Binomialverteilung

Binomialverteilung Übung

• Charakterisiere die Binomialverteilung.

  Tipps

  Vier Aussagen sind richtig.

  Eine unabhängige Variable ändert sich innerhalb der Funktionsgleichung. Dieser wird ein bestimmter Wert zugeordnet.

  Achte darauf, welche Zahlen sich in dem Beispiel ändern und überlege, welche Variable in der Formel für die Zahlen steht:

  $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0}$

  $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1}$

  $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2}$

  Die Bernoulli-Formel lautet:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe definieren wir die Binomialverteilung. Dafür ist es wichtig zu überlegen, wann und wofür sie genutzt wird.

  Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße. Die binomialverteilte Zufallsgröße hat genau zwei Ausgänge, wobei wir diese als „Erfolg“ und „Misserfolg“ oder auch „Treffer“ und „kein Treffer“ betiteln. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ beschreibt dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erfolg eintritt. Bei einer Bernoulli-Kette beschreibt die Zufallsgröße die Anzahl an Treffern, die bei $n$ Versuchsdurchführungen erzielt werden können. Wir können also die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl $k$ mit der Bernoulli-Formel berechnen.

  
  

  Für unsere Aussagen bedeutet das Folgendes:

  
  

  • Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments mit genau zwei Ausgängen.

  Diese Aussage ist richtig: Die Binomialverteilung wird immer genutzt, wenn ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen, also ein Bernoulli-Experiment, mehrfach ausgeführt wird. Das klassische Beispiel hierfür ist der Münzwurf.

  
  

  • Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl die dazugehörige Wahrscheinlichkeit zu.

  Diese Aussage ist richtig: Führen wir ein und dasselbe Bernoulli-Experiment (beispielsweise den Münzwurf) mehrfach hintereinander aus, ergibt das eine Bernoulli-Kette. Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl dieser Bernoulli-Kette die dazugehörige Wahrscheinlichkeit zu.

  
  

  • Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl die dazugehörige Länge der Bernoulli-Kette zu.

  Die Aussage ist falsch: Die Länge der Bernoulli-Kette ($n$) ist Teil der Bernoulli-Formel und wird genutzt, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl zu berechnen. Bei einem Münzwurf definiert sie, wie oft die Münze insgesamt geworfen wird.

  
  

  • Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die binomischen Formeln gegeben.

  Diese Aussage ist falsch: Während „Bi-“ in „Binomial-“ für die zwei möglichen Ausgänge (Erfolg oder Misserfolg) steht, weist es in Bezug auf die binomischen Formeln darauf hin, dass die Klammern genau zwei Summanden oder eine Differenz enthalten. Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitet, um einen Spezialfall der Multiplikation von zwei Klammertermen aufzulösen. Sie haben keinen Zusammenhang mit der Binomialverteilung.

  
  

  • Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die Bernoulli-Formel gegeben.

  Diese Aussage ist richtig: Mithilfe der Bernoulli-Formel wird berechnet, welche Wahrscheinlichkeit welche Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette hat. Die Funktionsgleichung lautet demnach:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  
  

  • Als unabhängige Variable enthält die Funktionsgleichung der Binomialverteilung $k$.

  Die Aussage ist richtig: Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die Trefferanzahl $k$, der durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Wollen wir zum Beispiel berechnen, wie wahrscheinlich null Treffer sind, wird für jedes $k=0$ eingesetzt:

  $B_{n;~p} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{n}{0} \cdot p^{0} \cdot (1-p)^{n-0}$

  
  

  • Als unabhängige Variable enthält die Funktionsgleichung der Binomialverteilung $p$.
  • Als unabhängige Variable enthält die Funktionsgleichung der Binomialverteilung $n$.

  Beide Aussagen sind falsch: Sowohl die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p$ als auch die Gesamtanzahl der Versuche $n$ ändern sich innerhalb der Bernoulli-Kette nicht. Berechnen wir zum beispielsweise die Wahrscheinlichkeit von null, einem und zwei Treffern bei dreimaligem Münzwurf (z. B. Kopf), ergeben sich folgende Gleichungen:

  $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0}$

  $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1}$

  $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2}$

  
  

  Eine Binomialverteilung wird anknüpfend an diese Rechnungen häufig in Form eines Histogramms dargestellt. An der Höhe der einzelnen Säulen lassen sich hier die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Trefferzahlen ablesen. Summieren wir alle diese Wahrscheinlichkeiten auf, erhalten wir (wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung) genau ein beziehungsweise $100$ Prozent.

• Gib das Vorgehen zum Erstellen einer Binomialverteilung wieder.

  Tipps

  Überlege, welche Parameter in der Funktionsgleichung der Binomialverteilung immer gleich bleiben. Sie müssen zuerst feststehen.

  Was brauchst du als unabhängige Variable zusätzlich, um mit der Funktionsgleichung die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auszurechnen?

  Lösung

  In dieser Aufgabe bringen wir die Schritte zum Erstellen einer Binomialverteilung in die richtige Reihenfolge.

  Die allgemeine Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die Bernoulli-Formel gegeben:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Sie enthält die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und die Länge der Bernoulli-Kette bzw. Gesamtanzahl der Versuche $n$ als gleichbleibende Parameter sowie die unabhängige Variable $k$, welche für die Trefferanzahl steht.

  
  

  Als Beispiel betrachten wir das dreimalige Werfen einer Münze.

  
  

  Schritt 1: Bestimmen der Länge der Bernoulli-Kette $n$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

  Da wir die Münze dreimal werfen, ergibt sich:

  • $n = 3$
  • $p = 0,\!5$

  Das sind dann auch schon alle Informationen, die wir brauchen, um uns die Binomialverteilung dieser Bernoulli-Kette anzuschauen:

  $B_{3;~0,5} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{3}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot (1-0,\!5)^{3-k}$

  
  

  Schritt 2: Festlegen der möglichen Trefferanzahlen $k$.

  Weil wir das Zufallsexperiment insgesamt dreimal ausführen, können wir entweder null, einen, zwei oder drei Treffer landen.

  
  

  Schritt 3: Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen und Wahrscheinlichkeiten für jede Trefferzahl berechnen.

  Die Wahrscheinlichkeiten für diese vier verschiedenen Trefferzahlen können wir jetzt mithilfe der Funktionsgleichung (sprich der Bernoulli-Formel) berechnen. Der Wert für $k$ wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und die entsprechende Wahrscheinlichkeit errechnet:

  $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0} = 0,\!125$

  $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1} = 0,\!375$

  $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2} = 0,\!375$

  $B_{3;~0,5} (3) = P (X = 3) = \displaystyle \binom{3}{3} \cdot 0,\!5^{3} \cdot (1-0,\!5)^{3-3} = 0,\!125$

  Bei diesen Rechnungen kann uns unser Taschenrechner einiges an Arbeit sparen: Der klassische Befehl, der auf den meisten Modellen verfügbar ist, lautet binomPdf. Wir müssen anschließend im Taschenrechner die entsprechenden Werte für $n$, $p$ und $k$ einsetzen.

  
  

  Schritt 4: Eintragen der errechneten Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle bzw. in ein Histogramm.

  Haben wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Trefferzahlen ausgerechnet, steht unsere Binomialverteilung. Wir können sie – wie hier – in Form einer Tabelle angeben:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P (X=k) & 0,\!125 & 0,\!375 & 0,\!375 & 0,\!125 \\ \end{array}$

  Sehr häufig wird sie aber auch in Form eines Schaubildes, genauer gesagt in Form eines Histogramms, dargestellt: Die Höhe jeder Säule steht für die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Trefferanzahl eintritt.
  Die Darstellung von Binomialverteilungen durch Histogramme ist sehr eingängig. Daher werden dir diese Schaubilder bei dem Thema immer wieder begegnen.

• Stelle die Funktionsgleichungen auf.

  Tipps

  Überlege, welche Positionen $n$ und $p$ in der Funktionsgleichung der Binomialverteilung haben.

  Die Funktionsgleichung sieht allgemein folgendermaßen aus:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe ordnen wir Parametern die passende Funktionsgleichung der Binomialverteilung zu. Hierfür nutzen wir die Gesamtanzahl der Durchführungen ($n$), die angegebene Trefferwahrscheinlichkeit ($p$) sowie die Funktionsgleichung der Binomialverteilung:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  
  

  Es ergeben sich folgende Zuordnungen:

  1. $n=7 \quad\vert\quad p=0,\!2$

  $B_{7;~0,2} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{7}{k} \cdot 0,\!2^{k} \cdot (1-0,\!2)^{7-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{7}{k} \cdot 0,\!2^k \cdot 0,\!8^{7-k}}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{7;~0,2} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{7}{0} & \cdot& 0,\!2^{0} &\cdot & (1-0,\!2)^{7-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!2097\\ &&& \approx &0,\!21 \end{array}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{7;~0,2} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{7}{1} & \cdot& 0,\!2^{1} &\cdot & (1-0,\!2)^{7-1} \\ &&& =& 7 & \cdot& 0,\!2 &\cdot & 0,\!2621\\ &&& = & 0,\!3669 \\ &&& \approx &0,\!367 \end{array}$

  $\begin{array}{cccccccc} B_{7;~0,2} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{7}{2} & \cdot& 0,\!2^{2} &\cdot & (1-0,\!2)^{7-2} \\ &&& =& 21 & \cdot& 0,\!04 &\cdot & 0,\!3277\\ &&& = & 0,\!2752 \\ &&& \approx &0,\!275 \end{array}$

  Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

  $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!21 & 0,\!367 & 0,\!275 \\ \end{array}$

  
  

  2. $n=10 \quad\vert\quad p=0,\!5$

  $B_{10;~0,5} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{10}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot (1-0,\!5)^{10-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{10}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot 0,\!5^{10-k}}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{10;~0,5} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{10}{0} & \cdot& 0,\!5^{0} &\cdot & (1-0,\!5)^{10-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!0009\\ &&& \approx &0,\!001 \end{array}$

  $\begin{array}{cccccccc} B_{10;~0,5} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{10}{1} & \cdot& 0,\!5^{1} &\cdot & (1-0,\!5)^{10-1} \\ &&& =& 10 & \cdot& 0,\!5 &\cdot & 0,\!0019\\ &&& = & 0,\!01 \\ \end{array}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{10;~0,5} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{10}{2} & \cdot& 0,\!5^{2} &\cdot & (1-0,\!5)^{10-2} \\ &&& =& 45 & \cdot& 0,\!25 &\cdot & 0,\!0039\\ &&& = & 0,\!2752 \\ &&& \approx &0,\!044 \end{array}$

  Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

  $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!001 & 0,\!01 & 0,\!044 \\ \end{array}$

  
  

  3. $n=5 \quad\vert\quad p=0,\!25$

  $B_{5;~0,25} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{5}{k} \cdot 0,\!25^{k} \cdot (1-0,\!25)^{5-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{5}{k} \cdot 0,\!25^{k} \cdot 0,\!75^{5-k}}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{5;~0,25} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{5}{0} & \cdot& 0,\!25^{0} &\cdot & (1-0,\!25)^{5-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!2373\\ &&& \approx &0,\!237 \end{array}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{5;~0,25} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{5}{1} & \cdot& 0,\!25^{1} &\cdot & (1-0,\!25)^{5-1} \\ &&& =& 5 & \cdot& 0,\!25 &\cdot & 0,\!3164\\ &&& = & 0,\!3955 \\ &&& \approx &0,\!396 \end{array}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{5;~0,25} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{5}{2} & \cdot& 0,\!25^{2} &\cdot & (1-0,\!25)^{5-2} \\ &&& =& 10 & \cdot& 0,\!0625 &\cdot & 0,\!4219\\ &&& = & 0,\!2637 \\ &&& \approx &0,\!264 \end{array}$

  Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

  $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!237 & 0,\!396 & 0,\!264 \\ \end{array}$

  
  

  4. $n=4 \quad\vert\quad p=0,\!75$

  $B_{4;~0,75} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{4}{k} \cdot 0,\!75^{k} \cdot (1-0,\!75)^{4-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{4}{k} \cdot 0,\!75^{k} \cdot 0,\!25^{4-k}}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{4;~0,75} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{4}{0} & \cdot& 0,\!75^{0} &\cdot & (1-0,\!75)^{4-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!0039\\ &&& \approx &0,\!004 \end{array}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{4;~0,75} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{4}{1} & \cdot& 0,\!75^{1} &\cdot & (1-0,\!75)^{4-1} \\ &&& =& 4 & \cdot& 0,\!75 &\cdot & 0,\!0156\\ &&& = & 0,\!0468 \\ &&& \approx &0,\!047 \end{array}$

  $\begin{array}{cccccccc} B_{4;~0,75} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{4}{2} & \cdot& 0,\!75^{2} &\cdot & (1-0,\!75)^{4-2} \\ &&& =& 6 & \cdot& 0,\!5625 &\cdot & 0,\!0625\\ &&& = & 0,\!2109 \\ &&& \approx &0,\!211 \end{array}$

  Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

  $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!004 & 0,\!047 & 0,\!211 \\ \end{array}$

  
  

  5. $n=6 \quad\vert\quad p=0,\!5$

  $B_{6;~0,5} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{6}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot (1-0,\!5)^{6-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{6}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot 0,\!5^{6-k}}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,5} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{6}{0} & \cdot& 0,\!5^{0} &\cdot & (1-0,\!5)^{6-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!0156\\ &&& \approx &0,\!016 \end{array}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,5} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{6}{1} & \cdot& 0,\!5^{1} &\cdot & (1-0,\!5)^{6-1} \\ &&& =& 6 & \cdot& 0,\!5 &\cdot & 0,\!0312\\ &&& = & 0,\!0936 \\ &&& \approx &0,\!094 \end{array}$

  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,5} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{6}{2} & \cdot& 0,\!5^{2} &\cdot & (1-0,\!5)^{6-2} \\ &&& =& 15 & \cdot& 0,\!25 &\cdot & 0,\!0625\\ &&& = & 0,\!2344 \\ &&& \approx &0,\!234 \end{array}$

  Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

  $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!016 & 0,\!094 & 0,\!234 \\ \end{array}$

  
  

  Mit dem Taschenrechner kannst du die Werte überprüfen. Er kann dir außerdem helfen, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten schneller zu errechnen. Hierfür ist folgender Befehl notwendig:

  $\text{binomPdf}(n,p,k)$

• Ermittle die Binomialverteilung.

  Tipps

  Lies noch einmal genau:

  • Wie oft wird insgesamt gezogen?
  • Welcher Parameter steht für die Gesamtanzahl der Versuche und welche Trefferzahlen kann es geben?

  Zähle, wie viele Kugeln es insgesamt gibt und wie viele als Treffer gelten.

  Wären es beispielsweise zwölf Kugeln, von denen sechs als Treffer gelten, würde die Trefferwahrscheinlichkeit folgendermaßen errechnet werden:

  $p= \dfrac{6}{12} = 0,\!5$

  Nutze die Funktionsgleichung, um die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Trefferanzahlen $(k)$ zu berechnen:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Runde das Ergebnis. Es wird aufgerundet, wenn die vierte Stelle mindestens $5$ ist:

  $B_{n;~p} (k) = 0,\!2365 \approx 0,\!237$

  Ist die Zahl kleiner als $5$, wird abgerundet. Die Ziffer an der dritten Stelle bleibt gleich:

  $B_{n;~p} (k) = 0,\!2364 \approx 0,\!236$

  Lösung

  In dieser Aufgabe nutzen wir die Funktionsgleichung zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit für verschiedene Trefferzahlen. Hierfür müssen wir die Funktionsgleichung der Binomialverteilung kennen. Sie lautet:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Die Funktionsgleichung ist durch die Bernoulli-Formel definiert und wird mit einem großen $B$ sowie den Parametern $n$ und $p$ angegeben.

  Lea zieht sechsmal aus zehn Kugeln, wobei eine blaue Kugel als Treffer gilt. Da es zwei blaue Kugeln gibt, gilt:

  • $n = 6$
  • $p = \dfrac{2}{10} = 0,\!2$

  Diese beiden Parameter bleiben in den Gleichungen für unsere Berechnung immer gleich:

  $\begin{array}{cccccccc} B_{6;~0,2} (k) &=& P (X = k)& =& \displaystyle \binom{6}{k} & \cdot& 0,\!2^{k} &\cdot & (1-0,\!2)^{6-k} \\ & & & =& \displaystyle \binom{6}{k} & \cdot& 0,\!2^{k} &\cdot & (0,\!8)^{6-k} \end{array}$

  Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die Trefferanzahl $k$, der dann durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Es ergeben sich folgende Rechnungen:

  $\underline{k = 0}$:
  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (0) &=& P (X = 0)& = &\displaystyle \binom{6}{0} & \cdot& 0,\!2^{0} &\cdot & (0,\!8)^{6-0} \\ &&& = &1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!2621\\ &&& = &0,\!2621 \\ &&& \approx &0,\!262 \end{array}$

  $\underline{k = 1}$:
  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{6}{1} & \cdot& 0,\!2^{1} &\cdot & (0,\!8)^{6-1} \\ &&& =& 6 & \cdot& 0,\!2 &\cdot & 0,\!3276\\ &&& =& 0,\!3931 \\ &&& \approx& 0,\!393 \end{array}$

  $\underline{k = 2}$:
  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{6}{2} & \cdot& 0,\!2^{2} &\cdot & (0,\!8)^{6-2} \\ &&& = &15 & \cdot& 0,\!04 &\cdot & 0,\!4096\\ &&& =& 0,\!2457 \\ &&& \approx &0,\!246 \\ \end{array}$

  $\underline{k = 3}$:
  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (3) &=& P (X = 3)& =& \displaystyle \binom{6}{3} & \cdot& 0,\!2^{3} &\cdot & (0,\!8)^{6-3} \\ &&& = &20 & \cdot& 0,\!008 &\cdot & 0,\!512\\ &&& =& 0,\!0819 \\ &&& \approx& 0,\!082 \\ \end{array}$

  $\underline{k = 4}$:
  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (4) &=& P (X = 4)& = &\displaystyle \binom{6}{4} & \cdot& 0,\!2^{4} &\cdot & (0,\!8)^{6-4} \\ &&& \approx& 0,\!015 \\ \end{array}$

  $\underline{k = 5}$:
  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (5) &=& P (X = 5)& = &\displaystyle \binom{6}{5} & \cdot& 0,\!2^{5} &\cdot & (0,\!8)^{6-5} \\ &&& \approx& 0,\!002 \\ \end{array}$

  $\underline{k = 6}$:
  $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (6) &=& P (X = 6)& =& \displaystyle \binom{6}{6} & \cdot& 0,\!2^{6} &\cdot & (0,\!8)^{6-6} \\ &&& \approx& 0,\!000 \\ \end{array}$

  
  

  Mit dem Taschenrechner kannst du die Werte überprüfen. Er kann dir außerdem helfen, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten schneller zu errechnen. Hierfür ist folgender Befehl notwendig:

  $\text{binomPdf}(n,p,k)$

  Achte darauf, dass im Taschenrechner Dezimalzahlen mit Punkt geschrieben werden und Kommata die einzelnen Variablen voneinander trennen. Für unsere Trefferzahlen würde das bedeuten:

  $B_{n;~p} (0) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,0) \quad\vert\quad B_{n;~p} (1) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,1) \\ B_{n;~p} (2) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,2)\quad\vert\quad B_{n;~p} (3) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,3)$

• Beschreibe die Grundlagen einer Binomialverteilung.

  Tipps

  Die einzelnen Inhalte der Fachbegriffe bauen von oben nach unten aufeinander auf.

  Ein typisches Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist der Münzwurf. Überlege, wie viele mögliche Ausgänge es hierbei gibt.

  Lösung

  Wir wiederholen in dieser Aufgabe die Grundlagen der Binomialverteilung. Sie sind wichtig, um die Verteilung zu verstehen und zu nutzen.

  Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir nur zwischen zwei verschiedenen Ausgängen unterscheiden. Das klassische Beispiel hierzu ist der Münzwurf.

  Führen wir ein und dasselbe Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander aus (beispielsweise den Münzwurf), ergibt das eine** Bernoulli-Kette**. Eine Bernoulli-Kette steht für eine binomialverteilte Zufallsgröße.

  Wenn wir die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ berechnen möchten, dann machen wir das mit der Bernoulli-Formel. Sie wird also zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Trefferanzahl $k$ genutzt und lautet:

  $P (X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k}\cdot (1- p)^{n-k}$

  Das Auflisten der Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl an Treffern zu einer gegebenen Bernoulli-Kette heißt Binomialverteilung. „Bi-“ in „Binomial-“ steht für die zwei möglichen Ausgänge: Treffer oder kein Treffer. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jeder möglichen Trefferanzahl $k$, die minimal bei $0$ und maximal bei $n$ liegt, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es genau $X = k$ Treffer gibt. Wie jede andere Wahrscheinlichkeitsverteilung auch, ist die Binomialverteilung somit eine Zuordnung beziehungsweise eine Funktion. Sie ist durch die Bernoulli-Formel definiert und wird mit einem großen $B$ sowie den Parametern $n$ und $p$ angegeben. Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die Trefferanzahl $k$, der dann durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird:

  $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0} = 0,\!125$

  $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1} = 0,\!375$

  $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2} = 0,\!375$

  $B_{3;~0,5} (3) = P (X = 3) = \displaystyle \binom{3}{3} \cdot 0,\!5^{3} \cdot (1-0,\!5)^{3-3} = 0,\!125$

  In einer Tabelle wird die Zuordnung folgendermaßen dargestellt:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P (X=k) & 0,\!125 & 0,\!375 & 0,\!375 & 0,\!125 \\ \end{array}$

• Leite die Parameter aus den Binomialverteilungen her.

  Tipps

  Schaue dir genau an, welche Werte das Histogramm abdeckt: Die Gesamtzahl $n$ ist mindestens so groß wie der letzte Balken am rechten Rand des Histogramms.

  Abhängig von der Trefferwahrscheinlichkeit sehen Histogramme unterschiedlich aus. Sieh dir die Beispiele an:

  Vergleiche die ersten Säulen neben dem gestrichelten Pfeil (Erwartungswert): Sind sie bei ${p=0,\!75}$ auf der linken (geringere Trefferanzahl) oder rechten (größere Trefferanzahl) Seite höher?

  Die Säule, deren Trefferzahl am wahrscheinlichsten ist (höchste Säule), nennt man Erwartungswert. Du kannst sie durch folgende Rechnung ermitteln:

  $E(X) = n \cdot p$

  Lösung

  In dieser Aufgabe ordnen wir Histogrammen die passenden Parameter zu. Dafür ist es wichtig zu wissen, dass Histogramme eine Binomialverteilung grafisch darstellen. Da sie sehr anschaulich sind, werden sie häufig genutzt, um mithilfe der Säulenhöhe zu verdeutlichen, welche Trefferzahl wie wahrscheinlich ist. Die Form der Histogramme entspricht immer einer Glocke:

  • $n$ legt dabei die Gesamtanzahl der Versuche und damit die maximale Trefferzahl fest. Man erkennt sie an dem Wert, der am weitesten rechts zu sehen ist.
  • Die mit der größten Wahrscheinlichkeit auftretende Trefferzahl wird auch Erwartungswert $(E(X) = \mu)$ genannt.
  • Für $p = 0,\!5$ liegen die Werte symmetrisch zum Erwartungswert. Immer eine Säule auf der linken und rechten Seite des Erwartungswertes sind also gleich groß.
  • Bei $p < 0,\!5$ ist die erste Säule auf der linken Seite des Erwartungswertes höher als die erste Säule auf der rechten Seite. Die Verteilung ist linksschief.
  • Wenn $p > 0,\!5$ ist, ist die erste Säule auf der rechten Seite des Erwartungswertes höher als die erste Säule auf der linken Seite. Die entsprechende Binomialverteilung ist rechtsschief.

  
  

  Für unsere Zuordnung bedeutet das Folgendes:

  
  

  Histogramm 1:

  Die maximale Trefferzahl liegt bei $20$ und das Histogramm ist um den Erwartungswert herum symmetrisch. Es gehört demnach zu den Werten $n=20$ und $p=0,\!5$.

  Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert oder eine andere Wahrscheinlichkeit zu einer Trefferanzahl berechnet werden:

  $E(X) = \mu = 20 \cdot 0,\!5 = 10$

  
  

  Histogramm 2:

  Die maximale Trefferzahl liegt bei zehn und das Histogramm ist um den Erwartungswert nicht symmetrisch. Es gehört demnach zu den Werten $n=10$ und $p=0,\!25$.

  Durch die Berechnung des Erwartungswertes wird deutlich, dass es linksschief ist:

  $E(X) = \mu = 10 \cdot 0,\!25 = 2,\!5$

  
  

  Histogramm 3:

  Die maximale Trefferzahl liegt bei $20$ und das Histogramm ist rechtsschief. (Die Säulen auf der rechten Seite des Erwartungswertes sind höher als die auf der linken Seite.) Es gehört demnach zu den Werten $n=20$ und $p=0,\!75$.

  Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

  $E(X) = \mu = 20 \cdot 0,\!75 = 15$

  
  

  Histogramm 4:

  Die maximale Trefferzahl liegt bei fünf und das Histogramm ist linksschief. (Die Säulen auf der linken Seite des Erwartungswertes sind höher als die auf der rechten Seite.) Es gehört demnach zu den Werten $n=5$ und $p=0,\!2$.

  Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

  $E(X) = \mu = 5 \cdot 0,\!2 = 1$

  
  

  Histogramm 5:

  Die maximale Trefferzahl liegt bei $20$ und das Histogramm ist linksschief. (Die Säulen auf der linken Seite des Erwartungswertes sind höher als die auf der rechten Seite.) Es gehört demnach zu den Werten $n=20$ und $p=0,\!3$.

  Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

  $E(X) = \mu = 20 \cdot 0,\!3 = 6$

  
  

  Histogramm 6:

  Die maximale Trefferzahl liegt bei zehn und das Histogramm ist um den Erwartungswert herum symmetrisch. Es gehört demnach zu den Werten $n=10$ und $p=0,\!5$.

  Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

  $E(X) = \mu = 10 \cdot 0,\!5 = 5$