Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Sinus und Cosinus am Einheitskreis Übung

• Beschreibe den Einheitskreis.

  Tipps

  Der Name „Einheitskreis“ kommt von der Länge des Radius.

  Hier siehst du ein Beispiel.

  Lösung

  Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Er hat immer den Radius $r = 1~\text{LE}$, daher auch der Name „Einheitskreis“.
  Verbinden wir einen Punkt auf dem Einheitskreis senkrecht mit der $x$-Achse, so ergibt sich stets ein rechtwinkliges Dreieck, wie du es im Beispiel in der Abbildung erkennen kannst. Dabei ist der Radius $r$ immer die längste Seite, also die Hypotenuse, dieses Dreiecks mit Länge $1$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Der Einheitskreis ist nur für Winkel bis $180^\circ$ geeignet.

  Diese Aussage ist nicht richtig. Der Einheitskreis eignet sich nämlich für beliebige Winkel, da du von jedem Punkt auf dem Kreis aus ein entsprechendes Dreieck einzeichnen kannst.

  • Wir nutzen den Einheitskreis, um Längeneinheiten umzurechnen.

  Diese Aussage ist auch falsch. Der Name „Einheitskreis“ kommt vielmehr daher, dass der Radius $r$ immer genau einer Längeneinheit entspricht.

• Gib an, wie du Sinus und Cosinus eines Winkels $\alpha$ am Einheitskreis direkt ablesen kannst.

  Tipps

  Die Strecke zwischen dem Mittelpunkt und dem Punkt auf dem Einheitskreis ist die längste Seite des Dreiecks.

  Bei rechtwinkligen Dreiecken gibt es für die drei Seitenlängen die Bezeichnungen, die du in der Abbildung siehst.

  Lösung

  Jede Verbindung eines Punktes auf einem Kreis mit einem Mittelpunkt ist ein Radius des Kreises, so auch die Verbindung eines Punktes $P$ auf dem Einheitskreis mit dem Ursprung. Dieser Radius schließt zusammen mit der positiven $x$-Achse einen Winkel ein, den wir mit $\alpha$ bezeichnen.

  Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten, ziehen wir vom Punkt $P$ aus eine Senkrechte auf die $x$-Achse. In diesem Dreieck entspricht die Hypotenuse dem Radius $r$. Damit hat sie die Länge $\mathbf{1~\text{LE}}$. Die beiden Katheten entsprechen den Koordinaten des Punktes $P$. Es gilt, dass die Gegenkathete von $\alpha$ gleich der $y$-Koordinate und die Ankathete gleich der $x$-Koordinate ist.

  Stellen wir nun die Seitenverhältnisse für Sinus und Cosinus von $\alpha$ auf:

  $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete}$

  $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}} = \frac{\text{Ankathete}}{1} = \text{Ankathete}$

  Da die Koordinaten von $P$ den Katheten entsprechen, stellen wir fest, dass die $x$-Koordinate von $P$ gleich $\mathbf{cos(\alpha)}$ und die $y$-Koordinate von $P$ gleich $\mathbf{sin(\alpha)}$ ist. Auf diese Weise können wir die Werte direkt an den Koordinaten des Punktes $P(\cos(\alpha) \vert \sin(\alpha))$ ablesen.

• Entscheide, welche Sinus-Werte und Cosinus-Werte am Einheitskreis farblich markiert sind.

  Tipps

  Betrachte zunächst den Winkel, für den das Dreieck im Einheitskreis gezeichnet ist.

  Im Einheitskreis entspricht der Sinus der Gegenkathete und der Cosinus der Ankathete des Winkels.

  Lösung

  Wenn wir Sinus-Werte und Cosinus-Werte im Einheitskreis darstellen wollen, gehen wir wie folgt vor:

  • Wir zeichnen den zugehörigen Winkel $\alpha$ ausgehend von der positiven $x$-Achse im Einheitskreis ein.
  • Von dem Punkt aus, an dem der Radius, der den Winkel beschränkt, den Kreis schneidet, ziehen wir dann eine Senkrechte auf die $x$-Achse.
  • In dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck entspricht die waagerechte Kathete (Ankathete) dem Cosinus von $\alpha$, die senkrechte Kathete (Gegenkathete) ist gleich dem Sinus von $\alpha$.

  Beispiel 1:
  Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 30^\circ$ eingezeichnet. Die markierte waagerechte Kathete entspricht $\cos(30^\circ)$.

  Beispiel 2:
  Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 120^\circ$ eingezeichnet. Die markierte senkrechte Kathete entspricht $\sin(120^\circ)$.

  Beispiel 3:
  Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 120^\circ$ eingezeichnet. Die markierte waagerechte Kathete entspricht $\cos(120^\circ)$.

  Beispiel 4:
  Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 300^\circ$ eingezeichnet. Die markierte waagerechte Kathete entspricht $\cos(300^\circ)$.

• Ermittle die Sinus-Werte und Cosinus-Werte, ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

  Tipps

  Die Werte von Sinus und Cosinus wiederholen sich in einem Abstand von genau $360^\circ$.

  Beispiel:

  $\sin(540^\circ) = \sin(180^\circ + 360^\circ) = \sin(180^\circ + 1 \cdot 360^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$

  Lösung

  Bei einem Winkel von $360^\circ$ ist die erste Umrundung des Einheitskreises abgeschlossen. Betrachten wir größere Winkel, so wiederholen sich die Werte erneut. Dabei sind die Werte bei Winkeln mit einem Abstand von $360^\circ$ immer identisch, da hier am Einheitskreis wieder dieselbe Situation entsteht wie bei der Umdrehung zuvor.

  Formal können wir das folgendermaßen schreiben:

  $\sin(\alpha) = \sin(\alpha + k \cdot 360^\circ)$ und
  $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ)$ mit $k \in \mathbb{Z}$

  Das bedeutet, dass die Werte für Sinus und Cosinus immer dann gleich sind, wenn man zu dem Winkel ein ganzzahliges Vielfaches von $360^\circ$ addiert.

  Beispiel 1:
  $\sin(450^\circ) = \sin(90^\circ + 360^\circ) = \sin(90^\circ + 1 \cdot 360^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

  Beispiel 2:
  $\cos(630^\circ) = \cos(270^\circ + 360^\circ) = \cos(270^\circ + 1 \cdot 360^\circ) = \cos(270^\circ) = 0$

  Beispiel 3:
  $\cos(900^\circ) = \cos(180^\circ + 720^\circ) = \cos(180^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$

  Beispiel 4:
  $\sin(1\,080^\circ) = \sin(3 \cdot 360^\circ) = \sin(0^\circ + 3 \cdot 360^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$

• Vervollständige die Tabelle mit den Werten für $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$.

  Tipps

  Für jeden Punkt $P$ auf dem Einheitskreis gilt:

  $P(\cos(\alpha) \vert \sin(\alpha))$

  Lösung

  Die Tabelle zeigt die Werte für Sinus und Cosinus bei verschiedenen Winkeln $\alpha$.

  Für jeden Winkel lassen sich die zugehörigen Werte für Sinus und Cosinus über die Koordinaten des entsprechenden Punktes $P$ am Einheitskreis ablesen. Es gilt:

  $P(\cos(\alpha) \vert \sin(\alpha))$

  Für die Winkel in der Tabelle ergibt sich dabei folgendes Bild:

  • $\alpha = 0^\circ$: Der Punkt liegt auf der $x$-Achse bei $1$. Daher gilt:

  $\cos(0^\circ) = 1$ und $\sin(0^\circ) = 0$

  • $\alpha = 90^\circ$: Der Punkt liegt auf der $y$-Achse bei $1$. Deshalb gilt:

  $\cos(90^\circ) = 0$ und $\sin(90^\circ) = 1$

  • $\alpha = 180^\circ$: Der Punkt liegt auf der $x$-Achse bei $-1$. Darum gilt:

  $\cos(0^\circ) = -1$ und $\sin(0^\circ) = 0$

  • $\alpha = 270^\circ$: Der Punkt liegt auf der $y$-Achse bei $-1$. Deswegen gilt:

  $\cos(270^\circ) = 0$ und $\sin(270^\circ) = -1$.

  • $\alpha = 360^\circ$: Der Punkt liegt auf der $x$-Achse bei $1$. Daher gilt:

  $\cos(360^\circ) = 1$ und $\sin(360^\circ) = 0$

• Entscheide, welche Werte übereinstimmen.

  Tipps

  Veranschauliche die Sinus-Werte und Cosinus-Werte am Einheitskreis.

  Es gibt beim Sinus immer zwei Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$, die denselben Sinus-Wert haben und zwei weitere Winkel, die denselben Wert mit entgegengesetztem Vorzeichen ergeben. Gleiches gilt für den Cosinus.

  Beispiele:

  $\begin{array}{rcl} \cos(30^\circ) & = & \cos(330^\circ) \\ \sin(200^\circ) & = & \sin(340^\circ) \end{array}$

  Lösung

  Da der Radius beim Einheitskreis $1~\text{LE}$ entspricht, hat auch die Hypotenuse der rechtwinkligen Dreiecke, die sich bei verschiedenen Winkeln ergeben, stets diese Länge. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die Katheten müssen daher immer eine Länge zwischen $0$ und $1$ haben.

  Dabei nimmt der Sinus im ersten und zweiten Quadranten positive und im dritten und vierten Quadranten negative Werte an. Jeder Wert tritt dabei bei zwei verschiedenen Winkeln auf, da der Kreis und damit auch die Werte für den Sinus symmetrisch zur $\mathbf{y}$-Achse verlaufen.
  Beim Cosinus sind die Werte für den ersten und vierten Quadranten positiv, für den zweiten und dritten Quadranten entsprechend negativ. Hier treten dieselben Werte symmetrisch zur $\mathbf{x}$-Achse auf, zu der der Einheitskreis ebenfalls symmetrisch ist.

  Durch Veranschaulichung der Werte am Einheitskreis oder theoretische Überlegungen ergibt sich:

  • $\sin(10^\circ) = \sin(170^\circ) = -\sin(350^\circ) = -\sin(190^\circ)$
  • $\cos(10^\circ) = \cos(350^\circ) = -\cos(170^\circ) = -\cos(190^\circ)$
  • $\cos(110^\circ) = \cos(250^\circ) = -\cos(70^\circ) = -\cos(290^\circ)$
  • $\sin(60^\circ) = -\sin(300^\circ) = \sin(120^\circ) = -\sin(240^\circ)$