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Zahlbereiche – Überblick 07:48 min

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Transkript Zahlbereiche – Überblick

Hallo, da bin ich wieder, eure Sabine Blumenthal. In diesem Video geht es noch einmal um Zahlbereiche. Du siehst jetzt das zweite Video zu diesem Thema und lernst mit diesem Film alle Zahlbereiche bis zu den rationalen Zahlen kennen. Außerdem erkläre ich dir die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen. Was ist nötig, damit du heute alles gut verstehst? Natürlich solltest du die vier Grundrechenarten kennen und relativ sicher mit natürlichen und gebrochenen Zahlen rechnen können. Fangen wir also an. Du siehst hier einen Zahlenstrahl, so wie du ihn schon seit der ersten Klasse kennst und da kommt auch schon Herr N, den wir ja schon aus dem Video “Zahlbereiche I” kennen. Er repräsentiert den Teilbereich der Natürlichen Zahlen. In grün markiere ich dir hier die ersten Vertreter aus diesem Zahlbereich. Wie du weißt, gibt es unendlich viele Natürliche Zahlen und mit diesen drei Pünktchen hier wird diese Unendlichkeit angedeutet. Hier zeigt dir Herr N, wie sein Zahlbereich mathematisch korrekt geschrieben wird. Ein großes N mit dem Doppelstrich und nach dem Gleichheitszeichen die ersten Vertreter in einer geschweiften Klammer. Diese Schreibweise wird immer benutzt, wenn Mengen beschrieben werden sollen. Achte darauf, die Elemente der Menge, also die einzelnen Zahlen, mit einem Semikolon zu trennen. Im Video “Zahlbereiche I” hast du bereits Herrn Q+ kennengelernt. Er bringt uns die positiven Gebrochenen Zahlen mit, wie z.B. die Brüche 1/2 oder 11/4. Du weißt bereits, dass Gebrochene Zahlen auch als Dezimalzahlen, oder auch Kommazahlen, geschrieben werden können. Die Natürliche Zahl 4 gehört also auch zu Herrn Q+, denn 4 kannst du auch als 4,0 schreiben und 4,0 ist ganz eindeutig eine Dezimalzahl. Die 6,5 ist ein weiteres Beispiel für eine Dezimalzahl. Hier siehst du nun die Schreibweise für die Menge der positiven Gebrochenen Zahlen, also für den Zahlbereich von Herrn Q+. Das sieht aber komisch aus, denkst du, in der Menge stehen ja gar keine Zahlen. Richtig beobachtet! Natürliche Zahlen kannst du der Reihe nach aufzählen und wenn du sehr viel Zeit hast, kannst du sogar ganz viele natürliche Zahlen aufzählen. Deshalb beschreibt man diese Menge mit Hilfe von Variablen. Jede positive Gebrochene Zahl kannst du als Bruch schreiben, mit Variablen schreibst du a durch b. Dabei musst du beachten, dass a und b selbst Natürliche Zahlen sind. Die Zahl b darf nicht null sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Bevor wir zu den anderen Zahlbereichen kommen, lass uns doch mal überlegen, warum ist es eigentlich nötig, die Zahlbereiche zu erweitern? Erinnere dich an unserer Tabelle zur Ausführbarkeit von Rechenoperationen. Im Zahlbereich der Natürlichen Zahlen waren die Subtraktion und die Division nicht immer ausführbar. Wir haben die Natürlichen Zahlen zum Zahlbereich der positiven Gebrochenen Zahlen erweitert. Warum ist es nun immer noch nötig, die Zahlbereiche zu erweitern? Ganz klar! Mit natürlichen und positiven Gebrochenen Zahlen können wir nicht alle Rechenoperationen ausführen. Uns fehlt immer noch eine Grundrechenart, wie du an diesen Beispielen sehen kannst in N und Q+ können wir nicht ohne Einschränkung subtrahieren. Oh, hallo, da kommt Frau Z, aber was haben Sie denn mit unserem Zahlenstrahl gemacht? Frau Z hat die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die ja bis plus unendlich gehen, auf die andere Seite von der null geklappt, also die natürlichen Zahlen am Nullpunkt gespiegelt. Dadurch ist die Zahlengerade bis minus unendlich entstanden. Frau Z repräsentiert den Zahlbereich der ganzen Zahlen. In hellgrün siehst du hier ein paar Beispiele für Ganze Zahlen im positiven und negativen Bereich. Hier siehst du die Mengenschreibweise für den Zahlbereich der Ganzen Zahlen. Auch diese Menge enthält unendlich viele Elemente, sodass wir nur ein paar aufschreiben können. Du erkennst sicher den Unterschied zur Menge der Natürlichen Zahlen, denn die Ganzen Zahlen gehen auch im negativen Bereich bis ins Unendliche. Schauen wir uns nun noch einmal unsere Tabelle zur Ausführbarkeit der Rechenoperationen an. Bei den natürlichen Zahlen können wir Subtraktion und Division nicht immer ausführen. Im Zahlbereich Q+ der positiven Gebrochenen Zahlen können wir immer dividieren, nur die Subtraktion ist nicht immer ausführbar. Dagegen können wir im Zahlbereich Z der Ganzen Zahlen immer subtrahieren. Hier ist die Division nicht immer ausführbar. Im Zahlbereich Q der Rationalen Zahlen sind endlich alle Grundrechenarten immer ausführbar. Sehen wir uns nun noch an, welche Beziehungen zwischen den einzelnen Zahlbereichen bestehen. Dazu zeichnen wir ein Mengendiagramm. Hier siehst du als erstes die Menge der Natürlichen Zahlen und ich habe dir einige Beispiele für Natürliche Zahlen in die Menge hineingeschrieben. In einem größeren Kreis folgt jetzt die Menge der Ganzen Zahlen. Die Natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der Ganzen Zahlen, denn jede Natürliche Zahl ist ja gleichzeitig eine positive Ganze Zahl. Der größte dir bis jetzt bekannte Zahlenbereich ist die Menge der Rationalen Zahlen. Die Menge der Rationalen Zahlen enthält neben den Natürlichen und den Ganzen Zahlen auch die positiven und negativen Gebrochenen Zahlen. Um diese Beziehungen zwischen den Zahlbereichen zu beschreiben, musst du nicht jedes Mal ein solches Mengendiagramm zeichnen, du kannst es auch mit Mathevokabeln schreiben und das sieht dann so aus: N ist eine Teilmenge von Z und die ist eine Teilmenge von Q. Was hast du nun heute gelernt? Du kennst jetzt die Zahlbereiche N der Natürlichen Zahlen, Z der Ganzen Zahlen und Q der Rationalen Zahlen und du weißt, nur in Q sind alle Grundrechenarten uneingeschränkt ausführbar. Na, alles verstanden? Prima! Tschüss dann, bis zum nächsten Mal.

8 Kommentare
  1. Hallo Sabine, ich finde dein Intro total süß und außerdem erklärst du immer sehr gut!

    Von Greta J., vor 12 Monaten
  2. gut gemacht

    Von Sandra Schaal, vor mehr als einem Jahr
  3. dieses Intro

    Von Tim F., vor mehr als einem Jahr
  4. super erklärt

    Von Laura O., vor fast 2 Jahren
  5. war ein bisschen Blöd gewesen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Laura O., vor fast 3 Jahren
  1. cool,supi erklärt. :-)

    Von Jonas Nelly b., vor fast 3 Jahren
  2. Hallo Klaus O.! Wenn das Intro mit der Biene dich nervt (was ich sogar nachvollziehen kann, wenn du dir schon mehrere Videos von mir angesehen hast!), dann überspring das Intro doch einfach. Dann schaust du die Videos eben ohne das Intro. Gruß! Sabine B.

    Von Sabine Blumenthal, vor mehr als 6 Jahren
  3. Gut erklärt aber die Biene nervt langsam

    Von Klaus O., vor mehr als 6 Jahren
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Zahlbereiche – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zahlbereiche – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Aussagen zur Ausführbarkeit der Grundrechenarten.

    Tipps

    Ist $4-7$ eine natürliche Zahl?

    Verteile 11 Schokokäfer auf 7 Personen. Kannst du dies durchführen, ohne ein paar Schokokäfer zu teilen?

    Kommt bei der Differenz $\frac{2}{5}-\frac{3}{5}$ eine positive rationale Zahl heraus?

    Lösung

    Das Zahlensystem ist so aufgebaut, dass zu bekannten Zahlen immer welche hinzukommen, um Rechenoperationen durchführen zu können.

    In den natürlichen Zahlen kannst du addieren und multiplizieren: Die Summe und auch das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl. Wie sieht das mit der Subtraktion aus? $4-7$ ist im Bereich der natürlichen Zahlen nicht möglich.

    Also werden die negativen ganzen Zahlen hinzugenommen. Der neue Zahlenbereich ist die Menge der ganzen Zahlen. $4-7=-3$ und $-3$ ist eine ganze Zahl.

    Die Summe, die Differenz und auch das Produkt zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Aber wie sieht es mit der Division aus? $7:3$ ist im Bereich der ganzen Zahlen nicht möglich.

    Also wird das Zahlensystem wieder erweitert zu den rationalen Zahlen. Es kommen also die gebrochenen Zahlen bzw. Bruchzahlen hinzu. $\frac{7}{3}$ ist eine rationale Zahl. Jede rationale Zahl lässt sich auch als Dezimalzahl schreiben. Man sagt dazu auch Kommazahl. Die rationalen Zahlen sind Dezimalzahlen, die entweder endlich viele Nachkommastellen haben oder periodisch sind.

    Im Bereich der rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten uneingeschränkt möglich.

  • Benenne die Grundrechenart, welche in der Zahlenmenge nicht uneingeschränkt möglich ist.

    Tipps

    Ist der Quotient $\frac{-4}{3}$ eine ganze Zahl?

    Ein Quotient ist das Ergebnis einer Division.

    Ist die Differenz $2-\frac{9}{4}$ eine positive rationale Zahl?

    Die Differenz ist das Ergebnis einer Subtraktion.

    Lösung

    In den natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$) kannst du addieren und multiplizieren. Die Summe und auch das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

    Die Summe, das Produkt und auch der Quotient zweier positiver rationaler Zahlen ist wieder eine positive rationale Zahl. Du kannst also addieren, multiplizieren und dividieren. Im Bereich der positiven rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}^+$) kannst du nicht uneingeschränkt subtrahieren.

    Die Summe, die Differenz und auch das Produkt zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Hier kannst du addieren, subtrahieren und multiplizieren. Im Bereich der ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$) kannst du nicht uneingeschränkt dividieren.

    Im Bereich der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) sind alle vier Grundrechenarten uneingeschränkt möglich.

  • Gib zu den Zahlenbereichen die Mengenschreibweise an.

    Tipps

    Die ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

    Die positiven rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}^+$) sind positive Bruchzahlen. Sie lassen sich als Kommazahlen aufschreiben. Kommazahlen nennt man auch Dezimalzahlen.

    Was ist der Unterschied zwischen $\frac{-1}{2}$ und $\frac{1}{2}$? Welches ist eine positive rationale Zahl? Welche Zahlen stehen im Zähler und Nenner?

    Lösung

    Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich schreiben als

    $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;5;...\}$.

    Zwei Elemente der Menge werden durch ein Semikolon $;$ getrennt.

    Die Menge der positiven rationalen Zahlen beinhalten nur positive Zahlen.

    $\mathbb{Q}^+=\left\{\frac{a}{b};~a,b\in\mathbb{N},~b≠0\right\}$

    Die Menge aller rationaler Zahlen wird so geschrieben

    $\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b};~a,b\in\mathbb{Z},~b≠0\right\} .$

    Hier sind $a$ und $b$ ganze Zahlen. Hier sind also auch die negativen gebrochenen Zahlen enthalten.

    Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet alle natürlichen Zahlen und deren Gegenzahlen, d.h., sie unterschieden sich nur in ihrem Vorzeichen.

    $\mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}$.

  • Untersuche in welchem Zahlenbereich die Gleichungen lösbar sind.

    Tipps

    Löse jede Gleichung und schaue, in welchem Zahlenbereich sich die Lösung befindet.

    Liegt eine Lösung im Bereich der natürlichen Zahlen, so liegt sie auch im Bereich der ganzen Zahlen, der positiven rationalen Zahlen und auch der rationalen Zahlen.

    Das Satzende ist daran erkennbar, dass nicht jede Zahlenmenge Teilmenge einer anderen ist.

    Die letzte Gleichung ist nur in einem Zahlenbereich lösbar.

    Lösung
    • $2\cdot x=8$ hat die Lösung $x=4$ und dies ist eine natürliche Zahl. Natürlich ist $4$ auch eine positive rationale, eine ganze und eine rationale Zahl.
    • $17+x=11$ besitzt die Lösung $x=-6$. Dies ist eine ganze Zahl und damit auch eine rationale Zahl.
    • $x\cdot 3=4$ hat als Lösung $x=\frac{4}{3}$. Dies ist eine positive rationale Zahl und auch eine rationale Zahl.
    • $x+3,5=2$ hat als Lösung $x=-1,5$. Dies ist eine rationale Zahl. In jedem der anderen drei Zahlenbereiche $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Q}^+$ ist diese Gleichung nicht lösbar.
  • Ordne die Zahlen den entsprechenden Zahlenmengen zu.

    Tipps

    $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}$. Du kannst viele natürliche Zahlen aufzählen, wenn du genügend Zeit hast.

    $\mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}$. Auch ganzen Zahlen könntest du aufzählen.

    Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.

    Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.

    Also ist auch jede natürliche Zahl eine rationale Zahl.

    Lösung
    • Die natürlichen Zahlen sind $\mathbb{N}=\{0; 1; 2; 3; ...\}$. Wenn du noch ein bisschen weiterzählst, so gelangst du zu der natürlichen Zahl $14$.
    • $\frac{1}{2}$ ist ein Bruch. Brüche sind rationale Zahlen. Da $\frac{1}{2}$ positiv ist, ist es eine positive rationale Zahl. Jede natürliche Zahl ist auch eine positive rationale Zahl, da zum Beispiel $14=\frac{14}{1}=\frac{28}{2}...$.
    • $\frac{12}{4}=3$. Das stimmt. In der ungekürzten Darstellung $\frac{12}{4}$ handelt es sich aber um eine rationale Zahl, also eine Bruchzahl.
    • Jede natürliche und jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Jede natürliche und ganze Zahl lässt sich mit dem Nenner $1$ schreiben. Jede rationale Zahl lässt sich auch als Dezimalzahl oder Kommazahl schreiben.
    • $-7$ ist eine ganze Zahl. Ohne das Minus-Zeichen wäre es eine natürliche Zahl. Deshalb ist $-7$ auch eine rationale Zahl, die sich als Bruch $-\frac{7}{1}$ schreiben lässt.
  • Untersuche die folgenden Aussagen über die Zahlenmengen.

    Tipps

    Wenn du bei einer Aussage denkst „Die könnte nicht stimmen.“, kannst du nach einem Gegenbeispiel suchen.

    Ist zum Beispiel $\frac{1}{2}-3$ eine positive rationale Zahl?

    Überlege dir, welche Grundrechenarten in welchem Zahlenbereich uneingeschränkt durchgeführt werden können.

    Lösung

    Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl und diese wiederum auch eine rationale Zahl.

    In der mathematischen Schreibweise bedeutet dies: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

    Es gilt auch noch die folgende Teilmengenbeziehung: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Q}^+ \subset \mathbb{Q}$.

    Jedoch ist die Menge der ganzen Zahlen keine Teilmenge der positiven rationalen Zahlen. Die ganzen Zahlen beinhalten auch die negativen Zahlen, wie zum Beispiel $-3$.

    Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede natürliche Zahl ist auch eine positive rationale Zahl. Somit ist 3 eine natürliche, eine ganze und eine positive rationale Zahl.

    Nur im Bereich der rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten uneingeschränkt möglich. Also sind auch nur in diesem Bereich Gleichungen mit den vier Grundrechenarten uneingeschränkt lösbar.

    Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier ganzer Zahlen ist auch wieder eine ganze Zahl.

    Die Summe, das Produkt und auch der Quotient zweier positiver rationaler Zahlen ist wieder eine positive rationale Zahl. Dies gilt nicht für die Differenz. Zum Beispiel ist $\frac{1}{2}-3=-2,5$ sicher keine positive rationale Zahl.