstel. Wir schreiben daher in den Nenner eine $100$:

    $0{,}75 = \frac{75}{100}= \frac{75~:~25}{100~:~25} = \frac{3}{4} $

    Lösung

    Umwandeln von Dezimalbrüchen:

    Wenn wir einen Dezimalbruch als Bruch angeben möchten, müssen wir bestimmen, wie viele Nachkommastellen diese Zahl hat.

    Zum Beispiel hat $0{,}75$ zwei Nachkommastellen. Entsprechend viele Nullen hängen wir an die $1$ im Nenner des Bruches.

    In unserem Beispiel wären das zwei Nullen, also $100$ im Nenner.

    Wenn du hier unsicher bist, kannst du auch die Stellenwerttafel zuhilfe nehmen.

    $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Z} & \text{E} & \text{z} & \text{h} \\ \hline & 0 & 7 & 5 \\ \end{array}$

    Der Nenner leitet sich aus der kleinsten Stelle in der Stellenwerttafel ab, hier – Hundertstel.

    Dann schreiben wir die Zahl ohne Komma in den Zähler. Anschließend können wir noch kürzen.

    $0{,}75 =\frac{75}{100} = \frac{75~:~25}{100~:~25} = \frac{3}{4}$

    Bei Zahlen größer als $1$ können wir auch die Vorkommastellen als ganze Zahlen einfach übernehmen. Dann werden die Nachkommastellen in einen Bruch umgewandelt:

    $22{,}45 = 22 \frac{45}{100} = 22 \frac{45~:~5}{100~:~5} = 22 \frac{9}{20}$

  • Bestimme die zugehörigen Brüche.

    Tipps

    Beispiel: $1{,}6$
    Dieser Dezimalbruch hat eine Nachkommastelle, daher steht $10$ im Nenner. Die Zahl ohne Komma (also $16$) wird in den Zähler übernommen:
    $1{,}6 = \frac{16 }{10 }= \frac{16~:~2}{10~:~2} = \frac{8}{5} $

    Ein häufiger Fehler ist, dass die Zahl vor dem Komma in den Zähler und die Zahl nach dem Komma in den Nenner geschrieben wird. Das ist falsch!

    Lösung

    Dezimalzahlen, welche größer als $1$ sind, können wir in einen gemischten Bruch oder in einen unechten Bruch umwandeln:

    Wie wandeln wir Dezimalzahlen in gemischte Brüche um?

    Wir betrachten das Beispiel $7{,}35$. Die $7$ können wir direkt übernehmen. Dann müssen wir nur noch schauen, welchen Nenner wir verwenden müssen, um die Nachkommastellen darzustellen. In diesem Fall sind es Hundertstel, da wir $2$ Nachkommastellen haben. Jetzt müssen wir die Nachkommastellen nur noch in den Zähler schreiben. Zum Schluss kürzen wir falls möglich:

    Beispiel: $ 7{,}35 = 7\frac{35}{100} = 7\frac{35~:~5}{100~:~5} = 7\frac{7}{20} $

    Wie wandeln wir Dezimalzahlen in unechte Brüche um?

    Wir schreiben die Zahl einfach ohne Komma in den Zähler des Bruches. In den Nenner müssen wir dann nur noch eine $1$ schreiben und anschließend wieder so viele Nullen anhängen, wie wir Stellen hinter dem Komma des Dezimalbruches haben. Zum Schluss kürzen wir wieder falls möglich:

    Beispiel: $ 33{,}46 =\frac{3\,346}{100}= \frac{3\,346~:~2}{100~:~2} = \frac{1\,673}{50} = 33\frac{23}{50}$

    Damit ergeben sich folgende Lösungen:

    • $ 0{,}44 = \frac{44}{100} = \frac{44~:~4}{100~:~4} = \frac{11}{25} $
    • $ 0{,}7 = \frac{7}{10} $
    • $ 40{,}54 = \frac{4\,045}{100} = \frac{4\,054~:~2}{100~:~2} = \frac{2\,027}{50} = 40\frac{27}{50}$
    • $ 3{,}3 = \frac{33}{10} = 3\frac{3}{10} $
  • Entscheide, ob richtig umgerechnet wurde.

    Tipps

    Überprüfe zunächst die Nachkommastellen und stelle sicher, dass auch nur so viele Nullen hinter der $1$ im Nenner stehen.

    Dann überprüfe im zweiten Schritt, ob die Zahlen im Zähler richtig übernommen wurden. Wurde bereits gekürzt?

    Lösung

    Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob richtig gerechnet wurde. Eine gute Strategie ist es, bei Brüchen mit dem Nenner $10$, $100$, $1\,000$ etc. die Anzahl der Nachkommastellen zu prüfen. Bei einige Aufgaben wurde bereits gekürzt. Dies erkennst du daran, dass der Nenner nicht $10$, $100$, $1\,000$ etc. beträgt.

    Diese Rechnungen sind korrekt:

    $ 0{,}006 = \frac{6}{1\,000} = \frac{3}{500} $
    $ \mapsto $ Der Dezimalbruch hat $3$ Nachkommastellen, also kommt die $1\,000$ in den Nenner und die Zahl $6$ in den Zähler. Es wird durch $2$ gekürzt.

    $ 71{,}6542 = \frac{716\,542}{10\,000} = \frac{358\,271}{5\,000} $
    $ \mapsto $ Der Dezimalbruch hat $4$ Nachkommastellen, also kommt die $10\,000$ in den Nenner und die Zahl $716\,542$ ohne Komma in den Zähler.

    $ 105{,}00 = \frac{10\,500}{100} = \frac{105}{1} $
    $ \mapsto $ Das hier ist ein Sonderfall, da zwar zwei Nachkommastellen angegeben sind, diese aber $0$ sind. Du kannst hier mit $100$ kürzen und erhältst so die $1$ im Nenner. Alternativ können die Nullen nach dem Komma auch weggelassen werden und wir schreiben direkt die $1$ in den Nenner.

    Diese Rechnungen sind nicht korrekt:

    $ 15{,}65 = \frac{1\,565}{1\,000} $
    $ \mapsto $ Da dieser Dezimalbruch zwei Nachkommastellen hat, steht $100$ im Nenner und nicht $1\,000$.
    Richtig ist: $ 15{,}65 = \frac{1\,565}{100} = \frac{313}{20}$

    $ 27{,}1 = 271\frac{1}{10} $
    $ \mapsto $ Die $1$ gehört nicht zur ganzen Zahl, sondern nur in den Zähler.
    Richtig ist: $ 27{,}1 = 27\frac{1}{10} $

    $ 1{,}44 = \frac{144}{10} $
    $ \mapsto $ Hier wurde der Nenner falsch gewählt. Da der Dezimalbruch zwei Nachkommastellen hat, muss $100$ im Nenner stehen.
    Richtig ist: $ 1{,}44 = \frac{144}{100} = \frac{36}{25}$

  • Stelle die Zahlen als vollständig gekürzte Brüche dar.

    Tipps

    Um Dezimalzahlen in unechte Brüche umzuwandeln, schreiben wir die Zahl ohne Komma in den Zähler. In den Nenner kommt eine $10$er Potenz, das heißt eine $1$ mit so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen gibt. Anschließend überprüfen wir noch, ob wir den so erhaltenen Bruch noch kürzen können.

    Beispiel: $7{,}25=7\frac{25}{100}=7\frac{1}{4}$.

    In dieser Aufgabe ist es wichtig, darauf zu achten, dass vollständig gekürzt ist.
    Hinweis: Hier kann man nur mit $2$ und $5$ und Vielfachen dieser beiden Zahlen kürzen.

    Zum Beispiel: $ 14{,}2 = 14\frac{2 }{10 } = 14\frac{2~:~2}{10~:~2} = 14\frac{1}{5} $

    Lösung

    Wenn wir einen Dezimalbruch als Bruch angeben möchten, müssen wir bestimmen, wie viele Nachkommastellen diese Zahl hat.

    Zum Beispiel hat $2{,}58$ zwei Nachkommastellen.

    Entsprechend viele Nullen hängen wir an die $1$ im Nenner des Bruches.

    In unserem Beispiel schreibt man $100$ in den Nenner.

    Einen Dezimalbruch größer als $1$ können wir als unechten oder als gemischten Bruch schreiben:

    unechter Bruch:
    Um Dezimalzahlen in unechte Brüche umzuwandeln, schreiben wir die Zahl ohne Komma in den Zähler und verwenden den oben ermittelten Nenner. Anschließend überprüfen wir noch, ob wir den so erhaltenen Bruch noch kürzen können.

    Beispiel: $ 2{,}58 = \frac{258}{100} = \frac{129}{50}$

    gemischter Bruch:
    Um Dezimalzahlen in gemischte Brüche umzuwandeln, lässt man die Ziffern vor dem Komma stehen und nimmt die Ziffern hinter dem Komma als Zähler. Im Nenner wird wieder die oben ermittelte $10$er-Potenz verwendet. Auch hier müssen wir anschließend noch überprüfen, ob gekürzt werden kann.

    Beispiel: $ 2{,}58 = 2\frac{58}{100}=2\frac{29}{50}$

    Lösungen der Aufgabe

    • $ 55{,}125 = 55\frac{125 }{1\,000 } = 55\frac{125~:~125}{1\,000~:~125} = 55\frac{1}{8}$
    • $ 2{,}3 = \frac{23}{10} $
    • $ 16{,}48 = \frac{1\,648 }{100 } = \frac{1\,648~:~4}{100~:~4} = \frac{412}{25} $
    • $ 0{,}7845 = \frac{7\,845 }{10\,000 } = \frac{7\,845~:~5}{10000~:~5} = \frac{1\,569}{2\,000} $
  • Gib die zugehörigen Brüche an.

    Tipps

    Bei der Zahl $0{,}3$ steht die Ziffer $3$ an der Zehntel-Stelle, daher wandeln wir um:
    $0{,}3 = \frac{3}{10} $

    Auf Flaschen mit einem halben Liter Inhalt steht häufig die Aufschrift $0{,}5~\ell$.

    Lösung

    Damit du nicht ständig rechnen musst, kannst du dir einige einfache Umrechnungen merken. Dies ist sehr praktisch, da du mit ihnen auch andere Brüche schneller umrechnen kannst.

    Wenn du sie aber umrechnen möchtest, prüfst du erst die Nachkommastellen. Zum Beispiel hat $0{,}4$ eine Nachkommastelle, also steht eine $1$ mit einer Null, also eine $10$ im Nenner. Die Zahl ohne Komma (also eine $4$) wird in den Zähler übernommen. Kürze zum Schluss, wenn möglich.

    $0{,}4 = \frac{4~:~2}{10~:~2} = \frac{2}{5}$

    Diese Dezimalbrüche gehören zu folgenden Brüchen:

    $ 0{,}5 = \frac{5}{10} = \frac{5~:~5}{10~:~5} = \frac{1}{2} $

    $ 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{25~:~25}{100~:~25} = \frac{1}{4} $

    $ 0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{75~:~25}{100~:~25} = \frac{3}{4} $

    $ 0{,}2 = \frac{2}{10} = \frac{2~:~2}{10~:~2} = \frac{1}{5} $

    $ 0{,}1 = \frac{1}{10} $

  • Ermittle alle Dezimalbrüche, die als Bruch gekürzt werden können.

    Tipps

    Gerade Zahlen sind immer durch $2$ teilbar. Zahlen, die hinten eine $0$ oder $5$ haben, sind auch durch $5$ teilbar.
    Beispiel: $11{,}35=11\frac{35}{100}=11\frac{35~:~5}{100~:~5}=11\frac{7}{20}$

    Diesen Bruch kann man nicht kürzen:
    Beispiel: $11{,}49=\frac{1\,149}{100}$, da $1\,149$ und $100$ keine gemeinsamen Teiler haben.

    Lösung

    Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die Dezimalbrüche zunächst in Brüche mit einer $10er$ Potenz im Nenner umwandeln und dann mithilfe der Teilbarkeitsregeln überprüfen, ob die Brüche weiter gekürzt werden können.

    Wenn du so wie hier nur $10$er-Potenzen im Nenner hast, musst du nur die Teilbarkeit durch $2$ und $5$ überprüfen:

    • Gerade Zahlen sind immer durch $2$ teilbar
    • Zahlen die hinten eine $0$ oder $5$ haben, sind auch durch $5$ teilbar.
    Folgende Dezimalbrüche können als Brüche gekürzt werden:

    • $ 11{,}12 = \frac{1\,112~:~4}{100~:~4} = \frac{278}{25} $
    • $ 11{,}15 = \frac{1\,115~:~5}{100~:~5} = \frac{223}{20}$
    Folgende Dezimalbrüche können als Brüche nicht gekürzt werden:

    • $ 11{,}11 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,111$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.
    • $ 11{,}13 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,113$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.
    • $ 11{,}21 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,121$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.
    • $ 11{,}27 ~ \rightarrow$ Nicht teilbar, da $1\,127$ und $100$ kein gemeinsamer Teiler besitzen.
    $\,$

    Allgemein gilt: Enden die Nachkommastellen der Zahl auf eine gerade Ziffer oder eine $5$, so handelt es sich um eine Dezimalzahl, die als Bruch gekürzt werden kann.

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