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Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen 11:48 min

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Transkript Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute wie man das Tangentenproblem löst. Dabei geht es darum wie man die Tangente an einem Graphen an einer bestimmten Stelle x0 bestimmt. Dazu wollen wir kurz wiederholen was eine Tangente an einem Graphen ist und für zwei Beispiele die Funktionsgleichung der Tangente berechnen. Du weißt bereits was eine Tangente an einem Graphen ist. Und wie man in dem Bild sieht, haben wir eine Funktion f gegeben. Und eine bestimmte Stelle auf der x-Achse, die wir jetzt x0 nennen bzw. ein Punkt P (x0, y0), der auf diesem Graph dieser Funktion liegt. An dieser Stelle bzw. in diesem Punkt wollen wir jetzt diese Tangente entwickeln. Aus der Geometrie wissen wir, dass allgemein eine Tangente eine Gerade ist, die ein Objekt in genau einem Punkt berührt. D. h. jetzt für uns, bei den Funktionen gilt dann, dass eine Tangente an einem Graphen eine lineare Funktion ist, die den Graphen von f an der Stelle x0 berührt. Wir wollen jetzt ein Beispiel dafür rechnen. Und dafür haben wir eine Funktion f gegeben. Und das ist f(x) = 1/4x² + 1. Und die Stelle x0 = 1. Als erstes müssen wir überlegen, was für eine Funktion ist diese Tangente. Wir haben es bereits gesagt, es ist eine lineare Funktion. D. h. sie hat den Aufbau y = mx + n. m ist der Anstieg und n ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir nennen jetzt unsere Tangente t(x). Die hat jetzt also auch diesen Aufbau mx + n. Wir wollen als erstes den Anstieg berechnen und danach den Schnittpunkt mit der y-Achse. Den Anstieg kann man berechnen über die erste Ableitung von f. Und diese erste Ableitung von f nennt man auch die Steigung von f an einer Stelle x0. Und darunter versteht man den Anstieg der Tangente, die ich an diesen Punkt legen kann. D. h. man kann m direkt über diese erste Ableitung berechnen, nämlich m = f’(x0). Also brauche ich jetzt als Erstes die erste Ableitung. Und die ist 1/2x, 1/4 * 2 = 1/2 und der Exponent geht einen runter. Und jetzt kann ich einfach einsetzen. m ist dann 1/2 * 1 = 1/2. Also haben wir dann für t(x) raus: 1/2x + m. Im zweiten Schritt berechnen wir jetzt n über den Punkt P (x0, y0). P hat die Koordinaten x0, y0 und wir haben jetzt aber nur diese Stelle gegeben, x0 = 1. Jetzt brauchen wir noch dieses y0 und das können wir uns ganz leicht berechnen, weil P auf dem Graphen von f liegt, ist y0 = f(x0). D. h. für unser Beispiel haben wir P(1) und dann setzen wir ein: 1/4 * 1² + 1 = 1 1/4. Jetzt können wir diesen Punkt in die Funktionsgleichung von dieser Tangente einsetzen. Einsetzen und nach n umstellen. 1 1/4 = 1/2 * 1 + n. Nach n umgestellt muss ich 1/2 abziehen. 1 1/4 - 1/2 = 3/4 = n. Also haben wir jetzt als Endergebnis t(x) = 1/2x + 3/4. In der nächsten Szene werde ich dir eine Tangentenbedingung geben, wann genau eine lineare Funktion eine Tangente an einem Graphen ist. Und danach werden wir nochmal ein weiteres Beispiel rechnen, um das Tangentenproblem zu üben. Ich werde euch jetzt die Tangentenbedingung vorstellen und wir werden noch ein weiteres Beispiel berechnen. Wir wollen jetzt formulieren, wann eine lineare Funktion eine Tangente an einem Graphen ist. Und das nennen wir die Tangentenbedingung. Eine lineare Funktion ist eine Tangente an einem Graphen f im Punkt P(x0, y0) mit y0 = f(x0), wenn sie als Anstieg die erste Ableitung in x0 besitzt, d. h. m = f’(x0). Und wenn die lineare Funktion und der Graph den gemeinsamen Punkt P(x0, y0) besitzen. Um das Tangentenproblem nochmal zu üben, machen wir ein weiteres Beispiel. Jetzt haben wir eine andere Funktion gegeben. Und zwar f(x) = x4 - 2x³ + 3x² - x + 5. Die Stelle ist diesmal x0 = -1. Als erstes schreiben wir wieder auf, wie diese Tangente aussieht, welchen Aufbau sie hat. Das war wieder eine lineare Funktion also mx + n. Wir berechnen wieder den Anstieg über diese erste Ableitung von f. Also brauchen wir die erste Ableitung. Und die ist mit der Potenzregel 4x³ - 6x² + 6x - 1. Und jetzt setzen wir einfach in diese Formel ein. Also haben wir dann m = f’(-1) = -4 - 6 - 6 - 1. Und das ergibt dann insgesamt -17. Also haben wir t(x) = -17x + n. Ich brauche jetzt ein bisschen mehr Platz, deswegen schieben wir das Bild jetzt einfach mal hoch. Und jetzt machen wir den zweiten Schritt. Und zwar berechnen wir n über den Punkt P. P hat wieder die Koordinaten x0 und y0. Und y0 bekomme ich, indem ich in f einsetze, da P auf dem Graphen von f liegt. Also f(x0). Wir brauchen also f(-1). Und das ist 1 + 2 + 3 + 1 + 5 = 12. Also unser Punkt ist dann P(-1, 12). Und den setzen wir jetzt wieder in diese Tangentengleichung ein. 12 = 17 + n. Jetzt stellen wir nach n um, also ziehen 17 ab. 12 - 17 = -5. Und dann haben wir schon das n. Und jetzt haben wir die Funktionsgleichung fertig, also ist t(x) = -17x - 5. Zum Schluss möchte ich nochmal kurz zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben wiederholt, was eine Tangente an einem Graphen ist und wie man ihre Funktionsgleichung berechnet. Und zwar macht man das einmal über den Anstieg. Der Anstieg ist die erste Ableitung von f an der stelle x0. Und n berechnet man über den Punkt P, den wir in die Funktionsgleichung einsetzen und dann nach n umstellen. Ich hoffe du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß. Bis zum nächsten Video, deine Anne.

3 Kommentare
  1. Dankeschön, Dank deines Videos hab ich es jetzt richtig gut verstanden (-:

    Von Em Grabow, vor mehr als einem Jahr
  2. Super

    Von Rico Schmitt, vor mehr als 2 Jahren
  3. Gut erklärt. :)
    Danke

    Von Juliane G., vor mehr als 4 Jahren

Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Tangentenproblem – Tangente in einem Punkt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die Tangentenbedingung.

    Tipps

    „Tangente“ kommt von „tangere“ [Latein] für „berühren“.

    Das heißt, dass die Tangente den Graphen der Funktion in einem Punkt berührt. Dieser Punkt heißt Berührpunkt.

    Zeichne die Tangente an die Parabel zu $f(x)=x^2+1$ im Punkt $P(1|2)$. Was fällt dir am Anstieg der Tangente auf?

    Die Gleichung einer Tangente lautet $t(x)=mx+n$. Wie bekommst du m und n?

    Lösung

    Eine Tangente ist eine lineare Funktion (auch Gerade genannt). Eine linearen Funktion ist durch folgende Formel beschrieben: $t(x)=m \cdot x +n$, wobei $m$ der Anstieg der Geraden ist und $n$ dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse entspricht. Sei $P(x_0|y_0)$ der Schnittpunkt der Tangente mit dem Graphen der Funktion $f$.

    Es muss gelten:

    • $m=f'(x_0)$. Das heißt, dass die Gerade und die Funktion in $x_0$ die gleiche Steigung haben.
    • $t(x_0)=f(x_0)=y_0$. Das bedeutet, dass die Gerade und der Graph der Funktion den gemeinsamen Punkt $P(x_0|y_0)$ besitzen.
    Der Begriff der „Tangente“ kommt von „tangere“ [Latein] für „berühren“.

  • Beschreibe eine lineare Funktion.

    Tipps

    Die Funktionsgleichung zu dieser Geraden lautet $y=x+2$.

    Beachte: $m$ ist der Faktor vor dem $x$. Was sagen $m$ und $n$ über die Funktion aus?

    Lösung

    Tangenten sind Geraden und Geraden sind die Funktionsgraphen von linearen Funktionen.

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion $y=m\cdot x+n$ benötigst du zur Bestimmung der Tangentengleichung.

    Dabei steht $m$ für den Anstieg oder die Steigung der Funktion und $n$ für den y-Achsenabschnitt.

  • Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f(x)=\frac14x^2+1$ für $x_0=1$.

    Tipps

    Die Tangentengleichung ist eine lineare Funktion, deren Parameter bestimmt werden müssen.

    Der Anstieg der Tangente und die Steigung der Funktion in $x_0=1$ stimmen überein.

    Der Punkt $P(x_0|y_0)$ ist ein gemeinsamer Punkt des Graphen der Funktion und der Tangente.

    Lösung

    Das allgemeine Vorgehen zur Bestimmung einer Tangentengleichung $t(x)=m\cdot x+n$ - gesucht sind also der Anstieg $m$ und die y-Koordinate $n$ des Schnittpunktes der y-Achse mit der Tangente:

    1. Der Anstieg $m$ ist die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$. Das so gefundene $m$ kann bereits in die Funktionsgleichung eingesetzt werden.
    2. Zur Berechnung von $n$ wird der Punkt $P(x_0|y_0)$ verwendet. Es gilt $t(x_0)=y_0$.
    Am Beispiel der Funktion $f(x)=\frac14x^2+1$ und $x_0=1$ bedeutet dies:
    1. $m=f'(1)$. Die 1. Ableitung muss also noch bestimmt werden. Diese lautet $f'(x)=\frac12x$ mit der Potenzregel. Somit ist $m=\frac12$. Die Tangentengleichung lautet $t(x)=\frac12x+n$.
    2. Die zu $x_0=1$ gehörende $y$-Koordinate $y_0$ des Punktes $P$ erhält man durch Einsetzen von $x_0=1$ in die Funktionsgleichung $y_0=f(1)=\frac14+1=1\frac14$. Somit ist
    $\begin{align*} 1\frac14&=\frac12+n &|& -\frac12\\ \frac34&=n. \end{align*}$.

    Die Tangentengleichung ist also durch $t(x)=\frac12x+\frac34$ gegeben.

  • Zeige, dass die Tangentengleichung auch durch $t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ gegeben ist.

    Tipps

    Der Anstieg der Tangente und die Steigung der Funktion an der Stelle $x_0$ sind gleich. Was bedeutet das für den Parameter $m$?

    Um $n$ zu berechnen, muss die Gleichung $y_0=m\cdot x_0+n$ bei bekanntem $m$ nach $n$ aufgelöst werden.

    $x_0$ und $y_0$ sind die Koordinaten des Punktes $P(x_0|y_0)$, der sowohl auf der Tangente als auch auf dem Graphen der Funktion liegt.

    Dass $P(x_0|f(x_0))$ ein gemeinsamer Punkt der Tangente und des Graphen von $f$ ist, bedeutet, dass der Funktionswert von $f$ und auch der der von $t$ an der Stelle $x_0$ gleich sind.

    Lösung

    Die Tangentengleichung kann auch direkt angegeben werden:

    $t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

    Diese Gleichung kann ausmultipliziert werden. Somit gilt $t(x)=f'(x_0)\cdot x -f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)$.

    Der Anstieg der Tangente und die Steigung der Funktion an der Stelle $x_0$ sind gleich. Die Steigung ist somit gegeben durch $m=f'(x_0)$. Nun muss nur noch bewiesen werden, dass $n=-f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)$. Hier steht „$n$“ und nicht „$m$“.

    Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts wird der Punkt $P(x_0|f(x_0))$ in die Tangentengleichung $t(x)=f'(x_0)\cdot x+n$ eingesetzt. Dies führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} f(x_0)&=f'(x_0)\cdot x_0+n &|& -f'(x_0)\cdot x_0\\ -f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)&=n. \end{align*}$

    Das ist das, was bewiesen werden sollte.

    Am Beispiel der Funktion $f(x)=x^4-2x^3+3x^2-x+5$ mit $x_0=-1$ bedeutet dies:

    • $f(x_0)=f(-1)=12$.
    • $f'(x)=4x^3-6x^2+6x-1$
    • $f'(x_0)=f'(-1)=-17$
    Die Tangente ist also über die Gleichung $t(x)=-17(x-(-1))+12=-17x-17+12=-17x-5$ gegeben.

  • Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graphen der vorgegebenen Funktion an der Stelle $x_0=3$.

    Tipps

    Die Tangentenbedingungen müssen erfüllt sein:

    • Die Tangente hat als Anstieg die 1. Ableitung der Funktion in $x_0=2$ und
    • die Tangente und der Graph der Funktion haben den gemeinsamen Punkt $P(3|f(3))$.

    Eine Tangente ist eine Gerade. Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion.

    Wie ist allgemein die Gleichung einer linearen Funktion gegeben?

    Ein Punkt $P(x_0|y_0)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $f$, wenn $y_0=f(x_0)$ gilt.

    Lösung

    Die Funktion ist $f(x)=\frac13x^3-x^2+2$ mit erster Ableitung $f'(x)=x^2-2x$. Durch die Angabe des Punktes ist auch $x_0=3$ bekannt. Durch Einsetzten von $x_0=3$ in die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)=\frac13x^3-x^2+2 $ ergibt sich der zugehörige Funktionswert $y_0=f(x)=\frac13\cdot 3^3-3^2+2=2$, also $y_0=2$.

    1. Es gilt $m=f'(3)=3^2-2\cdot3=3$. Der Anstieg der Tangentengleichung wurde über die die Ableitung$f'$ an der Stelle $x_0=3$ bestimmt. Dann ist die Tangentengleichung durch $t(x)=3\cdot x +n$ gegeben.
    2. Durch Einsetzen des Punktes $P(3|2)$ in die bereits bekannte Tangentengleichung $t(x)=3\cdot x +n$, kann $n$ berechnet werden: $2=3\cdot 3+n$, dies ist äquivalent zu $n=2-9=-7$. Der y-Achsenabschnitt ist also $n=-7$.
    Die Tangentengleichung lautet $t(x)=3\cdot x -7$.

  • Untersuche, wie die Parameter der linearen Funktion aussehen müssen.

    Tipps

    Berechne $f(3)$, $f'(x)$ und $f'(3)$.

    Diese lineare Fortsetzung ist die Tangente an den Graphen der kubischen Funktion $f(x) =\frac1{27}x^3 −\frac32x+4$ im Punkt $P(3|f(3))$.

    Lösung

    Bei dieser Aufgabe geht es darum, den Graphen einer Funktion linear ohne Knick fortzusetzen.

    Am Beispiel der Rutsche ist erkennbar, dass diese lineare Funktion nicht frei gewählt werden kann.

    • So sollte diese sicher nicht zu sehr ansteigen und auch nicht steil abfallen. Die Steigung dieser Funktion muss der Steigung der kubischen Funktion, welche den Verlauf der Rutsche beschreibt, an der Stelle $x_0=3$ entsprechen. Der Anstieg der Funktion im Punkt $x_0=3$ und der gesuchten Graden sollen also gleich sein.
    • Weiter sollten die Funktionswerte übereinstimmen, da andernfalls die Kinder am Ende von der Rutsche fallen würden.
    Diese Bedingungen entsprechen genau den Tangentenbedingungen. Die gesuchte lineare Funktion ist also die Tangente an den Graphen der Funktion $f(x)=\frac1{27}x^3 −\frac32x+4$ im Punkt $P(x_0|y_0)$ mit $x_0=3$ und $y_0=f(3)$. Die allgemeine Gleichung dieser Tangente lautet $t(x)=m\cdot x+n$:
    1. $m=f'(x_0)$. Die Ableitung von $f$ ist gegeben durch $f'(x)=\frac19x^2-\frac32$, also ist $m=f'(1)=1-\frac32=-\frac12=-0,5$. Dieses $m$ kann bereits in der Tangentengleichung eingesetzt werden $t(x)=-0,5\cdot x+n$.
    2. Nun kann der Punkt $P(x_0|y_0)$ mit $y_0=f(x_0)=f(3)=1-4,5+4=0,5$ eingesetzt werden:
    $\begin{align*} 0,5&=-0,5\cdot3+n~|~+1,5\\ 2&=n. \end{align*}$

    Somit ist die lineare Fortsetzung gegeben durch die Gleichung $t(x)=-0,5\cdot x+2$.