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Trigonometrische Berechnung am rechtwinkligen Dreieck 06:09 min

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Transkript Trigonometrische Berechnung am rechtwinkligen Dreieck

Hallo, in diesem Video geht es um trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck. Ein Vermessungsingenieur möchte die Höhe eines Turmes berechnen. Er steht dazu 50 Meter von dem Turm entfernt. Mit Hilfe seines 1,80 Meter großen Theodoliten kann er den Beobachtungswinkel messen, wenn er die Spitze des Turmes anvisiert. Er erhält einen Beobachtungswinkel von 32 Grad. Wie bestimmt er nun aber die Höhe des Turmes? Wir werden ihm bei seinem Problem helfen. Hierfür lernen wir zunächst trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck kennen. Denn auf dieser Grundlage können wir im Anschluss die Höhe des Turmes bestimmen. Wir zeichnen uns ein rechtwinkliges Dreieck und benennen die beiden spitzen Winkel α und β. Die Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt, heißt Gegenkathete von α. Die am Winkel α anliegende Kathete heißt Ankathete von α. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, nennen wir Hypothenuse. Die Verhältnisse zwischen der Ankathete, der Gegenkathete und der Hypothenuse von α kann durch Sinus, Kosinus und Tangens beschrieben werden. Es sind die trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck. Das Verhältnis Gegenkathete von α zur Hypothenuse ist dabei dem Sinus von α gleich. Als Formen notieren wir: sin(α) = Gegenkathete von α/Hypothenuse. Das Verhältnis Ankathete von α zur Hypothenuse ist dem Kosinus von α gleich. Als weitere Formel notieren wir: cos(α) = Ankathete von α/Hypothenuse. Das Verhältnis aus Gegenkathete von α zu Ankathete von α ist gleich dem Tangenz von α. Als Formel notieren wir: tan(α) = Gegenkathete von α/Ankathete von α. Wir kommen nun zu unserem Problem zurück. Wie helfen uns die trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck hier weiter? Du hast bestimmt schon erkannt, dass bei unserer Skizze ein Dreieck entstanden ist. Da der Turm senkrecht zum Boden steht, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Gegenüber des rechten Winkels liegt die Hypothenuse c. Die beiden anderen Seiten beschriften wir mit a und b. Der Beobachtungswinkel ist dann α. Die Seite a ist die Gegenkathete und b die Ankathete vom Beobachtungswinkel α. Wir suchen die Höhe h des Turmes, welche sich aus der Seite a und der Messhöhe n = 1,80m ergibt. Gegeben ist die Ankathete b = 50m und der Beobachtungswinkel α = 32°. Wir können die Seite a, beziehungsweise die Länge der Gegenkathete zu α nun mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck berechnen, genauer dem Tangens. Der Tangens von α ist in diesem Dreieck gleich der Gegenkathete von α durch die Ankathete von α. Also: tan(α) = a/b. Wir setzen für α = 32° und für b = 50m ein. Der tan(32°) = a/50m. Nun lösen wir die Gleichung nach a auf. Dazu multiplizieren wir mit 50m. tan(α)×50m = a. Den Tangens von 32 Grad berechnen wir mit Hilfe unseres Taschenrechners und multiplizieren ihn mit 50 Meter. Wir erhalten für a ≈ 31,24 Meter. Zuletzt müssen wir der Seite a die Höhe des Theodoliten hinzuzählen, damit wir die Höhe des Turmes erhalten. h = a + 1,80m. Wir erhalten für die Höhe h = 31,24m + 1,80m = 33,04m. Unser Turm hat also eine Höhe von 33,04 Metern. Damit haben wir dem Vermessungsingenieur gut weiterhelfen können. Ganz nebenbei haben wir dadurch sogar etwas sehr Nützliches gelernt. Du hast nun etwas über die trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck gelernt und wie man diese im Alltag sinnvoll einsetzen kann.

17 Kommentare
  1. Hallo Nadinescheifele,
    das rechtwinklige Dreieck in der Aufgabe liegt auf einer Höhe von 1,80 m, da der Theodolit auf dieser Höhe seine Spitze hat. Wenn wir also nun die Seite a des Dreiecks berechnen, sind wir ja bereits auf einer Höhe von 1,80 m. Diese 1,80 m kommen also noch auf die Seite a drauf, damit wir die gesamte Höhe h des Turms haben.
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Florian H., vor etwa einem Monat
  2. Woher weiß ich, dass ich h durch die Gleichung a+1,80 herausbekomme?

    Von Nadinescheifele, vor etwa einem Monat
  3. Sehr hilfreiches Video, danke für die nette Erklärung zum Thema. :)

    Von Joshua Ihns, vor 6 Monaten
  4. Hallo Antonio Ciccone, Du hast Recht, dass die Gleichung nicht nach a umgestellt ist, ansonsten ist die Definition des Tangens aber in dieser Antwort richtig angegeben und damit eignet sich die Formel zum berechnen der fehlenden Seite.
    Viele Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor 6 Monaten
  5. bei der Bonusaufgabe war die fünfte Antwort falsch. Es ist tan(32)*50 und nicht geteilt

    Von Max C., vor 6 Monaten
  1. super video. toll erklärt!

    Von Mertenmis, vor 9 Monaten
  2. das video hat mir sehr geholfen! Ein video auf sofatutor bringt mir mehr bei als eine woche matheunterricht... Danke!!!

    Von Helene.Ehlers, vor etwa 2 Jahren
  3. perfektes Video

    Von Bastian Gottbrath1, vor etwa 2 Jahren
  4. Das Video ist echt hilfreicher als jede Mathestunde .

    Von Emily K., vor mehr als 3 Jahren
  5. @Kerstin Boomgaarden:
    Nimmst du mehr Nachkommastellen von cos(32°) dazu, kommst du auf das richtige Ergebnis. cos(32°) ist rund 0,8480480962.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor etwa 4 Jahren
  6. Ich habe hier 58,82 ausgerechnet. Der folgende Rechenweg kann meinen Fehler nicht erklären.

    Kosinus von 32°= 50 geteilt durch c= 32° I c mal c
    50m= cos von a mal c I : cos von Alpha
    50m:cos von 32°=c

    50:0,85 = c
    c=58,82

    Von Kerstin Boomgaarden, vor etwa 4 Jahren
  7. Sehr gut,
    ich habe mit diesem Viedeo mehr gelernt als im ganzen Unterricht zusammen.

    Von Tmk18, vor etwa 4 Jahren
  8. @Enasara98:
    Stelle zuerst sicher, welchen Winkel zu zuerst berechnen möchtest. Bestimme dann die Ankathete und die Gegenkathete. Setze beide in die Formel ein. Zum Beispiel: Gegenkathete (5) und Ankathete (4)
    tan(alpha)=5/4 | tan^(-1)
    Dann musst du den tangens umkehren. Man schreibt dann tan^(-1) [gesprochen: tangens hoch Minus 1]. Benutze dafür deinen Taschenrechner. Stelle sicher, dass er auf DEG eingestellt ist.
    Du erhältst:
    alpha = tan^(-1)(5/4) ungefähr 51,34°.
    Den zweiten Winkel kannst du dann leicht berechnen, indem du rechnest:
    180°-90°-51,34° 38,66°.
    Du kannst natürlich auch hier den tangens benutzen wie oben.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  9. wie berechnet man den tangenz wenn man im rechtwinkligen dreieck nur die kathete und die ankathete gegeben hat und man soll ausrechnen wie groß die winkel alfa und betha sind

    Von Enasara98, vor mehr als 4 Jahren
  10. Sehr gut erklärt!

    Von Eva Maria Sontag, vor etwa 5 Jahren
  11. Klasse, Danke alles in 6 Minuten erklärt bekommen ,wobei ich in 1 Monat im Unterricht nichts verstanden habe.

    Von carina b., vor mehr als 5 Jahren
  12. Richtig gut - und mit viel Spaß und Esprit! Die Videos aus dem MatheTeam-Studio sind nicht nur lehrreich, sondern machen auch gute Laune!

    Von Green Spirit, vor fast 6 Jahren
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