Was ist Ausklammern?

Was ist Ausklammern? Übung

• Gib die Methode des Ausklammerns wieder.

  Tipps

  Der größte gemeinsame Teiler von $12$ und $66$ ist die größte Zahl, die sowohl $12$ als auch $66$ als Vielfache hat. Diesen kannst du mithilfe der Teilermengen der Zahlen $12$ und $66$ wie folgt bestimmen:

  • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
  • $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$

  Damit ist der $\text{ggT}(12; 66)=6$.

  Nachdem der $\text{ggT}$ bestimmt worden ist, kannst du diesen ausklammern.

  Lösung

  Ralf Kakerlake hat die Anzahl der Turnierteilnehmer*innen mit dem Ausdruck $12x+66$ berechnet.
  Da Ralf Kakerlake so viele Teams wie möglich für das Turnier bilden möchte, möchte er nun den größten gemeinsamen Teiler der beiden Summanden ausklammern. Um diesen zu bestimmen, notiert er die beiden Teilermengen:

  • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
  • $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$

  Damit ist der $\text{ggT}(12; 66)=6$ und Ralf kann den Ausdruck wie folgt zerlegen:

  • $6 \cdot 2x+6 \cdot 11$

  Nun kann er die $6$ ausklammern, da dieser Faktor in beiden Summanden enthalten ist. Dafür stellt er sie nach vorn und setzt Klammern:

  • $6(2x+11)$

  Dieses Produkt ist immer durch $6$ teilbar, weil ein Faktor $6$ ist. Daher weiß Ralf, dass unabhängig von der Variablen $x$, also der Anzahl an ankommenden Raumschiffen, immer $6$ Teams mit einer ausgeglichenen Anzahl an Mitspielenden gebildet werden können.

• Stelle die Methodik des Ausklammerns dar.

  Tipps

  Bestimme zunächst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Summanden des Ausdrucks. Dafür kannst du zum Beispiel die Teilermengen der beiden Summanden aufschreiben.

  Versuche anschließend, jeden Summanden als Produkt aus dessen $\text{ggT}$ und eines weiteren Terms darzustellen. Anschließend kannst du den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.

  Lösung

  Im Folgenden wird die Methodik des Ausklammerns an zwei Beispielen durchgeführt.

  1. Beispiel

  $~12x+66$

  Um diesen Term auszuklammern, bestimmen wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $12$ und $66$. Dafür notieren wir uns wie folgt die Teilermengen beider Zahlen:

  • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
  • $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$

  Der größte gemeinsame Teiler ist der größte Teiler, der in beiden Mengen enthalten ist. Dieser ist somit gegeben durch $6$. Wir zerlegen den Term nun wie folgt:

  • $6\cdot 2x+6\cdot 11$

  Jetzt kannst du $6$ ausklammern und erhältst:

  • $6(2x+11)$

  Dieses Produkt ist immer durch $6$ teilbar, weil ein Faktor $6$ ist.

  2. Beispiel

  $~6x+15$

  Wir klammern diesen Term aus, indem wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $6$ und $15$ bestimmen. Dafür notieren wir uns folgende Teilermengen:

  • $T_{6}=\{1; 2; 3; 6;\}$
  • $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$

  Der größte gemeinsame Teiler ist hier gegeben durch $3$. Den Term können wir nun wie folgt zerlegen:

  • $3 \cdot 2x+3 \cdot 5$

  Jetzt kannst du $3$ ausklammern und erhältst:

  • $3(2x+5)$

• Ermittle den größten gemeinsamen Teiler.

  Tipps

  Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte Zahl, die beide Zahlen als Vielfache hat.

  Lösung

  Im Folgenden wird das Vorgehen bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers an einigen Beispielen aufgezeigt:

  1. Beispiel

  Es gilt $\text{ggT}(11;10)=1$. Dies können wir sehen, wenn wir uns die Teilermengen von $11$ und $10$ genauer anschauen:

  • $T_{11}=\{1; 11\}$
  • $T_{10}=\{1; 2; 5; 10\}$

  Die Zahlen $11$ und $10$ haben keinen gemeinsamen Teiler außer die $1$. Daher kann nur $1$ der größte gemeinsame Teiler sein. Das gilt immer für aufeinanderfolgende Zahlen.

  2. Beispiel

  Es gilt $\text{ggT}(33;66)=33$. Da $33$ ein Teiler von $66$ ist, ist $33$ selbst der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen.

  3. Beispiel

  Es gilt $\text{ggT}(12;18)=6$. Beide Zahlen sind durch $6$ teilbar. Es gibt keinen größeren gemeinsam Teiler, da $18$ nicht durch $12$ teilbar ist.

  4. Beispiel

  Es gilt $\text{ggT}(20;20)=20$. Sind die beiden Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler gesucht ist, identisch, so ist der größte gemeinsame Teiler die Zahl selbst.

  5. Beispiel

  Es gilt $\text{ggT}(25;30)=5$. Beide Zahlen sind durch $5$ teilbar. Es gibt keinen größeren gemeinsamen Teiler, da $25$ nicht durch $10$ teilbar ist.

• Bestimme den ausgeklammerten Term in drei Beispielen.

  Tipps

  Um die Methode des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler beider Summanden bestimmen.

  In der zweiten Aufgabe steht eine Differenz statt einer Summe. Trotzdem ändert sich nichts an der Vorgehensweise beim Ausklammern.

  Um zum Beispiel den Term $5x+15$ auszuklammern, bestimmen wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $5$ und $15$. Hierzu notieren wir uns wie folgt die Teilermengen beider Zahlen:

  • $T_{5}=\{1; 5\}$
  • $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$

  Der größte gemeinsame Teiler ist der größte Teiler, den beide gemeinsam haben, und daher gegeben durch $5$. Du kannst den Term wie folgt zerlegen:

  $5 \cdot x+5 \cdot 3$

  Nun kannst du den $\text{ggT}$ ausklammern und erhältst:

  $5(x+3)$

  Lösung

  Hier wird der ausgeklammerte Term in den drei Beispielen bestimmt:

  1. Beispiel

  $~15x+35$

  Um die Methodik des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $15$ und $35$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $5$. Es kommt kein größerer Teiler infrage, da beide Zahlen nicht durch $10$ teilbar sind und $35$ nicht durch $15$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich wie folgt umschreiben und ausklammern:

  $5 \cdot 3x + 5 \cdot 7=5(3x+7)$

  2. Beispiel

  $~16x-24$

  Um die Methodik des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $16$ und $24$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $8$. Es kommt kein größerer Teiler infrage, da $24$ nicht durch $16$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich wie folgt ausklammern:

  $8 \cdot 2x – 8 \cdot 3=8(2x-3)$

  3. Beispiel

  $~21x+77$

  Um die Methodik des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $21$ und $77$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $7$. Es kommt kein größerer Teiler infrage, da beide Zahlen nicht durch $14$ teilbar sind und $77$ nicht durch $21$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich umschreiben und ausklammern zu:

  $7 \cdot 3x + 7 \cdot 11=7(3x+11)$

• Bestimme die richtigen Aussagen zur Methodik des Ausklammerns.

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $4x+12=4(x+3)$

  Um einen Term aus einer Summe auszuklammern, muss dieser ein Teiler beider Summanden sein.

  Lösung

  Um die Aussagen besser bewerten zu können, soll das Vorgehen beim Ausklammern eines Terms an einem einfachen Beispiel verdeutlicht werden. Hierzu betrachten wir den Term $5x+15$ und bestimmen zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $5$ und $15$, indem wir wie folgt die jeweiligen Teilermengen aufstellen:

  • $T_{5}=\{1; 5\}$
  • $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$

  Also ist der $\text{ggT}(5; 15)=5$ und damit erhalten wir folgenden ausgeklammerten Term:

  • $5(x+3)$

  Demnach können wir die Aussagen wie folgt bewerten:

  • Beim Ausklammern eines Terms musst du zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Summanden bestimmen.

  Diese Aussage ist falsch. Denn du musst nicht das kleinste gemeinsame Vielfache, sondern den größten gemeinsamen Teiler bestimmen. Ein Faktor, der ausgeklammert wird, ist immer ein Teiler eines jeden Terms und kein Vielfaches.

  • Die Methode des Ausklammerns kann als Gegenoperation zum Ausmultiplizieren von Klammern gesehen werden.

  Die Aussage ist richtig. Schauen wir uns das Beispiel $6x+15$ aus dem Video an: Nach dem Ausklammern erhalten wir $3(2x+5)$. Multiplizieren wir nun die Klammern wieder aus, erhalten wir den Ausgangsterm $6x+15$.

  • Der größte gemeinsame Teiler von $12x$ und $66$ ist $12$.

  Diese Aussage ist falsch, da $12$ kein Teiler von $66$ ist. Der größte gemeinsame Teiler von $12x$ und $66$ ist $6$.

  • Ralf Kakerlake erhält durch Ausklammern eines Terms den Ausdruck $6(2x+11)$. Also kann man unabhängig von der Anzahl teilnehmender Planeten $x$ immer $6$ gleich große Teams bilden.

  Diese Aussage ist richtig. Da $6$ ein Teiler des Terms $6(2x+11)$ ist, ist dieser Term unabhängig von der Variablen $x$ immer durch $6$ teilbar. Das bedeutet, dass sich immer $6$ gleich große Teams bilden lassen.

• Wende die Methode des Ausklammerns auf mehrere Summanden an.

  Tipps

  Gleichartige Terme sind Terme, in denen die Variable $x$ in der gleichen Potenz vorkommt.

  Ist in allen Summanden die Variable $x$ enthalten, so ist die Variable $x$ auch Bestandteil des größten gemeinsamen Teilers dieser Summanden.

  Lösung

  Im Folgenden wird das Vorgehen für die drei verschiedenen Terme verdeutlicht:

  1. Term

  $~ 3x^3-7+12x^2-3x^3+3x+28$

  Hier sind die Terme $3x^3$ und $-3x^3$ gleichartig und sie heben sich zusätzlich auf. Daher ergibt sich:

  $12x^2+3x+21$

  Nun musst du den $\text{ggT}$ der drei Summanden bestimmen. Da im Summanden $21$ keine Variable enthalten ist, handelt es sich bei dem größten gemeinsamen Teiler um eine reelle Zahl, nämlich den $\text{ggT}$ der drei Zahlen $12$, $3$ und $21$. Um diesen zu bestimmen, notieren wir uns die Teilermengen der drei Zahlen:

  • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
  • $T_{3}=\{1; 3\}$
  • $T_{21}=\{1; 3; 7; 21\}$

  Daher gilt $ggT(12;3:21)=3$. Klammern wir jetzt $3$ aus, erhalten wir:

  $3(4x^2+x+7)$

  2. Term

  $~ x^2+4x^3-22-x^2$

  Hier sind die Terme $x^2$ und $-x^2$ gleichartig und sie heben sich gegenseitig auf. Daher ergibt sich folgender vereinfachter Term:

  $4x^3-22$

  Nun musst du den $\text{ggT}$ der beiden Summanden bestimmen. Da im zweiten Summanden $22$ keine Variable enthalten ist, handelt es sich bei dem größten gemeinsamen Teiler um eine reelle Zahl, nämlich den $\text{ggT}$ der beiden Zahlen $4$ und $22$. Dieser ist gegeben durch $2$. Klammern wir jetzt $2$ aus, erhalten wir:

  $2(2x^3-11)$

  3. Term

  $~ -\frac{3}{2}x^2-91x^2-14x+x^2+\frac{1}{2}x^2+7x^3$

  Hier sind die Terme $-\frac{3}{2}x^2$, $x^2$ und $\frac{1}{2}x^2$ gleichartig. Für diese Terme gilt:

  $-\frac{3}{2}x^2+x^2+\frac{1}{2}x^2=0$

  Sie heben sich also gegenseitig auf. Daher ergibt sich für den gesamten Term:

  $7x^3-91x^2-14x$

  Nun musst du den $\text{ggT}$ der drei Summanden bestimmen. Da in jedem Summanden die Variable $x$ enthalten ist, ist jeder Summand schon einmal durch $x$ teilbar. Daher ist die Variable $x$ auch im $\text{ggT}$ enthalten. Jetzt müssen wir uns noch die Vorfaktoren anschauen: Da alle durch $7$ teilbar sind, ist der größte gemeinsame Teiler gegeben durch $7x$. Klammern wir nun $7x$ aus, erhalten:

  $7x(x^2-13x-2)$