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Trigonometrische Berechnung am rechtwinkligen Dreieck 06:09 min

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Transkript Trigonometrische Berechnung am rechtwinkligen Dreieck

Hallo, in diesem Video geht es um trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck. Ein Vermessungsingenieur möchte die Höhe eines Turmes berechnen. Er steht dazu 50 Meter von dem Turm entfernt. Mit Hilfe seines 1,80 Meter großen Theodoliten kann er den Beobachtungswinkel messen, wenn er die Spitze des Turmes anvisiert. Er erhält einen Beobachtungswinkel von 32 Grad. Wie bestimmt er nun aber die Höhe des Turmes? Wir werden ihm bei seinem Problem helfen. Hierfür lernen wir zunächst trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck kennen. Denn auf dieser Grundlage können wir im Anschluss die Höhe des Turmes bestimmen. Wir zeichnen uns ein rechtwinkliges Dreieck und benennen die beiden spitzen Winkel α und β. Die Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt, heißt Gegenkathete von α. Die am Winkel α anliegende Kathete heißt Ankathete von α. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, nennen wir Hypothenuse. Die Verhältnisse zwischen der Ankathete, der Gegenkathete und der Hypothenuse von α kann durch Sinus, Kosinus und Tangens beschrieben werden. Es sind die trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck. Das Verhältnis Gegenkathete von α zur Hypothenuse ist dabei dem Sinus von α gleich. Als Formen notieren wir: sin(α) = Gegenkathete von α/Hypothenuse. Das Verhältnis Ankathete von α zur Hypothenuse ist dem Kosinus von α gleich. Als weitere Formel notieren wir: cos(α) = Ankathete von α/Hypothenuse. Das Verhältnis aus Gegenkathete von α zu Ankathete von α ist gleich dem Tangenz von α. Als Formel notieren wir: tan(α) = Gegenkathete von α/Ankathete von α. Wir kommen nun zu unserem Problem zurück. Wie helfen uns die trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck hier weiter? Du hast bestimmt schon erkannt, dass bei unserer Skizze ein Dreieck entstanden ist. Da der Turm senkrecht zum Boden steht, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Gegenüber des rechten Winkels liegt die Hypothenuse c. Die beiden anderen Seiten beschriften wir mit a und b. Der Beobachtungswinkel ist dann α. Die Seite a ist die Gegenkathete und b die Ankathete vom Beobachtungswinkel α. Wir suchen die Höhe h des Turmes, welche sich aus der Seite a und der Messhöhe n = 1,80m ergibt. Gegeben ist die Ankathete b = 50m und der Beobachtungswinkel α = 32°. Wir können die Seite a, beziehungsweise die Länge der Gegenkathete zu α nun mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck berechnen, genauer dem Tangens. Der Tangens von α ist in diesem Dreieck gleich der Gegenkathete von α durch die Ankathete von α. Also: tan(α) = a/b. Wir setzen für α = 32° und für b = 50m ein. Der tan(32°) = a/50m. Nun lösen wir die Gleichung nach a auf. Dazu multiplizieren wir mit 50m. tan(α)×50m = a. Den Tangens von 32 Grad berechnen wir mit Hilfe unseres Taschenrechners und multiplizieren ihn mit 50 Meter. Wir erhalten für a ≈ 31,24 Meter. Zuletzt müssen wir der Seite a die Höhe des Theodoliten hinzuzählen, damit wir die Höhe des Turmes erhalten. h = a + 1,80m. Wir erhalten für die Höhe h = 31,24m + 1,80m = 33,04m. Unser Turm hat also eine Höhe von 33,04 Metern. Damit haben wir dem Vermessungsingenieur gut weiterhelfen können. Ganz nebenbei haben wir dadurch sogar etwas sehr Nützliches gelernt. Du hast nun etwas über die trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck gelernt und wie man diese im Alltag sinnvoll einsetzen kann.

17 Kommentare
  1. Hallo Nadinescheifele,
    das rechtwinklige Dreieck in der Aufgabe liegt auf einer Höhe von 1,80 m, da der Theodolit auf dieser Höhe seine Spitze hat. Wenn wir also nun die Seite a des Dreiecks berechnen, sind wir ja bereits auf einer Höhe von 1,80 m. Diese 1,80 m kommen also noch auf die Seite a drauf, damit wir die gesamte Höhe h des Turms haben.
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Florian H., vor 5 Monaten
  2. Woher weiß ich, dass ich h durch die Gleichung a+1,80 herausbekomme?

    Von Nadinescheifele, vor 5 Monaten
  3. Sehr hilfreiches Video, danke für die nette Erklärung zum Thema. :)

    Von Joshua Ihns, vor 10 Monaten
  4. Hallo Antonio Ciccone, Du hast Recht, dass die Gleichung nicht nach a umgestellt ist, ansonsten ist die Definition des Tangens aber in dieser Antwort richtig angegeben und damit eignet sich die Formel zum berechnen der fehlenden Seite.
    Viele Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor 10 Monaten
  5. bei der Bonusaufgabe war die fünfte Antwort falsch. Es ist tan(32)*50 und nicht geteilt

    Von Max C., vor 10 Monaten
  1. super video. toll erklärt!

    Von Mertenmis, vor etwa einem Jahr
  2. das video hat mir sehr geholfen! Ein video auf sofatutor bringt mir mehr bei als eine woche matheunterricht... Danke!!!

    Von Helene.Ehlers, vor mehr als 2 Jahren
  3. perfektes Video

    Von Bastian Gottbrath1, vor mehr als 2 Jahren
  4. Das Video ist echt hilfreicher als jede Mathestunde .

    Von Emily K., vor mehr als 3 Jahren
  5. @Kerstin Boomgaarden:
    Nimmst du mehr Nachkommastellen von cos(32°) dazu, kommst du auf das richtige Ergebnis. cos(32°) ist rund 0,8480480962.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  6. Ich habe hier 58,82 ausgerechnet. Der folgende Rechenweg kann meinen Fehler nicht erklären.

    Kosinus von 32°= 50 geteilt durch c= 32° I c mal c
    50m= cos von a mal c I : cos von Alpha
    50m:cos von 32°=c

    50:0,85 = c
    c=58,82

    Von Kerstin Boomgaarden, vor mehr als 4 Jahren
  7. Sehr gut,
    ich habe mit diesem Viedeo mehr gelernt als im ganzen Unterricht zusammen.

    Von Tmk18, vor mehr als 4 Jahren
  8. @Enasara98:
    Stelle zuerst sicher, welchen Winkel zu zuerst berechnen möchtest. Bestimme dann die Ankathete und die Gegenkathete. Setze beide in die Formel ein. Zum Beispiel: Gegenkathete (5) und Ankathete (4)
    tan(alpha)=5/4 | tan^(-1)
    Dann musst du den tangens umkehren. Man schreibt dann tan^(-1) [gesprochen: tangens hoch Minus 1]. Benutze dafür deinen Taschenrechner. Stelle sicher, dass er auf DEG eingestellt ist.
    Du erhältst:
    alpha = tan^(-1)(5/4) ungefähr 51,34°.
    Den zweiten Winkel kannst du dann leicht berechnen, indem du rechnest:
    180°-90°-51,34° 38,66°.
    Du kannst natürlich auch hier den tangens benutzen wie oben.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  9. wie berechnet man den tangenz wenn man im rechtwinkligen dreieck nur die kathete und die ankathete gegeben hat und man soll ausrechnen wie groß die winkel alfa und betha sind

    Von Enasara98, vor mehr als 4 Jahren
  10. Sehr gut erklärt!

    Von Eva Maria Sontag, vor mehr als 5 Jahren
  11. Klasse, Danke alles in 6 Minuten erklärt bekommen ,wobei ich in 1 Monat im Unterricht nichts verstanden habe.

    Von carina b., vor mehr als 5 Jahren
  12. Richtig gut - und mit viel Spaß und Esprit! Die Videos aus dem MatheTeam-Studio sind nicht nur lehrreich, sondern machen auch gute Laune!

    Von Green Spirit, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare

Trigonometrische Berechnung am rechtwinkligen Dreieck Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trigonometrische Berechnung am rechtwinkligen Dreieck kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte die Skizze mit den richtigen Begriffen.

    Tipps

    Beginne mit den Angaben, die dir leicht fallen oder bei denen du sicher bist.

    Ein rechter Winkel ist immer $90^\circ$ groß.

    Überlege: Woher hat der Beobachtungswinkel wohl seinen Namen?

    Die längste Seite im Dreieck bzw. die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.

    Aus den Wörtern Ankathete und Gegenkathete kannst du schon schließen, welche der beiden Katheten an dem Winkel $\alpha$ und welche gegenüber dem Winkel $\alpha$ liegt.

    Lösung

    Die Höhe $h$ des Turms findest du dort, wo die Pfeile vom Sockel bis zur Spitze des Turmes reichen.

    Der rechte Winkel wird von der kürzeren Seite des Dreiecks und der Turmwand eingeschlossen.

    Die Angabe von der Höhe des Messgeräts, $1,80~\text{m}$, findest du auch in der Skizze (ganz rechts).

    Als Beobachtungswinkel $\alpha$ kommt nur der Winkel, der mit $32^\circ$ angegeben ist, in Frage: An der Seite dieses Winkels steht die Person und blickt auf den Turm.

    Wie die Begriffe schon sagen, liegt die Ankathete von $\alpha$ an dem Winkel $\alpha$, die Gegenkathete von $\alpha$ gegenüber dem Winkel $\alpha$.

    Die Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel.

  • Gib an, welche Angaben zur Berechnung der Turmhöhe und zur Skizze passen.

    Tipps

    Prüfe genau, welche Angaben in der Skizze gegeben sind.

    Du brauchst die Formel, in der Gegenkathete von $\alpha$ und Ankathete von $\alpha$ vorkommen

    Wenn du die Seite $a$ berechnet hast, fehlt noch ein Schritt, um die Höhe des Turms zu wissen.

    Die Summe aus der Seite $a$ und der Höhe des Messgeräts ist gleich der Höhe des Turms.

    Lösung

    Prüfe zunächst, was gegeben ist:

    • Seite $b$ beträgt $50$ Meter.
    • Die Höhe des Messgeräts beträgt $1,80$ Meter.
    • Der Beobachtungswinkel $\alpha$ beträgt $32^\circ$.
    Gesucht ist die Höhe $h$ des Turms.
    • Die Höhe $h$ des Turms setzt sich zusammen aus der Seite $a$ des Dreiecks und der Höhe des Messgeräts.
    • Die Seite $a$ ist die Gegenkathete von $\alpha$.
    • Gegeben ist die Seite $b$, die Ankathete von $\alpha$ ist.
    Daher berechen wir Seite $a$ mit Hilfe des Tangens von $\alpha$:

    $\tan(\alpha)=\dfrac{a}{50~\text{m}}$

    Diese Rechnung liefert etwa $31,24$ Meter für Seite $a$. Anschließend addieren wir noch $1,80$ Meter, nämlich die Höhe des Messgeräts, zu der Seite $a$ und erhalten im Ergebnis eine Turmhöhe von ca. $33,04$ Meter.

  • Bestimme die Lösung der Textaufgabe.

    Tipps

    Vergleiche: Welche Angaben gibt es in der Aufgabe? Was ist gesucht?

    Dieses Mal gibt es unterschiedliche Beobachtungswinkel.

    Überlege: Musst du den Sinus, Kosinus oder Tangens anwenden?

    Die Höhe des Theodoliten musst du nicht unbedingt berücksichtigen. Es ist aber auch nicht falsch, wenn du es tust.

    Lösung

    Wenn du die Aufgabe noch einmal in Ruhe liest, erkennst du schnell, was gesucht ist: Die Höhe der Tanne. Dabei sind zwei unterschiedliche Beobachtungswinkel angegeben: Letztes Jahr betrug der Beobachtungswinkel $38^\circ$ und dieses Jahr beträgt er $39^\circ$. Der Abstand zur Tanne ist ebenfalls bekannt mit $80$ Metern.

    Da die Tanne gewachsen ist, rechnest du zunächst die Höhe der Tanne letztes Jahr mit Hilfe des Beobachtungswinkels $\alpha_1= 38^\circ$ und die Höhe der Tanne dieses Jahr mit $\alpha_2 = 39^\circ$ aus. Das machst du wieder mit Hilfe der Formel zum Tangens von $\alpha$.

    Die Gleichung stellst du entsprechend um und setzt dann die Werte für $\alpha_1$ und $\alpha_2$ ein.

    $\begin{array}{lllll} \\ \dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha }{\text{Ankathete von }\alpha} &=& \tan(\alpha) && \vert \cdot \text{Ankathete von }\alpha\\ \\ \text{Gegenkathete von }\alpha &=& \tan (\alpha) \cdot \text{Ankathete von }\alpha &&\\ \\ \end{array}$

    • für $\alpha_1$ : $\tan (38^\circ) \cdot 80~\text{m}=64,3~\text{m}$
    • für $\alpha_2$ : $\tan (39^\circ) \cdot 80~\text{m}=66,58~\text{m}$
    Dann ermittelst du die Differenz zwischen diesen beiden Werten und erhältst $2,28~\text{m}$.

  • Ordne dem abgebildeten Dreieck die passenden trigonometrischen Beziehungen zu.

    Tipps

    Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

    Kannst du aus den Wörtern Ankathete und Gegenkathete schließen, welche der beiden Katheten an dem Winkel $\alpha$ und welche gegenüber dem Winkel $\alpha$ liegt?

    Beim Tangens von $\alpha$ spielt die Hypotenuse keine Rolle.

    Lösung

    Gehe bei dieser Aufgabe schrittweise vor:

    1. Finde den rechten Winkel. Ihm gegenüber liegt immer die Hypotenuse.
    2. Die Ankathete von $\alpha$ liegt an dem Winkel $\alpha$, die Gegenkathete von $\alpha$ liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber.
    3. Der Tangens von $\alpha$, auch als $\tan(\alpha)$ bezeichnet, drückt das Verhältnis der beiden Katheten aus, also Gegenkathete von $\alpha$ zu Ankathete von $\alpha$.
    4. Der Sinus von $\alpha$, auch als $\sin(\alpha)$ bezeichnet, und der Kosinus von $\alpha$, auch als $\cos(\alpha)$ bezeichnet, haben beide etwas mit der Hypotenuse zu tun. Der Sinus bezeichnet das Verhältnis der Gegenkathete von $\alpha$ zur Hypotenuse, der Kosinus das Verhältnis der Ankathete von $\alpha$ zur Hypotenuse.
    Demnach gelten also die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

    • $\sin{(\alpha)}=\dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\cos{(\alpha)}=\dfrac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\tan{(\alpha)}=\dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}$
    • $\cos{(\beta)}=\dfrac{\text{Ankathete von } \beta}{\text{Hypotenuse}}$
  • Ermittle die Höhe des Hauses.

    Tipps

    Es ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks gesucht und eine gegeben. Zudem ist der Winkel gegenüber der gesuchten Kathete bekannt.

    Es gilt:

    • $\sin{\alpha}=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\cos{\alpha}=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\tan{\alpha}=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$
    Lösung

    Starte immer, indem du eine Skizze anfertigst und dort alles einträgst, was du weißt, also Angaben zu Längen und Größen. Dort markierst du aber auch, was gesucht ist. Mache dir bewusst, mit welchen mathematischen Hilfen du die gesuchte Größe berechnen kannst. Fällt dir etwas auf? Gibt es besondere Formen, Punkte, Zusammenhänge, die dir helfen können?

    Dann schreibst du auf, welche Größen gesucht sind und welche Informationen du schon weißt. Anschließend ist es sehr wichtig, dass du dir überlegst, mit welchen mathematischen Hilfen du die Aufgabe lösen kannst. In unserem Beispiel sind folgende Größen gegeben und gesucht:

    Gegeben: $~b=40\ \text{m}$ und $\alpha=25^\circ$

    Gesucht: $~h$

    Ansatz: $~h=a+1,50\ \text{m}$

    Damit erkennen wir, dass wir die Seite $a$ des Dreiecks bestimmen müssen, wenn wir die Höhe $h$ suchen. Du benötigst also die trigonometrische Beziehung, bei der die Gegenkathete von $\alpha$, die Ankathete von $\alpha$ und der Winkel $\alpha$ vorkommen, nämlich den Tangens von $\alpha$. Die Formel für den Tangens von $\alpha$ lautet:

    • $\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}=\dfrac ab$
    Du setzt die bekannten Größen ein und erhältst folgende Rechnung:

    • $\tan(25^\circ)=\dfrac{a}{40~\text{m}}$
    Die Gleichung formst du mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so um, dass die unbekannte Größe allein auf einer Seite der Gleichung steht. Du erhältst dann:

    • $\tan(25^\circ) \cdot 40~\text{m}=a$
    Mit dem Taschenrechner berechnest du den Tangens von $25^\circ$ und multiplizierst das Ergebnis mit $40$ Metern. Dabei erhältst du auf zwei Nachkommastellen gerundet etwa $18,65~\text{m}$, was der Gegenkathete von $\alpha$, also der Seite $a$ entspricht.

    Damit bist du aber noch nicht ganz fertig: Um die Höhe $h$ des Hauses zu wissen, musst du zur Seite $a$ bzw. zur Gegenkathete von $\alpha$ noch die Höhe des Messgeräts, also $1,50\ \text{m}$ addieren. Das ergibt gerundet $20,15~\text{m}$. Jetzt kannst du den Antwortsatz formulieren:

    Die Höhe des Hauses beträgt in etwa $20,15$ Meter.

  • Bestimme jeweils die fehlenden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks.

    Tipps

    Prüfe immer ganz genau, welche Angaben gegeben und gesucht sind.

    Die trigonometrischen Beziehungen sind für den Winkel $\beta$ wie folgt gegeben:

    • $\sin(\beta)=\dfrac{b}{c}$
    • $\cos(\beta)=\dfrac{a}{c}$
    • $\tan(\beta)=\dfrac{b}{a}$
    Lösung

    Wir betrachten nun gemeinsam die drei Beispiele. In allen drei Beispielen geht es um ein rechtwinkliges Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$.

    Beispiel 1

    Gegeben: $~a=20$, $~\alpha=30^\circ$

    Wir kennen also $\alpha$ und die Gegenkathete von $\alpha$, also $a$. Damit können wir mit dem Tangens die fehlende Kathete und mit dem Sinus die Hypotenuse berechnen. Hierzu müssen wir die jeweiligen Beziehungen entsprechend umstellen. Wir erhalten dann für $b$:

    $\begin{array}{lllll} & \tan{\alpha} &=& \dfrac ab & \vert \cdot b \\ & \tan{\alpha} \cdot b &=& a & \vert :\tan{\alpha} \\ & b &=& \dfrac{a}{\tan{\alpha}} & \end{array}$

    Nun können wir $a$ und $\alpha$ einsetzen, um $b$ zu berechnen:

    • $b=\dfrac{20}{\tan{30^\circ}}=34,64$
    Ebenso stellen wir die Beziehung für $\sin{\alpha}$ nach $c$ um:

    $\begin{array}{lllll} & \sin{\alpha} &=& \dfrac ac & \vert \cdot c \\ & \sin{\alpha} \cdot c &=& a & \vert :\sin{\alpha} \\ & c &=& \dfrac{a}{\sin{\alpha}} & \end{array}$

    Für $c$ erhalten wir damit:

    • $c= \dfrac{20}{\sin{30^\circ}} =40$

    Beispiel 2

    Gegeben: $~a=10$, $~\beta=30^\circ$

    Mit dem gleichen Vorgehen wie oben erhalten wir nun:

    • $b=a\cdot \tan{30^\circ}=5,77$
    • $c=\dfrac{a}{\cos{30^\circ}}=11,55$
    Beispiel 3

    Gegeben: $~c=15$, $~\alpha=60^\circ$

    Mit dem gleichen Vorgehen wie oben erhalten wir nun:

    • $a=c\cdot \sin{60^\circ}=12,99$
    • $b=c\cdot \cos{60^\circ}=7,5$