30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Volumen von Kegeln – Halbvolles Cocktailglas

Bewertung

Ø 4.6 / 5 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Volumen von Kegeln – Halbvolles Cocktailglas
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Volumen von Kegeln – Halbvolles Cocktailglas

Es gibt Cocktailgläser, die (fast) die Form eines Kreiskegels haben. Nun sei ein solches Glas bis zur halben Höhe gefüllt. Wieviel mal mehr Flüssigkeit passt in das Glas, wenn es bis zum Rand gefüllt ist?

Wenn du dich beim ersten Mal verschätzt, ist das gar nicht schlimm, denn eigentlich alle Menschen können Volumina nicht so gut abschätzen (es sei denn, man hat es geübt). Wir Menschen denken linear. Z.B. können wir zu einer gegebenen Strecke ohne Mühe eine Strecke zeichnen, die doppelt so lang ist. Haben wir aber einen (nahezu) kegelförmigen Sandhaufen gegeben, werden wir - ohne Übung und ohne Berechnung - nicht in der Lage sein, einen Sandhaufen mit dem doppelten Volumen aufzuschütten. Bei vermutlich allen Menschen wird der neue Sandhaufen zu groß geraten.

Volumen von Kegeln – Halbvolles Cocktailglas Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Kegeln – Halbvolles Cocktailglas kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Fragestellung zum bis zur halben Höhe gefüllten Cocktailglas.

    Tipps

    Bei einem zylinderförmigen Glas entspräche die Flüssigkeit in dem bis zur halben Höhe gefüllten Glas der Hälfte der Flüssigkeit in dem ganzen Glas.

    Schau mal nach, ob ihr zu Hause einen solchen Messbecher habt und schaue dir die Einteilungen an.

    Lösung

    Ein Cocktailglas ist bis zum Rand gefüllt, ein anderes nur bis zur halben Höhe.

    Wie viel mal mehr Flüssigkeit ist dem ganz gefüllten Glas im Verhältnis zu dem nicht ganz gefüllten Glas?

    Man könnte vermuten, dass es sich um das Doppelte handelt. Jedoch wird das Glas nach unten immer schmaler. Daraus folgt, dass sich im oberen Teil des Glases mehr Flüssigkeit befindet.

  • Ermittle, wie oft der Inhalt des bis zur halben Höhe gefüllten Cocktailglases in das ganze Cocktailglas passt.

    Tipps

    Den halben Radius in dem unteren, kleineren Kegel erhältst du durch einen Strahlensatz.

    Es gilt $\large{\left(\frac r2\right)^2=\frac {r^2}4}$.

    Du kannst auch die Gleichung

    $\large{x\cdot \frac13\cdot\pi\cdot \left(\frac r2\right)^2\cdot \frac h2=\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h}$

    nach $x$ auflösen.

    Lösung

    Das Volumen des unteren, kleineren Kegels beträgt

    $V_2=\frac13\cdot\pi\cdot \left(\frac r2\right)^2\cdot \frac h2$

    und das des oberen

    $V_1=\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Das Volumen $V_2$ kann umgeformt werden zu

    $\begin{align*} V_2&=\frac13\cdot\pi\cdot \frac {r^2}4\cdot \frac h2\\ &=\frac13\cdot\frac18\cdot\pi\cdot r^2\cdot h\\ &=\frac18\cdot\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h\\ &=\frac18\cdot V_1. \end{align*}$

    Das bedeutet, dass das Volumen des unteren, kleineren Kegels achtmal in das des größeren passt.

  • Ermittle, wie sich das Volumen des Zylinders verändert.

    Tipps

    Beachte, dass

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$

    gilt.

    Bei der Veränderung einer der beiden Größen, ändert sich das Volumen in gleichem Maße.

    Lösung

    Da die Volumenformel für einen Zylinder $V=\pi\cdot r^2 \cdot h$ ist, kann man erkennen, dass

    • eine Veränderung des Radius sich im Quadrat auf das Volumen auswirkt und
    • eine Veränderung der Höhe in gleichem Maße das Volumen verändert.
    Deshalb gilt:
    • Die Verdoppelung des Radius führt zum vierfachen Volumen und
    • die Halbierung des Radius führt zum Viertel des Volumens.
    Dahinter steckt folgende Rechnung, wobei $\pi \cdot (2r)^2 \cdot h$ das Volumen des Zylinders mit doppeltem Radius ist. Lösen wir das Quadrat auf, so ergibt sich $\pi \cdot 4r^2 \cdot h$. Stellen wir dies um, so erhalten wir $4 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$. Und dies ist tatsächlich das vierfache Volumen im Vergleich zum nicht verdoppelten Radius.

    Außerdem gilt:

    • Die Verdoppelung der Höhe führt zum doppelten Volumen und
    • die Halbierung der Höhe führt zur Hälfte des Volumens.
    Dies kannst du dir anschaulich vorstellen.

  • Entscheide, um welchen Faktor die Seitenlängen eines Würfels verlängert werden müssen, damit das Volumen des Würfels achtmal so groß wird.

    Tipps

    Wenn $a$ durch $k\cdot a$ ersetzt wird, kannst du diese neue Seitenlänge in der Volumenformel einsetzen.

    Beachte, dass

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$

    gilt.

    Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte potenziert wird, wird durch das Ziehen der entsprechenden Wurzel gelöst.

    Lösung

    Da die Volumenformel $V=a^3$ bei Würfeln gilt, kann durch Multiplikation der Seitenlänge $a$ mit dem Faktor $k$ die folgende Formel hergeleitet werden:

    $V=(k\cdot a)^3=k^3\cdot a^3$.

    Das resultierende Volumen soll das Achtfache des Ausgangsvolumens sein. Dies führt zu der Gleichung

    $k^3=8$.

    Nun kann die dritte Wurzel gezogen werden:

    $k=\sqrt[3]8=2$, da $2^3=8$ ist.

  • Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels an.

    Tipps

    Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Kreises lautet: $A=\pi\cdot r^2$.

    Die Volumenformel für einen Zylinder lautet $V=\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Ein Zylinder ist ein Prisma mit kreisförmiger Grundfläche.

    Ein Kegel ist eine Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche.

    Lösung

    Bei dem Cocktailglas handelt es sich um einen Kreiskegel. Die Volumenformel lautet

    $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$,

    dabei

    • ist $r$ der Radius des Grundkreises und
    • $h$ die Höhe des Kegels.

  • Leite her, bis zu welcher Höhe das Cocktailglas gefüllt sein muss, damit sich die Hälfte des Inhaltes des komplett gefüllten Glases darin befindet.

    Tipps

    Wende die Volumenformel für Kegel auf den unteren Kegel mit der Höhe $k\cdot h$ und dem Radius $k\cdot r$ an.

    Du kannst das anteilige Volumen als Faktor mal das Gesamtvolumen schreiben. Der Faktor hängt nur von dem $k$ ab.

    Löse diese Gleichung nach $k$ auf.

    Gerundet erhältst du $k\approx 0,794$.

    Lösung

    Das Volumen des unteren Kegels ist gegeben durch die Formel

    $V=\frac13\cdot \pi\cdot (k\cdot r)^2\cdot (k\cdot h)$.

    Durch Anwenden von Potenzregeln sowie Sortieren der Terme erhält man

    $\begin{align*} V&=\frac13\cdot \pi\cdot k^2\cdot r^2\cdot k\cdot h\\ &=k^3\cdot \frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h. \end{align*}$

    Also ist das Volumen das $k^3$-fache des gesamten Volumens. Damit das Volumen die Hälfte des gesamten Volumens ist, muss

    $k^3=\frac12$

    gelten. Dies ist äquivalent zu

    $k=\frac 1{\sqrt[3]2}\approx 0,794$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.798

Lernvideos

44.117

Übungen

38.764

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden