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Terme aufstellen – Anwendungsaufgabe

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Ø 3.8 / 40 Bewertungen

Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Terme aufstellen – Anwendungsaufgabe
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Terme aufstellen – Anwendungsaufgabe

Diese Aufgabe könnte in der zentralen Vergleichsarbeit in der achten Klasse (Vera 8) so oder so ähnlich vorkommen. Es werden Würfel paarweise nebeneinander (ohne Zwischenraum) auf den Tisch gelegt. Dann sind nicht nur die unteren Seiten der Würfel nicht sichtbar, sondern auch die Seiten, die von einem danebenliegenden Würfel verdeckt werden. Die Frage ist: Wie viele Würfelseiten sind sichtbar, wenn eine bestimmte Anzahl n von Würfelpaaren auf dem Tisch liegt? Es soll ein Term gefunden werden, der diese Frage beantwortet.

Im Film wird zunächst ausprobiert, wieviele Würfelseiten bei bestimmten Anzahlen von Würfelpaaren sichtbar sind. Dann wird eine Vermutung aufgestellt, die durch geschicktes Einsetzen neuer Würfelpaare bestätigt werden kann. Danach wird die neu gewonnene Erkenntnis in einen Term übersetzt.

Die gezeigte Aufgabe ist im Vergleich zu anderen Aufgaben, die bei Vera 8 gestellt werden können eher schwierig.

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. Lustig und gut gut erklärt

    Von Tom Zebug, vor mehr als einem Jahr
  2. Sehr schön langsam erklärt. Konnte alles verstehen.

    Von Jendrikhasse, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo Marcus Betz,
    du hast recht, dass natürlich 6 weitere Seiten dazu kommen. Gleichzeitig verdeckst du aber auch wieder 2 Seiten. Deswegen kommen pro Würfelpaar nur 4 sichtbare Seiten dazu.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  4. Was aber wenn man außen zwei Würfel hinlegt?
    Sind es nicht dann sechs weitere Seiten?

    Von Marcus Betz, vor mehr als einem Jahr
  5. Sehr gut erklärt :)

    Von Cmbrueggemeier, vor etwa 2 Jahren
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Terme aufstellen – Anwendungsaufgabe Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme aufstellen – Anwendungsaufgabe kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme zu der jeweiligen Anzahl an Würfelpaaren die Anzahl der sichtbaren Flächen.

    Tipps

    Nimm dir zwei Würfel her und lege sie nebeneinander. Du kannst die beiden oberen Seiten sehen. Wie viele Seiten siehst du noch?

    Wenn du weißt, wie viele Seiten du bei drei Würfelpaaren siehst, kannst du ein Paar am Rand verschieben und an den freien Stellen zwei weitere Würfel einfügen. Von diesen siehst du vier Seiten.

    Du kannst eine Regelmäßigkeit erkennen.

    Lösung

    Wenn man ein Würfelpaar hinlegt, sieht man die beiden oberen Seiten: eine Seite, die zu einem zeigt, und die gegenüberliegende Seite. Weiter sieht man auf der rechten und linken Seite des Würfelpaares jeweils zwei Würfelseiten. Dies sind gesamt acht Seiten.

    Wenn man ein weiteres Würfelpaar hinzufügt, werden zwei Seiten des vorherigen verdeckt und es kommen sechs sichtbare Seiten hinzu: $8-2+6=12$. Dies ist die Anzahl der sichtbaren Seiten.

    Ein weiteres Würfelpaar kann man immer so hinzufügen, dass man ein Randwürfelpaar zur Seite schiebt und das neue Paar an der freien Stelle einfügt. Zu den bereits sichtbaren Seiten kommen vier weitere sichtbare Seiten hinzu: die beiden oberen sowie die, die zu einem zeigt, und die gegenüberliegende.

    Also bei drei Würfelpaaren sind dies $16$ und bei vier $20$ sichtbare Seiten.

  • Stelle einen Term auf, welcher angibt, wie viele Flächen bei $n$ Würfelpaaren sichtbar sind.

    Tipps

    Jede der Anzahlen der sichtbaren Seiten lässt sich als ein Produkt schreiben, bei welchem einer der Faktoren jeweils $4$ ist.

    Du kannst jeden Term an den Werten aus der Tabelle überprüfen.

    Der Faktor aus dem oben angegebenen Produkt ist um $1$ größer als die Anzahl der Würfelpaare.

    Lösung

    Wie kann man einen Term aufstellen, welcher die Anzahl der sichtbaren Seiten in Abhängigkeit von $n$ der Anzahl der Würfelpaare angibt?

    In der dritten Spalte ist zu erkennen, dass die Anzahl der sichtbaren Würfelseiten ein Produkt ist, bei dem einer der Faktoren immer $4$ ist. Der andere Faktor ist um $1$ größer als die Anzahl der Würfelpaare: $n+1$.

    Also ist die Anzahl der sichtbaren Seiten gegeben durch den Term

    $(n+1)\cdot4=4n+4$.

  • Ermittle einen Term, der den Umfang, und einen, der den Flächeninhalt der rot markierten Fläche angibt.

    Tipps

    Für den Umfang musst du die jeweiligen Längen zählen. Beginne an einer Stelle und gehe einmal um den kompletten Buchstaben herum.

    Der Flächeninhalt eines Quadrates ist $a^2$.

    Du könntest zum Beispiel oben links mit dem Zählen beginnen. Dann geht es sieben Schritte nach unten, ...

    Lösung

    Den Umfang kann man so verstehen, dass man einmal um die Figur herumgeht. Man startet zum Beispiel an einem Eckpunkt und zählt die einzelnen Strecken bis man wieder am Ausgangspunkt angelangt ist. Dies ist in dem Bild an den Pfeilen zu erkennen.

    Bis unten sind es sieben Strecken, dann eine nach rechts, drei hoch, drei nach rechts, drei runter, eine nach rechts, sieben nach oben, eine nach links, drei nach unten, drei nach links, drei nach oben und eine nach links.

    Das sind gesamt $36$ mal die Strecke der Länge $a$, also $36\cdot a$.

    Für den Flächeninhalt muss man die Anzahl der rot gefärbten Kästchen zählen. Jedes hat den Flächeninhalt $a^2$: $17\cdot a^2$.

  • Arbeite heraus, wie viele Würfelseiten sichtbar sind, wenn jeweils drei Würfel in Reihe nebeneinander gelegt werden.

    Tipps

    Schaue dir zunächst an, wie viele Seiten du siehst, wenn eine Dreierreihe vor dir liegt:

    • oben drei,
    • an den beiden Seiten jeweils drei und
    • zu dir zeigend und gegenüber jeweils eine.

    Wenn du die Anzahl von sichtbaren Seiten bei zwei oder mehr Reihen kennst, kannst du die Anzahl der sichtbaren Seiten bei einer Reihe mehr wie folgt ermitteln:

    • Schiebe eine Reihe am Rand zur Seite und
    • füge in der Lücke eine neue Reihe ein.

    Wie viele Seiten siehst du von der neuen Reihe?

    Lösung

    Man kann sich überlegen, also ausprobieren, wie viele Seiten bei einer Reihe sichtbar sind:

    • drei obere,
    • drei jeweils rechts und links und
    • eine vorne und eine hinten.
    Das sind gesamt $3+3+3+1+1=11$ sichtbare Seiten.

    Wenn eine Reihe zugefügt wird, sind drei Seiten der ersten Reihe nicht mehr sichtbar. Es kommen jedoch $3+3+1+1=8$ neue Seiten hinzu: $11-3+8=16$ sichtbare Seiten.

    Wenn man eine Reihe am Rand verschiebt, so dass ein Platz für eine neue Reihe frei wird, kann man dort eine neue Reihe einfügen mit fünf weiteren sichtbaren Seiten.

    • $n=3$: $16+5=21$ sichtbare Seiten.
    • $n=4$: $21+5=26$ sichtbare Seiten.
    $\begin{array}{c|c|c} n&\text{Anzahl der sichtbaren Seiten}\\ \hline 1&11&=6+1\cdot5\\ 2&16&=6+2\cdot5\\ 3&21&=6+3\cdot5\\ 4&26&=6+4\cdot5\\ \end{array}$

    An dieser Tabelle kann man den Term erkennen. Dieser lautet $6+5n=5n+6$.

  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim Erstellen eines Termes.

    Tipps

    Sicher kommt eine Vermutung vor der Bestätigung.

    Der Term wird erst dann aufgestellt, wenn die Vermutung bestätigt worden ist.

    Um eine Vermutung anzustellen, muss man zunächst probieren.

    Lösung

    Damit man den Term für ein reales Problem aufstellen kann, muss man zunächst an einigen Beispielen probieren. Wenn man eine Regelmäßigkeit erkennt, kann man hierzu eine Vermutung aufstellen. Diese muss dann überprüft werden und wird gegebenenfalls bestätigt. Ist das erfolgt, kann der Term aufgestellt werden.

  • Beschreibe, wie Terme für die Anzahl der Eckstücke, Randstücke und Innenstücke eines Apfelkuchens berechnet werden können.

    Tipps

    Die Anzahl der Eckstücke ist unabhängig von der Anzahl der Streifen.

    Schreibe den Term für die Randstücke in der Form

    $a\cdot n - b$.

    Wie sehen $a$ und $b$ aus?

    Es gibt vier Ränder bei dem Kuchen. Wie viele Randstücke befinden sich auf jedem Rand?

    Stelle einen Zusammenhang zu der Anzahl der Streifen dar.

    Die Anzahl der Innenstücke lässt sich als eine Potenz mit dem Exponenten $2$ schreiben.

    Lösung

    Die Anzahl der Eckstücke ist immer gleich: vier.

    Die Anzahl der Randstücke ist gegeben als ein Produkt: $4\cdot(n-2)=4n-8$.

    Wie kommt man darauf? Es gibt vier Ränder: Auf jedem dieser Ränder befinden sich so viele Randstücke wie die Anzahl der Streifen, abzüglich der beiden Eckstücke, also: $4\cdot(n-2)$.

    Die Anzahl der Innenstücke ist gegeben als eine Potenz mit dem Exponenten $2$: $(n-2)^2$.

    Wie kommt man darauf? In dem Bild ist an dem Beispiel $n=4$ zu erkennen, das ein Quadrat aus Innenstücken entsteht. Die Anzahl der waagerechten wie senkrechten Streifen ist jeweils um $2$ kleiner als die Anzahl der Streifen: $(n-2)^2$.

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