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Prozentrechnung

Die Prozentrechnung findet in vielen Bereichen Anwendung. Das Wort „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und heißt übersetzt „für Hundert“ oder „pro Hundert“. Prozentangaben werden also verwendet, um einen Anteil an einem Ganzen anzugeben.

Dabei werden die folgenden Größen verwendet:

  • der Grundwert $G$
  • der Prozentwert $W$ und
  • der Prozentsatz $p$

Der Zusammenhang dieser Größen wird durch diese Formel für die Prozentrechnung beschrieben:

$\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$

Diese Formel kann mithilfe von Äquivalenzumformungen umgestellt werden je nachdem, welche Größe du berechnen möchtest.

Zinsrechnung

Ein Spezialfall der Prozentrechnung ist die Zinsrechnung. Immer wenn du Geld auf dein Sparbuch legst oder dir Geld von einer Bank leihst, spielen Zinsen eine wichtige Rolle. Es gibt im Grunde keinen Unterschied zur oben beschriebenen Prozentrechnung. Es werden allerdings andere, wirtschaftliche Begriffe verwendet:

  • Der Grundwert aus der Prozentrechnung heißt hier Kapital $K$, Guthaben oder Kredit.
  • Der Prozentwert heißt in der Zinsrechnung Zinsen.
  • Der Prozentsatz entspricht dem Zinssatz $p$.

Beispiele

Wir wollen die Prozentrechnung einmal näher kennenlernen und ein paar Grundaufgaben zur Prozentrechnung rechnen. Bei den meisten Aufgaben sind jeweils zwei der drei Größen $G$, $W$ und $p$ bekannt und die dritte muss berechnet werden.

Lieblingsfach Mathematik

$70\%$ der Kinder in der Klasse 8b mögen Mathematik. Die Gesamtzahl der Schüler ist $30$. Wie viele Kinder mögen Mathematik?

Welche Werte sind uns bereits bekannt?

  • Die Gesamtzahl der Kinder ist $G=30$.
  • Der Prozentsatz ist $p=70$ [$\%$]

Gesucht ist also der Prozentwert $W$. Setze nun die bekannten Größen in die Formel ein und forme diese nach der gesuchten Größe $W$ um:

$\begin{array}{ccclll}&\frac{W}{30}&=&\frac{70}{100}&|&\cdot 30\\\ \Leftrightarrow&W&=&\frac{70}{100}\cdot 30=21\end{array}$.

Insgesamt mögen also $21$ von $30$ Kindern in dieser Klasse Mathematik - da schlägt das Herz deiner Mathelehrerin bestimmt höher.

Bücherregal

Luke wirft einen Blick in sein Bücherregal. Es sind insgesamt $120$ Bücher. Davon sind $30$ Comics. Wie hoch ist der Prozentsatz?

936_Bücherregal.jpg

Wir können die bekannten Größen in die Formel einsetzen:

$\begin{align} &~& \frac{30}{120} &= \frac{p}{100} &|\cdot 100\\\ &\Leftrightarrow& p & =\frac{30}{120} \cdot 100=25 \end{align}$

$25 ~\%$ von Lukes Büchern sind Comics.

Das hätten wir auch mit dem Dreisatz lösen können:

936_Dreisatz_Prozentrechnung.jpg

Du weißt, dass der Grundwert $100\%$ entspricht. Wie viel Prozent entspricht dann der Prozentwert?

  • Zuerst dividierst du $G=120$ durch $12$, um auf $10$ zu kommen (mit $10$ können wir gut weiter rechnen). Dies entspricht $\frac{25}3\%$.
  • Dann multiplizierst du mit $3$, um auf $W=30$ zu kommen. Dies entspricht $25\%$.

Die Prozentrechnung ist ein Beispiel für eine direkt proportionale Zuordnung. Direkt proportional bedeutet: Je mehr desto mehr.

Festival

$130$ Besucher eines Festivals sind von außerhalb angereist: Das sind $20~\%$. Wie viele Besucher befinden sich auf dem Festival? $W$ und $p$ sind bekannt, $G$ wird gesucht.

$\begin{align} &~& \frac{130}{G} &= \frac{20}{100} &|& \cdot G\\ &\Leftrightarrow& 130 & = \frac{20}{100}\cdot G &|& \cdot \frac{100}{20}\\ &\Leftrightarrow& G & = 130\cdot \frac{100}{20}=650 &~& \end{align}$

Insgesamt befinden sich also $G=650$ Besucher auf dem Festival.

Weitere Begriffe der Prozentrechnung und Beispiele

Prozentuale Veränderung

Herr Kopp hat eine Lohnerhöhung erhalten. Vor der Lohnerhöhung hat er $3500~€$ erhalten und danach $3700~€$. Die prozentuale Veränderung lässt sich mithilfe dieser Formel berechnen:

$p=\frac{\text{Wert}_{\text{neu}}-\text{Wert}_{\text{alt}}}{\text{Wert}_{\text{alt}}}=\frac{3700~€-3500~€}{3500~€}\approx 5,7~\%$

Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Ein Wald wird neu aufgeforstet. Dadurch wird die gesamte Fläche des Waldes von Jahr zu Jahr um $5\%$ größer. Wie groß ist die Fläche nach einem Jahr oder nach fünf Jahren, wenn die anfängliche Fläche $10~ha$ beträgt?

  • Die Wachstumsrate ist $p=5$ [$\%$].
  • Der Wachstumsfaktor ergibt sich als $1+\frac{p}{100}=1,05$.

Somit kannst du die Wachstumsfunktion aufschreiben:

$A(t)=10\cdot 1,05^t$

Dabei ist $t$ die Zeit in Jahren und $A(t)$ die Waldfläche nach $t$ Jahren.

  • $A(1)=10\cdot 1,05=10,5~ha$ beschreibt die Waldfläche nach $1$ Jahr.
  • $A(5)=10\cdot 1,05^5\approx 12,76~ha$ beschreibt die Waldfläche nach $5$ Jahren.

Rabatte

Paula möchte sich eine neue Jeans kaufen. Eine Jeans, die sie sich ausgesucht hat, kostet $80~€$. Heute gibt es auf jeden Artikel $15\%$ Rabatt. Wie viel kostet die Jeans jetzt?

  • Zuerst rechnet Paula aus, wie viel $15\%$ Rabatt von $80~€$ sind: $W=\frac{15}{100}\cdot 80~€=12~€$.
  • Nun kann sie die $12~€$ abziehen: $80~€-12~€=68~€$.

Paula muss für die Hose $68~€$ bezahlen.

Mehrwertsteuer

Die Mehrwertsteuer, abgekürzt MwSt, wurde am 1. Januar 1968 eingeführt. Unternehmen addieren zu dem Nettobetrag die Mehrwertsteuer. Dieser neue Betrag heißt Bruttobetrag. Du hast vielleicht auf Rechnungen schon einmal die Mehrwertsteuer gesehen. Dabei ist dir vielleicht auch aufgefallen, dass es sowohl $7\%$ als auch $19\%$ Mehrwertsteuer gibt. Das hängt von der entsprechenden Ware oder Arbeit ab.

Die Firma Farbenfroh streicht das Haus der Familie Glasbachtal.

US081_Pinsel2.jpg

Der Nettobetrag der Rechnung beträgt $2500~€$. Die Chefin der Firma Farbenfroh erinnert sich, dass sie ja noch die Mehrwertsteuer berechnen muss. Diese muss sie noch zur Rechnung hinzufügen:

  • $2500~€\cdot 19\%=475~€$. Dies ist der Mehrwertsteuerbetrag.
  • $2500~€+475~€=2975~€$. Dies ist der Bruttobetrag, den Familie Glasbachtal zahlen muss.

Kredite und Tilgung

Familie Glasbachtal möchte auch noch das Dach ihres Hauses neu decken lassen. Die Gesamtkosten betragen $12000~€$. Dafür müssen sie einen Kredit aufnehmen.

Bankschild.jpg

Sie müssen der Bank Zinsen in Höhe von $7,9\%$ bezahlen. Monatlich können sie eine Rate von $350~€$ bezahlen. Der Sachbearbeiter der Bank erstellt einen Tilgungsplan für den Kredit. Diesen kannst du hier für die ersten zwei Monate sehen:

  1. Zum Ende des ersten Monats fallen Zinsen in Höhe von $12000~€\cdot \frac{7,9}{12\cdot 100}=79~€$ an. Die Rate beträgt $350~€$. Die Tilgung eines Kredites berechnet sich durch die Differenz aus Rate und Zinsen: $350~€-79~€=271~€$. Wenn man diesen Betrag von der Kreditsumme subtrahiert, erhält man die Restschuld: $12000~€-271~€=11729~€$.
  2. Zum Ende des zweiten Monats fallen wieder Zinsen an. Diese werden natürlich nur auf die Restschuld angerechnet: $11729~€\cdot \frac{7,9}{12\cdot 100}=77,22~€$. Die Tilgung beträgt dann $350~€-77,22~€=272,78~€$. Dies wird wieder von der Restschuld abgezogen, um zur neuen Restschuld zu gelangen: $11729~€-272,78~€=11456,22~€$.

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Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert

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18136 anwendungen der prozentrechnung %e2%80%93 rabatt und skonto.standbild002 Anwendungen der Prozentrechnung – Rabatt und Skonto Anzeigen Herunterladen
Vlcsnap 2013 07 15 12h53m43s118 Grundaufgaben zur Prozentrechnung – Übung Anzeigen Herunterladen
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