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Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen?

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Martin Wabnik
Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen?

Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen? Wir wissen bereits, was man unter einer quadratischen Gleichung versteht. Eine Gleichung ist eine quadratische Gleichung, wenn der höchste Exponent der Variablen eine 2 ist. Was sind nun Lösungen einer Gleichung und somit auch Lösungen einer quadratischen Gleichung? Lösungen einer Gleichung sind die Zahlen, welche man für die Variable einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig ist. Nutze die Gelegenheit und schau dir das Video an. Hier werden wir dir an einigen Beispielen noch einmal verdeutlichen, was man unter Lösungen quadratischer Gleichungen verstehen kann. Viel Spaß!

Transkript Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen?

Hallo! Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen? Das möchte ich jetzt mal klären und dazu muss ich jetzt mal ganz weit ausholen. Und zwar dahin, dass wir klären müssen, was Gleichungen überhaupt sind. Und zwar deshalb, weil es oft vorkommt, dass Schüler sagen, die Lösung einer Gleichung, sei das Ergebnis der Gleichung, oder so. Das ist falsch, das stimmt nicht. Eine Gleichung hat kein Ergebnis. Das möchte ich hier mal demonstrieren und mal klarstellen. Grundsätzlich kann man sagen, die Lösung einer Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung richtig macht. Das muss ich noch mit etwas mehr Mathematik füllen. Und ich möchte dazu folgende Gleichung hinschreiben: Ich habe hier 5 - 3 = 2. Das ist ein relativ triviales Ergebnis. Ich möchte dich nicht davon überzeugen, dass das richtig ist, sondern das siehst du bitte so: Worum es hier geht, ist eine Aussage. Eine Gleichung ist eine Aussage. Eine Aussage ist etwas, was richtig oder falsch sein kann. Diese Gleichung ist richtig. Das Gleichheitszeichen behauptet etwas, es behauptet, dass das was links von mir, also links von dem Gleichheitszeichen steht, also 5 - 3, das ist genauso groß wie das, was rechts von mir steht. Das behauptet dieses Gleichheitszeichen. Und das Gleichheitszeichen hat recht, weil ja 5 - 3 = 2 ist. Zum Unterschied: 5 - 3 kann ich ausrechnen, 5 - 3 hat ein Ergebnis. 5 - 3 ist ein Term und einen Term kann man ausrechnen. Eine Gleichung kann man nicht ausrechnen. Eine Gleichung ist eine Behauptung. Eine Gleichung kann also auch kein Ergebnis haben. Ein Term hat ein Ergebnis, oder kann ein Ergebnis haben (sagen wir mal so). 5 - 3 kann also hier das Ergebnis haben 2. Das ist das richtige Ergebnis, das einzig richtige Ergebnis. Man kann Term und Ergebnis durch eine Gleichung darstellen, aber sie sind eben grundsätzlich etwas Verschiedenes. Ein Term hat ein Ergebnis, kann aber nicht richtig oder falsch sein. Eine Gleichung kann richtig oder falsch sein, kann aber kein Ergebnis haben. Was sind jetzt Lösungen einer Gleichung? Dazu möchte ich mal folgende Gleichung hinschreiben: es geht ja um quadratische Gleichungen und dann möcht ich hier auch eine quadratische Gleichung direkt mal in Normalform hinschreiben:  x² - 3x + 2 = 0. Das ist eine quadratische Gleichung. Und jetzt passiert Folgendes: das ist hier also noch keine Aussage - die Gleichung wird zu einer Aussage, wenn man für x Zahlen einsetzt. Und manchmal wenn man für x Zahlen einsetzt, also zum Beispiel wenn ich hier für x = 7 einsetzen würde, dann wird diese Gleichung falsch. Wenn ich für x = 1 einsetze, dann wird diese Gleichung richtig. Das möchte ich jetzt mal machen. Statt dem x schreibe ich nun also eine 1 hin, dann wird aus dieser Gleichung hier, die neue Gleichung: 1² - 3*1 + 2 = 0. Das ist eine richtige Aussage und deshalb ist die 1 eine Lösung dieser Gleichung. Lösungen einer Gleichung sind die Zahlen, die man für x einsetzen kann, so dass die Gleichung richtig ist. Eine quadratische Gleichung kann sogar mehrere Lösungen haben, nämlich zwei. Also kann man auch sagen: Lösungen einer Gleichung sind die Zahlen, die man für die Variable einsetzen kann, so dass die Gleichung richtig wird. Die Variable muss ja nicht immer x heißen, sie kann ja auch anders heißen. Also die Zahlen, die die Gleichungen richtig machen, sind Lösungen, alle anderen Zahlen sind keine Lösungen. Das also ganz allgemein zu Lösungen von Gleichungen. Ja, und dann wirst du sicher noch viele Gleichungen kennenlernen - viele quadratische Gleichungen. Ich wünsche schon mal viel Spaß. Bis bald, tschüs.       

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. 3.45 beste!
    Trozdem respekt das sie auf dem Kopf schreiben und sich so mühe geben!!!!!!!!!!!!

    Von J.Kamali, vor mehr als einem Jahr
  2. 3:45 hahaha wie er ausrastet. Aber feier den Type, er erklärt das echt gut

    Von Jonathanhirsch03, vor fast 2 Jahren
  3. @Andrea Lietz: Setzt du x=-1 in die Gleichung ein, ist es wichtig, dass du die -1 in Klammern setzt:
    2*(-1)²-2*(-1)-4=0
    Zunächst quadrierst du die (-1): (-1)*(-1)=1. Du erhältst:
    2*1-2*(-1)-4=0
    Nun musst du die Regel "Punkt- vor Strichrechnung beachten, also zuerst multiplizieren:
    2+2-4=0
    Abschließend vereinfachst du den Term auf der linken Seite der Gleichung und erhältst:
    0=0, also eine wahre Aussage. Somit ist x=-1 eine Lösung der Gleichung.
    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 4 Jahren
  4. Hi, also bei der 5. Aufgabe steht, dass 2 Lösungen möglich sind, ich habe nur 2 und sonst alles von -10 bis 10 ausprobiert und die -1 version klappt bei mir nicht! ich habe es genau mit dem Lösungsweg versucht, den ihr angegeben habt und es hat nicht funktioniert denn mein taschenrechner hat bei dieser x Lösung -2.5 ausgerechnet HILFE -.- bin ich zu doof dazu? Liebe Grüße

    Von Andrea Lietz, vor mehr als 4 Jahren
  5. Der Link funktioniert nicht

    Von Clarissa P., vor mehr als 4 Jahren
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Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen? kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu Gleichungen.

    Tipps

    Bei einer Gleichung steht links und rechts des Gleichheitszeichens ein Term.

    Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen und Operationszeichen.

    • Man kann den Wert eines Terms bestimmen, zum Beispiel $2+4$, dieser ist $6$, oder
    • bei Termen mit Variablen durch Einsetzen von Zahlen für die Variablen den Wert bestimmen, zum Beispiel $2\cdot x$ ist für $x=4$ gerade $2\cdot4=8$.
    Lösung

    Eine Gleichung, in welcher sich nur Zahlen befinden, ist eine Aussage, bei welcher man entscheiden kann, ob sie richtig oder falsch ist.

    $5-3=2$ ist eine richtige Aussage.

    $5-3=4$ ist eine falsche Aussage.

    Befindet sich eine unbekannte Größe in einer Gleichung, so kann man für diese Größe Werte einsetzen und prüfen, ob die Aussage richtig ist.

    Am Beispiel der quadratischen Gleichung $x^2-3x+2=0$ bedeutet dies für $x=1$

    $1^2-3\cdot 1+2=0$.

    Dies ist eine wahre Aussage.

    Man kann also sagen, dass die Lösung einer Gleichung eine Zahl ist, welche, in die Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

  • Bestimme, für welches $x$ die Gleichung wahr ist.

    Tipps

    Setze verschiedene Werte für $x$ in der Gleichung ein.

    Die Lösung einer Gleichung ist eine Zahl, welche, für die Variable in die Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

    Die Gleichung besitzt zwei Lösungen.

    Lösung

    $x^2-3x+2=0$ ist eine quadratische Gleichung.

    Für welche $x$ erhält man eine wahre Aussage?

    Wie wäre es mit $1$? $1^2-3\cdot 1+2=0$ $\surd$. $1$ ist also eine Lösung.

    Man könnte noch weitere $x$ probieren:

    $x=2$ würde dies ergeben: $2^2-3\cdot 2+2=0$ $\surd$.

    $x=3$ ergäbe keine richtige Gleichung: $3^2-3\cdot 3+2=2\neq 0$ Dies ist eine falsche Aussage.

    Quadratische Gleichungen haben in aller Regel zwei Lösungen. Es ist aber auch möglich, dass sie manchmal nur eine oder keine Lösung haben.

  • Entscheide, ob eine Gleichung vorliegt.

    Tipps

    In einer Gleichung findest du ein Gleichheitszeichen.

    Links und rechts des Gleichheitszeichens befinden sich Terme.

    Es gibt Gleichungen,

    • welche eine wahre oder
    • falsche Aussage beinhalten.

    Lösung

    In einer Gleichung kommt ein Gleichheitszeichen vor:

    $=$.

    Links und rechts von dem Gleichheitszeichen stehen Terme:

    Term$_1=$Term$_2$.

    Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variabeln und Rechenzeichen.

    Also ist

    • $x+2=34$ eine Gleichung,
    • $x+2\le34$ keine Gleichung. Hier liegt eine Ungleichung vor.
    • $x+2$ keine Gleichung,
    • $1+2=3$ eine Gleichung,
    • $2+2=3$ eine Gleichung, allerdings eine falsche Aussage.

  • Ordne der jeweiligen Gleichung eine Lösung zu.

    Tipps

    Setze das jeweilige $x$ in die Gleichungen ein.

    Eine Zahl ist Lösung einer Gleichung, wenn sie, für die Variable eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

    Du kannst auch die jeweilige Gleichung durch Äquivalenzumformungen lösen.

    Lösung

    Um zu prüfen, ob ein vorgegebener Wert für eine Variable eine Gleichung erfüllt, kann man diesen Wert für die Variable in der Gleichung einsetzen: Wenn dies zu einer wahren Aussage führt, so ist durch diesen Wert eine Lösung der Gleichung gegeben.

    • $x=3$ löst die Gleichung $x^2-3x=0$, denn $3^2-3\cdot 3=0$ $\surd$
    • $x=4$ löst die Gleichung $2x-2=6$, denn $2\cdot 4-2=6$ $\surd$
    • $x=5$ löst die Gleichung $0,2x^2-2x+5=0$, denn $0,2\cdot 5^2-2\cdot5+5=0$ $\surd$
    • $x=6$ löst die Gleichung $2(x-4)+2=x$, denn $2(6-4)+2=6$ $\surd$.

  • Beschreibe, was man unter einer Lösung einer Gleichung versteht.

    Tipps

    $5-3=2$ ist eine Gleichung.

    Eine Gleichung ist eine Aussage. Bei dieser Gleichung kann man entscheiden, ob die Aussage wahr ist.

    $5-x=2$ ist eine Gleichung mit einer Variablen.

    Für welches $x$ ist diese Gleichung erfüllt?

    Setze für $x=4$ in der Gleichung $5-x=2$ ein. Führt dies zu einer wahren Aussage?

    Lösung

    Befindet sich eine Variable in einer Gleichung, so kann man für diese Zahlen einsetzen und prüfen, ob die Aussage richtig ist.

    Am Beispiel der quadratischen Gleichung $x^2-3x+2=0$ bedeutet dies für $x=1$:

    $1^2-3\cdot 1+2=1-3+2=0$. Dies ist eine wahre Aussage.

    Man kann also sagen, dass die Lösung einer Gleichung eine Zahl ist, welche, in die Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

  • Bestimme die beiden Lösungen der Gleichung.

    Tipps

    Diese quadratische Gleichung besitzt $2$ verschiedene Lösungen.

    Allgemein kann eine quadratische Gleichung

    • keine,
    • eine oder
    • zwei Lösungen besitzen.

    Beide Lösungen sind ganzzahlig und in der Nähe von $0$ zu finden.

    Gib dir Werte für $x$ vor und setze diese für die Variable in die Gleichung ein. Ist diese erfüllt, so ist dieses $x$ eine Lösung.

    Lösung

    Es sind die beiden Lösungen der Gleichung $2x^2-2x-4=0$ gesucht.

    Man kann

    • $x=1$ in die Gleichung einsetzen: $2\cdot1^2-2\cdot1-4=-4\neq0$ oder
    • $x=-1$: $2\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)-4=0$ $\surd$. Das bedeutet, dass durch $x=-1$ eine Lösung der quadratischen Gleichung gegeben ist.
    • $x=2$: $2\cdot2^2-2\cdot2-4=0$ $\surd$. Also ist auch durch $x=2$ eine Lösung der Gleichung gegeben.
    Mehr als diese beiden Lösungen gibt es nicht.

    Es gibt auch quadratische Gleichungen

    • mit keiner Lösung: $x^2=-1$ oder
    • mit einer Lösung: $x^2=0$, mit $x=0$.

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