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Wahrscheinlichkeit – Beispiel Kugeln ziehen 06:22 min

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Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiel Kugeln ziehen

Hallo. Wenn du weißt was Laplace-Versuche sind und wenn du weißt, wie man die Wahrscheinlichkeit von Laplace-Versuchen ausrechnet, dann können wir uns jetzt mal diesen Zufallsversuch hier ansehen und ein paar Wahrscheinlichkeiten berechnen. Hier haben wir eine Schüssel mit Kugeln, damit wir die Kugeln besser unterscheiden können, haben die Nummern. Und zwar von 1 bis 10. Das sind zehn Kugeln. Und das einmalige Ziehen, das zufällige Ziehen aus diesem Behälter ist ein Zufallsversuch. Als nächstes können wir uns überlegen, was die Ergebnismenge dieses Zufallsversuchs ist. Und da gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, ja, das ist vielleicht etwas überraschend, weil es ja nur einen Zufallsversuch ist, aber das macht Sinn, denn wir haben gesagt: Die Ergebnisse eines Zufallsversuchs sind die Möglichkeiten, für die wir uns interessieren und die wir auswerten wollen. Es könnte nun sein, dass wir uns dafür interessieren, welche der Kugeln gezogen wird. Dann besteht die Ergebnismenge Ω aus den Kugeln von 1 bis 10. Und der Einfachheit halber schreiben wir nur diese Zahlen auf. Ω ist ein griechischer Großbuchstabe, der normalerweise für die Ergebnismenge steht. Manchmal schreibt man aber auch G oder einen anderen Buchstaben. Wir könnten aber auch sagen, wir interessieren uns gar nicht für die einzelnen Kugeln, sondern nur für die Farben. Dann ist die Ergebnismenge Ω={grün; gelb; rot}. Bleiben wir zunächst bei der ersten Ergebnismenge. Damit wir die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bequem ausrechnen können, überlegen wir uns zunächst welche Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Ergebnisse haben. Und die Wahrscheinlichkeit dieser Kugel hier zum Beispiel ist der Anteil, den diese Kugel an der Ergebnismenge hat und da wir hier zehn Kugeln haben, ist der Anteil 1/10 und damit auch die Wahrscheinlichkeit. Und das gilt für alle anderen Kugeln auch. Wir können also festhalten, die Wahrscheinlichkeit der Kugel 1 ist P(1)=1/10, das Gleiche gilt für die Wahrscheinlichkeit der Kugel 2 also P(2) und P(3) und so weiter. Da nun jede Kugel die Wahrscheinlichkeit 1 geteilt durch die Anzahl der Kugeln hat, ist dieser Versuch ein Laplace-Versuch. Wenn wir nun die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ausrechnen möchten, können wir die Laplace-Formel verwenden, die da lautet: Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E eines Laplace-Versuchs ist P(E)=Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse/Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Was könnte nun ein Ereignis sein, dessen Wahrscheinlichkeit wir berechnen möchten? Nehmen wir mal das Ereignis Eg={gelb}={5;6;7}. Die Wahrscheinlichkeit von P(Eg) ist dann gleich 3, also Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse, geteilt durch 10, die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Und das gilt nach der Laplace-Formel. So, komme wir nun zurück zu unserer zweiten Ergebnismenge. Nämlich der Ergebnismenge {grün, gelb, rot}. Wenn man es ganz genau nimmt, ist das eigentlich gar keine Ergebnismenge. Denn wir zählen ja konkrete Kugeln und nicht Farben. Und die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ergebnisses ist auch nicht der Anteil an der Ergebnismenge, denn für grün wäre der zum Beispiel 1/3, weil wir ja nur grün, gelb und rot in der Ergebnismenge haben. Die Wahrscheinlichkeit von grün ist eben 1/2 oder eben 5/10, weil ja fünf der zehn Kugeln grün sind. Trotzdem ist es üblich, solche Ergebnismengen zu verwenden, weil wir es oft mit Ergebnismengen zu tun haben, die zig Milliarden und noch mehr Ergebnisse beinhalten. Und die können wir sowieso nicht alle aufschreiben. Wenn dann also die Hälfte der Kugeln grün ist, dann sagen wir einfach grün ist das Ergebnis, hat die Wahrscheinlichkeit 1/2, basta. Also dann. Die Wahrscheinlichkeit von grün ist 1/2, weil die Hälfte aller Kugeln grün ist, die Wahrscheinlichkeit von gelb ist 3/10 und die Wahrscheinlichkeit von rot ist 2/10. Wir können nun ein Ereignis definieren und die Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Zum Beispiel das Ereignis Egr;r und das ist das Ereignis grün oder rot. Dieses Ereignis tritt ein, wenn eine grüne oder eine rote Kugel gezogen wird. Das bedeutet, die Grünen und die roten Kugeln gehören zu diesem Ereignis. Und jetzt könnte man sagen, dann müsste das Ergebnis ja grün und rot heißen. Ja, kann ich verstehen, den Einwand. Aber man kann das oder genauso begründen und auf eine Sache muss man sich schließlich einigen. Deshalb hat man gesagt, zum Ereignis grün oder rot gehören die grünen und die roten Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses können wir mit einem Satz ausdrücken. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Die Ergebnisse von {grün oder rot} gehören und damit haben wir P(Egr;r)=5/10+2/10=7/10. So, dann sind wir ja mit der Rechnung hier fertig. Gucken wir uns nochmal an, was wir hier gemacht haben. Wir haben diesen Zufallsversuch “Kugel ziehen” gesehen, wir wissen jetzt, wie man mit dem umgehen kann, wir haben eine Ergebnismenge gesehen, nämlich die einzelnen Kugeln. Dann ist es ein Laplace-Versuch. Wir haben auch eine andere Ergebnismenge gesehen und das war die hier. Mit dieser Ergebnismenge war das kein Laplace-Versuch mehr, aber wir haben auch gesehen, dass diese Ergebnismenge natürlich aus dem Laplace-Versuch entstanden ist. Und dass wir nach wie vor die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen können. Das war es dazu, viel Spaß damit. Tschüss.

Wahrscheinlichkeit – Beispiel Kugeln ziehen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Beispiel Kugeln ziehen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Laplace-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    Wenn du zum Beispiel mit einem Würfel würfelst, hast du einen Laplace-Versuch. Betrachte das Ereignis E: gerade Augenzahl.

    Es ist $E=\{2;4;6\}$.

    Du wirst sicher zustimmen, dass $P(E)=\frac12$, da von den sechs Augenzahlen drei gerade sind.

    In einer Urne befinden sich $10$ Kugeln. Davon sind $7$ rot und $3$ grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Richtig $\frac7{10}$, da $7$ der $10$ Kugeln rot sind.

    Bei einem Laplace-Versuch sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

    Beachte, dass eine Wahrscheinlichkeit immer größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ ist.

    Lösung

    Was ist ein Zufallsversuch? Ein Zufallsversuch ist ein Versuch, bei welchem man den Ausgang nicht kennt. Der Ausgang ist also nicht vorhersehbar. Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsversuchs heißt „Ergebnis“. Alle möglichen Ergebnisse werden zusammengefasst zu der Ergebnismenge $\Omega$.

    Was ist das Besondere an einem Laplace-Versuch? Ein Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei welchem jedes mögliche Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Zum Beispiel ist das Werfen mit einem Würfel ein Laplace-Versuch. Jede Augenzahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, gewürfelt zu werden, nämlich $\frac 16$. Dabei entspricht die $6$ im Nenner der Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Ein Ereignis ist

    • eine Teilmenge der Ergebnismenge, also
    • eine Menge an Ergebnissen.
    Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Laplace-Versuch zu berechnen, verwendet man die folgende Formel

    $P(E)=\frac{\text{Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$.

    Sei $E$ das Ereignis, dann ist $|E|$ die Anzahl der Ergebnisse in $E$. Und ebenso für $\Omega$, die Ergebnismenge, $|\Omega|$ die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. So kann man abkürzend schreiben

    $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$.

  • Ergänze die folgenden Definitionen.

    Tipps

    Das Würfeln eines Würfels ist ein Laplace-Versuch. Es gilt

    $P(1)=...=P(6)=\frac16$.

    Man kann auch einen Tetraeder werfen. Das Ergebnis ist die Augenzahl die unten liegt.

    Ein Laplace-Versuch ist ein spezieller Zufallsversuch.

    Ein Zufallsversuch liegt vor, wenn der Ausgang dieses Versuches nicht vorhersehbar ist.

    Lösung

    Was ist ein Ergebnis?

    Die Ergebnisse eines Zufallsversuchs sind die Möglichkeiten, für die wir uns interessieren und die wir auswerten wollen.

    Wenn zum Beispiel in einer Urne Kugeln liegen, die zum einen nummeriert sind und zum anderen verschiedene Farben haben, so kann man sich sowohl die Ergebnisse bezüglich der Zahl als auch der Farbe anschauen.

    Alle möglichen Ergebnisse werden zu der Ergebnismenge $\Omega$ zusammengefasst.

    Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

    Was ist ein Laplace-Versuch? Ein Laplace-Versuch liegt vor, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des Versuches alle gleich groß sind.

  • Verwende die Laplace-Regel, um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

    Tipps

    Zähle die Anzahl der Ergebnisse in dem Ereignis, $|E|$, und die Anzahl aller Ergebnisse, $|\Omega|$.

    Verwende die nebenstehende Laplace-Regel.

    Beachte, dass eine Wahrscheinlichkeit immer größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ ist.

    Teile die Anzahl aller in $E$ befindlichen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Die Zahl im Nenner ist größer als die im Zähler.

    Lösung

    Bei einem Laplace-Versuch kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, indem man dieses als Menge aufschreibt. In dieser Aufgabe ist das Ereignis bereits als Menge von Ergebnissen gegeben:

    $E=\{5;~6;~7\}$

    Die Anzahl aller Ergebnisse in $E$ ist also $|E|=3$.

    Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse

    $\Omega=\{1;~2;~3;~...;~10\}$.

    In $\Omega$ befinden sich $|\Omega|=10$ Ergebnisse.

    Nun ist alles vorbereitet, um die Laplace-Regel anzuwenden, nach welcher die Anzahl aller in $E$ befindlichen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse dividiert wird:

    $P(E)=\frac3{10}=0,3=30~\%$.

  • Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die $100$ Kugeln, die von $1$ bis $100$ durchnummeriert sind.

    Tipps

    Schreibe dir jeweils die Ergebnismenge auf.

    Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse bei einmaligem Ziehen beträgt $100$ und bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen $100\cdot 100=10000$.

    Beim zweimaligem Ziehen kannst du die Ergebnisse als Zahlenpaare aufschreiben:

    $\Omega=\{(1|1);...;(1|100);(2|1);...;(2|100);...;(100|1);...;(100|100)\}$.

    Überlege dir alle Zahlenpaare, deren Summe $191$ beträgt.

    Es wird unterschieden zwischen $(94|97)$ und $(97|94)$ und ähnlichen Paaren.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es darum, an einem etwas komplexeren Beispiel die Laplace-Formel zu üben.

    Darüber hinaus wird ein Beispiel für ein zweistufiges Zufallsexperiment betrachtet.

    Es ist $|\Omega|=100$ bei den ersten beiden Ereignissen und $|\Omega|=100\cdot 100=10000$ bei dem zweistufigen Zufallsexperiment.

    • Zu A: in Mengenschreibweise ist $A=\{5;~10;~15;~20;~25;~30;~35;~40;~45;~50;~55;~60;~65;~70;~75;~80;~85;~90;~95;~100\}$ und damit $P(A)=\frac{20}{100}=0,2$.
    • Zu B: Es ist $B=\{13;~16;~19;~23;~26;~29;...;~93;~96;~99\}$ und damit $P(B)=\frac{27}{100}=0,27$.
    Nun wird es etwas komplizierter. Bei C handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Auch hier kann man zählen, wie viele Ergebnisse das Ereignis $C$ erfüllen. Die Ergebnisse werden als Paare aufgeschrieben. Dabei steht die erste Zahl für die zuerst gezogene Kugel und die zweite für die zweite gezogene Kugel:

    $C=\{(91|100);~(92|99);~(93|98);~(94|97);~(95|96);~(96|95);~(97|94);~(98|93);~(99|92);~(100|91)\}$.

    Das sind $10$ Paare. Somit ist $P(C)=\frac{10}{10000}=\frac1{1000}=0,001$.

  • Entscheide, ob die Wahrscheinlichkeiten korrekt sind.

    Tipps

    Zähle jeweils die Anzahl der Kugeln, welche das Ereignis erfüllen.

    Die Anzahl aller Kugeln beträgt $20$.

    Nach der Laplace-Formel dividierst du die Anzahl der das Ereignis erfüllenden Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln.

    Lösung

    Es befinden sich $20$ Kugeln in der Urne mit $4$ verschiedenen Farben. Man könnte die Ergebnismenge wie folgt aufschreiben:

    $\Omega=\{$rot; grün; blau; weiß$\}$.

    Dies sieht so aus, als ob nur eine rote, ... Kugel in der Urne liegt. So kann man nicht von einem Laplace-Versuch sprechen, da $P($rot$)=\frac8{20}$ ist und zum Beispiel $P($blau$)=\frac5{20}$. Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse stimmen also nicht überein. Man könnte dieses Dilemma umgehen, wenn man jede rote Kugel (und ebenso bei allen anderen Farben) als ein Ergebnis in die Ergebnismenge schreibt. Darauf wird hier verzichtet.

    Wenn man nun die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse bestimmen soll, zählt man die Anzahl der Kugeln, die dies erfüllen, und teilt diese Anzahl durch die Anzahl aller Kugeln (dies sind $20$).

    • A: Es wird keine rote Kugel gezogen. Es sind $20-8=12$ Kugeln in der Urne, die nicht rot sind, also ist $P(A)=\frac{12}{20}=\frac35$.
    • B: Es wird eine blaue oder eine grüne Kugel gezogen. Es befinden sich $5+5=10$ blaue oder grüne Kugeln in der Urne. Somit ist $P(B)=\frac{10}{20}=\frac12$.
    • C: Es wird eine rote oder eine blaue oder eine weiße Kugel gezogen. Dies sind $8+5+2=15$ Kugeln. Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen: $P(C)=\frac{15}{20}=\frac34$.
  • Bestimme die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, wenn sich in einer Urne $2$ rote, $3$ gelbe und $5$ grüne Kugeln befinden, die von $1$ bis $10$ durchnummeriert sind.

    Tipps

    Primzahlen sind alle natürlichen Zahlen größer als $1$, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind. Zum Beispiel ist $7$ eine Primzahl.

    Die Ergebnismenge ist

    • für die Augenzahl $\Omega=\{1;…;10\}$ und
    • für die Farbe $\Omega=\{\underbrace{grün;…;grün}_{\text{ 5 mal}};gelb;~gelb;~gelb;~rot;~rot\}$.
    Die untere Schreibweise der Ergebnismenge führt dazu, dass auch bei betrachteter Farbe ein Laplace-Versuch vorliegt. Dies wäre nicht der Fall für $\Omega=\{grün;~gelb;~rot\}$, da die Wahrscheinlichkeiten nun nicht mehr gleich sind.

    Schreibe dir jeweils das Ereignis als Menge auf und zähle die Ergebnisse, die sich darin befinden.

    Verwende die Laplace-Formel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Anzahl aller zu dem Ereignis gehörenden Ergebnisse dividiert durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist immer gleich $10$.

    Lösung

    Hier liegt ein Laplace-Versuch vor, da jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann. Dabei ist es egal, ob man sich die auf der Kugel befindliche Zahl oder die Farbe der Kugel anschaut. Es gibt in beiden Fällen $10$ mögliche Ergebnisse. Dies ist die Zahl, die bei allen Wahrscheinlichkeiten im Nenner steht.

    Nach der Laplace-Formel ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Anzahl aller Ergebnisse, welche sich in diesem Ereignis befinden, dividiert durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

    Es ist durchaus sinnvoll, sich jedes der Ereignisse als Menge von Ergebnissen aufzuschreiben:

    • Ereignis A: Augenzahl gerade: Dann ist $A=\{2;~4;~6;~8;~10\}$. Damit ist $|A|=5$ und nach Laplace $P(A)=\frac5{10}=\frac12$.
    • Ereignis B: grüne oder gelbe Kugel: Hier kann man zählen, wie viele grüne und gelbe Kugeln es insgesamt in der Urne gibt: $5+3=8$. Damit ist $P(B)=\frac8{10}=\frac45$.
    • Ereignis C: Primzahl: Dann ist $C=\{2;~3;~5;~7\}$. Damit ist $|C|=4$ und gemäß der Laplace-Formel $P(C)=\frac4{10}=\frac25$.
    • Ereignis D: durch $\mathbf{3}$ teilbar: So ist $D=\{3;~6;~9\}$. Damit ist $|D|=3$ und man erhält $P(D)=\frac3{10}$.