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Brüche und Prozent ineinander umwandeln 05:26 min

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Transkript Brüche und Prozent ineinander umwandeln

Olivia verbrachte die gesamten letzten Monate damit, sich physisch und mental darauf vorzubereiten Waldbrände bekämpfen zu können. Bis jetzt hat sie jeden Test bestanden und nun steht sie vor der letzten Herausforderung. Die Feuerwehrleute haben ein kontrolliertes Feuer in ihrem Trainingscenter gestartet und sie muss 85% der Flammen löschen, ganz alleine, und vor Sonnenuntergang. Um ihren Fortschritt auf dem Weg zur Vollendung ihres Ziels verfolgen zu können, muss Olivia Brüche in Prozent umwandeln können und umgekehrt. Die Zeit läuft, aber bevor Olivia den Feuerwehrschlauch packen kann, muss sie ein paar Berechnungen durchführen. Das gesamte Feld ist in 20 Quadrate eingeteilt. Wenn sie 85% des Felds löschen muss, wie viele Quadrate sind das? Denke immer daran, dass ein Prozent einen Anteil von 100 darstellt. Das heißt also, dass 85% das gleiche ist wie der Bruch 85 - Hundertstel. Wir können diesen Bruch dann so umschreiben, dass wir 20 im Nenner haben, da dies die Anzahl unsere Quadrate auf dem Feld ist. 85 hundertstel kann man also wie kürzen? Um den Nenner von 100 auf 20 zu kürzen, müssen wir durch 5 teilen. Und natürlich müssen wir dann auch den Zähler durch 5 teilen. 85 geteilt durch 5 ergibt 17 das heißt also, dass 85% gleichwertig mit dem Bruch 17/20 ist. Olivia muss also 17 von 20 Quadraten des Feuers löschen. Nach ein paar Stunden harter Arbeit, legt Olivia eine kleine Pause ein was uns Zeit gibt ihren Fortschritt zu berechnen. Olivia hat 8 von 20 Quadraten gelöscht. Wie viel Prozent des Feuers hat sie also gelöscht? Werfen wir einmal einen Blick auf unsere Skizze. Dies sind die 8 Quadrate, bei denen das Feuer schon gelöscht wurde. Rechts können wir die Anzahl der Quadrate schreiben 4, 8, 12, 16 und 20. Schauen wir uns das doch einmal in einem Schaubild wie diesem an. Unser Gesamtes ist immer 100 %, also entsprechen 20 Quadrate 100 %. Wir müssen 100 also in 5 Teile aufteilen. Da 100 geteilt durch 5 20 ergibt, entspricht jede dieser Reihen 20%. Also haben wir hier 20%, 40%, 60% und 80%. Wir erkennen also, dass 8 der Quadrate 40% entsprechen. Also hat Olivia schon 40% des Feuers gelöscht. Sie erinnert sich gerade daran, dass sie eine besondere Auszeichnung erhält, wenn sie es schafft wenigstens 90% des Feuers zu löschen und das scheint jetzt doch möglich zu sein. Sieht so aus, als ob Olivia alle außer eins der Quadrate gelöscht hat! Wird sie die besondere Auszeichnung bekommen? Wie lautet der Bruchteil des Feuers, das noch brennt? Ein zwanzigstel. Und wie viel Prozent sind das? Zur Erinnerung, ein Prozent sind immer ein Anteil von 100. Das heißt wir müssen einen gleichwertigen Bruch mit dem Nenner 100 finden. Mit was können wir 20 multiplizieren um 100 zu erhalten? 100 geteilt durch 20 ergibt 5, also müssen wir den Nenner einfach mit 5 multiplizieren. Und auch hier müssen wir natürlich den Zähler ebenfalls mit 5 multiplizieren. Wir erhalten also 5/100, was gleichbedeutend mit 5% ist. Wenn nur noch 5% des Feuers brennen, wie viel Prozent hat Olivia dann gelöscht? Das gesamte Feuer, also 100% minus 5% ergeben 95%. Sie hat es geschafft! Während Olivia noch den Rest des Feuers löscht, fassen wir zusammen. Um eine Prozentangabe in einen Bruch umzuwandeln, können wir die Prozentzahl zunächst in einen Bruch mit der Zahl 100 als Nenner schreiben. Dann können wir so erweitern oder kürzen bis wir den Bruch mit dem Nenner, den wir gerne bekommen hätten. Um einen Bruch in Prozent umzuwandeln, müssen wir den Nenner so kürzen oder erweitern, dass wir die Zahl 100 im Nenner erhalten. Den Zähler müssen wir dann entsprechend mit derselben Zahl erweitern oder kürzen. Der Zähler zeigt uns dann an, was unsere Prozentzahl ist. Dies hilft uns Werte auch dann vergleichen zu können, wenn sie in verschiedenen Schreibweisen gegeben sind. Herzlichen Glückwunsch Olivia! Aber was ist das denn? Hm, ich bin mir nicht ganz sicher, ob Brüche oder Prozent hier helfen. Olivia muss auf jeden Fall 100% der Katze hier retten!

Brüche und Prozent ineinander umwandeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche und Prozent ineinander umwandeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Umwandlung von Brüchen in Prozentsätze.

    Tipps

    $100\%$ eines Kuchens sind der ganze Kuchen.

    Stellt man einen Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$ dar, so steht im Zähler die Prozentzahl.

    Um einen Bruch mit dem Nenner $25$ in einen Bruch mit dem Nenner $100$ umzuwandeln, kannst du Zähler und Nenner jeweils mit $4$ multiplizieren, denn $4 \cdot 25 = 100$.

    Lösung

    Olivia verwendet Prozentsätze und Brüche, um Anteile von einem Ganzen zu beschreiben. Sie hat gelernt, Prozentsätze und Brüche ineinander umzuwandeln.

    Ein Prozent ist immer ein Anteil von $100$, das bedeutet: $1\%$ kann Olivia auch als $\frac{1}{100}$ schreiben. Der Prozentsatz $85\%$ ist $85$ mal so viel wie $1\%$. Olivia kann den Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$ schreiben. Der Zähler dieses Bruches ist dann die Prozentzahl, nämlich $85$. Der Anteil $85\%$ entspricht also dem Bruch $\frac{85}{100}$. Olivia kann jeden Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$ schreiben, der zugehörige Zähler ist dann immer die Prozentzahl.

    Den Bruch $\frac{85}{100}$ kann Olivia kürzen, denn Zähler und Nenner sind beide durch $5$ teilbar. Kürzen bedeutet, den Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl zu teilen. Durch Kürzen mit $5$ erhält Olivia folgenden Bruch:

    $85\% = \frac{85}{100}= \frac{\not 5\cdot 17}{\not 5\cdot 20} = \frac{17}{20}$.

    Diese Gleichung besagt: Auf einem Feld mit $20$ gleich großen Teilen entsprechen genau $17$ Teile dem Anteil von $85\%$.

    Olivia löscht das Feld mit $20$ gleich großen Teilen. Sie hat schon acht Teilfelder gelöscht. Jedes einzelne der $20$ Teilfelder entspricht einem Anteil von $\frac{1}{20}$, die acht Teilfelder zusammen machen daher einen Anteil von $\frac{8}{20}$ der gesamten Fläche aus. Olivia rechnet diesen Anteil in Prozent um. Dazu versucht sie, den Bruch so zu erweitern, dass der Nenner $100$ wird. In diesem Fall geht das durch Erweitern mit $5$, denn $5 \cdot 20 = 100$. Beim Erweitern muss Olivia den Zähler und Nenner eines Bruches jeweils mit derselben Zahl (in diesem Fall mit der Zahl $5$) multiplizieren. Sie erhält daher:

    $\frac{8}{20} = \frac{8\cdot 5}{20\cdot 5} = \frac{40}{100}$

    Aus einem Bruch mit Nenner $100$ kann Olivia direkt die Prozentzahl ablesen: Sie steht im Zähler dieses Bruches. So erhält Olivia aus dem Bruch den Prozentsatz:

    $\frac{40}{100} = 40\%$

  • Vergleiche die Brüche und Prozentsätze.

    Tipps

    Du kannst einen Prozentsatz immer als Bruch mit dem Nenner $100$ schreiben.

    Schreibst du einen Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$, so ist die Prozentzahl der Zähler des Bruches. Derselbe Prozentsatz entspricht auch jedem anderen Bruch, den du durch Kürzen oder Erweitern erhältst.

    Dem Prozentsatz $75\%$ entspricht der Bruch $\frac{75}{100}$, aber auch $\frac{3}{4}$ (durch Kürzen mit $25$) oder $\frac{45}{60}$ (durch Kürzen mit $5$ und Erweitern mit $3$).

    Lösung

    Olivia findet zu einem Prozentsatz $p\%$ einen passenden Bruch, indem sie als Nenner $100$ und als Zähler die Prozentzahl $p$ verwendet:

    $p\% = \frac{p}{100}$

    Diesen Bruch kann Olivia noch erweitern oder kürzen und erhält so weitere Brüche, die denselben Prozentsatz darstellen. So erhält Olivia folgende Gleichungen:

    • $85\% = \frac{85}{100} = \frac{17}{20}$ (durch Kürzen mit $5$).
    • $40\% = \frac{40}{100} = \frac{8}{20}$ (durch Kürzen mit $5$).
    • $5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ (durch Kürzen mit $5$).
    • $20\% = \frac{20}{100} = \frac{4}{20}$ (durch Kürzen mit $5$).
    Umgekehrt kann Olivia auch die Brüche so erweitern, dass der Nenner $100$ wird. Im Zähler des erweiterten Bruches steht dann die Prozentzahl. Auf diese Weise erhält Olivia dieselben Zuordnungen.

    Mit dieser Methode kann sie auch feststellen, dass zu zwei der angegebenen Brüche kein passender Prozentsatz gegeben ist:

    • $\frac{85}{20} = \frac{425}{100} = 425\%$ (durch Erweitern mit $5$).
    • $\frac{4}{100} = 4\%$ (ohne Erweitern).
  • Leite die entsprechenden Brüche her.

    Tipps

    Wandle die Prozentzahl zunächst in einen Bruch mit $100$ als Nenner.

    $16~\% = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

    Lösung

    Um Prozentzahlen in Brüche umzuwandeln, bietet es sich grundsätzlich an, die Prozentzahl zunächst in einen Bruch mit $100$ als Nenner zu schreiben. Danach kann der Bruch so weit wie möglich gekürzt werden, um den entsprechenden Bruch zur Prozentzahl zu erhalten.

    Es ergeben sich daher folgende Zuordnungen:

    • $15~\% = \frac{15}{100}$ Dieser Bruch kann mit $5$ gekürzt werden. Somit erhalten wir: $15~\% = \frac{3}{20}$.
    • $22~\% = \frac{22}{100}$ In diesem Fall können Zähler und Nenner lediglich mit $2$ gekürzt werden. Damit gilt $22~\% = \frac{11}{50}$.
    • $18~\% = \frac{18}{100}$ Auch hier ist der größte gemeinsame Teiler von $18$ und $100$ die $2$. Es gilt demnach $18~\% = \frac{9}{50}$.
    • $20~\% = \frac{20}{100}$ Der größte gemeinsame Teiler von $20$ und $100$ ist $20$. Teilen wir $100$ und $20$ durch $20$, erhalten wir $20~\% = \frac{1}{5}$.
  • Stelle die Prozentsätze dar.

    Tipps

    Teilt man ein Feld in $20$ gleich große Teile, so entspricht jedem Teilfeld $\frac{1}{20}$ des Gesamtfeldes.

    Beginne mit dem Löschen in der linken oberen Ecke des Feldes.

    Lösung

    Olivia muss in der linken oberen Ecke ein Teilfeld mit violettem Löschschaum besprühen. Dieses Teilfeld muss quadratisch sein und $20\%$ der Gesamtfläche ausmachen. Da die Gesamtfläche in $20$ gleich große Felder aufgeteilt ist, hat jedes dieser Teilfelder einen Anteil von $\frac{1}{20} = 5\%$ am Gesamtfeld. Die mit violettem Löschschaum zu bedeckenden $20\%$ bestehen demnach aus vier Feldern, denn $20\% = \frac{20}{100} = 4 \cdot \frac{5}{100}$. Olivia löscht also vier Kästchen in der linken oberen Ecke des Feldes, die zusammen ein Quadrat bilden, mit violettem Löschschaum.

    Außerdem soll Olivia einen möglichst großen Anteil der verbleibenden Fläche mit grünem Löschpulver bedecken. Sie muss dabei beachten, dass zwischen dem violetten Löschschaum und dem grünen Löschpulver mindestens ein Feld frei bleiben muss. Es bleiben genau $11$ Felder übrig, die Olivia mit grünem Löschpulver löschen kann. Da sie den Anteil so groß wie möglich wählen soll, muss sie jedes dieser $11$ Felder mit grünem Löschpulver bedecken. Der zugehörige Anteil ist dann elfmal so groß wie der Anteil eines Feldes, also $\frac{11}{20} =\frac{55}{100}$.

    Schließlich bestimmt Olivia noch den Anteil der frei bleibenden Fläche zwischen dem violetten Löschschaum und dem grünen Löschpulver. Alle drei Anteile ergeben zusammen das gesamte Feld, also $100\%$. Daher ist der Prozentsatz des frei bleibenden Teils:

    $100\% - 20\% - 55\% = 25\%$.

    Daher markiert Olivia den Prozentsatz $25\%$ gelb.

    Geschafft!

  • Vereinfache die Brüche.

    Tipps

    Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl.

    Zwei Brüche sind gleich, wenn sie sich durch Kürzen oder Erweitern ineinander umwandeln lassen.

    Durch Kürzen zuerst mit $5$ und dann mit $3$ erhältst du die Gleichung:

    $\frac{45}{60} = \frac{9 \cdot \not 5}{12 \cdot \not 5} = \frac{9}{12} = \frac{3\cdot \not 3}{4\cdot \not 3} = \frac{3}{4}$.

    Lösung

    Olivia rechnet verschiedene Brüche ineinander um, indem sie sie kürzt oder erweitert. Zwei verschiedene Brüche sind gleich (d.h. beschreiben denselben Anteil), wenn sie sich durch Kürzen oder Erweitern ineinander umwandeln lassen. Beim Kürzen teilt Olivia Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Das geht also nur dann, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Beim Erweitern nimmt Olivia Zähler und Nenner mit derselben Zahl $\neq 0$ mal. Das geht immer.

    So erhält Olivia folgende Bruchgleichungen:

    • $\frac{85}{100} = \frac{17}{20}$, denn $85 = 17 \cdot 5$ und $100 = 20 \cdot 5$.
    • $\frac{40}{100} = \frac{8}{20}$, denn $\frac{40}{100} = \frac{8 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{8}{20}$. Hier könnte Olivia sogar noch mit $4$ weiter kürzen und erhielte dann $\frac{40}{100} = \frac{2}{5}$.
    • $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$, denn durch Erweitern der rechten Seite mit $5$ erhält Olivia $\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100}$.
    • $\frac{95}{100} = \frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{19}{20}$. Diesen Bruch kann Olivia nicht weiter teilen, denn $19$ enthält keine anderen Teiler als $1$ und $19$ selbst.
    Zu dem Bruch $\frac{1}{20}$ findet Olivia keinen passenden weiteren Bruch in der Aufgabe, denn durch Erweitern erhält sie:

    $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = \frac{2 \cdot 2 }{10 \cdot 2} = \frac{4}{20} = \frac{4 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{20}{100}$.

    Keiner dieser Brüche kommt in der Aufgabe vor.

    Auch zu dem Bruch $\frac{18}{20}$ findet sie keine passende Umformung in der Aufgabe. Sie rechnet dazu:

    $\frac{18}{20} = \frac{18 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{90}{100}$

    oder

    $\frac{18}{20} = \frac{18 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{36}{40}$

    sowie

    $\frac{18}{20} = \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{9}{10}$.

    Diese Brüche kommen in der Aufgabe ebenfalls nicht vor.

  • Vergleiche die Brüche und Prozentsätze.

    Tipps

    Um zu einem Bruch den passenden Prozentsatz zu bestimmen, kannst du den Bruch so erweitern, dass der Nenner $100$ wird.

    Der Bruch $\frac{p}{100}$ entspricht dem Prozentsatz $p\%$.

    Den Bruch $\frac{55}{125}$ kannst du zuerst mit $5$ kürzen und dann mit $4$ erweitern, um den Prozentsatz abzulesen:

    $\frac{55}{125} = \frac{11\cdot \not 5}{25\cdot \not 5} = \frac {11}{25} = \frac {11\cdot 4}{25\cdot 4} = \frac{44}{100}$.

    Lösung

    Folgende Zuordnungen sind korrekt:

    Prozentsatz $64\%$:

    • $\frac{64}{100} = 64\%$
    • $\frac{32}{50} = \frac{32\cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{64}{100} = 64\%$
    • $\frac{48}{75} = \frac{16 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \frac{16}{25} = \frac{16 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{64}{100} = 64\%$
    • $\frac{16}{25} = \frac{16 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{64}{100} = 64\%$
    Prozentsatz $48\%$:

    • $\frac{48}{100} = 48\%$
    • $\frac{12}{25} = \frac{12 \dot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 48\%$
    • $\frac{36}{75} = \frac{12 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \frac{12}{25} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 48\%$
    • $\frac{60}{125} = \frac{12 \cdot \not 5}{25 \cdot \not 5} = \frac{12}{25} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 48\%$
    Prozentsatz $12\%$:
    • $\frac{12}{100} = 12\%$
    • $\frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{12}{100} = 12\%$
    • $\frac{9}{75} = \frac{3 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{12}{100} = 12\%$
    • $\frac{81}{675} = \frac{27 \cdot \not 3}{225 \cdot \not 3} = \frac{27}{225} = \frac{9 \cdot \not 3}{75 \cdot \not 3} = \frac{9}{75} = \frac{3 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{12}{100} = 12\%$