Binomialverteilung – erster Erfolg nach Misserfolgen

Hallo, wir haben jetzt eine Aufgabe in der es um das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung überhaupt geht. Und Zwar eine Münze, Zahl soll für Erfolg stehen, die Wahrscheinlichkeit ist ein halb. Wir haben auch Kopf, hier verkörpert durch zwei Singschwäne. Die Wahrscheinlichkeit soll auch ein halb sein. Angenommen wir werfen die Münze nun fünfmal und haben fünfmal Kopf. Wie wahrscheinlich ist es dann beim sechsten mal wieder Kopf zu erhalten und wie wahrscheinlich ist es beim sechsten Mal Zahl zu erhalten? Die Aufgabe lautet, eine faire Münze werde mehrmals geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für fünfmal keine Zahl, sechsmal keine Zahl und nach fünfmal keine Zahl beim sechsten Wurf wieder keine Zahl. Wir können nun hier mit binomialverteilten Zufallsgrößen argumentieren und auch die Bernoulli Formel verwenden. Wir können aber auch hier relativ stumpf vorgehen. Und Zwar wissen wir, dass bei einem fairen Münzwurf die Wahrscheinlichkeit für keine Zahl, also für Kopf gleich ein halb ist. Die Wahrscheinlichkeit für keine Zahl fünf mal hintereinander ist ein halb hoch fünf, das ist gleich 0,03125 und das ist die Antwort auf die Aufgabe a. Die Wahrscheinlichkeit für sechs Mal hintereinander keine Zahl ist ein halb hoch sechs und das ist gleich 0,015625 und damit ist Aufgabe b gelöst, kommen wir zu c. So und jetzt müssen wir uns mal genau überlegen was wir eigentlich wollen, so wie das im Leben überhaupt gut ist zu wissen, was man will. Wir haben die Wahrscheinlichkeit für fünf Mal keine Zahl. Wir haben die Wahrscheinlichkeit für sechs Mal keine Zahl und suchen jetzt die Wahrscheinlichkeit für beim sechsten Mal keine Zahl unter der Bedingung fünfmal keine Zahl. Was wir suchen, ist also eine bedingte Wahrscheinlichkeit und die rechnen wir mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit aus. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit P des Ereignisses beim sechsten Mal keine Zahl. Ja, das schreibe ich mal so auf, hier nicht sechs, unter der Bedingung, dass wir bei den ersten fünf Malen keine Zahl gehabt haben, also nicht eins bis fünf und das rechnen wir folgendermaßen aus. Die Wahrscheinlichkeit für beim sechsten Mal keine Zahl geschnitten bei den ersten fünf Malen keine Zahl geteilt durch die Wahrscheinlichkeit bei den ersten fünf Versuchen keine Zahl. Schauen wir uns an was dieses Ereignis bedeutet. Ja, wir haben bei den ersten fünf Malen keine Zahl und beim sechsten Mal auch keine Zahl. Das bedeutet also sechs Mal hintereinander keine Zahl. Diese Wahrscheinlichkeit kennen wir schon und die ist ein halb hoch sechs. Die Wahrscheinlichkeit für bei den ersten fünf Malen keine Zahl, kennen wir auch schon, und die ist ein halb hoch fünf. Ja, und dabei kommt heraus ein halb. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit nach fünfmal keine Zahl beim sechsten Mal wieder keine Zahl zu werfen, ist ein halb. Wir können uns von diesem Ergebnis hier auch ganz elementar überzeugen. Ja, wir können alle Möglichkeiten, alle Ergebnisse des sechsfachen Münzwurfs aufschreiben, eins steht für Zahl, Null steht für Kopf oder eben nicht Zahl und alle diese Ergebnisse haben exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit. Und dann ist laut Definition diese bedingte Wahrscheinlichkeit gleich dem Anteil dieser Schnittmenge innerhalb dieser Menge. Diese Menge hier besteht aus diesen beiden Ergebnissen hier, fünf Mal Kopf, fünf Mal Kopf. Diese Menge hier besteht aus einem einzigen Ergebnis, nämlich aus sechs Mal Kopf und der Anteil dieser Menge an dieser Menge ist ein halb. So dann fehlt noch der Lehrerspruch, eine Münze hat kein Gedächtnis. Ja, was heißt das? Es ist zwar unwahrscheinlicher sechs Mal keine Zahl zu werfen als fünf Mal keine Zahl zu werfen. Aber, wenn man schon fünf Mal keine Zahl geworfen hat, ist die Wahrscheinlichkeit beim sechsten Mal eine Zahl zu werfen wieder ein halb, denn die Münze weiß ja nicht, dass sie vorher vielleicht mehrmals diese Schwäne gezeigt hat. Und die Münze hat auch nicht das Bestreben die zuvor gezeigten Schwäne nun durch eine Zahl wieder auszugleichen, zumindest ist mir nichts dahingehendes bekannt. Viel Spaß damit. Tschüss.