Rationale Zahlen – Definition
Wusstest du schon?
Rationale Zahlen sind überall! Selbst wenn du mit deinen Freundinnen und Freunden Pizza teilst, benutzt du sie. Ein Stück Pizza ist nur $\frac{1}{8}$ der ganzen Pizza – und das ist eine rationale Zahl!
Aber was sind rationale Zahlen? Und wie hängen sie mit anderen bekannten Zahlen zusammen? Das alles und vieles mehr sehen wir uns in diesem Text an.
Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen enthält alle Zählzahlen, also zum Beispiel $5$ oder $89$ oder $300$.
Die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen enthält zusätzlich zu den natürlichen Zahlen auch noch deren Gegenzahlen. Das sind die entsprechenden negativen ganzen Zahlen, also zum Beispiel $-5$ oder $-89$ oder $-300$.
Zu diesen Zahlen fügen wir nun noch alle Zahlen hinzu, die man als Bruch darstellen kann. Dies ergibt die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen. Zu der Menge gehören also außer den ganzen Zahlen auch Zahlen wie $4\frac{8}{10}$ oder $-0{,}18$ oder $0{,}\bar 3$.
Die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen schließt alle Zahlen ein, die man als Bruch darstellen kann. Das schließt die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen ein, denn diese können als Bruch mit Nenner $1$ dargestellt werden.
Die natürliche Zahl $2$ kann beispielsweise als Bruch $\frac{2}{1}$ dargestellt werden und ist damit eine rationale Zahl. Dasselbe gilt für die negative ganze Zahl $-2$, denn diese kann als $\frac{-2}{~\,1}$ dargestellt werden.
Die Menge der rationalen Zahlen
Brüche sind rationale Zahlen, zum Beispiel $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ und $\frac{7}{4}$.
Außerdem kann jede ganze Zahl als Bruch geschrieben werden, indem man die Zahl selbst in den Zähler setzt und den Nenner $1$ wählt:
Zum Beispiel ist $5 = \frac{5}{1}$ und $-4=-\frac{4}{1}$.
Jede ganze Zahl ist also auch eine rationale Zahl.
Auch endliche und periodische Dezimalbrüche lassen sich in einen Bruch umwandeln.
So ist zum Beispiel ${-0{,}18=-\frac{18}{100}}$ und ${0{,}\bar 3=\frac{1}{3}}$.
Also sind auch solche Dezimalbrüche rationale Zahlen.
Die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen lässt sich allgemein so formulieren:
$\mathbb{Q}=\left\{\dfrac {a}{b}\,;~a\in\mathbb{Z}\,;~b \in \mathbb{N}\,;~b\neq 0\right\}$
Dabei ist $a$ eine negative oder positive ganze Zahl (auch die $0$ ist möglich), während $b$ eine natürliche Zahl ist (die nicht $0$ sein darf).
Jede rationale Zahl lässt sich durch einen solchen Bruch $\left( \frac{a}{b} \right)$ darstellen. In der Menge der rationalen Zahlen sind also die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen enthalten.
Positiven rationale Zahlen
Manchmal möchte man explizit nur die Menge der positiven rationalen Zahlen darstellen. Diese Menge wird mit $\mathbb{Q}^+$ bezeichnet und kann folgendermaßen beschrieben werden:
$\mathbb{Q}^+=\left\{\dfrac{a}{b}\,;~a\,,\,b \in \mathbb{N}\,;~b\neq 0\right\}$
Hier sind also $a$ und $b$ natürliche Zahlen (und damit positiv), wobei $b$ nicht $0$ sein darf, $a$ hingegen schon (sofern man die $0$ als positive Zahl akzeptieren möchte).
Negative rationale Zahlen
In ähnlicher Weise ist auch eine Darstellung der Menge der negativen rationalen Zahlen möglich. Diese Menge wird mit $\mathbb{Q}^-$ bezeichnet und kann folgendermaßen beschrieben werden:
$\mathbb{Q}^-=\left\{-\dfrac{a}{b}\,;~a\,,\,b \in \mathbb{N}\,;~a\,,\,b\neq 0\right\}$
Hier sind wieder $a$ und $b$ natürliche Zahlen und das Minuszeichen stellt sicher, dass der Bruch, also die rationale Zahl, am Ende stets negativ ist. Die $0$ haben wir hier nicht nur für $b$ sondern auch für $a$ ausgeschlossen, da wir sie nicht zu den negativen Zahlen zählen.
Die Mengen $\mathbb{Q}^+$ und $\mathbb{Q}^-$ ergänzen sich zur Gesamtmenge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen.
Möchte man explizit verdeutlichen, dass die $0$ zu der einen oder anderen Menge gezählt wird, kann man auch $\mathbb{Q}_0^+$ schreiben (oder eben $\mathbb{Q}_0^-$, falls die $0$ dort hinzugezählt werden soll).
Rationale Zahlen darstellen
Rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, können als Bruchzahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden.
- Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma, zum Beispiel $3{,}45$ oder $-2{,}6$.
- Ein Bruch besteht aus einer ganzen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner.
- Brüche und Dezimalzahlen lassen sich ineinander umwandeln.
Viele Bruchzahlen können als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen geschrieben werden, zum Beispiel so:
$\dfrac{1}{4}=0{,}25$
Manche Bruchzahlen entsprechen einer periodischen Dezimalzahl, das sieht dann zum Beispiel so aus:
$-\dfrac{1}{3}=-0{,}33333......=-0{,}\bar 3$
Eine periodische Dezimalzahl hat zwar unendlich viele Nachkommastellen, allerdings wird dabei nur eine bestimmte Zahl (im Beispiel die $3$) unendlich oft wiederholt.
Fehleralarm
Achtung bei Dezimalzahlen! Nicht jede Dezimalzahl ist eine rationale Zahl. Nur wenn die Dezimalzahl periodisch oder endlich ist, handelt es sich um eine rationale Zahl.
Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden
Wir können rationale Zahlen auf der Zahlengeraden (dem Zahlenstrahl) darstellen. In der Mitte steht die Zahl $0$, rechts davon die positiven Zahlen und links die negativen Zahlen. Die positiven Zahlen sind größer als $0$, die negativen Zahlen kleiner als $0$.
Die Zahlen werden auf der Zahlengeraden von rechts nach links kleiner und von links nach rechts größer. Der Abstand zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen ist auf der Zahlengeraden immer gleich groß.
Zwischen den ganzen Zahlen können wir die nicht ganzen rationalen Zahlen eintragen.
Die Zahl $-3{,}5$ steht zum Beispiel genau in der Mitte zwischen der Zahl $-4$ und der Zahl $-3$. Die Zahl $-1{,}7$ steht zwischen den Zahlen $-2$ und $-1$, aber nicht genau in der Mitte, sondern näher an der Zahl $-2$. Und die Zahl $-\frac{1}{3}$ steht zwischen den Zahlen $-1$ und $0$, aber näher an der $0$.
Auf der anderen Seite der $0$ können wir dazu die positiven Gegenzahlen eintragen:
$\frac{1}{3}$ und $1{,}7$ und $3{,}5$.
Jede Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zur $0$. Die Zahlen $-3{,}5$ und $3{,}5$ sind also gleich weit von der $0$ entfernt. Diesen Abstand einer Zahl zur Zahl $0$ bezeichnet man als Betrag der Zahl.
Der Betrag einer Zahl $\neq 0$ ist immer positiv, denn es gibt keine negativen Abstände. Man schreibt zwei senkrechte Striche, wenn der Betrag einer Zahl (also der Abstand zur $0$) gemeint ist. Es gilt beispielsweise:
$\lvert 3{,}5 \rvert = \lvert {-}3{,}5 \rvert = 3{,}5$
Zwei verschiedene Zahlen mit demselben Betrag sind immer Gegenzahlen voneinander. Die Gegenzahl von $-3{,}5$ ist also $3{,}5$ – und umgekehrt. Du findest die Gegenzahl zu einer Zahl auf der Zahlengeraden, indem du die Zahl an der $0$ spiegelst.
Der Betrag der Zahl $0$ ist $0$. Die $0$ ist die einzige Zahl, die keine Gegenzahl hat (bzw. zu sich selbst Gegenzahl ist) und deren Betrag nicht positiv ist (denn $0$ wird üblicherweise als weder positiv noch negativ angesehen).
Rationale Zahlen – Beispiele
Mit den ganzen Zahlen hast du sicher oft im Alltag zu tun. Sie kommen zum Beispiel an Aufzügen vor: Die positiven ganzen Zahlen bezeichnen die Stockwerke nach oben, die negativen Zahlen die Kellerstockwerke nach unten. So etwas wie ein Stockwerk $4\frac{3}{4}$ gibt es normalerweise nicht.
Aber stell dir vor, der Aufzug würde auf drei Vierteln der Strecke zwischen dem dritten und vierten Stock plötzlich stehen bleiben. Dann wären wir genau auf Höhe der rationalen Zahl $4\frac{3}{4}$.
Den Umgang mit rationalen Zahlen kennst du bestimmt auch im Zusammenhang mit Geld.
Stell dir vor, du sollst $10\,\text{€}$ gleichmäßig auf $4$ Freunde verteilen. Wie viel bekommt jeder? Da $10$ kein Vielfaches von $4$ ist, ist $10$ nicht ohne Rest durch $4$ teilbar. Die Rechnung sieht so aus:
$10\,\text{€} : 4=2{,}5\,\text{€}$ oder $2{,}50\,\text{€}$
Ein halber Euro sind $0{,}5\,\text{€}$, das ist eine endliche Dezimalzahl und damit eine rationale Zahl. Demnach sind auch zweieinhalb Euro eine rationale Zahl, eben $2{,}5\,\text{€}$.
Alternativ können wir das auch als Bruch darstellen:
$\dfrac{10}{4}\,\text{€} = \dfrac{5 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2}\,\text{€} = \dfrac{5}{2}\,\text{€}$
$2{,}5\,\text{€}$ sind eben nichts anderes als fünfmal ein halber Euro, also $5 \cdot \frac{1}{2}\,\text{€} = \frac{5}{2}\,\text{€}$.
Auch Temperaturen können Dezimalzahlen und damit rationale Zahlen sein. Manchmal sind sie sogar negativ.
Wenn zum Beispiel am Mittag die Temperatur bei $5{,}3\,^\circ\text{C}$ lag und dann bis zum Abend um $7{,}5\,^\circ\text{C}$ gefallen ist, können wir die Abendtemperatur wie folgt berechnen:
$5{,}3 - 7{,}5 = -2{,}2$
Die Temperatur am Abend beträgt also $-2{,}2\,^\circ\text{C}$.
Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von rationalen Zahlen ist die Uhr:
- Eine Viertelstunde ist ein Viertel einer Stunde, also $0{,}25~\text{h}$ oder eben $\frac{1}{4}~\text{h}$.
- Eine halbe Stunde entspricht $0{,}5~\text{h}$ bzw. $\frac{1}{2}~\text{h}$.
- Eine Dreiviertelstunde sind $0{,}75~\text{h}$, was gleichbedeutend mit $\frac{3}{4}~\text{h}$ ist.
- Eine volle Stunde ist natürlich $1~\text{h}$, was allerdings auch als $\frac{1}{1}~\text{h}$ geschrieben werden kann.
Gleichzeitig ist die Uhr mit ihren $12$ Ziffern auch in $12$ Einheiten von je $5$ Minuten eingeteilt. Eine Viertelstunde entspricht in diesem Sinne $3$ solcher Einheiten $\left( \frac{3}{12}~\text{h} \right)$ und eine halbe Stunde sind $6$ Einheiten $\left( \frac{6}{12}~\text{h} \right)$.
Auch einzelne Minuten und Sekunden können als Bruchteile eine Stunde aufgefasst werden. Eine Minute ist $\frac{1}{60}$ einer Stunde und eine Sekunde entspricht $\frac{1}{3600}~\text{h}$.
Wir können uns noch unendlich viele kleinere Zeiteinheiten als eine Sekunde vorstellen. Dieses Beispiel soll verdeutlichen, das zwischen zwei ganzen Zahlen, zum Beispiel zwischen zwei vollen Stunden, unendlich viele Bruchzahlen existieren, die wir mit rationalen Zahlen darstellen können.
Rationale Zahlen berechnen
Wie unsere bisherigen Beispiele von rationalen Zahlen zeigen, kannst du mit diesen Zahlen rechnen, genau wie du auch mit natürlichen oder ganzen Zahlen rechnest. Rationale Zahlen können also addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.
Da das Rechnen mit Dezimalzahlen und Brüchen aber nicht immer ganz so einfach ist, wollen wir auf ein paar Besonderheiten etwas näher eingehen.
Rationale Zahlen addieren und subtrahieren
Wenn du rationale Zahlen addieren oder subtrahieren möchtest, solltest du darauf achten, dass es sich entweder nur um Dezimalzahlen oder nur um Brüche handelt. Wenn du die beiden mischst, wird das nur unnötig kompliziert.
Um eine endliche Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, verschiebst du das Komma nach rechts hinter die letzte Ziffer und teilst dann durch eine $1$ mit so vielen Nullen wie die Anzahl der Stellen, um die du das Komma verschoben hast. Das sieht dann zum Beispiel so aus:
$3 = \dfrac{3}{1} \qquad$ (keine Verschiebung notwendig)
$0{,}3 = \dfrac{3}{10} \qquad$ (Verschiebung um eine Stelle)
$0{,}03 = \dfrac{3}{100} \qquad$ (Verschiebung um zwei Stellen)
$0{,}33 = \dfrac{33}{100} \qquad$ (Verschiebung um zwei Stellen)
Manchmal kann man dabei auch kürzen und vereinfachen:
$-0{,}25 = \dfrac{-25}{~100} = -\dfrac{1}{4}$
$1{,}5 = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3 \, \cdot \, 5}{2 \, \cdot \, 5} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$
Der umgekehrte Weg, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, ist nicht immer ganz so einfach. Das geht nur, wenn du den Nenner des Bruchs auf ein Vielfaches von $10$ erweiterst:
$\dfrac{2}{20} = \dfrac{1 \, \cdot \, 2}{10 \, \cdot \, 2} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$
$\dfrac{5}{2} = \dfrac{5 \, \cdot \, 5}{2 \, \cdot \, 5} = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$
Bei einigen einfachen Brüchen solltest du die entsprechende Dezimalzahl auswendig kennen. Das spart einiges an Rechenarbeit. Folgende Beispiele solltest du dir merken:
| Bruch |
Dezimalzahl |
Bruch |
Dezimalzahl |
| $\dfrac{1}{2} =$ |
$0{,}5$ |
$\dfrac{1}{3} =$ |
$0{,}\bar 3$ |
| $\dfrac{1}{4} =$ |
$0{,}25$ |
$\dfrac{1}{5} =$ |
$0{,}2$ |
| $\dfrac{2}{3} =$ |
$0{,}\bar 6$ |
$\dfrac{3}{4} =$ |
$0{,}75$ |
| $\dfrac{3}{2} =$ |
$1{,}5$ |
$\dfrac{4}{3} =$ |
$1{,}\bar 3$ |
Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen gelten die gleichen Regeln wie bei den ganzen Zahlen.
Manchmal fällt dabei das Kopfrechnen leichter, wenn du das Komma der beiden Dezimalzahlen nach rechts verschiebst und das Ergebnis wieder durch $10$ teilst – oder durch $100$, wenn du das Komma (bei beiden Zahlen) zweimal verschoben hast (bzw. eine $0$ angehängt hast).
Hier siehst du ein paar Beispiele:
$0{,}3 + 0{,}4 = (3+4) : 10 = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$
$0{,}3 + 0{,}04 = (3+0{,}4) : 10 = (30+4) : 100 = \dfrac{34}{100} = 0{,}34$
$0{,}3 - 0{,}4 = (3-4) : 10 = \dfrac{-1}{~\,10} = -0{,}1$
$0{,}3 - 0{,}04 = (3-0{,}4) : 10 = (30-4) : 100 = \dfrac{26}{100} = 0{,}26$
Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen ist zu beachten, dass diese immer auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden müssen!
Dann addierst bzw. subtrahierst du die beiden Zähler wie gewohnt und lässt den gemeinsamen Nenner stehen. Am Ende kannst du gegebenenfalls wieder vereinfachen.
Hier siehst du ein paar Beispiele:
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1+1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2+1}{4} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$
$\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \, \cdot \, 2}{3 \, \cdot \, 2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} = 0{,}\bar 3$
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \, \cdot \, 4}{3 \, \cdot \, 4} - \dfrac{3 \, \cdot \, 3}{4 \, \cdot \, 3} = \dfrac{8}{12}-\dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$
Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren
Auch beim Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen gilt der Grundsatz, dass du Dezimalzahlen und Brüche nicht mischen solltest.
Bei der Multiplikation und Division von Dezimalzahlen nutzt du am besten wieder die Kommaverschiebung mit anschließender Division durch $10$, um bequem mit ganzen Zahlen rechnen zu können.
Hier solltest du das Komma bei jedem Faktor bzw. bei Dividend und Divisor einzeln verschieben. Du musst dann für jede einzelne Kommaverschiebung durch $10$ teilen!
Außerdem gilt die Regel Minus mal Minus gibt Plus (bzw. Minus geteilt durch Minus gibt Plus).
Hier siehst du wieder ein paar Beispiele:
$0{,}3 \cdot 0{,}4 = 3 : 10 \cdot 4 : 10 = (3 \cdot 4) : (10 \cdot 10) = (12) : (100) = 0{,}12$
$0{,}3 \cdot (-0{,}04) = 3 : 10 \cdot (-4) : 100 = (3 \cdot (-4)) : (10 \cdot 100) = (-12) : (1000) = -0{,}012$
$-0{,}4 : (-0{,}2) = (-4) : 10 : (-2) : 10 = ((-4) : (-2)) : (10 : 10) = (2) : (1) = 2$
$(-0{,}3) : 0{,}02 = (-3) : 10 : 2 : 100 = ((-3) : (2)) : (10 : 100) = -1{,}5 : 0{,}1 = \\ (-15) : 10 : 1 : 10 = ((-15) : 1) : (10 : 10) = (-15) : (1) = -15$
Bei der Multiplikation und Division von Brüchen ist eigentlich alles recht unkompliziert: Zähler und Nenner werden getrennt voneinander multipliziert bzw. dividiert. Gleiche Nenner sind nicht notwendig.
Eine Division durch einen Bruch ist immer gleichbedeutend mit einer Multiplikation mit dem entsprechenden Kehrbruch!
Außerdem gilt auch hier die Regel Minus mal Minus gibt Plus (bzw. Minus geteilt durch Minus gibt Plus). Am Ende kann oft noch gekürzt und vereinfacht werden.
Hier siehst du wieder ein paar Beispiele:
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \, \cdot \, 1}{2 \, \cdot \, 2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$
$\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1 \, \cdot \, (-1)}{2 \, \cdot \, 4}= \dfrac{-1}{~\,8} = -\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{1} = \dfrac{3 \, \cdot \, 4}{4 \, \cdot \, 1} = \dfrac{12}{4} = 3$
$\left(-\dfrac{2}{3}\right) : \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{(-2) \, \cdot \, (-3)}{3 \, \cdot \, 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
Rationale Zahlen – Übungen
Im Folgenden siehst du noch einige Aufgaben, mit denen du den Umgang mit rationalen Zahlen üben kannst. Überlege erst selbst und vergleiche dann deine Antwort mit den Lösungen!
Berechne: $\frac{12}{8} + 0{,}25 = \,\text{?}$
Es gilt: $0{,}25 = \frac{1}{4}$
Den Bruch $\frac{12}{8}$ könnten wir zu $\frac{3}{2}$ kürzen, aber wir kürzen ihn lieber nur zu $\frac{6}{4}$, weil wir dann einen gemeinsamen Nenner haben:
$\dfrac{12}{8} + 0{,}25 = \dfrac{6 \, \cdot \, 2}{4 \, \cdot \, 2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{6 + 1}{4} = \dfrac{7}{4}$
Das Ergebnis lautet also $\frac{7}{4}$.
Berechne: $0{,}25 - 0{,}5 = \,\text{?}$
Wenn wir mit Dezimalzahlen rechnen, sind Kommaverschiebungen hilfreich. Hier benötigen wir eine Verschiebung um zwei Stellen, also müssen wir am Ende durch $100$ teilen:
$0{,}25 - 0{,}5 = (25 - 50) : 100 = (-25) : 100 = \dfrac{-25}{~\,100} = -0{,}25$
Wir hätten aber auch die Dezimalzahlen in Brüche umwandeln können. Es gilt:
$0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ und
$0{,}5 = \dfrac{1}{2}$
Daraus folgt:
$0{,}25 - 0{,}5 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1-2}{4} = \dfrac{-1}{~\,4} = -\dfrac{1}{4} = -0{,}25$
Das Ergebnis lautet also $-0{,}25$.
Berechne: $-\frac{5}{6} : \frac{6}{5} = \,\text{?}$
Eine Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem entsprechenden Kehrbruch. Es gilt also:
$-\dfrac{5}{6} : \dfrac{6}{5} = -\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = -\dfrac{5 \, \cdot \, 5}{6 \, \cdot \, 6} = -\dfrac{25}{36}$
Obwohl es zunächst sehr danach ausgesehen hat, ist hier kein Kürzen und Vereinfachen möglich.
Ausblick – das lernst du nach Was sind rationale Zahlen?
Im nächsten Schritt vertiefst du dein Verständnis für rationale Zahlen durch das Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen. Mit den Themen Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen sowie Klammerregeln bei rationalen Zahlen, bereitest du dich optimal auf kommende Lektionen vor.
Zusammenfassung der rationalen Zahlen
- Die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen schließt alle Zahlen ein, die man als Bruch darstellen kann. Neben Bruchzahlen sind damit auch endliche sowie periodische Dezimalbrüche gemeint.
- In der Menge $\mathbb Q$ sind die natürlichen Zahlen $\mathbb N$ und die ganzen Zahlen $\mathbb Z$ enthalten, aber auch Dezimalzahlen wie $0{,}25$ und Brüche wie $-\frac{1}{3}$.
- Dezimalzahlen und Bruchzahlen können ineinander umgewandelt werden. Das ist vor allem beim Rechnen mit verschiedenen rationalen Zahlen hilfreich.
- Bei der Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen sind Kommaverschiebungen und die Bildung eines gemeinsamen Nenners unverzichtbare Hilfsmittel.
- Bei der Multiplikation und Division von rationalen Zahlen müssen Kommaverschiebungen einzeln betrachtet werden und eine Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem entsprechenden Kehrbruch.
Häufig gestellte Fragen zu den rationalen Zahlen
Was sind rationale Zahlen?
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Das sind zum Beispiel Bruchzahlen wie $\frac{1}{3}$ oder Dezimalzahlen wie $0{,}5$ – diese entspricht beispielsweise dem Bruch $\frac{1}{2}$.
Aber auch ganze Zahlen wie $-2$ gehören dazu, denn es gilt beispielsweise:
$-2 = \frac{-2}{~\,1} = -\frac{2}{1}$
Welche Zahlen gehören zu den rationalen Zahlen?
Die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen schließt die natürlichen Zahlen $\mathbb N$ und die ganzen Zahlen $\mathbb Z$ ein. Daneben gehören Bruchzahlen und endliche sowie periodische Dezimalzahlen dazu, von denen es jeweils zwischen zwei ganzen Zahlen unendlich viele gibt.
Zu jeder rationalen Zahl (außer der $0$) gibt es eine Gegenzahl, denn auch negative Zahlen sind in $\mathbb Q$ enthalten.
Wann ist eine Zahl rational?
Eine Zahl ist rational, wenn sie in Form eines Bruchs aus ganzen Zahlen dargestellt werden kann. Jede ganze Zahl und jede endliche und periodische Dezimalzahl kann in eine solche Bruchzahl umgewandelt werden.
Ist eine Dezimalzahl eine rationale Zahl?
Eine Dezimalzahl kann eine rationale Zahl sein, muss es jedoch nicht.
Eine endliche Dezimal wie $0{,}125$ ist eine rationale Zahl, weil sie als Bruch dargestellt werden kann $\left( 0{,}125 = \frac{1}{8} \right)$.
Für periodische Dezimalzahlen wie $0{,}\bar 6$ gilt dies ebenso $\left( 0{,}\bar 6 = \frac{2}{3} \right)$.
Eine Dezimalzahl ist hingegen keine rationale Zahl, wenn es nach dem Komma unendlich viele Stellen gibt, die sich nicht wiederholen. Die Zahl Pi $\left( \pi \right)$ ist beispielsweise keine rationale Zahl $\left( \pi = 3{,}14159265359… \right)$.
Ist 8 eine rationale Zahl?
Ja, denn die Zahl $8$ kann als Bruch dargestellt werden:
$8 = \frac{8}{1}$
Die Zahl $8$ ist eine natürliche Zahl und alle natürlichen Zahlen sind auch rationale Zahlen.
Was gehört alles zu den rationalen Zahlen?
Zu der Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen gehören alle natürlichen Zahlen $\left( \mathbb N \right)$, alle ganzen Zahlen $\left( \mathbb Z \right)$, alle Brüche mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner, alle endlichen Dezimalzahlen (also Kommazahlen mit einer begrenzten Anzahl an Stellen nach dem Komma) und alle periodischen Dezimalzahlen (also Kommazahlen mit periodisch wiederkehrenden Ziffern nach dem Komma.
Welche Zahlen gehören zu den natürlichen Zahlen?
Zu den natürlichen Zahlen gehören die Zahlen $1, 2, 3, 4, 5$ und so weiter, mit denen du für gewöhnlich Dinge abzählst. Das sind die sogenannten Zählzahlen. In der Regel wird die $0$ nicht dazugezählt, manchmal ist sie aber auch in der Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen enthalten oder wird als $\mathbb N_0$ explizit dazugezählt. Ob die $0$ letztendlich zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht, ist auch in Fachkreisen umstritten.
Sind Wurzeln rationale Zahlen?
Manche Wurzeln sind rationale Zahlen, andere hingegen nicht. Um herauszufinden, ob eine Wurzel eine rationale Zahl ist, muss die Wurzel gezogen, also das Ergebnis berechnet werden.
Wenn das Ergebnis eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen ist, die sich nicht wiederholen, handelt es sich nicht um eine rationale Zahl.
Ist das Ergebnis hingegen eine ganze Zahl, ein Bruch aus ganzen Zahlen, eine endliche Dezimalzahl oder eine periodische Dezimalzahl, dann handelt es sich um eine rationale Zahl.
Wo finde ich rationale Zahlen im Alltag?
Rationale Zahlen sind an vielen Stellen im Alltag anzutreffen: als Brüche beim Rechnen mit Uhrzeiten, Pizza- oder Kuchenstücken und als Dezimalzahlen bzw. Kommazahlen, wenn es um Geldbeträge oder um Temperaturen, Volumenangaben und andere physikalische Größen geht.
So ist dir sicherlich bekannt, dass es Wasserflaschen mit $0{,}5\,\ell$, $0{,}75\,\ell$, $1{,}0\,\ell$ und $1{,}5\,\ell$ Fassungsvermögen gibt.
Ist jede rationale Zahl eine ganze Zahl?
Nein, das ist nicht der Fall. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale ist eine ganze Zahl. So ist zum Beispiel die rationale Zahl $-3{,}5$ keine ganze Zahl.
Wie kann man rationale Zahlen darstellen?
Rationale Zahlen können entweder als Bruch (mit ganzzahligem Zähler und Nenner) oder als Dezimalzahl (Kommazahl) dargestellt werden.
Wenn eine Dezimalzahl keine Stellen (bzw. nur Nullen) nach dem Komma aufweist, kann diese als ganze Zahl geschrieben werden.
Beim Rechnen mit rationalen Zahlen solltest du darauf achten, entweder alle Zahlen einheitlich als Brüche oder als Dezimalzahlen zu schreiben, um dir das Rechnen zu erleichtern.
Ist 5 : 6 eine rationale Zahl?
Ja, es handelt sich um eine rationale Zahl, denn es gilt:
$5 : 6 = \frac{5}{6}$
Der Ausdruck lässt sich also als Bruch schreiben, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner ganze Zahlen sind.
Welche Zahlen gehören zu den ganzen Zahlen?
Zu den ganzen Zahlen $\left( \mathbb Z \right)$ gehören alle natürlichen Zahlen $\left( \mathbb N \right)$ sowie die zugehörigen Gegenzahlen, also die natürlichen Zahlen mit einem negativen Vorzeichen $\left(-1\,,\,-2\,,\,-3,\,-4\,,\,...\right)$. Die Zahl $0$ zählt ebenfalls zu den ganzen Zahlen.
Sind die ganzen Zahlen rationale Zahlen?
Ja, alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen. Denn jede ganze Zahl kann als Bruch mit dem Nenner $1$ dargestellt werden, zum Beispiel so:
$-3= \frac{-3}{~\,1}= -\frac{3}{1}$
Sind rationale Zahlen unendlich?
Ja, es gibt unendlich viele rationale Zahlen. Außerdem gibt es rationale Zahlen, die in Form einer periodischen Dezimalzahl unendlich viele Stellen nach dem Komma haben. Das heißt, es gibt eine Ziffer hinter dem Komma, die sich unendlich oft wiederholt. Das ist zum Beispiel bei der Zahl $\frac{1}{3}$ der Fall. Als Dezimalzahl dargestellt, wiederholt sich hier unendlich oft die $3$:
$\frac{1}{3}= 0{,}333333… = 0{,}\bar 3$
Die Zahl $\frac{1}{3}= 0{,}\bar3 $ ist also eine rationale Zahl mit unendlich vielen Stellen.
Zwischen zwei ganzen Zahlen gibt es unendlich viele solcher Bruchzahlen sowie endliche und periodische Dezimalzahlen.
Welche Zahlen sind nicht rational?
Nicht rational sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, welche sich nicht wiederholen. Die Zahl Pi $\left( \pi \right)$ ist beispielsweise keine rationale Zahl, denn sie lautet:
$\pi = 3{,}14159265359…$
Danach folgen noch unendlich viele weitere Stellen, die sich nicht periodisch wiederholen.
Welche Rechenregeln zu rationalen Zahlen muss ich beachten?
Wenn du mit rationalen Zahlen rechnest, solltest du am besten alle Zahlen in die gleiche Form umwandeln. Du solltest also entweder nur mit Dezimalzahlen oder nur mit Brüchen rechnen.
Für das Rechnen mit Dezimalzahlen gibt es bestimmte Regeln für das Verschieben von Kommas, die bei der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Dividision zu beachten sind.
Beim Rechnen mit Brüchen ist vor allem zu beachten, dass der Nenner eines Bruchs niemals $0$ werden darf.
Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen solltest du diese außerdem vorher auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Beim Multiplizieren können Zähler und Nenner getrennt multipliziert werden und das Dividieren entspricht einer Multiplikation mit dem entsprechenden Kehrbruch.
Ansonsten sind die Regeln zu beachten, die du schon von den ganzen Zahlen kennst. Also Punkt vor Strich, das korrekte Setzen und Auflösen von Klammern und die Regel Minus mal Minus gibt Plus (bzw. Minus geteilt durch Minus gibt Plus).
Beim Bruchrechnen ist die Regel Punkt vor Strich vor allem beim Kürzen und Vereinfachen sehr wichtig.
5 Minuten verstehen
5 Minuten verstehen
5 Minuten üben
2 Minuten Fragen stellen
