Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen Übung

• Beschreibe die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.

  Tipps

  Untersuche die Funktion $f(x)=x^3$ mit den obigen Aussagen.

  $f(x)=2x^3-x$ ist eine punktsymmetrische Funktion.

  Bei $f(x)=x^2+x+1$ liegt keine Symmetrie vor.

  Zum Beispiel gilt für $f(x)=x^3$ bei der Untersuchung der Achsensymmetrie:

  $f(2)=2^3=8$ und $f(-2)=(-2)^3=-8$.

  Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ist gegeben durch

  $f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.

  Lösung

  Die Untersuchung von Funktionen auf Symmetrie ist oftmals Teil einer Kurvenuntersuchung.

  Es ist insofern sinnvoll, eine Funktion auf Symmetrie zu untersuchen, als dadurch bekannt ist, dass alle gefundenen Punkte, welche nicht auf der y-Achse liegen, entsprechend zweimal vorkommen.

  Es gibt die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung:

  • Allgemein muss $f(x)=-f(-x)$ nachgewiesen werden.
  • Wenn die betrachtete Funktion ganzrational ist, genügt es, die Exponenten zu untersuchen. Wenn diese alle ungerade sind, ist die Funktion punktsymmetrisch.

  $f(x)=x^3$ ist zum Beispiel punktsymmetrisch, denn

  • zum einen ist $-f(-x)=-(-x)^3=-(-x^3)=x^3=f(x)$ und
  • zum anderen ist der einzige Exponent ungerade.

  Weiter gibt es die Achsensymmetrie zur y-Achse:

  • Allgemein wird $f(x)=f(-x)$ nachgewiesen.
  • Wenn die betrachtete Funktion ganzrational ist, genügt es, die Exponenten zu untersuchen. Wenn diese alle gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch.

  Übrigens: Eine Funktion kann nicht achsensymmetrisch zur x-Achse sein, da dies der Definition einer Funktion widersprechen würde.

• Bestimme die Symmetrie der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Wenn $f(x)=-f(-x)$ gilt, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  Wenn $f(x)=f(-x)$ gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Bei ganzrationalen Funktionen genügt es, die Exponenten zu untersuchen:

  • Sind alle Exponenten ungerade, dann ist die Funktion punktsymmetrisch.
  • Sind alle Exponenten gerade, dann ist die Funktion achsensymmetrisch.

  Betrachte die folgenden Beispiele:

  • $f(x)=x^4-x^2$: Diese Funktion ist achsensymmetrisch.
  • $f(x)=x^5-x$: Diese Funktion ist punktsymmetrisch.
  • $f(x)=x^5+x^2$. Diese Funktion ist weder achsen- noch punktsymmetrisch.

  Eine Funktion kann nur symmetrisch sein, wenn der Definitionsbereich symmetrisch ist.

  Zum Beispiel kann eine Funktion mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$ nicht symmetrisch sein.

  Lösung

  Wenn eine Funktion auf Symmetrie untersucht werden soll, kann man überprüfen, ob

  • $f(x)=-f(-x)$ gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, oder ob
  • $f(x)=f(-x)$ gilt, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Dies kann zum Beispiel bei $f(x)=x^4-3x^2$ überprüft werden: Es gilt $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)$. Diese Funktion ist also achsensymmetrisch.

  Bei ganzrationalen Funktionen kann die Untersuchung vereinfacht werden: Wenn alle Exponenten gerade (ungerade) sind, ist die Funktion achsensymmetrisch (punktsymmetrisch).

  Bei $f(x)=x^4-3x^2+x$ gibt es sowohl gerade ($4$ und $2$) als auch ungerade ($1$) Exponenten. Diese Funktion ist weder achsen- noch punktsymmetrisch.

  $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$ ist keine ganzrationale Funktion. Deshalb muss die oben aufgeführte Untersuchung durchgeführt werden:

  $f(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}2=\frac{e^{-x}+e^{x}}2=\frac{e^x+e^{-x}}2=f(x)$.

  Diese Funktion ist achsensymmetrisch.

  Die Funktion $f(x)=\frac 1x$ ist nur definiert für $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Trotzdem ist diese Funktion punktsymmetrisch, denn

  $-f(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x=f(x)$.

  Da der Definitionsbereich von $\sqrt x$ gegeben ist durch $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$, kann die Funktion nicht symmetrisch sein. Wenn $f$ für $x$ definiert ist, dann muss $x$ positiv sein. Damit ist $-x$ negativ und die Funktion ist, außer für $x \ge 0$, nicht definiert.

  Die letzte verbleibende Funktion ist $f(x)=\sqrt{1+x^2}$. Da der Term unter der Wurzel immer positiv ist, ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$. Es gilt $f(-x)=\sqrt{1+(-x)^2}=\sqrt{1+x^2}=f(x)$. Diese Funktion ist achsensymmetrisch.

• Entscheide, welche der Funktionen punktsymmetrisch ist.

  Tipps

  Du kannst $f(x)=-f(-x)$ überprüfen.

  Achte darauf, beim Potenzieren von negativen Termen Klammern zu verwenden.

  Ganzrationale Funktionen sind nur dann punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten ungerade sind.

  Konstanten können wie folgt als Potenz geschrieben werden. Am Beispiel $f(x)=5$:

  $f(x)=5\cdot x^0$.

  Dies ist ein gerader Exponent.

  Lösung

  Die Untersuchung

  $f(x)=-f(-x)$

  genügt immer, um eine Funktion auf Punktsymmetrie zu untersuchen.

  $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$:

  $-f(-x)=-\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}2=-\frac{e^{-x}-e^{x}}2=-\frac{-(e^x-e^{-x})}2=\frac{e^x-e^{-x}}2=f(x)$

  $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$:

  $-f(-x)=-\frac{-x}{(-x)^2+1}=\frac{x}{x^2+1}=f(x)$

  Wenn $f$ ganzrational ist, müssen alle Exponenten ungerade sein, damit die Funktion punktsymmetrisch ist:

  $f(x)=x^5+3x^3$

  Hier sind alle Exponenten ($5$ und $3$) ungerade. Auch diese Funktion ist punktsymmetrisch.

  Alle übrigen Funktionen sind nicht punktsymmetrisch. Es ist übrigens auch keine achsensymmetrische Funktion dabei.

• Bestimme die Koeffizienten, die $0$ sein müssen, damit die vorgegebene Symmetrie vorliegt.

  Tipps

  Beachte, dass eine Konstante als gerader Exponent gilt.

  Die Funktion $f(x)=x^4-2x^2+5$ ist achsensymmetrisch.

  Merke dir: Wenn bei einer ganzrationalen Funktion alle Exponenten gerade (ungerade) sind, ist die Funktion achsensymmetrisch (punktsymmetrisch).

  Anders ausgedrückt: Bei einer achsensymmetrischen Funktion darf kein ungerader Exponent auftreten.

  Lösung

  Bei ganzrationalen Funktionen gilt:

  • Wenn alle Exponenten gerade sind, dann ist die Funktion achsensymmetrisch und
  • wenn alle Exponenten ungerade sind, ist die Funktion punktsymmetrisch.

  In allen übrigen Fällen von ganzrationalen Funktionen liegt keine der beiden Symmetrien vor.

  Ein ganzrationale Funktion ist allgemein gegeben durch

  $f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0$.

  Der Grad dieses Polynoms ist $n$ und es muss $a_n\neq 0$ gelten.

  Eine Funktion mit geradem Grad (konstant, quadratisch, quartisch ...) kann - wenn überhaupt - nur achsensymmetrisch sein. Eine Funktion mit ungeradem Grad (linear, kubisch, quintisch, ...) kann - wenn überhaupt - nur punktsymmetrisch sein.

  Somit sind die Funktionen

  • $f(x)=ax^2+\underline b x+c$ sowie
  • $f(x)=ax^4+\underline b x^3+cx^2+\underline d x+e$

  achsensymmetrisch. Die unterstrichenen Koeffizienten müssen $0$ sein.

  Die Funktion $f(x)=ax^3+\underline bx^2+cx+\underline d$ ist punktsymmetrisch.

• Beschreibe die Achsensymmetrie zur y-Achse.

  Tipps

  Gemäß Definition einer Funktion darf zu jedem $x$ höchstens ein $y$ gehören.

  Achsensymmetrie liegt - wie der Name sagt - nur zu einer Achse vor.

  Wenn $f$ eine ganzrationale Funktion ist und alle Exponenten ungerade sind, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  Lösung

  Wie kann man Achsensymmetrie zur y-Achse nachweisen?

  • Allgemein muss $f(x)=f(-x)$ gelten.
  • Wenn die betrachtete Funktion ganzrational ist, genügt es, die Exponenten zu untersuchen. Wenn diese alle gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch.

  Eine Funktion kann übrigens nicht achsensymmetrisch zur x-Achse sein, da dies der Definition einer Funktion widersprechen würde.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Du kannst entweder die einzelnen Aussagen mit den obigen Nachweisen der Symmetrie beweisen oder - im Fall der Nichtgültigkeit - ein Gegenbeispiel angeben.

  Es genügt nicht, wahre Aussagen mit einigen Beispielen zu untersuchen.

  Hier siehst du den Nachweis für die Achsensymmetrie des Produktes achsensymmetrischer Funktionen:

  Seien $f$ und $g$ achsensymmetrisch, also $f(x)=f(-x)$ sowie $g(x)=g(-x)$.

  Dann ist $(f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)=(f\cdot g)(x)$.

  Dies ist gerade die Aussage der Achsensymmetrie.

  Lösung

  Die Summe punktsymmetrischer Funktionen

  • $f(x)=-f(-x)$ und $g(x)=-g(-x)$
  • Dann ist $-(f+g)(-x)=-f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)$ $~~~~~$✓

  Die Differenz achsensymmetrischer Funktionen

  • $f(x)=f(-x)$ und $g(x)=g(-x)$
  • Somit ist $(f-g)(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=(f-g)(x)$. Die Differenz ist somit achsensymmetrisch. Die entsprechende Aussage ist falsch.

  Das Produkt einer punkt- und einer achsensymmetrischen Funktion

  • $f(x)=-f(-x)$ und $g(x)=g(-x)$
  • Damit kann gefolgert werden: $-(f\cdot g)(-x)=-f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)=(f\cdot g)(x)$. Das Produkt ist also punktsymmetrisch und somit nicht achsensymmetrisch.

  Das Produkt zweier punktsymmetrischer Funktionen

  • $f(x)=-f(-x)$ und $g(x)=-g(-x)$
  • $(f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=(-f(x))\cdot(-g(x))=f(x)\cdot g(x)=(f\cdot g)(x)$. Diese Funktion ist also achsensymmetrisch.