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Brüche als Dezimalzahlen 05:38 min

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Transkript Brüche als Dezimalzahlen

Hallo, Brüche sind entweder endliche Dezimalzahlen oder unendliche, aber periodische Dezimalzahlen. Woher weiß ich das? Das möchte ich jetzt mal zeigen: Wir nehmen einen Bruch, z.B. 1/7. Das ist ein ganz normaler Bruch und 1/7 bedeutet ja 1÷7. Also kann ich anstatt 1/7 auch 1÷7 hinschreiben und das ausrechnen mit der schriftlichen Division. Da kommt es wieder: Es ist gut, wenn man schriftlich dividieren kann und nicht alles mit seinem blöden Taschenrechner macht. Zunächst haben wir also, wenn wir diese Division ausführen. 1÷7, also wie oft passt die 7 in die 1 rein? Gar nicht, deshalb steht hier die 0. Wir überlegen uns dann, wie oft passt die 7 in die 10? Das ist einmal, es bleibt Rest 3. Dann fragen wir uns, wie oft passt die 7 in die 30 rein? Das ist viermal. 4×7=28 und es bleibt der Rest 2. Die 7 geht in die 20 zweimal rein, dann haben wir hier also die 14 Rest 6. Die 7 passt in die 60 achtmal, das ist also 56. Dann kann ich hier weiter rechnen. Der Rest ist 4. Wie oft passt die 7 in die 40. Das ist fünfmal. 5×7=35. Es bleibt Rest 5. Wie oft passt die 7 in die 50? Das ist siebenmal. 7×7=49 und der Rest ist 1. Und jetzt kommt das Besondere: Ich frage mich, wie oft passt die 7 in die 10? Das kenn ich doch irgendwoher, das habe ich mich schon einmal gefragt, nämlich hier. Deshalb würde es jetzt hier mit der 1 weitergehen, es würde derselbe Rest rauskommen, nämlich der Rest 3. Das bedeutet also, hier wiederholt sich das Ganze. Deshalb ist also die Dezimalzahl, die genauso groß ist wie 1/7, 0,142857... Diese Zahlenreihe würde sich immer weiter wiederholen, wenn ich hier weiter rechnen würde. Wir müssen uns noch überlegen, dass das bei jedem Bruch so ist. Weil irgendwann der Rest 0 rauskommt, dann geht die Rechnung auf, dann geht die Division auf und wir haben danach keine Nachkommastellen mehr. Wenn die 0 hier in der Rechnung nicht auftritt, dann muss irgendwann sich der Rest, der hier rauskommt, wiederholen. Wenn wir z.B. durch 7 teilen, können wir nur 6 verschiedene Reste haben. Nämlich den Rest 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Den Rest 7 können wir nicht haben, der kann hier niemals rauskommen. Es geht nicht. Ich begründe das jetzt nicht weiter, das ist eigentlich klar, wenn man öfters schriftlich dividiert und dann kann natürlich, wenn man durch 7 teilt, kein Rest von 7 rauskommen. Dann würde die 7 ja noch einmal mehr in das gehen, durch das dividiert wird. Größere Reste können sowieso nicht herauskommen. Da also nur eine bestimmte Anzahl von Resten rauskommen kann, muss sich das ab einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen wiederholen. Das passiert immer irgendwann. Und zwar passiert das spätestens dann, wenn wir alle möglichen Reste einmal durchhaben. Das heißt z.B., wenn wir durch 17 teilen, kann die Periode höchstens 16 Stellen lang sein, weil wir nur 16 verschiedene Reste haben können. Wenn wir durch 23 teilen, kann die Periode höchstens 22 Stellen lang sein, weil wir höchstens 22 verschiedene Reste beim schriftlichen Dividieren bekommen können. Das ist eben bei jeder Zahl so, dass sich die Reste irgendwann wiederholen. Entweder taucht die 0 auf oder die Reste wiederholen sich. Das bedeutet also, entweder haben wir eine endliche Dezimalzahl oder eine periodisch unendliche Dezimalzahl, wenn wir nämlich einen Bruch ausrechnen, im Sinne von: Wir führen die schriftliche Division durch. Damit sind also alle Brüche endliche bzw. unendlich periodische Dezimalzahlen. Ich hoffe,es ist alles klar geworden, viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.

29 Kommentare
  1. SUPER!!!
    War sehr,sehr hilfreich
    :)

    Von Maz34, vor 8 Monaten
  2. Cool aber schlauer bin ich dadurch nicht ) :

    Von David L., vor 10 Monaten
  3. Sie sind mein Lieblingstutor!

    Von Johnny Blue K, vor 11 Monaten
  4. verstehe es immernoch nicht.

    Von Hoffmann Wp, vor mehr als einem Jahr
  5. SEHR GUT

    Von Michakreiss, vor mehr als einem Jahr
  1. Hat mir gut geholfen

    Von Samy S., vor mehr als einem Jahr
  2. Runde Sache

    Von Johanna Grohnert, vor mehr als 2 Jahren
  3. hat mir geholfen :)
    ???

    +

    Von Indianbaker, vor mehr als 2 Jahren
  4. nicht gut erklärt

    Von Hausmann Marina, vor mehr als 2 Jahren
  5. die 3 währe ein einfacheres beispel zum erklären u.verstehen ein beispiel für endliche zahlen währe gut gewesen.

    Von Lara S., vor fast 3 Jahren
  6. : (

    Von Laurafreudrich, vor fast 3 Jahren
  7. nicht gut Erklärt !!!

    Von Laurafreudrich, vor fast 3 Jahren
  8. Perfekt erklärt :)

    Von Jonas D., vor fast 3 Jahren
  9. @Angelika Millegger: Bei der siebten Nachkommastelle fragt man sich wieder, wie oft passt die 7 in die 10. Das ist genau einmal. Damit ist 1/7=0,1428571... Man erkennt hier, dass sich die Nachkommastellen aller sechs Ziffern wiederholen: 1/7=0,142857142857... Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 3 Jahren
  10. ich fands nicht so gut dass er das mit den 7 nachkommastellen nicht richtig erklärt hat

    Von Angelika Millegger, vor mehr als 3 Jahren
  11. Mal wieder ein sehr gut gelungenes Video. :)

    Von Schoki 1, vor mehr als 4 Jahren
  12. Perfekt erklärt!

    Von leaa w., vor mehr als 4 Jahren
  13. @Gordebil: Am besten wendest du dich mit konkreten Fragen an den Mathe-Fachchat, der täglich von 17 bis 19 Uhr online ist.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  14. den trick verstehe ich nicht

    Von Gordebil, vor mehr als 4 Jahren
  15. @Gordebil:
    Gerne kannst du eine konkrete Frage stellen.
    Oder du wendest dich an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  16. schöne Schrift (vorallem verkehrt)

    Von Gordebil, vor mehr als 4 Jahren
  17. tolle Erklärung, DANKE !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Gordebil, vor mehr als 4 Jahren
  18. du kannst super gut verkehrt schreiben

    Von Karan V, vor mehr als 5 Jahren
  19. Cool

    Von Fabianguerntke, vor fast 6 Jahren
  20. Das viedeo war super gut

    Von Leon007, vor fast 6 Jahren
  21. dieses Vidio ist einfach nur super.

    Von Jbernhardt, vor etwa 6 Jahren
  22. SUPER!Wie immer!

    Von Mohamed Elsayed, vor mehr als 6 Jahren
  23. Deine Videos verstehe ich immer super ! Danke (:

    Von Antares, vor mehr als 7 Jahren
  24. Top Video !

    Von Antares, vor mehr als 7 Jahren
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