30 Tage kostenlos testen: Mehr Spaß am Lernen.
30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage kostenlos testen

Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen 11:48 min

Textversion des Videos

Transkript Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute wie man das Tangentenproblem löst. Dabei geht es darum wie man die Tangente an einem Graphen an einer bestimmten Stelle x0 bestimmt. Dazu wollen wir kurz wiederholen was eine Tangente an einem Graphen ist und für zwei Beispiele die Funktionsgleichung der Tangente berechnen. Du weißt bereits was eine Tangente an einem Graphen ist. Und wie man in dem Bild sieht, haben wir eine Funktion f gegeben. Und eine bestimmte Stelle auf der x-Achse, die wir jetzt x0 nennen bzw. ein Punkt P (x0, y0), der auf diesem Graph dieser Funktion liegt. An dieser Stelle bzw. in diesem Punkt wollen wir jetzt diese Tangente entwickeln. Aus der Geometrie wissen wir, dass allgemein eine Tangente eine Gerade ist, die ein Objekt in genau einem Punkt berührt. D. h. jetzt für uns, bei den Funktionen gilt dann, dass eine Tangente an einem Graphen eine lineare Funktion ist, die den Graphen von f an der Stelle x0 berührt. Wir wollen jetzt ein Beispiel dafür rechnen. Und dafür haben wir eine Funktion f gegeben. Und das ist f(x) = 1/4x² + 1. Und die Stelle x0 = 1. Als erstes müssen wir überlegen, was für eine Funktion ist diese Tangente. Wir haben es bereits gesagt, es ist eine lineare Funktion. D. h. sie hat den Aufbau y = mx + n. m ist der Anstieg und n ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir nennen jetzt unsere Tangente t(x). Die hat jetzt also auch diesen Aufbau mx + n. Wir wollen als erstes den Anstieg berechnen und danach den Schnittpunkt mit der y-Achse. Den Anstieg kann man berechnen über die erste Ableitung von f. Und diese erste Ableitung von f nennt man auch die Steigung von f an einer Stelle x0. Und darunter versteht man den Anstieg der Tangente, die ich an diesen Punkt legen kann. D. h. man kann m direkt über diese erste Ableitung berechnen, nämlich m = f’(x0). Also brauche ich jetzt als Erstes die erste Ableitung. Und die ist 1/2x, 1/4 * 2 = 1/2 und der Exponent geht einen runter. Und jetzt kann ich einfach einsetzen. m ist dann 1/2 * 1 = 1/2. Also haben wir dann für t(x) raus: 1/2x + m. Im zweiten Schritt berechnen wir jetzt n über den Punkt P (x0, y0). P hat die Koordinaten x0, y0 und wir haben jetzt aber nur diese Stelle gegeben, x0 = 1. Jetzt brauchen wir noch dieses y0 und das können wir uns ganz leicht berechnen, weil P auf dem Graphen von f liegt, ist y0 = f(x0). D. h. für unser Beispiel haben wir P(1) und dann setzen wir ein: 1/4 * 1² + 1 = 1 1/4. Jetzt können wir diesen Punkt in die Funktionsgleichung von dieser Tangente einsetzen. Einsetzen und nach n umstellen. 1 1/4 = 1/2 * 1 + n. Nach n umgestellt muss ich 1/2 abziehen. 1 1/4 - 1/2 = 3/4 = n. Also haben wir jetzt als Endergebnis t(x) = 1/2x + 3/4. In der nächsten Szene werde ich dir eine Tangentenbedingung geben, wann genau eine lineare Funktion eine Tangente an einem Graphen ist. Und danach werden wir nochmal ein weiteres Beispiel rechnen, um das Tangentenproblem zu üben. Ich werde euch jetzt die Tangentenbedingung vorstellen und wir werden noch ein weiteres Beispiel berechnen. Wir wollen jetzt formulieren, wann eine lineare Funktion eine Tangente an einem Graphen ist. Und das nennen wir die Tangentenbedingung. Eine lineare Funktion ist eine Tangente an einem Graphen f im Punkt P(x0, y0) mit y0 = f(x0), wenn sie als Anstieg die erste Ableitung in x0 besitzt, d. h. m = f’(x0). Und wenn die lineare Funktion und der Graph den gemeinsamen Punkt P(x0, y0) besitzen. Um das Tangentenproblem nochmal zu üben, machen wir ein weiteres Beispiel. Jetzt haben wir eine andere Funktion gegeben. Und zwar f(x) = x4 - 2x³ + 3x² - x + 5. Die Stelle ist diesmal x0 = -1. Als erstes schreiben wir wieder auf, wie diese Tangente aussieht, welchen Aufbau sie hat. Das war wieder eine lineare Funktion also mx + n. Wir berechnen wieder den Anstieg über diese erste Ableitung von f. Also brauchen wir die erste Ableitung. Und die ist mit der Potenzregel 4x³ - 6x² + 6x - 1. Und jetzt setzen wir einfach in diese Formel ein. Also haben wir dann m = f’(-1) = -4 - 6 - 6 - 1. Und das ergibt dann insgesamt -17. Also haben wir t(x) = -17x + n. Ich brauche jetzt ein bisschen mehr Platz, deswegen schieben wir das Bild jetzt einfach mal hoch. Und jetzt machen wir den zweiten Schritt. Und zwar berechnen wir n über den Punkt P. P hat wieder die Koordinaten x0 und y0. Und y0 bekomme ich, indem ich in f einsetze, da P auf dem Graphen von f liegt. Also f(x0). Wir brauchen also f(-1). Und das ist 1 + 2 + 3 + 1 + 5 = 12. Also unser Punkt ist dann P(-1, 12). Und den setzen wir jetzt wieder in diese Tangentengleichung ein. 12 = 17 + n. Jetzt stellen wir nach n um, also ziehen 17 ab. 12 - 17 = -5. Und dann haben wir schon das n. Und jetzt haben wir die Funktionsgleichung fertig, also ist t(x) = -17x - 5. Zum Schluss möchte ich nochmal kurz zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben wiederholt, was eine Tangente an einem Graphen ist und wie man ihre Funktionsgleichung berechnet. Und zwar macht man das einmal über den Anstieg. Der Anstieg ist die erste Ableitung von f an der stelle x0. Und n berechnet man über den Punkt P, den wir in die Funktionsgleichung einsetzen und dann nach n umstellen. Ich hoffe du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß. Bis zum nächsten Video, deine Anne.

3 Kommentare
  1. Default

    Dankeschön, Dank deines Videos hab ich es jetzt richtig gut verstanden (-:

    Von Em Grabow, vor 11 Monaten
  2. Default

    Super

    Von Rico Schmitt, vor fast 2 Jahren
  3. Img 20151011 002133

    Gut erklärt. :)
    Danke

    Von Juliane G., vor fast 4 Jahren