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Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Tangentenbedingung.

    Tipps

    „Tangente“ kommt von „tangere“ [Latein] für „berühren“.

    Das heißt, dass die Tangente den Graphen der Funktion in einem Punkt berührt. Dieser Punkt heißt Berührpunkt.

    Zeichne die Tangente an die Parabel zu $f(x)=x^2+1$ im Punkt $P(1|2)$. Was fällt dir am Anstieg der Tangente auf?

    Die Gleichung einer Tangente lautet $t(x)=mx+n$. Wie bekommst du m und n?

    Lösung

    Eine Tangente ist eine lineare Funktion (auch Gerade genannt). Eine linearen Funktion ist durch folgende Formel beschrieben: $t(x)=m \cdot x +n$, wobei $m$ der Anstieg der Geraden ist und $n$ dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse entspricht. Sei $P(x_0|y_0)$ der Schnittpunkt der Tangente mit dem Graphen der Funktion $f$.

    Es muss gelten:

    • $m=f'(x_0)$. Das heißt, dass die Gerade und die Funktion in $x_0$ die gleiche Steigung haben.
    • $t(x_0)=f(x_0)=y_0$. Das bedeutet, dass die Gerade und der Graph der Funktion den gemeinsamen Punkt $P(x_0|y_0)$ besitzen.
    Der Begriff der „Tangente“ kommt von „tangere“ [Latein] für „berühren“.

  • Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f(x)=\frac14x^2+1$ für $x_0=1$.

    Tipps

    Die Tangentengleichung ist eine lineare Funktion, deren Parameter bestimmt werden müssen.

    Der Anstieg der Tangente und die Steigung der Funktion in $x_0=1$ stimmen überein.

    Der Punkt $P(x_0|y_0)$ ist ein gemeinsamer Punkt des Graphen der Funktion und der Tangente.

    Lösung

    Das allgemeine Vorgehen zur Bestimmung einer Tangentengleichung $t(x)=m\cdot x+n$ - gesucht sind also der Anstieg $m$ und die y-Koordinate $n$ des Schnittpunktes der y-Achse mit der Tangente:

    1. Der Anstieg $m$ ist die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$. Das so gefundene $m$ kann bereits in die Funktionsgleichung eingesetzt werden.
    2. Zur Berechnung von $n$ wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ verwendet. Es gilt $t(x_0)=y_0$.
    Am Beispiel der Funktion $f(x)=\frac14x^2+1$ und $x_0=1$ bedeutet dies:
    1. $m=f'(1)$. Die 1. Ableitung muss also noch bestimmt werden. Diese lautet $f'(x)=\frac12x$ mit der Potenzregel. Somit ist $m=\frac12$. Die Tangentengleichung lautet $t(x)=\frac12x+n$.
    2. Die zu $x_0=1$ gehörende $y$-Koordinate $y_0$ des Punktes $P$ erhält man durch Einsetzen von $x_0=1$ in die Funktionsgleichung $y_0=f(1)=\frac14+1=1\frac14$. Somit ist
    $\begin{align*} 1\frac14&=\frac12+n &|& -\frac12\\ \frac34&=n. \end{align*}$.

    Die Tangentengleichung ist also durch $t(x)=\frac12x+\frac34$ gegeben.

  • Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graphen der vorgegebenen Funktion an der Stelle $x_0=3$.

    Tipps

    Die Tangentenbedingungen müssen erfüllt sein:

    • Die Tangente hat als Anstieg die 1. Ableitung der Funktion in $x_0=2$ und
    • die Tangente und der Graph der Funktion haben den gemeinsamen Punkt $P(3|f(3))$.

    Eine Tangente ist eine Gerade. Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion.

    Wie ist allgemein die Gleichung einer linearen Funktion gegeben?

    Ein Punkt $P(x_0|y_0)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $f$, wenn $y_0=f(x_0)$ gilt.

    Lösung

    Die Funktion ist $f(x)=\frac13x^3-x^2+2$ mit erster Ableitung $f'(x)=x^2-2x$. Durch die Angabe des Punktes ist auch $x_0=3$ bekannt. Durch Einsetzten von $x_0=3$ in die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)=\frac13x^3-x^2+2 $ ergibt sich der zugehörige Funktionswert $y_0=f(x)=\frac13\cdot 3^3-3^2+2=2$, also $y_0=2$.

    1. Es gilt $m=f'(3)=3^2-2\cdot3=3$. Der Anstieg der Tangentengleichung wurde über die die Ableitung$f'$ an der Stelle $x_0=3$ bestimmt. Dann ist die Tangentengleichung durch $t(x)=3\cdot x +n$ gegeben.
    2. Durch Einsetzen des Punktes $P(3|2)$ in die bereits bekannte Tangentengleichung $t(x)=3\cdot x +n$, kann $n$ berechnet werden: $2=3\cdot 3+n$, dies ist äquivalent zu $n=2-9=-7$. Der y-Achsenabschnitt ist also $n=-7$.
    Die Tangentengleichung lautet $t(x)=3\cdot x -7$.

  • Untersuche, wie die Parameter der linearen Funktion aussehen müssen.

    Tipps

    Berechne $f(3)$, $f'(x)$ und $f'(3)$.

    Diese lineare Fortsetzung ist die Tangente an den Graphen der kubischen Funktion $f(x) =\frac1{27}x^3 −\frac32x+4$ im Punkt $P(3|f(3))$.

    Lösung

    Bei dieser Aufgabe geht es darum, den Graphen einer Funktion linear ohne Knick fortzusetzen.

    Am Beispiel der Rutsche ist erkennbar, dass diese lineare Funktion nicht frei gewählt werden kann.

    • So sollte diese sicher nicht zu sehr ansteigen und auch nicht steil abfallen. Die Steigung dieser Funktion muss der Steigung der kubischen Funktion, welche den Verlauf der Rutsche beschreibt, an der Stelle $x_0=3$ entsprechen. Der Anstieg der Funktion im Punkt $x_0=3$ und der gesuchten Graden sollen also gleich sein.
    • Weiter sollten die Funktionswerte übereinstimmen, da andernfalls die Kinder am Ende von der Rutsche fallen würden.
    Diese Bedingungen entsprechen genau den Tangentenbedingungen. Die gesuchte lineare Funktion ist also die Tangente an den Graphen der Funktion $f(x)=\frac1{27}x^3 −\frac32x+4$ im Punkt $P(x_0|y_0)$ mit $x_0=3$ und $y_0=f(3)$. Die allgemeine Gleichung dieser Tangente lautet $t(x)=m\cdot x+n$:
    1. $m=f'(x_0)$. Die Ableitung von $f$ ist gegeben durch $f'(x)=\frac19x^2-\frac32$, also ist $m=f'(1)=1-\frac32=-\frac12=-0,5$. Dieses $m$ kann bereits in der Tangentengleichung eingesetzt werden $t(x)=-0,5\cdot x+n$.
    2. Nun kann der Punkt $P(x_0|y_0)$ mit $y_0=f(x_0)=f(3)=1-4,5+4=0,5$ eingesetzt werden:
    $\begin{align*} 0,5&=-0,5\cdot3+n~|~+1,5\\ 2&=n. \end{align*}$

    Somit ist die lineare Fortsetzung gegeben durch die Gleichung $t(x)=-0,5\cdot x+2$.

  • Beschreibe eine lineare Funktion.

    Tipps

    Die Funktionsgleichung zu dieser Geraden lautet $y=x+2$.

    Beachte: $m$ ist der Faktor vor dem $x$. Was sagen $m$ und $n$ über die Funktion aus?

    Lösung

    Tangenten sind Geraden und Geraden sind die Funktionsgraphen von linearen Funktionen.

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion $y=m\cdot x+n$ benötigst du zur Bestimmung der Tangentengleichung.

    Dabei steht $m$ für den Anstieg oder die Steigung der Funktion und $n$ für den y-Achsenabschnitt.

  • Zeige, dass die Tangentengleichung auch durch $t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ gegeben ist.

    Tipps

    Der Anstieg der Tangente und die Steigung der Funktion an der Stelle $x_0$ sind gleich. Was bedeutet das für den Parameter $m$?

    Um $n$ zu berechnen, muss die Gleichung $y_0=m\cdot x_0+n$ bei bekanntem $m$ nach $n$ aufgelöst werden.

    $x_0$ und $y_0$ sind die Koordinaten des Punktes $P(x_0|y_0)$, der sowohl auf der Tangente als auch auf dem Graphen der Funktion liegt.

    Dass $P(x_0|f(x_0))$ ein gemeinsamer Punkt der Tangente und des Graphen von $f$ ist, bedeutet, dass der Funktionswert von $f$ und auch der der von $t$ an der Stelle $x_0$ gleich sind.

    Lösung

    Die Tangentengleichung kann auch direkt angegeben werden:

    $t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

    Diese Gleichung kann ausmultipliziert werden. Somit gilt $t(x)=f'(x_0)\cdot x -f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)$.

    Der Anstieg der Tangente und die Steigung der Funktion an der Stelle $x_0$ sind gleich. Die Steigung ist somit gegeben durch $m=f'(x_0)$. Nun muss nur noch bewiesen werden, dass $n=-f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)$. Hier steht „$n$“ und nicht „$m$“.

    Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts wird der Punkt $P(x_0|f(x_0))$ in die Tangentengleichung $t(x)=f'(x_0)\cdot x+n$ eingesetzt. Dies führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} f(x_0)&=f'(x_0)\cdot x_0+n &|& -f'(x_0)\cdot x_0\\ -f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)&=n. \end{align*}$

    Das ist das, was bewiesen werden sollte.

    Am Beispiel der Funktion $f(x)=x^4-2x^3+3x^2-x+5$ mit $x_0=-1$ bedeutet dies:

    • $f(x_0)=f(-1)=12$.
    • $f'(x)=4x^3-6x^2+6x-1$
    • $f'(x_0)=f'(-1)=-17$
    Die Tangente ist also über die Gleichung $t(x)=-17(x-(-1))+12=-17x-17+12=-17x-5$ gegeben.

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