Von den Winkelbeziehungen am Einheitskreis zu Polarkoordinaten 12:10 min

In dem folgenden Video geht es um die Winkelbeziehungen am Einheitskreis und um die Einführung von Polarkoordinaten. Zunächst wollen wir daher die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens anhand des Einheitskreises erläutern. Im zweiten Teil wollen wir anhand einfacher Beispiele die Definition anwenden. Anschließend lernen wir eine weitere Möglichkeit kennen, wie man die Punkte der euklidischen Ebene eindeutig beschreiben kann. Dabei handelt es sich um die sogenannten Polaskoordinaten. Im vorletzten Abschnitt beschäftigt uns die Frage wie wir kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten überführen können und umgekehrt. Zum Schluss soll noch kurz gezeigt werden, inwiefern die neuen Polarkoordinaten uns das Leben in der Mathematik ein wenig erleichtern werden. Das Besondere am Einheitskreis ist sein Mittelpunkt und sein Radius. Der Mittelpunkt ist gerade der Koordinatenursprung und der Radius beträgt 1. Schauen wir uns nun den ersten Quadranten etwas genauer an. Als Erstes wählen wir uns einen beliebigen Punkt des Kreisbogens. Da wir uns im ersten Quadranten befinden, sin x0 und y0 positiv. Anschließend verbinden wir den Punkt P mit dem Koordinatenursprung und fällen das Lot von P auf die x-Achse. Dadurch erhalten wir unser sogenanntes Hilfsdreieck. Wir erkennen, dass das Dreieck, das wir auf diese Weise erhalten haben, rechtwinklig ist. Für den Winkel α, dort unten links in der Ecke, gelten also die Winkelbeziehungen in rechtwinkligen Dreiecken, wie wir sie aus Klasse 9 oder 10 schon kennen. So wissen wir zum Beispiel, dass sich der Sinus von α als Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse schreiben lässt. Da die Hypotenuse in unserem Fall aber 1 ist, vereinfacht sich der Ausdruck. Analog dazu entspricht der Cosinus von α gerade der Ankathete von α. Entsprechend können wir den Tangens von α als Quotient aus Sinus und Cosinus des Winkels beschreiben. Da die Gegenkathete von α aber gerade der y-Koordinate von P entspricht, können wir den Sinus von α entsprechend als y0 auffassen. Die restlichen Ersetzungen folgen analog. Folglich finden wir sowohl Sinus als auch Cosinus als Seiten in unserem Hilfsdreieck wieder. Zusammenfassend kann man also sagen, dass sowohl Sinus als auch Cosinus durch die Koordinaten des entsprechenden Punktes auf dem Kreisbogen bereits gegeben sind. Bleibt noch die Frage wie wir uns den Tangens von α geometrisch vorstellen dürfen. Hierzu wenden wir unser Wissen über lineare Funktionen an, denn der Ausdruck y0/x0 entspricht doch gerade dem Anstieg der Geraden durch den Koordinatenursprung und P. Ausgehend vom Koordinatenursprung erhalten wir also dadurch einen zweiten Punkt der Geraden, dass wir eine Einheit entlang der x-Achse und tanα Einheiten entlang der y-Achse wandern. Damit ist tanα ein Maß für den Abschnitt der Tangente an den Einheitskreis durch den Punkt A. Im Folgenden wollen wir das Gelernte an einfachen Beispielen üben. Gesucht ist ein Winkel α im ersten Quadranten für den gilt: sinα=0,8. Die Idee besteht nun darin, dass wir den gesuchten Winkel dadurch ermitteln, dass wir den geeigneten Punkt auf dem Einheitskreis finden. Über diesen Punkt haben wir auch schon eine wichtige Information erhalten, denn der Sinus des gesuchten Winkels entspricht ja gerade der y-Koordinate des gesuchten Punktes. Da der Sinus von α 0,8 sein soll, suchen wir also einen Punkt auf dem Einheitskreis mit der y-Koordniate 0,8. Unser gesuchter Winkel α wird nun von dieser Verbindungslinie und der x-Achse eingeschlossen. Durch bloßes Hinsehen schätzt man, dass unser gesuchter Winkel α circa 50° groß ist. Dieses geschätzte Ergebnis wollen wir nun mit unserem Taschenrechner überprüfen. Wir sehen, dass unsere Schätzung gar nicht so schlecht war. Der gesuchte Winkel α beträgt circa 53,1°. Kommen wir nun zum zweiten Beispiel. Gesucht ist ein Winkel im 3. Quadranten, dessen Cosinus -0,5 ist. Im Unterschied zum vorherigen Beispiel, haben wir nun eine Information zur x-Koordinate des gesuchten Punktes erhalten. Diese soll nach Aufgabenstellung nämlich gerade -0,5 betragen. Wir markieren also -0,5 auf der x-Achse und erhalten unseren Punkt durch Verschiebung entlang der y-Achse. Den eingezeichneten Winkel β schätzen wir auf circa 50°. Unseren gesuchten Winkel α erhalten wir jedoch erst, wenn wir zusätzlich noch 180° addieren. Denn um dort zu landen, wo wir β markiert haben, müssen wir ausgehend von der positiv orientierten x-Achse zunächst mal den 1. und den 2. Quadranten passieren. Überprüfen wir unsere Schätzung nun wieder mit dem Taschenrechner. Dieses Mal lagen wir jedoch mit unserer Schätzung deutlich daneben. Woran liegt das? Hierzu betrachten wir noch mal einen etwas größeren Ausschnitt des Einheitskreises, nun nämlich den 2. und den 3. Quadranten. Dann sieht man nämlich, dass es auf dem Einheitskreis nicht einen, sondern genau zwei Punkte gibt, die die x-Koordinate -0,5 haben. So ist das Ergebnis des Taschenrechners zwar richtig, denn der Strahl durch den zweiten Punkt und den Koordinatenursprung schließt tatsächlich einen Winkel, wir nenne ihn mal α1, in Höhe von 120° mit der positiv orientierten x-Achse ein. Das ist aber nicht der Winkel, den wir gesucht haben, der ja nach Aufgabenstellung im 3. und nicht im 2. Quadranten liegen soll. Nennen wir unseren gesuchten Winkel nun α2. Aus Symmetriegründen finden wir unseren Winkel α1 auch noch einmal unterhalb der x-Achse. Unseren gesuchten Winkel erhalten wir also, wenn wir von 360° eben gerade diesen Winkel 120° abziehen. Und dann sieht unsere Schätzung gar nicht mehr so schlecht aus. Kommen wir nun zum letzten Beispiel. Gesucht ist ein Winkel im 2. Quadranten, dessen Sinus gerade 0,2 ist. Auch hier gibt es wieder zwei unterschiedliche Punkte auf dem Einheitskreis, deren y-Koordinate 0,2 ist. Uns interessiert jedoch nur der linksseitig von der y-Achse gelegene, denn dieser befindet sich ja, wie gewünscht, im 2. Quadranten. Den entsprechenden Winkel schätzen wir auf circa 170°. Und auch diese Schätzung bestätigt sich, nachdem wir den Taschenrechnerwert in Höhe von circa 11,5° von 180° abgezogen haben. So viel zu den Beispielen. Wir haben gesehen, wie man mit dem Hilfsdreieck am Einheitskreis Winkel zu vorgegebenen Sinus- oder Cosinuswerten ermitteln kann. Im folgenden Abschnitt wollen wir an das bisherige anschließen, indem wir zunächst festhalten, dass wir für jeden Punkt des Einheitskreises einen entsprechenden Winkel angeben können, der zwischen dem Verbindungsstrahl des Punktes auf dem Kreisbogen und dem Koordinatenursprung und der positiv orientierten x-Achse liegt. Die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis können dann als cosα für x und sinα für y angegeben werden. Die Frage ist nun, ob sich diese Art der Koordinatenangabe auf alle Punkte der Ebene übertragen lässt. Wie sieht das zum Beispiel für den Punkt P' aus, der auf dem verlängerten Strahl durch den Koordinatenurspung um P liegt. Mithilfe der Strahlensätze erhält man leicht, dass dessen Koordinaten gerade r×cosα und r×sinα sind. Wir sehen, dass es ausreicht den Radius r und den Winkel α zu kennen um die beiden Punkte  P und P' eindeutig voneinander zu unterscheiden. Man überlegt sich leicht, dass diese Idee auf alle Punkte der Ebene übertragbar ist, sodass wir hiermit eine echte Alternative zu kartesischen Koordinaten gefunden haben, die Polarkoordinaten. Schauen wir uns das Ganze an einem kleinen Beispiel an. Der Punkt, der in positiver Richtung auf der y-Achse einer Einheit entfernt liegt, kann in den kartesischen Koordinaten als P(0|1) angegeben werden. Den gleichen Punkt können wir auch beschreiben, indem wir auf dem Einheitskreis eine Viertel Umdrehung positiver Orientierung absolvieren. Üblicherweise verwendet man für den Polarwinkel die Variable φ. So lässt sich jeder Punkt der Ebene eindeutig dadurch beschreiben, dass man seinen positiven Radius kennt und den Polarwinkel φ, der zwischen 0 und 360° liegt. Im folgenden wollen wir uns damit beschäftigen, wie wir kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umformen können und umgekehrt. Denn wir haben gesehen, dass beide Varianten dazu geeignet sind, sämtliche Punkte der Ebene zu beschreiben und dadurch insbesondere auch die gleichen Punkte. Beginnen wir zunächst mit der etwas einfacheren Rechnung, der Umformung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten. Wenn der Radius r und der Polarwinkel φ eines beliebigen Punktes bekannt sind, so ergeben sich dessen kartesische Koordinaten x0 und y0 durch r×cosφ beziehungsweise r×sinφ. Für die andere Richtung nutzen wir zunächst die kleine Hilfsskizze oben rechts im Bild. Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann nämlich r²=x0²+y0². Da der Ausdruck unter der Wurzel für alle Punkte der Ebene stets positiv ist, ergibt sich der Radius r als Wurzel aus x0²+y0². Um jetzt noch den fehlenden Winkel φ zu ermitteln, beachten wir wieder die kleine Nebenrechnung oben rechts im Bild. Da wir den Radius r ja schon ermittelt haben, können wir zum Beispiel mit x0=r×cosφ ansetzen und entsprechend nach cosφ umformen. Unser gesuchter Winkel φ lässt sich also relativ leicht mithilfe des Taschenrechners berechnen. Aber Vorsicht! Wir haben auch gesehen, dass es zu einem Cosinus-Wert verschiedene Punkte geben kann. Daher die Fallunterscheidung. Überprüft nun bitte selbst, ob sich die kartesischen Koordinaten (0|1) in die Polarkoordinaten (1|90°) mittels der angegebenen Transformationsformel überführen lassen und umgekehrt. Immerhin haben wir gesehen, dass in beiden Fällen der gleiche Punkt beschrieben wird. Kommen wir nun zum letzten Punkt des Videos, in dem der Nutzen von Polarkoordinaten anschaulich demonstriert werden soll. So ist es zum Beispiel kein Problem den Ring des Einheitskreises mittels der Kreisgleichung x²+y²=1 analytisch zu beschreiben. Ebenso können wir diesen Halbkreisring beschreiben, indem wir unsere Kreisgleichung noch durch die Bedingung ergänzen, das x≤0 sein soll. Schwieriger wird es schon bei diesem Kreisring hier. Es ist zunächst nicht klar, wie die nebenstehende Gleichung sinnvoll eingeschränkt werden kann, sodass wir nur Punkte beschreiben, die auf dem Kreisring liegen. Viel einfacher hingegen lässt sich der Kreisringausschnitt mit Polarkoordinaten beschreiben. So gilt zum Beispiel für alle Punkte des Kreisringausschnitts, dass der Abstand vom Nullpunkt gleich 1 ist. Fehlt nur noch die Winkelangabe für den Polarwinkel φ. Für alle Punkte des Kreisringausschnitts gilt, dass ihr Polarwinkel ≥90° ist und ≤225°. Überlegt euch daher bitte selbst, dass auch die komplizierte Pacman-Figur durch angegebene Polarkoordinaten richtig beschrieben wird. Interessant ist jetzt noch die Darstellung der Pacman-Figur im rφ-Raum. Hierzu greifen wir auf ein übliches Koordinatensystem zurück, dessen x-Achse wir mit r und dessen y-Achse wir mit φ beschriften. Anschließend markieren wir auf beiden Achsen die entsprechenden Intervalle und stellen deren Kreuzmenge grafisch dar. Wie wir sehen, entspricht die Pacman-Figur im rφ-Raum einem Rechteck. Man überlegt sich leicht, dass dies für sämtliche Kreisausschnitte mit endlichen Radius gilt. Und das war es auch schon wieder. Vielen Dank für's Zuhören. Tschüss!