Brüche als Dezimalzahlen 05:38 min

Hallo, Brüche sind entweder endliche Dezimalzahlen oder unendliche, aber periodische Dezimalzahlen. Woher weiß ich das? Das möchte ich jetzt mal zeigen: Wir nehmen einen Bruch, z.B. 1/7. Das ist ein ganz normaler Bruch und 1/7 bedeutet ja 1÷7. Also kann ich anstatt 1/7 auch 1÷7 hinschreiben und das ausrechnen mit der schriftlichen Division. Da kommt es wieder: Es ist gut, wenn man schriftlich dividieren kann und nicht alles mit seinem blöden Taschenrechner macht. Zunächst haben wir also, wenn wir diese Division ausführen. 1÷7, also wie oft passt die 7 in die 1 rein? Gar nicht, deshalb steht hier die 0. Wir überlegen uns dann, wie oft passt die 7 in die 10? Das ist einmal, es bleibt Rest 3. Dann fragen wir uns, wie oft passt die 7 in die 30 rein? Das ist viermal. 4×7=28 und es bleibt der Rest 2. Die 7 geht in die 20 zweimal rein, dann haben wir hier also die 14 Rest 6. Die 7 passt in die 60 achtmal, das ist also 56. Dann kann ich hier weiter rechnen. Der Rest ist 4. Wie oft passt die 7 in die 40. Das ist fünfmal. 5×7=35. Es bleibt Rest 5. Wie oft passt die 7 in die 50? Das ist siebenmal. 7×7=49 und der Rest ist 1. Und jetzt kommt das Besondere: Ich frage mich, wie oft passt die 7 in die 10? Das kenn ich doch irgendwoher, das habe ich mich schon einmal gefragt, nämlich hier. Deshalb würde es jetzt hier mit der 1 weitergehen, es würde derselbe Rest rauskommen, nämlich der Rest 3. Das bedeutet also, hier wiederholt sich das Ganze. Deshalb ist also die Dezimalzahl, die genauso groß ist wie 1/7, 0,142857... Diese Zahlenreihe würde sich immer weiter wiederholen, wenn ich hier weiter rechnen würde. Wir müssen uns noch überlegen, dass das bei jedem Bruch so ist. Weil irgendwann der Rest 0 rauskommt, dann geht die Rechnung auf, dann geht die Division auf und wir haben danach keine Nachkommastellen mehr. Wenn die 0 hier in der Rechnung nicht auftritt, dann muss irgendwann sich der Rest, der hier rauskommt, wiederholen. Wenn wir z.B. durch 7 teilen, können wir nur 6 verschiedene Reste haben. Nämlich den Rest 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Den Rest 7 können wir nicht haben, der kann hier niemals rauskommen. Es geht nicht. Ich begründe das jetzt nicht weiter, das ist eigentlich klar, wenn man öfters schriftlich dividiert und dann kann natürlich, wenn man durch 7 teilt, kein Rest von 7 rauskommen. Dann würde die 7 ja noch einmal mehr in das gehen, durch das dividiert wird. Größere Reste können sowieso nicht herauskommen. Da also nur eine bestimmte Anzahl von Resten rauskommen kann, muss sich das ab einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen wiederholen. Das passiert immer irgendwann. Und zwar passiert das spätestens dann, wenn wir alle möglichen Reste einmal durchhaben. Das heißt z.B., wenn wir durch 17 teilen, kann die Periode höchstens 16 Stellen lang sein, weil wir nur 16 verschiedene Reste haben können. Wenn wir durch 23 teilen, kann die Periode höchstens 22 Stellen lang sein, weil wir höchstens 22 verschiedene Reste beim schriftlichen Dividieren bekommen können. Das ist eben bei jeder Zahl so, dass sich die Reste irgendwann wiederholen. Entweder taucht die 0 auf oder die Reste wiederholen sich. Das bedeutet also, entweder haben wir eine endliche Dezimalzahl oder eine periodisch unendliche Dezimalzahl, wenn wir nämlich einen Bruch ausrechnen, im Sinne von: Wir führen die schriftliche Division durch. Damit sind also alle Brüche endliche bzw. unendlich periodische Dezimalzahlen. Ich hoffe,es ist alles klar geworden, viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.