Das Distributivgesetz

Distributivgesetz – Definition

Das Distributivgesetz ist eine Rechenregel und wird auch Verteilungsgesetz genannt. Das Distributivgesetz ist im Grunde ein Gesetz zum Ausklammern bzw. Ausmultiplizieren und dient zum Vereinfachen von Termen und Gleichungen.

Das bedeutet: Durch Anwendung des Distributivgesetzes kann ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt.

Varianten des Distributivgesetzes

Wir haben die Definition des Distributivgesetzes kennengelernt und wollen nun die wichtigsten Fälle betrachten, in denen das Distributivgesetz ebenfalls gilt.

Distributivgesetz bei Differenzen

Den Term $a \cdot (b - c)$ können wir schreiben als $a \cdot (b + (-c))$. Hier gilt wieder:
$a \cdot (b + (-c)) = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c$

Das Distributivgesetz kann also auch bei einer Differenz in der Klammer angewendet werden.

Linksdistributive und rechtsdistributive Verknüpfung

Wir haben das Distributivgesetz so formuliert, dass ein Faktor $a$ von links an die Klammer ${(b + c)}$ multipliziert wird. Die Umformung des Term ${a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c}$ bezeichnen wir daher als linksdistributive Verknüpfung. Da die Faktoren eines Produkts beliebig vertauscht werden können, ohne das Ergebnis zu ändern (Kommutativgesetz), können wir auf beiden Seiten der Gleichung umformen:

$\begin{array}{cccccl} a & \cdot & (b + c) &=& a \cdot b &+& a \cdot c & \big\vert ~\text{Kommutativgesetz} \\ (b + c) & \cdot & a &=& b \cdot a &+& c \cdot a \end{array}$

Wir erhalten die Umformung als rechtsdistributive Verknüpfung ${(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a}$, bei der ein Faktor von recht an die Klammer multipliziert wird. Auch hier gilt also das Distributivgesetz.

Distributivgesetz bei der Division

Auch ein Term der Form $(b + c) : a$ oder $(b - c) : a$ kann mit dem Distributivgesetz umgeformt werden. Es gilt:
$(b + c) : a = b : a + c : a~$ bzw. $~(b - c) : a = b : a - c : a$

Da die Division von zwei Zahlen im allgemeinen aber nicht kommutativ ist ($8 : 4 = 2 \neq 4 : 8$) kann ein Term der Form ${a : (b + c)}$ nicht mit dem Distributivgesetz umgeformt werden. Dies wird an einem einfachen Beispiel deutlich:

$12 : (2 + 4) = 12 : 6 = 2$, aber $12 : 2 + 12 : 4 = 6 + 3 = 9 \neq 2$

Distributivgesetz – Beispiele

Wir wollen nun einige Beispiele für das Distributivgesetz betrachten.

Beispiel 1

$3\cdot(4+5)=3\cdot4+3\cdot5$

Die beiden Seiten der Gleichung werden im Folgenden einzeln betrachtet:

• linke Seite: $~3\cdot(4+5)=3\cdot9=27$
• rechte Seite: $~3\cdot4+3\cdot5=12+15=27$

Also gilt:

$3\cdot(4+5)=3\cdot4+3\cdot5=27$

Beispiel 2

Kemal und Antje wollen sich eine Spielekonsole kaufen und sparen dazu zusammen. Antje hat in den letzten vier Monaten jeweils $5\,€$ zurückgelegt, bei Kemal waren es je $6\,€$.
Mathematisch können wir das wie folgt formulieren:

$4\cdot5\,€ + 4\cdot6\,€$

Wenn die beiden das gesparte Geld jeden Monat auf ein gemeinsames Konto einzahlen, dann können wir dies mit folgendem Term beschreiben:

$4\cdot(5\,€ + 6\,€)$

Das Ergebnis ist natürlich in beiden Fällen gleich:

$\begin{array}{ccc} 4\cdot5\,€ + 4\cdot6\,€ &=& 4\cdot(5\,€ + 6\,€) \\ 20\,€ + 24\,€ &=& 4\cdot (11\,€) \\ 44\,€ &=& 44\,€ \end{array}$

Weitere Rechnbeispiele:

• $({-}12) \cdot (3 + ({-}4)) = ({-}12) \cdot 3 + ({-}12) \cdot ({-}4) = -36 + 48 = 12$
• $(40 - 4) \cdot ({-}5) = 40 \cdot ({-}5) - 4 \cdot ({-}5) = -200 + 20 = -180$
• $15 \cdot\left(\frac13-\frac34\right)=\frac{15}{3}-\frac{45}{4}=5-\frac{45}{4}=\frac{20}{4}-\frac{45}{4}=-\frac{25}{4}$

Distributivgesetz – Übung

Mit den folgenden Aufgaben kannst du das Distributivgesetz selbst üben.

Distributivgesetz – Anwendung

Das Distributivgesetz hat verschiedene Anwendungen. Du kannst damit:

• ein Produkt als Summe schreiben (ausmultiplizieren).
• komplizierte Produkte im Kopf berechnen.
• eine Summe als Produkt schreiben (ausklammern).
• Terme mit Variablen umformen.
• Bruchterme kürzen.

Produkte mit dem Distributivgesetz berechnen

Durch geschickte Anwendung des Distributivgesetzes kannst du Produkte einfach im Kopf berechnen.

Beispielsweise ist:
$7 \cdot 13 = 7 \cdot (10 + 3) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 3 = 70 + 21 = 91$
Oder:
$3 \cdot 99 = 3 \cdot (100 - 1) = 3 \cdot 100 - 3 \cdot 1 = 300 - 3 = 297$

Distributivgesetz mit Variablen

Das Distributivgesetz kann auch bei Termen mit Variablen angewendet werden:
$x \cdot (3y + 4z) = x \cdot 3y + x \cdot 4z = 3xy + 4xz$

Besteht die Summe (oder Differenz) aus mehreren Summanden, funktioniert das Ausmultiplizieren genauso:
$a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$

Beispiele:

• $8 \cdot (2r - 3s) = 16r – 24s$
• $4a \cdot (5x + 6y - 7z) = 20ax + 24ay - 28az$

Distributivgesetz rückwärts anwenden

Da beide Seiten beim Distributivgesetz gleichwertig sind gilt auch:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Dieser Vorgang wird ausklammern genannt, da wir einen Faktor aus der Summe in der Klammer ziehen. Auf diese Weise wird aus einer Summe ein Produkt.

Das Ausklammern brauchst du beispielsweise, um einen Bruchterm kürzen zu können. Das Kürzen ist nur dann möglich, wenn du Zähler und Nenner als Produkt mit einem identischen Faktor schreiben kannst:

$\dfrac{36-81x}{-27-54x}=\dfrac{\not{\!9}\cdot(4-9x)}{\not{\!9}\cdot(-3-6x)}=\dfrac{4-9x}{-3-6x}$

Spezialfall – der Faktor -1

Ein Sonderfall des Ausmultiplizierens ist das Auflösen eines Minuszeichens vor einer Klammer, denn das Minuszeichen ist ja nichts anderes als die Multiplikation mit $(–1)$. Du löst eine solche Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, auf, indem du jedes Glied in der Klammer mit $(–1)$ multiplizierst:

• $-(3 - 5) = ({-}1) \cdot (3 - 5) = ({-}1) \cdot 3 - ({-}1) \cdot 5 = -3 - ({-}5) = -3 + 5 = 2$
• $-(3x + 5y) = ({-}1) \cdot (3x + 5y) = ({-}1) \cdot 3x + ({-}1) \cdot 5y = -3x - 5y$

Unterschiede zwischen Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz

Beim Rechnen müssen wir gewisse Regeln beachten:

• Erste multiplizieren und dividieren, dann addieren und subtrahieren (Punkt vor Strich)
• Klammern zuerst
• Von links nach rechts rechnen

Rechengesetze können dir dabei helfen geschickt zu rechnen, indem sie dir unter bestimmten Voraussetzungen erlauben, von der normalen Reihenfolge abzuweichen.

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) gelten für Terme, in denen nur addiert oder nur multipliziert wird.
Mit dem Distributivgesetz kannst du hingegen Terme umformen, in denen eine Summe mit einem Faktor multipliziert wird.

Distributivgesetz – Übersicht

Ausblick – das lernst du nach Das Distributivgesetz

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Häufige gestellte Fragen zum Thema Distributivgesetz