sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz? 07:46 min

Textversion des Videos

Transkript Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz?

Hallo und herzlich willkommen. Das Dreisatzrechnen ist sicher eine der am häufigsten benutzten Rechentechniken des alltäglichen Lebens. Im Lebensmittelmarkt kosten drei Liter Milch 2,40 €. Was kosten dann fünf Liter? Oder: Wie lange dauert das Aufräumen nach der Party, wenn drei statt zwei mit anpacken? Beide Beispiele sind angewandter Dreisatz. Im Folgenden erkläre ich, wie wir Größen einander zuordnen können und wie wir zur Umrechnung den Dreisatz verwenden. Anschließend üben wir das Gelernte an zwei Aufgaben. In den Eingangsbeispielen werden jeweils zwei Größen betrachtet, die einander zugeordnet sind. Zum Beispiel die Milchmenge und der Preis. Mehr Milch kostet auch mehr, klar. Doch wir können das noch genauer fassen: Doppelt so viel Milch kostet auch doppelt so viel Geld. Man sagt: die beiden Größen sind proportional zueinander. Verdopple ich die Zahl der Liter von drei auf sechs, dann verdoppelt sich auch der Preis von 2,40 € auf 4,80 €. Und verdreifache ich anschließend die Literzahl auf 18, dann verdreifacht sich auch der Preis. 3 ⋅ 4,40 € = 14,40 €. Halbiere ich anschließend die Milchmenge auf neun Liter, dann halbiert sich auch der Preis auf 7,20 €. In beiden Spalten wird also immer mit demselben Faktor multipliziert oder dividiert. Erst mal zwei, dann mal drei, dann geteilt durch zwei. Wir merken uns: Proportional bedeutet salopp: Verdoppelt, verdreifacht oder vierfacht sich die eine Größe, so verdoppelt, verdreifacht oder vervierfacht sich auch die andere Größe. Beim zweiten Eingangsbeispiel ist es genau umgekehrt. Wenn nach einer Party mehr Leute beim Aufräumen helfen, so braucht das weniger Zeit. Zwei brauchen drei Stunden, vier nur die Hälfte, also 1,5 Stunden, acht brauchen eine Dreiviertelstunde und so weiter. Eine solche Zuordnung nennen wir antiproportional. In unserer Tabelle siehst du, dass wir in der zweiten Spalte immer das Umgekehrte zur ersten Spalte machen. Links rechnen wir mal zwei und rechts geteilt durch zwei. Wir merken uns: Antiproportional bedeutet: Verdoppelt, verdreifacht oder vervierfacht sich die eine Größe, so halbiert, drittelt oder viertelt sich die andere Größe. Nun erkläre ich dir, wie du zur Umrechnung solcher Zuordnungen den Dreisatz anwendest. Wir hatten ja anfänglich schon folgendes Problem beschrieben: Angenommen, wir wissen, dass drei Liter Milch 2,40 €, möchten aber wissen, wie viel dann fünf Liter kosten. Wie können wir dieses Problem lösen? Ich mache es dir kurz vor. Als erstes ist es wichtig festzustellen, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Denn je mehr Milch du kaufst, desto mehr musst du zahlen. Den Preis berechnen wir in drei Schritten, deshalb heißt es Dreisatz. Wir zeichnen hierfür wieder eine Tabelle. Die erste Zeile enthält die Ausgangsgleichung, drei Liter kosten 2,40 €. Jetzt legen wir einen Zwischenschritt ein und berechnen, wie viel ein Liter Milch kostet. Wir teilen dadurch beide Spalteneinträge durch drei. Somit kostet ein Liter Milch 80 Cent. Im dritten Schritt gehen wir dann zu unserer Zielgleichung und multiplizieren in beiden Spalten mit fünf. Fünf Liter Milch kosten 5 mal 0,8 = 4 €. Nun das Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung. Wir haben ja bereits festgestellt, dass das Aufräumen nach der Party schneller geht, desto mehr Personen helfen. Also zwei Leute brauchen drei Stunden zum Aufräumen, das ist unsere Ausgangsgleichung. Wir wollen berechnen, wie viel Zeit drei Personen zum Aufräumen benötigen. Wir berechnen dazu als Erstes, wie lange eine einzige Person benötigen würde. Links muss ich durch zwei teilen, rechts mit zwei multiplizieren. Eine Personen braucht sechs Stunden, für drei Leute muss ich dann links mit drei multiplizieren, rechts hingegen durch drei teilen. Drei Leute brauchen dann also zwei Stunden. Üben wir nun die beiden Dreisatzformen: A) Ein PKW hat bei einer Messung auf 270 Kilometer durchschnittlich 22,5 Liter Benzin verbraucht. Berechne, wie weit er dann beim selben Benzinverbrauch mit einer Tankfüllung von 60 Litern fahren kann. Wir haben es mit einer proportionalen Zuordnung zu tun. Unsere Ausgangsgleichung ist 22,5 Liter reichen für 270 Kilometer. Dann reicht ein Liter für 270 geteilt durch 22,5, ist gleich zwölf Kilometer. Mit 60 Litern komme ich dann 60 mal zwölf ist gleich 720 Kilometer weit. Vorausgesetzt, der Benzinverbrauch bleibt gleich. Aufgabe B). Ein Großbauer benötigt für die Weizenernte mit neun Mähdreschern vier Tage. Berechne, wie lange er benötigen würde, wenn er sich drei weitere kauft. Das ist eine antiproportionale Zuordnung. Unsere Ausgangsgleichung schreiben wir in eine Tabelle. Neun Mähdrescher brauchen vier Tage, dann braucht ein Mähdrescher vier mal neun, ist gleich 36 Tage. Links durch neun teilen, rechts mal neun. Zwölf Mähdrescher reduzieren die Zeit auf 36 geteilt durch zwölf gleich drei Tage. Wir rechnen wieder links mal zwölf, rechts geteilt durch zwölf. Also Antwortsatz können wir formulieren, dass der Bauer mit zwölf Mähdreschern nur noch drei Tage für die Ernte benötigt. An diesen Beispielen hast du die Anwendung des Dreisatzes sehen können. Vielleicht fallen dir ja spontan noch mehr Beispiele ein, die du in deinem Alltag mit dem Dreisatz lösen kannst. Tschüs.

101 Kommentare
  1. Vielen Dank für euer positives Feedback! Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor etwa 2 Monaten
  2. Danke für alle Videos.
    Ich habe aufs Gymnasium gewechselt und bin deswegen schlechter geworden, deswegen versuche ich es mit Sofatutor zu machen(also besser werden)
    Vielen Dank Ruth

    Von Stanislaw Tr, vor etwa 2 Monaten
  3. Gut erklärt!

    Von Cylia Yan, vor etwa 2 Monaten
  4. gut

    Von Ahsan B., vor 2 Monaten
  5. Richtig gut

    Von Gautamvipan, vor 7 Monaten
Mehr Kommentare

Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz? kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die Sätze zum Dreisatz sinnvoll.

    Tipps

    Proportionale Zuordnungen heißen auch Je-mehr-desto-mehr-Zuordnungen.

    Antiproportionale Zuordnungen heißen auch Je-mehr-desto-weniger-Zuordnungen.

    Lösung

    Um beim Rechnen den Dreisatz anwenden zu können, muss erst bestimmt werden, ob es sich bei der Aufgabe um eine proportionale Zuordnung oder eine antiproportionale Zuordnung handelt.

    Eine Zuordnung wird proportional genannt, wenn beide Größen mit demselben Faktor multipliziert werden. Verdoppelt man beispielsweise die erste Größe, so wird auch die zweite Größe verdoppelt. Halbiert man die erste Größe, so wird auch die zweite Größe halbiert usw. Daher werden proportionale Zuordnungen auch Je-mehr-desto-mehr-Zuordnungen genannt.

    Antiproportionale Zuordnungen werden hingegen Je-mehr-desto-weniger-Zuordnungen genannt. Wenn man also eine Größe verdoppelt, so wird die zweite Größe halbiert. Oder drittelt man die erste Größe, so verdreifacht man die zweite Größe usw. Das Produkt zweier zugeordneten Größen wird dabei immer gleich bleiben.

  • Berechne die gesuchten Angaben.

    Tipps

    Die Geldbeträge werden immer mit Komma geschrieben.

    Je mehr Milch man kaufen will, desto mehr muss man zahlen.

    Wie geht man beim Dreisatz vor? Welcher Zwischenwert eignet sich hier?

    Lösung

    Ist eine Zuordnung proportional, so werden beide Größen immer mit demselben Faktor multipliziert oder dividiert.

    In dieser Aufgabe gibt es zwei Anfangswerte, die einander zugeordnet sind. Der Preis für $3$ Liter Milch beträgt $2,40~€$. Mit diesen Werten können alle anderen Preise oder Liter-Angaben berechnet werden. Möchte man $4$ Liter Milch kaufen, so muss zunächst der Preis für einen Liter Milch berechnet werden. Dafür dividiert man beide Werte durch $3$ und erhält: $3 : 3 = 1$ und $2,40~€ : 3 = 0,80~€ $.

    Mit dem Preis für $1$ Liter Milch kann nun der Preis für $4$ Liter Milch berechnet werden: $0,80~€ \cdot 4 = 3,20~€$. Für $4$ Liter Milch muss man $3,20~€$ bezahlen.

    Auf dieselbe Weise kannst du auch die weiteren Werte bestimmen.

    Für $5$ Liter Milch bezahlt man $4~€$
    Für $10$ Liter Milch bezahlt man $8~€$

  • Entscheide, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

    Tipps

    Eine proportionale Zuordnung ist zum Beispiel das folgende: $3$ Liter Milch kosten im Supermarkt $2,40~€$, wie viel kosten $5$ Liter?

    Halbiert sich ein Wert auf der einen Seite, so verdoppelt er sich auf der anderen Seite. Das ist ein Merkmal für eine antiproportionale Zuordnung.

    Lösung
    • Felix geht jeden Sonntag Zeitungen austragen, in $2$ Stunden schafft er $34$ Zustellungen. Wie lange muss er heute arbeiten um seinen gesamten Stapel mit $136$ Zeitungen zu verteilen?

    $\Rightarrow$ Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, da die Anzahl der verteilten Zeitungen gleichermaßen mit der Anzahl der Stunden steigt. Daher heißen proportionale Zuordnungen auch Je-mehr-desto-mehr-Zuordnungen.

    Antwort: Er braucht $8$ Stunden.

    • Für eine Baustelle werden $800 \text{t}$ Sand benötigt, wenn Unternehmer Uwe dafür $2$ Fahrer engagiert brauchen diese $16$ Stunden. Wie lange würden $8$ Fahrer brauchen?
    $\Rightarrow$ Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, da sich die Anzahl der benötigten Stunden halbiert, wenn sich die Fahreranzahl verdopppelt. Daher werden solche Zuordnungen au Je-mehr-desto-weniger-Zuordnungen gennant.

    Antwort: $8$ Fahrer würden $4$ benötigen.

    • Emilie möchte heute Erdbeeren kaufen, $1 \text{ kg}$ kostet $2,99 \text{ €}$. Ab $5\text{ kg}$ gibt es Rabatt $1,00 \text{ €}$ pro Kilogramm, wie viel müsste sie für $7 \text{ kg}$ bezahlen?
    $\Rightarrow$ Hierbei handelt es sich aufgrund des Rabattes werden um eine proportionale, noch um eine antiproportionale Zuordnung. Wir können keinen Dreisatz nutzen.

    • Für seine Freunde möchte Jan Muffins backen, im Rezept steht, dass er für $12$ Muffins $3$ Eier braucht. In seinem Kühlschrank befinden sich aber noch $6$ Eier. Wie viele Muffins kann er damit backen?
    $\Rightarrow$ Hier handelt es sich wie in der ersten Aufgabe um eine proportionale Zuordnung.

    Antwort: Er könnte mit den $6$ Eiern $24$ Muffins backen.

    • Biologe Bernd studiert das Bakterienwachstum in einer Petrischale. Nach $2$ Stunden befinden sich $100$ Bakterien in seiner Probe, nach $5$ Stunden sind es schon $8000$. Wie viele waren es nach einer Stunde?
    $\Rightarrow$ Für eine antiproportionale Zuordnung müsste sich aus beiden Wertepaaren, die selbe Bakterienanzahl für eine Stunde berechnen lassen, es gilt aber:

    $100:2=50\neq1600=8000:5$

    Da es aber in mehr Stunden mehr Bakterien werden, handelt es sich hierbei nun weder um eine proportionale noch antiproportionale Zuordnung. Du wirst später noch so etwas wie exponentielle Zuordnungen kennenlernen.

  • Bestimme die Anzahl der Tage, die drei Arbeiter brauchen würden.

    Tipps

    Finde als Erstes heraus, um was für eine Zuordnung es sich handelt.

    Erstelle eine Tabelle, um den Dreisatz übersichtlich durchzuführen.

    Lösung

    Rechnet man mit dem Dreisatz, so muss man zunächst klären, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

    In diesem Fall handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung: Je mehr Arbeiter das Dach decken, desto weniger Zeit brauchen sie dafür.

    Das Erstellen einer Tabelle hilft beim Berechnen und bietet dabei eine gute Übersicht über die Zwischenwerte.

    Um zu berechnen, wie viele Arbeiter Bauer Bertram braucht, um das Dach in nur einem Tag fertig gedeckt zu haben, stellst du die Tabelle einfach um: Du ordnest der Zeit in Tagen die Arbeiter zu. In der linken Tabellenspalte steht nun also die Zeit in Tagen, rechts die Arbeiter. Dort trägst du eine schon bekannte Zuordnung ein, zum Beispiel braucht man 4 Arbeiter, um das Dach in 6 Tagen zu decken.

    Dann löst du ebenfalls im Dreisatz. Vorsicht: Auch diese Zuordnung ist antiproportional.

  • Entscheide, welche Aussagen zum Rechnen mit dem Dreisatz stimmen.

    Tipps

    Halbiert sich ein Wert auf der einen Seite, so verdoppelt er sich auf der anderen Seite. Das ist ein Merkmal für eine antiproportionale Zuordnung.

    Wieso heißt der Dreisatz eigentlich Dreisatz?

    Lösung

    Bei Aufgaben, die mit dem Dreisatz gelöst werden sollen, muss zunächst geklärt werden, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

    Mit einer Tabelle hat man beim Rechnen mit dem Dreisatz eine bessere Übersicht und kann so die drei Arbeitsschritte besser festhalten. Daher sollte vor dem Rechnen eine Tabelle angefertigt werden. Bei proportionalen Zuordnungen werden die Werte auf beiden Seiten der Tabelle mit derselben Zahl entweder multipliziert oder dividiert.

    Bei antiproportionalen Zuordnungen sieht das anders aus. Wenn auf der einen Seite der Tabelle multipliziert wird, dann muss auf der anderen Seite der Tabelle dividiert werden. Wenn sich also beispielsweise ein Wert auf der einen Seite halbiert, so verdoppelt er sich auf der anderen Seite.

  • Berechne die fehlenden Angaben.

    Tipps

    Bei proportionalen Zuordnungen vermehren bzw. vermindern sich zwei Größen gleichermaßen.

    Antiproportionale Zuordnungen werden auch Je-mehr-desto-weniger-Zuordnung genannt.

    Lösung

    Beim Rechnen mit dem Dreisatz muss immer erst bestimmt werden, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

    Die erste Aufgabe ist eine antiproportionale Zuordnung. Je mehr Arbeiter helfen, desto weniger Zeit wird zum Verlegen benötigt.

    \begin{array}{c|c} \text{Handwerker} & \text{Tage} \\ \hline 3 & 12 \\ 1 & 36 \\ 4 & 9 \\ \end{array}

    Die zweite Aufgabe ist eine proportionale Zuordnung, denn je mehr Kilometer das Auto fährt, umso mehr Benzin verbraucht es auch.

    \begin{array}{c|c} \text{Kilometer} & \text{Liter} \\ \hline 3 & 12 \\ 1 & 36 \\ 4 & 9 \\ \end{array}

    Bei der vorletzten Aufgabe handelt es sich erneut um eine antiproportionale Zuordnung, denn je weniger Affen im Zoo sind, desto länger reicht das Futter.

    Die letzte Aufgabe zählt zu den proportionalen Zuordnungen. Wenn Nico mehr Tüten kauft, muss er auch mehr bezahlen.

    Für die Berechnung der gesuchten Werte zeichnet man am besten eine Tabelle, um mit Hilfe des Dreisatzes die Lösungen zu bestimmen. Als Zwischenwert eignet sich in allen Fällen die $1$.