Binomialverteilung – Beispiel sechsfacher Münzwurf

Hallo! Es geht um ein Beispiel zur Binomialverteilung. Es soll der sechsfache Münzwurf sein, und ich möchte anhand dieses Beispiels schlicht und ergreifend zeigen, wie man diese Zeichen hier nun auf dieses Beispiel übertragen kann. Ansonsten steckt da mathematisch nichts weiter dahinter. Sechsfacher Münzwurf kannst du dir vorstellen mit einer Münze, die kann auf Zahl und auf Wappen landen, und die wird sechsmal hintereinander geworfen und die Ergebnisse werden jeweils notiert. Diese Situation kannst du auch modulieren mit einem Baumdiagramm, das ist hier eines, was du auf meiner Homepage www.mathematik-werkstatt.de dir runterladen kannst und ausdrucken kannst, denn es ist immer so ein bisschen kompliziert, Baumdiagramme zu zeichnen. Da vertut man sich meistens mit der Größenaufteilung. Es gibt auch mehrere andere Baumdiagramme, die du da einfach dir holen kannst. Hier möchte ich aber ein bisschen weg von den Baumdiagrammen, sondern möchte zeigen, wie diese Zeichen hier jeweils zu interpretieren sind. Wenn es um einen sechsfachen Münzwurf geht, dann geht es hier um 6-Tupel, so nennt man die. Und dann wissen wir auch gleich, was unsere Grundmenge ist. Die Grundmenge,hier, mit Ω bezeichnet, ist dann die Menge aller 6-Tupel, in denen Einsen und Nullen drinnen sind, also deren Einträge Einsen und Nullen sind, und das schreibt man so auf. Das ist ein 6-Tupel, und das soll die Eigenschaft haben, dass die einzelnen Einträge, nämlich die ti, so nennt man das manchmal schreibt man auch dazu, dass i von 1 bis 6 gehen soll. Das schreibe ich jetzt nicht dazu. Jedes ti, d. h., jeder Eintrag hier, ist also entweder eine 0 oder eine 1, d. h. ist Element der Menge {0,1}, und da geht die große Mengenklammer zu, die hier aufgegangen ist. Dann können wir den 6-Tupeln Wahrscheinlichkeiten zuordnen, und zwar, indem wir mit der Funktion P solche Wahrscheinlichkeiten zuordnen, entsprechend der Anzahl der Einsen in einem solchen 6-Tupel. Und ich zeige das mal für ein konkretes Beispiel. P von, also die Wahrscheinlichkeit für das 6-Tupel, P((0,1,0,0,1,0)), die soll jetzt folgendermaßen bestimmt werden: Wir haben hier P^k. Wir müssen uns zunächst überlegen: Beim Münzwurf, was ist denn da unser P? P könnte die Wahrscheinlichkeit für Zahl sein, zum Beispiel. Beim Münzwurf ist es üblich, dass man sagt, jede Seite hat die Wahrscheinlichkeit ½ oder 0,5, oben zu liegen. Deshalb ist unser P hier gleich 0,5. D. h., wir rechnen also 0,5^k. k ist die Anzahl der Einsen. Hier steht ja, dass einfach alle Einträge addiert werden. Wenn wir hier alle Einträge addieren, kommen wir auf das Ergebnis 2, es sind ja auch 2 Einsen da drin. Und das ist dann das k. Also rechnen wir hier 0,5²×(1-0,5), das ist auch 0,5. In dem Fall sind also P und 1-P gleich. Und dann müssen wir noch rechnen ^(n-k). n=6, k=2, also ^4. Und der geneigte Leser wird es dann gleich feststellen, dass hier ist jetzt 0,5⁶. Und das ist die Wahrscheinlichkeit eines jeden 6-Tupels beim mehrfachen Münzwurf, beim sechsfachen Münzwurf, denn auch wenn hier eine andere Anzahl von Einsen steht, angenommen, wir haben 5 Einsen, dann rechnen wir 0,5⁵, und hier rechnen wir dann 0,5¹, im Ganzen kommt wieder 0,5⁶ raus. Das ist immer gleich. Dann haben wir das erledigt. Wir definieren eine Zufallsgröße, eine Zufallsgröße X, die die Anzahl der Einsen zählt. Und bei uns, in unserem Fall hier, definieren wir X((t1,...t6)). Also der Funktionswert eines 6-Tupels ist die Summe aller Einträge. Man kann hier mit der Summe arbeiten, weil wir gesagt haben, dass Einsen und Nullen in den 6-Tupeln drin sein sollen. Hätte man Erfolg und Misserfolg gewählt, ginge das natürlich nicht, dann kann man nicht addieren. Dann muss man das anders formulieren. Der Index geht von i=1 bis 6, in dem Fall, und alle ti werden addiert. Das sieht dann fast so aus hier wie im allgemeinen Fall. Jetzt können wir der Zufallsgröße X, bzw., genauer gesagt, den Werten der Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Zum Beispiel können wir zuordnen P(X=2), also der Wert 2 der Zufallsgröße X bekommt eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Und das haben wir hier allgemein festgelegt, mit n über k. Dann müssen wir uns jetzt überlegen: Was ist denn unser konkretes n? Das ist also 6. k ist hier in unserem Fall gleich 2. Und wir rechnen, ich rechne hier stumpf weiter und verwende Resultat da unten nicht. p^k. p, haben wir gesagt, ist 0,5. k=2. ×1-p, das ist bei uns auch 0,5. ^(n-k), und das ist 4. Da kommt eine Wahrscheinlichkeit raus von ca. 0,23 - was hab ich da vorbereitet - 4375, oder so. Geht dann da glaube ich noch weiter, ich bin nicht ganz sicher. Egal, also das nur zum Vergleich, wenn du das selber nachrechnen möchtest. Es ist ganz gut, wenn du solche Dinge hier, solche Binomialverteilungen, mit deinem Taschenrechner nachrechnest. Hier geht es vielleicht noch anders, aber ansonsten, für so etwas ist der Taschenrechner da. Wenn du die Taste suchst, für n über k, die heißt ncr. Der billige Taschenrechner von Aldi hat es, der billige von Lidl hat es auch. Jeweils, glaube ich, 3,70 oder so was kostet das, 3,70Euro. Ich hoffe, du hast einen Taschenrechner, der das kann. Ansonsten hast du bei größeren Zahlen hier wirklich Schwierigkeiten, die in deinen Taschenrechner einzugeben. Wenn du das Ganze mit einem Computerprogramm machst, geht das sowieso völlig problemlos. Dann können wir noch eine Kleinigkeit ausrechnen. Nämlich P(X=6), zum Beispiel, und P(X=0). Das ist übrigens beides dasselbe Ergebnis. In dem Fall müssen wir rechnen, 6 über 6, das ist 1. Mal 0,5⁶. Wir haben ja schon geklärt, dass hier immer, oder bei dem Term, allgemein immer 0,5⁶ herauskommt, beim sechsfachen Münzwurf. Ebenso ist 6 über 0 gleich 1. ×0,5⁶, und zum Vergleich, ich weiß jetzt auch gar nicht, ob es ein gerundeter Wert ist oder nicht, 0,015625. Ich glaube, der ist nicht gerundet. Das ist ein exakter Wert. Wenn du es nachrechnen möchtest, nur zum Vergleich, das ist jeweils dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass hier 6 mal Zahl geworfen wird, bzw. hier, dass keinmal Zahl geworfen wird. Und dann können wir noch uns vorstellen, wie die Sache allgemein aussieht, wenn wir eine Binomialverteilung so definieren, dass wir also nicht erst eine Zufallsgröße definieren und nicht erst uns einen Bernulliversuch vorstellen usw., sondern wir sagen einfach, wir haben den sechsfachen Münzwurf und wir gehen davon aus, dass die Ergebnisse, wie man so sagt, Bn,p verteilt sind, d. h., dass sich dieser sechsfache Münzwurf wie eine Binomialverteilung verhält. Und dann können wir solche Werte wie 2×Zahl, hier quasi direkt eingeben. n, in unserem Fall, ist 6. p ist 0,5. Und k, habe ich gesagt, soll 2 sein. Und dann können wir das einfach hinschreiben. (6 über 2)×0,5⁶. Ich verwende jetzt wieder das, was wir schon gesehen haben. Natürlich müsste man sonst, wenn p nicht 0,5 ist, hier das einzeln ausschreiben. Und da kommt dann das Ergebnis raus, was ich vorhin schon gezeigt habe. Noch eine kurze Anmerkung zu der Philosophie des Ganzen. Warum muss man das so ausrechnen? Letzten Endes ist es also so, dass wir zum einen intuitiv sagen, dass der sechsfache Münzwurf sich wie eine Binomialverteilung verhalten soll. Auf der anderen Seite können wir es auch experimentell überprüfen. Indem wir nämlich eine Münze werfen und kucken, ob dann die relativen Häufigkeiten in der Nähe dieser errechneten Wahrscheinlichkeiten sind, und das ist dann in den allermeisten Fällen der Fall. Deshalb können wir sagen, wir verwenden hier einfach die Binomialverteilung mit den entsprechenden Parametern und können so sehr schnell hier Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Viel Spaß damit, tschüss!